二項式定理 1. 二項式定理：
設n為正整數，則(x+y)n =C x0n n +C x1n n−1y+C x2n n−2y2+L+C xrn n r− yr+L+C ynn n
0 n
n n r r r r
C x − y
=
=
∑
(1) (x+y)n的展開式共有n +1項，依x的降冪排列，第 1 項為C x ，第 2 項為0n n C x1n n−1y，…，
第r + 項為1 C xrn n r− yr，…，第n +1項為C y 。 nn n
(2)C xrn n r− yr稱為 (x+y)n展開式中的一般項，Crn稱為二項係數。
2. 二項式定理之係數與巴斯卡定理之關係：
(x+y)0 = 1 1 1
(x+y)1= x+y 1 1 C 01 C 11 (x+y)2 = x2+2xy+y2 ⇔ 1 2 1 ⇔ 2
C 0 C 12 C 22 (x+y)3 = x3+3x y2 +3xy2+y3 1 3 3 1 C 03 C 13 C 23 C 33 (x+y)4 = x4+4x y3 +6x y2 2+4xy3+y4 1 4 6 4 1 C 04 C 14 C 24 C 34 C 44
★ 二項式定理 ★
★★★ 二項式定理 ★★★
1. 在(x −2)10的展開式中，x 項的係數為7 −960 。 2. 在(3x−2 )y 5的展開式中，x y 項的係數為2 3 −720 。 3. 在 1 8
(x ) x
− 的展開式中，x 項之係數為2 −56 。 4. 在 2 1 10
(x ) x
− 的展開式中，x 項的係數為11 −120 。 5. 在 2 6
( ) 2 x
x
− 的展開式中，常數項為 −20 。
＊ 6. 設( a2)9 x x
+ 的展開式中，常數項為−672，則a = −2 。 7. C112+C312+C125 +L+C1112之值為 2048 。
8. C212+C124 +C126 +L+C1212之值為 2047 。
9. 由 10 件不同的玩具中，至少任選 1 件，則選法有 1023 種。
＊10. C010+2C110 +22C210+L+210C1010之值為 310 。
＊題目難度較高
( Ｃ ) 1. 美國職棒大聯盟總冠軍賽採七戰四勝制，若比完第三場時，洋基隊以兩勝一敗領先 道奇隊，則往後比賽所有可能的情形中，洋基隊獲得冠軍的情形有幾種﹖ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
( Ａ ) 2. 自然數 540 的正因數個數共有 (A) 24 (B) 27 (C) 30 (D) 33 個。
( Ｄ ) 3. 將(a b c d+ + )( +e+ f)(x+y+z+u)展開，共可得 (A) 10 (B) 12 (C) 18 (D) 36 個不同的項。
( Ａ ) 4. 將「success」一字重新排列，共有多少種排法？ (A) 420 (B) 840 (C) 2520 (D) 5040。
( Ｄ ) 5. 將「 college 」字母重新排列，規定 cog 三字母必須相鄰，則全部排法有 (A) 30 (B) 60 (C) 120 (D) 180 種。
( Ｃ ) 6. 由 0、1、2、3、4、5、6 組成三位數，數字不可重複，則此三位數為 5 的倍數共有 多少個？ (A) 45 (B) 50 (C) 55 (D) 60。
( Ｂ ) 7. 設 4 男 3 女圍一圓桌而坐，則女生全部相鄰的坐法有 (A) 48 (B) 144 (C) 360 (D) 720 種。
( Ａ ) 8. 用 0、1、2、3、4、5 共六個數字，任取四個不同數字排成四位數，共有多少種排法？
(A) 300 (B) 360 (C) 600 (D) 720 種。
( Ｃ ) 9. 由 6 男 4 女中任意選出 3 人參加辯論比賽，則至少含有 1 女的選法有 (A) 20 (B) 60 (C) 100 (D) 120 種。
( Ａ ) 10. 袋中有 5 個不同的紅球、4 個不同的白球，任取 3 球，則 1 個紅球、2 個白球的取法 有幾種？ (A) 30 (B) 40 (C) 60 (D) 84。
( Ｂ ) 11. 某次考試，由 10 題選做 8 題，但規定前 3 題至少選做 2 題，則選法共有 (A) 21 (B) 42 (C) 45 (D) 120 種。
( Ｃ ) 12. 某人有 1 元硬幣 5 個，5 元硬幣 2 個，10 元硬幣 3 個，若每次至少取一個付款，共 有多少種付款方式？ (A) 63 (B) 64 (C) 71 (D) 72。
( Ｃ ) 13. 有選舉人 12 人，候選人甲、乙、丙 3 人，若以無記名投票，每人各投 1 票（無廢票 情形），則甲至少得 3 票，乙至少得 2 票的情形有 (A) 21 (B) 28 (C) 36 (D) 45 種。
( Ｂ ) 14. 將 6 顆不同的球，平均放到 3 個不同的箱子，則放法有 (A) 28 (B) 90 (C) 216 (D) 729 種。
( Ａ ) 15. 將 6 顆相同的球，全部放入 3 個不同的箱子，每個箱子至少放一顆，則放法有 (A) 10 (B) 28 (C) 90 (D) 726 種。
( Ａ ) 16. 3 1 8 (x )
x
− 之展開式中，常數項為 (A) 28 (B)−28 (C) 56 (D)−56。
( Ｂ ) 1. 用「0、0、3、3、3、6、6」七個數字排成七位數，可得幾個不同的七位數？ (A) 60 (B) 150 (C) 180 (D) 210。
( Ｄ ) 2. 由甲、乙、…等 8 人中，選出 4 人作直線排列，則必含甲且不含乙的排法有 (A) 70 (B) 210 (C) 336 (D) 480 種。
( Ｄ ) 3. 由 6 對夫妻中選出 4 人，所選 4 人均不為夫妻的情形有 (A) 15 (B) 30 (C) 120 (D) 240 種。
( Ｂ ) 4. 甲、乙、丙 3 人，恰有 2 人在同一月份出生的情形有 (A) 132 (B) 396 (C) 1452 (D) 1584 種。
( Ｂ ) 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，若甲不排首位，乙不排末位，則排法有多 少種？ (A) 480 (B) 504 (C) 600 (D) 720。
( Ｂ ) 6. 多項式(x+y+z+u)8展開式中有多少個不同的項？ (A) 70 (B) 165 (C) 330 (D) 495。
( Ｄ ) 7. 多項式(x+y+z+u)8展開式中，x y z u 項係數為 (A) 165 (B) 330 (C) 495 3 2 2 (D) 1680。
( Ｂ ) 8. 將六位數 223345 的各數字任意排列，若其中數字「2」須相鄰，但數字「3」不得相 鄰，則可得多少個不同的六位數？ (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72。
( Ｄ ) 9. 設a >0，若 2 1 6 (ax )
x
+ 展開後，常數項的係數為 240，則a = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
( Ｂ ) 10. 3 8 ( )
3 x
x
+ 展開式中，常數項為 (A) 27 (B) 70 (C) 72 (D) 81。
( Ｃ ) 1. 假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，招呼站現來 5 位要搭計程 車的旅客，試問共有幾種不同的載客方式？ (A) 122 (B) 125 (C) 240 (D) 243。
【97 統測】
( Ｃ ) 2. 三位數中，十位數字是 7 且個位數字是偶數，共有多少個？ (A) 36 (B) 40 (C) 45
(D) 50。 【97 統測】
( Ａ ) 3. 試問方程式x+y+z=5之正整數解有幾個？ (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12。
【97 統測】
( Ｄ ) 4. 若展開 2 12 6 (x )
x
+ 時將同類項合併，則常數項為何？ (A) 1 (B) 6 (C) 15 (D) 20。
【97 統測】
( Ｂ ) 5. 有一個地區街道線段如圖，現在甲君擬從點S走到 點T ；如果規定甲君必須沿著街道向東或向南行走，
則會有多少種不同路線的走法？ (A) 44 (B) 52 (C) 74 (D) 95。 【98 統測】
( Ｃ ) 6. 已知有一個以1為首項的等比數列：1， (a b+ )，(a b+ )2，(a b+ )3，…，則此數列的 第幾項之展開式中含有35a b ？4 3 (A)第6項 (B)第7項 (C)第8項 (D)第9項。
【98 統測】
( Ｄ ) 7. 求(2x+y)6的展開式中，x y 項之係數為何？ (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60。 2 4
【99 統測】
( Ｃ ) 8. 有一排椅子，共有5個座位。今有甲、乙、丙、丁、戊共5人，各選一個位子坐，但 甲、乙、丙三人必須相鄰，試問共有幾種坐法？ (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60。
【99 統測】
( Ｃ ) 9. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可供選擇，且兩人各購買一種，則兩 人購買不同漢堡的可能情形有多少種？ (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16。
【100 統測】
( Ｂ ) 10. 小明、小華與其他兩位同學負責打掃教室。若兩人一組，則小明與小華不同組的分 組結果有多少種？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【100 統測】
( Ａ ) 11. 將 mhchcm 這些英文字母任意排列，問共有幾種不同的排列方法？ (A) 90 (B) 60
(C) 45 (D) 30。 【101 統測】
( Ａ ) 12. 已知a、b、c、d為整數，若 8
2
2 3
( )
3x 4y
+ 展開式中，x y−2 −12項的係數為 2 3 5 7a b c d， 則a b c− − +d之值為何？ (A) 11− (B)−5 (C) 1 (D) 10。 【101 統測】
( Ｃ ) 13. 求正二十九邊形的對角線共有幾條？ (A) 337 (B) 357 (C) 377 (D) 397。
【102 統測】
( Ｂ ) 14. 新生盃歌唱比賽，決賽有三位，其名次由獲得「明日之星」獎章數多寡決定。而「明 日之星」獎章則由 10 位評審依其評定頒予，每位評審只有一枚獎章，且規定獎章一 定要頒出。請問三位參賽者獲得「明日之星」獎章的數目，有多少種不同的分配情 形？ (A) 30 (B) 66 (C) 120 (D)3 。 10 【102 統測】
( Ａ ) 15. 設x ≥ −1且 y ≥ − ，求共有幾組整數解 ( , )2 x y 滿足方程式x+y=2014？ (A) 2018 (B) 2019 (C) 2020 (D) 2021。 【103 統測】
( Ｂ ) 16. 求正整數a =2 3 55⋅ 7⋅ 11的所有正因數中，8 的倍數有幾個？ (A) 576 (B) 288
(C) 144 (D) 96。 【103 統測】
( Ｄ ) 17. 甲、乙、丙三人至速食店用餐。若該速食店僅提供三種套餐，且甲、乙、丙每人皆 點一套餐，則此三人會有多少種點餐方式？ (A) 6 (B) 9 (C) 18 (D) 27。
【104 統測】
( Ｄ ) 18. 某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個值班時段，而每一值班時段皆需二人值班。
若某天要安排六名員工值班且每人恰值班一次，則共有多少種排班方式？ (A) 45 (B) 60 (C) 75 (D) 90。 【104 統測】
( Ｄ ) 19. 有一樂團計畫至甲、乙兩國巡迴表演。甲國有三個城市要去表演，乙國有四個城市 要去表演。若先完成甲國的演出之後，再到乙國完成演出，則巡迴路線的規劃有多 少種可能？ (A) 7 (B) 12 (C) 36 (D) 144。 【105 統測】
( Ｂ ) 20. 從{1,3,5,7,9}中選出三個相異數字以形成一個三位數，則所有可能形成的三位數的個 數為何？ (A) 20 (B) 60 (C) 90 (D) 120。 【105 統測】
( Ｃ ) 21. 某自助餐店提供 80 元的便當，便當中除了白米飯之外，還包含一種主菜以及三種不 同的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、魚排 3 種，另有 8 種不同的配菜，則 共可搭配出多少種不同組合的 80 元便當？ (A) 59 (B) 112 (C) 168 (D) 210。
【106 統測】
( Ｂ ) 22. 某飲料店有 5 位假日工讀生，工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與晚班等 4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班，如果規定同一人不可以連續排班，至少 要隔一個時段上班，則共有幾種排班方式？ (A) 81 (B) 270 (C) 900 (D) 1000。
【106 統測】
( Ｂ ) 23. 某青年創業開餐廳，擬設計一份 5 種菜色的菜單。若在原始構思的 7 種菜色中有 2 種為必選，則有幾種不同菜單？ (A) 6 (B) 10 (C) 21 (D) 35。 【107 統測】
( Ａ ) 24. 某人想在自家後院牆邊的長條空地種植一列菜苗，共有高麗菜 5 株，萵苣 4 株，菠 菜 4 株。若他決定在每兩株高麗菜之間任意種植萵苣或菠菜共兩株，則種植的排列 方法有幾種？ (A) !
4! 4!
8 (B)28 (C) 13!
4! 4! 5! (D)5! 4! 4!。 【107 統測】