雙曲線的圖形與標準式 1. 雙曲線的定義：
設 F 、 F′ 為平面上相異兩點，且FF′ =2c>0，若平面上 一點 P 到 F 、 F′ 兩點的距離之差的絕對值為一定值2a， 即|PF−PF′|=2a（c>a>0），則動點 P 所形成之軌跡 圖形稱為雙曲線。
2. 雙曲線的名詞：
(1)焦點：兩定點 F 、 F′ 。 (2)中心：FF 的中點' O。
(3)貫軸： AA′ ，貫軸頂點 A 、 A′ ，貫軸長AA′ =2a。
(4)共軛軸： BB′ ，共軛軸頂點 B 、 B′ ，共軛軸長BB′ =2b。 (5)正焦弦：過焦點與貫軸垂直的弦，P P′1 1 、P P′2 2。
(6)漸近線：L1、L2且L1、L2交於雙曲線中心。
3. 雙曲線的標準式：（以(0, 0)為中心）設a >0，b >0且c2 =a2+b2 方程式
2 2
2 2 1
x y a b
− = 貫軸在x軸上
（x 項係數為正） 2 中心 (0, 0) 類型 左右型
焦點 (±c, 0) 正焦弦長
2b2
a
貫軸頂點 (±a, 0) 貫軸長 2a 共軛軸頂點 (0,±b) 共軛軸長 2b
漸近線
2 2
2 2 0
x y a b
− = ⇒ bx±ay=0 方程式
2 2
2 2 1
y x a b
− = 貫軸在 y 軸上
（y 項係數為正） 2 中心 (0, 0) 類型 上下型
焦點 (0,±c) 正焦弦長
2b2
a
貫軸頂點 (0,±a) 貫軸長 2a 共軛軸頂點 (±b, 0) 共軛軸長 2b
漸近線
2 2
2 2 0
y x a b
− = ⇒ by±ax=0
★ 雙曲線的性質 ★
雙曲線的平移
★★★ 雙曲線的性質 ★★
★★ 求雙曲線方程式 ★★
已 知 一 雙 曲 線 的 漸 近 線 為 3x+y=0 與 3x−y−12=0，且過點 (1, 6)P − ，試求此雙曲 線方程式。
設雙曲線為(3x+y)(3x−y−12)=k 點P(1, 6)− 代入得
(3 6)(3 6 12)− + − =k ⇒ k =9
∴ 方程式為(3x+y)(3x−y−12)=9
⇒ 9x2−y2−36x−12y−9=0
已 知 一 雙 曲 線 的 漸 近 線 為 2x−3y=0 與 2x+3y=0，且過點 ( 5, 2)P − ，試求此雙曲線 方程式。
設雙曲線為(2x−3 )(2y x+3 )y =k 點P −( 5, 2)代入得
( 10 6)( 10− − − +6)=k ⇒ k =64
∴ 方程式為(2x−3 )(2y x+3 )y =64
⇒ 4x2−9y2 =64
1. 設雙曲線兩焦點的坐標為F1(6, 0)、F2(6, 10)− ，貫軸長為 6，則雙曲線方程式為
2 2
( 5) ( 6)
9 16 1
y+ x−
− = 。
2. 雙曲線中心為(4, 3)− ，一貫軸頂點為 (8, 3)− ，又共軛軸長為 6，則雙曲線方程式為
2 2
( 4) ( 3)
16 9 1
x− y+
− = 。
3. 已知雙曲線方程式為4x2−9y2 =36，則其
(1)中心為 (0, 0) 。 (2)焦點為 (± 13, 0) 。 (3)貫軸頂點為 ( 3, 0)± 。 (4)共軛軸頂點為 (0, 2)± 。 (5)貫軸長為 6 。 (6)共軛軸長為 4 。 (7)正焦弦長為 8
3 。 (8)漸近線為 2x±3y=0 。 4. 已知雙曲線方程式為
2 2
( 3) ( 2) 9 16 1 y+ x−
− = ，則其
(1)中心為 (2, 3)− 。 (2)焦點為 (2, 2) (2, 8)、 − 。
(3)貫軸頂點為 (2, 0) (2, 6)、 − 。 (4)共軛軸頂點為 (6, 3) ( 2, 3)− 、− − 。 (5)貫軸長為 6 。 (6)共軛軸長為 8 。
(7)正焦弦長為 32
3 。 (8)漸近線為 3x+4y+6=0或3x−4y−18=0 。 5. 雙曲線經過( 1, 2)− ，且其漸近線為x+y=0與x−y=0，則雙曲線方程式為
2 2
3 3 1
y x
− = 。
( Ｂ ) 1. 若方程式x2+y2−2x+4y−c=0的圖形為一點 ( , )a b ，則a+2b c− = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
( Ｃ ) 2. 設圓方程式為x2+(y+1)2 =3，且點 ( 1, 2)P − − ，則下列何者正確？ (A)圓心 (0,1) (B)半徑為 3 (C)點 P 在圓內 (D)點 P 在圓外。
( Ｃ ) 3. 若圓C x: 2+y2−6x+k =0的面積為5π，則k值為 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。
( Ａ ) 4. 已知P(3,1)為圓x2+y2−4x+2y=0上的一點， PQ 為直徑，則 Q 點的坐標為 (A)(1, 3)− (B) ( 1,3)− (C) (7, 1)− (D) ( 7,1)− 。
( Ｄ ) 5. 若方程式x2+y2−kx+2y+5=0的圖形為一圓，則k的範圍為 (A)− <2 k<2 (B)− <4 k <4 (C)k >2或k < −2 (D)k >4或k < −4。
( Ｂ ) 6. 試求與x2+y2+4x−2y−3=0為同心圓，且過點 (1, 2)− 的圓方程式為 (A)x2+y2+4x−2y+13=0 (B)x2+y2+4x−2y−13=0
(C)x2+y2+4x−2y+23=0 (D)x2+y2+4x−2y−23=0。
( Ａ ) 7. 設一圓x2+y2+2x−4y−20=0，求過圓上一點 (3,5) 的切線方程式？
(A)4x+3y−27=0 (B) 3x+4y−29=0 (C) 4x−3y+3=0 (D) 3x−4y+11=0。 ( Ｃ ) 8. 已知直線3x+4y+ =1 0與圓x2+y2+2x−6y−5=0交於 A 、 B 兩點，則 AB = ？
(A) 2 (B)2 2 (C)2 11 (D)4 11。
( Ｄ ) 9. 在坐標平面上，設圓心在第二象限上的圓與兩坐標軸相切，若圓心在直線3x+5y=14 上，則此圓的半徑為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。
( Ｂ ) 10. 若圓C的方程式為x2+y2−6x−4y+4=0，則下列各方程式何者與圓C相切？
(A)3x+4y− =1 0 (B) 3x+4y−2=0 (C) 3x+4y−7=0 (D) 3x−2y−2=0。 ( Ｂ ) 11. 已知拋物線頂點(0, 2)− ，焦點為 (0, 4)− ，其方程式為 (A)x2 =8(y−2)
(B)x2 = −8(y+2) (C)(y+2)2 =8x (D)(y+2)2 = −8x。
( Ａ ) 12. 拋物線的準線為 y 軸，焦點 (4, 0) ，則其方程式為 (A)y2 =8(x−2) (B)(y+2)2 = −4x (C)(x−2)2 =8y (D)(x−2)2 = −8y。
( Ｃ ) 13. 若−2x2 = y，何者敘述錯誤？ (A)焦點 1 (0, )
8
− (B)開口朝下 (C)正焦弦長為 2 (D)對稱軸為 y 軸。
( Ｃ ) 14. 拋物線x2 = −4(y−2)的敘述，何者不真？ (A)頂點 (0,2) (B)正焦弦長 4 (C)焦點(0, 1)− (D)對稱軸方程式為x =0。
( Ｄ ) 15. 已知一拋物線的頂點為( 2, 0)− ，且過點 (2,1) ，其準線與x軸平行，則此拋物線的正
( Ｃ ) 1. 設圓C x: 2+y2+dx ey+ + f =0過 (4, 1)− 及 (2,1) 兩點且圓心在x軸上，則 d e f+ + = (A)−1 (B) 0 (C) 1 (D) 2。
( Ａ ) 2. 試求平面上通過 (0, 0)A 、 (6, 6)B 兩點，且圓心在y軸上的圓方程式為何？
(A)x2+y2−12y=0 (B)x2+y2−6x−6y=0 (C)x2 +y2−4x−8y=0 (D)x2+y2−8x−4y=0。
( Ｄ ) 3. 設a >0，若圓x2 +y2 +2ax− =1 0與直線x+y=3相切，則a =？ (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。
( Ｄ ) 4. 拋物線y= −x2−4x+8之頂點至點 (1,8) 之距離為 (A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 5。
( Ｃ ) 5. 拋物線y2−4x+10y−11=0與y軸交於A、B兩點，則 AB = (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16。
( Ａ ) 6. 直角坐標平面上，滿足| (x−2)2+(y−3)2 − (x−2)2+(y+7) |2 =8的圖形為雙曲線，
則其貫軸長為 (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 3。
( Ｂ ) 7. 承上題，則雙曲線的共軛軸長為 (A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 10。
( Ｂ ) 8. 設m、b為實數，若直線 y mx b= + 經過點 ( 1,1)− 且與圓x2+y2−6x+2y−10=0相切，
則m b+ =？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7。
( Ｄ ) 9. 設雙曲線通過點 (0, 0) ，且兩漸近線為x−y+ =1 0，x+y−3=0，則此雙曲線之方程 式為 (A)x2−y2 −4x+2y=0 (B)y2−x2+4x−2y=0 (C)y2−x2+2x−4y=0 (D)x2−y2 −2x+4y=0。
( Ｂ ) 10. 已知拋物線y= f x( )=ax2+bx c+ 通過 ( 1, 4)− 、 (1, 2) 、 (2, 4) 三點，則 (0)f 之值為 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0。
( Ｂ ) 1. 在坐標平面上，設m、b為實數，若直線 y mx b= + 與圓x2+y2−6x+4y−12=0相切 於點 ( 1,1)− ，則2m b+ =？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7。 【97 統測】
( Ａ ) 2. 在坐標平面上，圓心為點 (2, 3)− 且通過點 ( 1,5)− 的圓方程式為何？
(A)x2+y2−4x+6y−60=0 (B)x2+y2+4x−6y+8=0
(C)x2+y2−4x+6y−50=0 (D)x2+y2+4x−6y−8=0。 【97 統測】
( Ｃ ) 3. 在坐標平面上，
2 2
16 9 1
x y
− = 為雙曲線方程式，試求其兩焦點間的距離為何？ (A) 6
(B) 8 (C) 10 (D) 16。 【97 統測 C】
( Ｃ ) 4. 在坐標平面上，若圓x2+4x+y2−6y+k =0與x軸相切，則k = (A)−6 (B)−2
(C) 4 (D) 8。 【98 統測】
( Ｃ ) 5. 若雙曲線H: 9x2−4y2−72x+8y+176=0，則下列直線何者是雙曲線H的漸近線？
(A)L1: 2x+3y−14=0 (B)L2: 2x−3y+10=0 (C)L3: 3x+2y−14=0
(D)L4: 3x−2y+10=0。 【98 統測 C】
( Ｄ ) 6. 設直線L與圓：x2+y2+6x+4y=12相切於點 ( 6, 2)− ，則點 (1,1) 到直線L的距離為 何？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 【99 統測】
( Ｂ ) 7. 關於拋物線P x: =4y2+8y，下列敘述何者正確？ (A)開口向下 (B)頂點在 ( 4, 1)− − (C)準線是y = − (D)正焦弦長為 4。 1 【99 統測 C】
( Ａ ) 8. 已知一圓方程式為x2+y2 +2x+2y+ =1 0，則過點 (0,1) 且與此圓相切的直線方程式 可為下列何者？ (A)x =0 (B)y = (C)0 y = (D) 21 x−y+ =1 0。 【100 統測】
( Ｄ ) 9. 已 知 一 橢 圓 方 程 式 為
2 2
( 1) ( 1)
25 9 1
x+ y−
+ = 。 若 點 ( , )P x y 為 此 橢 圓 上 任 一 點 ， 則
2 2 2 2
(x+5) +(y−1) + (x−3) +(y−1) =？ (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10。
【100 統測 C】
( Ｂ ) 10. 已知圓的面積為9π，圓的方程式為2x2+2y2−4x+4y+k=0，則k之值為何？
(A)−7 (B)−14 (C)−21 (D)−28。 【101 統測 B】
( Ａ ) 11. 若直線L x: −y=1與圓C x: 2+y2+2x+2y+ =1 0交於A、B兩點，則線段 AB 之長為 何？ (A) 2 (B) 2
2 (C) 2
3 (D) 2
4 。 【101 統測 B】
( Ｄ ) 12. 在xy平面上，P和 Q 為拋物線y=x2上的兩點，若P和 Q 的x坐標分別是−1和 2，則 P和 Q 的距離為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 2 。 【101 統測 C】
( Ｂ ) 13. 已知拋物線的焦點為 (2, 5)− ，準線方程式為y = − ，求此拋物線的正焦弦長 (A) 4 1
(B) 8 (C) 12 (D) 16。 【102 統測】
( Ａ ) 14. 若橢圓的兩焦點為 ( 2,1)− 、(4,1) 且長軸長為 10，求其方程式 (A)