构 造新数列｛ｂｎ｝，使 ｂｎ＝ａｎ＋Ｎ，则｛ｂｎ｝为收敛数列｛ａｎ｝的平凡子列，且与
｛ａｎ｝同时收敛于相同的极限．由于｛ｂｎ｝也满足 ２
３ａ＜ｂｎ＜４
３ａ （ｎ＝１，２，…），
于是
ｎ ２
３ａ＜ ｎ ｂｎ＜
ｎ ４ ３ａ．
又因ｌｉｍｎ→∞
ｎ ２
３ａ＝１，ｎ→∞ｌｉｍ
ｎ ４
３ａ＝１，故ｌｉｍｎ→∞ ｎ ｂｎ＝１，从而
ｎ→∞ｌｉｍ
ｎ ａｎ＝１．
§ ３ 数列极限存在的条件
１畅利用ｎ→∞ｌｉｍ １＋１ ｎ
ｎ
＝ｅ，求下列极限：
（１）ｎ→∞ｌｉｍ １－１ ｎ
ｎ
； （２）ｎ→∞ｌｉｍ １＋１ ｗ
ｎ
ｎ＋１
；
・
９
４
第二章 数列极限 ・
（３）ｎ→∞ｌｉｍ １＋ １
所以 ａ＝０．
解 以上解题方法错误．此解法的关键在于ｎ→∞ｌｉｍａｎ的存在性，即只有在 ｌｉｍｎ→∞ａｎ存在的前提下，才能对ａｎ＝２ａｎ－１两边取极限．而本题的ｌｉｍｎ→∞２ｎ恰好不存 在，故之后的推导均无意义．
３畅证明下列数列极限存在，并求其值：
（１）ａ１＝ ２ ，ａｎ＋１＝ ２ａｎ，ｎ＝１，２，…；
（２） ａ１＝ ｃ （ｃ＞０），ａｎ＋１＝ ｃ＋ａｎ，ｎ＝１，２，…；
（３）ａｎ＝ｃｎ
ｎ！（ｃ＞０），ｎ＝１，２，…．
证 （１） 先证｛ａｎ｝是有界数列．事实上，对橙ｎ∈Ｎ＋有 １＜ａｎ＜２．
现用数学归纳法证明如下：当ｋ＝１ 时，ａ１＝ ２ ，１＜ ２ ＜２成立．设ｋ＝ｎ 时结论成立，即 １＜ａｎ＜２，则当 ｋ＝ｎ＋１ 时，
１＜ ２ａｎ＝ａｎ＋１＝ ２ａｎ＜ ２ ・ ２ ＝２，
故 １＜ａｎ＜２，橙ｎ∈Ｎ＋．
再证｛ａｎ｝严格单调递增．由于１＜ａｎ＜２，故ａｎ＋１
ａｎ ＝ ２ａｎ
ａｎ ＝ ２
ａｎ＞１，因此
｛ａｎ｝严格单调递增．
由单调有界原理知ｎ→∞ｌｉｍａｎ存在．设ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ，则对ａｎ＋１＝ ２ａｎ两边取极限 得
ｎ→∞ｌｉｍａｎ＋１＝ｌｉｍｎ→∞ ２ａｎ， 即 ａ＝ ２ａ ， 解之得 ａ＝２ 或 ａ＝０（不合题意，舍去），故ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝２．
（２）先证｛ａｎ｝为有界数列．事实上，对橙ｎ∈Ｎ＋有 ０＜ａｎ＜１
２＋１
２ １＋４ｃ．
现用 数 学 归 纳 法 证 明 如 下： 当 ｋ ＝ １ 时， ａ１＝ ｃ ＞ ０，且 ｃ ＜ １ ２ ＋
・
１
５
第二章 数列极限 ・
１
综上 ｌｉｍｎ→∞ｃｎ
而由ｍ ＞ｌｏｇ２ １
ε＋１得２ｍ －１＞１ ε，即 １
２ｍ －１＜ε，故有│ａｎ－ａｍ│＜ε．由柯西收敛准 则知数列｛ａｎ｝收敛．
（２）对橙ε＞０，取 Ｎ ＝ ２
ε ，则对橙ｎ≥ｍ ＞Ｎ ，有
│ａｎ－ａｍ│＝ １ ｜
（ｍ ＋１）２＋ １
（ｍ ＋２）２＋…＋１
ｎ２
≤ １
ｍ （ｍ ＋１）＋ １
（ｍ ＋１）（ｍ ＋２）＋…＋ １
（ｎ－１）ｎ
＝１ ｍ －１
ｎ＜２ ｍ ． 而由 ｍ ＞２
ε知２
ｍ ＜ε，故│ａｎ－ａｍ│＜ε．由柯西收敛准则知数列｛ａｎ｝收敛．
６畅证明：若单调数列｛ａｎ｝含有一个收敛子列，则｛ａｎ｝收敛．
证 先假定数列｛ａｎ｝为单调增加数列，而｛ａｎｋ｝为其所含的一个收敛子 列，且ｋ→∞ｌｉｍａｎｋ＝ａ，故对橙ε＞０，愁Ｎ１∈Ｎ＋，当ｋ＞Ｎ１时，有│ａｎｋ－ａ│＜ε，即ａ－ε＜
ａｎｋ＜ａ＋ε．取Ｎ ＝ｎＮ１＋１，则当ｍ ＞Ｎ 时，有ａｍ＞ａｎＮ ＋１＞ａ－ε．又由｛ａｎ｝为单调 增加数列知，ａｍ＜ａｎｍ＜ａ＋ε，即 ａ－ε＜ａｍ＜ａ＋ε，也就是│ａｍ－ａ│＜ε，因此 ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ．
若 数列｛ａｎ｝为单调减少数列，令 ｂｎ＝－ａｎ，则｛ｂｎ｝为单调递增数列．而
｛ａｎｋ｝为其所含的一个收敛子列，且ｋ→∞ｌｉｍａｎｋ＝ａ，此时有ｋ→∞ｌｉｍｂｎｋ＝－ａ，于是由上 述结论知ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝－ａ，即ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ．
７畅证明：若 ａｎ＞０，且ｎ→∞ｌｉｍ ａｎ
ａｎ＋１＝ｌ＞１，则ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝０．
证 由ｎ→∞ｌｉｍ ａｎ
ａｎ＋１＝ｌ＞１得：对 ε０＝ｌ－１
３ ，愁Ｎ ∈Ｎ＋，当 ｎ＞Ｎ 时 ｌ－ε０＜ ａｎ
ａｎ＋１
＜ｌ＋ε０，即 １＜２ｌ＋１ ３ ＜ ａｎ
ａｎ＋１，从而数列｛ａｎ｝从第 Ｎ ＋１ 项开始为单调减少数 列，且有下界 ０，故｛ａｎ｝收敛．
设ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ（ａ≥０），对恒等式 ａｎ＝ａｎ＋１ ａｎ
ａｎ＋１，两边取极限得 ａ＝ｌａ，即（ｌ－
１）ａ＝０，因 ｌ＞１，故 ａ＝０，即ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝０．
・ ４ ５
・ 数学分析习题详解（上）
８畅证明：若｛ａｎ｝为递增（递减）有界数列，则ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ｓｕｐ｛ａｎ｝（ｉｎｆ｛ａｎ｝）．又 问逆命题成立否？
证 若｛ａｎ｝为递增的有界数列．设ｓｕｐ｛ａｎ｝＝ａ，由上确界定义知，对于 橙ε＞０，愁ａＮ∈｛ａｎ｝，使得 ａＮ＞ａ－ε，亦有当 ｎ＞Ｎ 时，ａｎ＞ａＮ＞ａ－ε．另一方面 ａｎ≤ａ＜ａ＋ε，故│ａｎ－ａ│＜ε，即
ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ＝ｓｕｐ｛ａｎ｝．
若｛ａｎ｝为递减的有界数列．设ｉｎｆ｛ａｎ｝＝ｂ，由下确界定义知，对于橙ε＞０，
愁ａＮ∈｛ａｎ｝，使得ａＮ＜ｂ＋ε，亦有当ｎ＞Ｎ 时，ａｎ＜ａＮ＜ｂ＋ε．另一方面ｂ－ε＜ａ
≤ａＮ，故│ａｎ－ｂ│＜ε，即
ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ｂ＝ｉｎｆ｛ａｎ｝．
逆命题不成立，因为极限等于上（下）确界的数列未必是单调数列，例如，
（１） ０畅４９，０畅４８，０畅４９９，０畅４９８，０畅４９９９，０畅４９９８，…，它是非单调数列，但 ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ｓｕｐ｛ａｎ｝＝０畅５．
（２） ０畅５００１，０畅５０１，０畅５００００１，０畅５０００１，０畅５００００００１，０畅５０００００１，…，它是 非单调数列，但ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｉｎｆ｛ｂｎ｝＝０畅５．
９畅利 用 不 等 式 ｂｎ＋１－ａｎ＋１＞ａｎ（ｂ － ａ ） （ｎ ＋ １ ）， ｂ ＞ ａ ＞ ０，证 明 １＋１
ｎ
ｎ＋１
为递减数列，并由此推出 １＋１ ｎ
ｎ
为有界数列．
证 由 ｂｎ＋１－ａｎ＋１＞ａｎ（ｂ－ａ）（ｎ＋１）整理后得 ｂｎ＋１＞ａｎ［（ｎ＋１）ｂ－ｎａ］．
令ａ＝１＋ １
ｎ＋１，ｂ＝１＋１
ｎ，代入上式得 １＋１
ｎ
ｎ＋１ Ｅ
＞ １＋ １ ｎ＋１
ｎ （ｎ＋１）２
ｎ －ｎ（ｎ＋２）
ｎ＋１
＝ １＋ １ ｎ＋１
ｎ （ｎ＋１）３－ｎ２（ｎ＋２）
ｎ（ｎ＋１）
＝ １＋ １ ｎ＋１
ｎ＋２（ｎ＋１）２（ｎ２＋３ｎ＋１）
（ｎ＋２）２（ｎ＋１）ｎ
＝ １＋ １ ｎ＋１
ｎ＋２ｎ３＋４ｎ２＋４ｎ＋１ ｎ３＋４ｎ２＋４ｎ
・
５
５
第二章 数列极限 ・
＞ １＋ １
ａｎ＋１＝ａｎ＋ｂｎ
２ ， ｂｎ＋１＝ ａｎｂｎ，ｎ＝１，２，…，
证明：ｎ→∞ｌｉｍａｎ与ｎ→∞ｌｉｍｂｎ皆存在且相等．
证 由 ａ１＞ｂ１＞０，显然有ａｎ＞０，ｂｎ＞０，因 ａｎ＋１＝ａｎ＋ｂｎ
２ ≥ ａｎｂｎ＝ｂｎ＋１， 故 ａｎ＋１＝ａｎ＋ｂｎ
２ ≤ａｎ＋ａｎ
２ ＝ａｎ， ｂｎ＋１＝ ａｎｂｎ≥ ｂｎｂｎ＝ｂｎ， 即｛ａｎ｝单调递减，｛ｂｎ｝单调递增．
又ｂｎ≤ａｎ≤ａ１，ａｎ≥ｂｎ≥ｂ１，所以｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝有界，由单调有界原理知ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ ａ，ｎ→∞ｌｉｍｂｎ＝ｂ，即ｎ→∞ｌｉｍａｎ与ｌｉｍｎ→∞ｂｎ皆存在．
在ａｎ＋１＝ａｎ＋ｂｎ
２ 中两边取极限得 ａ＝ａ＋ｂ
２ ， 即 ａ＝ｂ．
１２畅设｛ａｎ｝为有界数列，记
ａ珔ｎ＝ｓｕｐ｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝， ａｎ＝ｉｎｆ｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝． － 甴
证明：（１） 对任何正整数 ｎ，ａ珔ｎ≥ａｎ； －
（２） ｛ａ珔ｎ｝为递减有界数列，｛ａｎ｝为递增有界数列，且对任何正整数 ｎ，ｍ 有 －
ａ珔ｎ≥ａｍ； － 癏
（３）设ａ珔和ａ分别是｛ａ珔ｎ｝和｛ａｎ｝的极限，则 ａ珔≥ａ； －－－ 半 半 半
（４） ｛ａｎ｝收敛的充要条件是ａ珔＝ａ． － 眾
证 （１） 对任给正整数 ｋ≥ｎ，有 ａ珔ｎ≥ａｋ及 ａｋ≥ａｎ，故对橙ｎ∈Ｎ＋有 ａ珔ｎ≥ａｎ． －－ （ （
（２）由定义知 ａ珔
ｎ＝ｓｕｐ｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝， ａ珔
ｎ＋１＝ｓｕｐ｛ａｎ＋１，ａｎ＋２，…｝，
而 ａｎ＝ｉｎｆ｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝， ａｎ＋１＝ｉｎｆ｛ａｎ＋１，ａｎ＋２，…｝， －－
因 ｛ａｎ＋１，ａｎ＋２，…｝炒｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝．
故对于橙ｎ∈Ｎ＋，有 ａ珔ｎ≥ａ珔
ｎ＋１及ａｎ≤ａｎ＋１，即｛ａ珔ｎ｝为递减数列，｛ａｎ｝为递增数列， －－－ 礕 礕 礕
・
７
５
第二章 数列极限 ・
又由（１）知橙ｎ∈Ｎ＋，有ａ珔ｎ≥ａｎ，故有 －－ ね
ａ１＜ａ２＜…＜ａｎ－１＜ａｎ＜ａ珔ｎ＜ａ珔ｎ－１＜…＜ａ珔 －－－
２＜ａ珔
１，
即橙ａ珔ｋ∈｛ａ珔ｎ｝，ａｋ∈｛ａｎ｝都介于ａ１，ａ珔１之间．因此｛ａ珔ｎ｝为单调减少有界数列，｛ａｎ｝ －－－－
为单调增加有界数列．对于橙ｍ ，ｎ∈Ｎ＋，当ｎ＞ｍ 时ａ珔ｎ≥ａｎ≥ａｍ，当ｎ≤ｍ 时ａ珔ｎ －－ Λ Λ
≥ａ珔ｍ≥ａｍ．故无论 ｎ，ｍ 有何关系，都有ａ珔ｎ≥ａｍ． －－
（３）由ａ珔ｎ≥ａｎ（橙ｎ∈Ｎ＋），根据极限保不等式性有 － ц
ａ珔＝ｎ→∞ｌｉｍａ珔ｎ≥ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ． －－ ▏ ▏
（４）若 ａ珔＝ａ，由ａｎ≤ａｎ≤ａ珔 －－ ６ ６
ｎ（橙ｎ∈Ｎ＋），因ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ＝ａ珔＝ｎ→∞ｌｉｍａ珔 －－ ６ ６
ｎ，故由极限 迫敛性有
ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ珔＝ａ． － ⑤
若ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ，则对于橙ε＞０，愁Ｎ ∈Ｎ＋，当 ｎ＞Ｎ 时有│ａｎ－ａ│＜ε ２，即 ａ－
ε
２＜ａｎ＜ａ＋ε
２，亦即 ａ－ε
２为｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝的下界，ａ＋ ε
２为｛ａｎ，ａｎ＋１，…｝的
上界．由ａｎ，ａ珔 － 璔
ｎ的定义知，当 ｎ＞Ｎ 时 ａ－ε
２≤ａｎ≤ａｎ≤ａ珔 － 璔
ｎ≤ａ＋ε ２，即
ａ－ε＜ａｎ＜ａ＋ε， ａ－ε＜ａ珔 －
ｎ＜ａ＋ε，
于是 ｎ→∞ｌｉｍａ珔ｎ＝ａ， ｎ→∞ｌｉｍａｎ＝ａ， 即 ａ珔＝ａ． －－