3-3 Step-Index fiber

在 Step-Index fiber 中，本節數值分析分為兩層結構及三層結構；並在 兩種結構中進一步分析m≠0（電場磁場耦合）及m=0（TE 或 TM）兩種傳 播情況。

圖（3.3-1）index profile of 2-layer and 3-layer step-index fiber

A.兩層結構

（1）m≠0

圖（3.3-2）中，光纖中為single mode，設定波長

λ =

1.55 m

µ

，core的半徑

1 5 m

r = µ

，第一層折射率

n

₁ =1.45，第二層折射率

n

2 =

n

1

(

1 0.5%−

)

，電磁場互 相耦合，fundamental mode，mode =1；四個分量E_r、H_r、E_φ、H_φ分別乘上，

0.012/8、eta1*0.018/8、0.015/8、eta1*0.01/8，其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε ；只有E_r會

在介面處產生場形不連續。

圖（3.3-2）中E_r、D_r分別乘上 1/500、4.e10/500 n1

n2

n3 n1

n2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Normalized field intensity

Er

Normalized field intensity

Er

D_r

4.9 4.95 5 5.05 5.1 5.15 0.2

0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34

Two fields of EH(HE) of step-index fiber (2L) 1^{n d} / 1 mode

r (µM )

Er Dr

圖（3.3-4）2L step-index fiber，m = 1，單模，E D_r, _r對r之基模場形放大圖（1^st/1）

設定波長

λ =

1.55 m

µ

，core 的半徑

r

₁

=

5 m

µ

，第一層折射率

n

₁ =1.45， 第二層折射率

ⁿ

^{2 =}

ⁿ

¹

(

^{1 3%−}

)

，光纖中為 multimode，mode numbers 為 5；

mode 1= ，圖（3.3-5）為 fundamental mode，圖（3.3-6）及圖（3.3-7）為mode=2 及mode=5，為 high order mode。

表（3.3-1）2L step-index fiber multimode 的

β 值

表(3.3-1)為三個傳撥模態的β^值

β1 β2 β5

β 5.8626014*1.e6 5.809187*1.e6 5.702097*1.e6

圖（3.3-5）中，四個分量E_r、H_r、E_φ、H_φ 分別乘上，0.012/4、eta1* 0.018/4、

0.015/4、eta1*0.008/4，其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε ；只有E_r會在介面處產生場形不

連續。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

The fields of EH(HE) of step-index fiber (2L) 1^{s t} / 5 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Er Hr E_φ Hφ

圖（3.3-5）2L step-index fiber，m = 1 ，多模，E H E H_r, _r, _φ, _φ對r之高模場形（1^st / 5）

圖（3.3-6）中，四個分量E_r、H_r、E_φ、H_φ分別乘上，0.8/40、eta1* 0.9/40、

0.015/4、eta1*1.1/40，其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε ；只有E_r會在介面處產生場形不連 續。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

The fields of EH(HE) of step-index fiber (2L) 2^nd / 5 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Er Hr E_φ Hφ

圖（3.3-6）2L step-index fiber，m = 1 ，多模，E H E H_r, _r, _φ, _φ對r之高模場形（2^nd / 5）

圖（3.3-7）中，四個分量E_r、H_r、E_φ、H_φ分別乘上，0.012/400、eta1*

0.015/400、0.018/400、eta1*0.08/400，其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε ；只有E_r會在介面

處產生場形不連續。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

The fields of EH(HE) of step-index fiber (2L) 5^th / 5 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Er Hr E_φ Hφ

圖（3.3-7）2L step-index fiber，m = 1，多模，E H E H_r, _r, _φ, _φ對r之高模場形（5^th / 5）

（2）

m =

0

分為 TM 及 TE 的 case。

設定波長

λ =

1.55 m

µ

，core 的半徑

r

₁

=

5 m

µ

，第一層折射率

n

₁ =1.45， 第二層折射率

ⁿ

^{2 =}

ⁿ

¹

(

^{1 3%−}

)

，mode numbers 為 2，mode 1= 是基模；mode=2， 是高模。

圖（3.3-8）及圖（3.3-9），為 TM 的兩個場形圖。圖（3.3-8）中三個分 量E_z、H_φ、E_r中，分別乘上 1.e14、eta1*1.e14、0.7*1.e14。圖（3.3-9）中 三個分量E_z、H_φ、E_r中，分別乘上 5.e13、eta1*5.e13、0.7*5.e13 ，其中，

1 µ

= 。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Normalized field intensity

Ez

Normalized field intensity

Ez

圖（3.3-10）及圖（3.3-11），為 TE 的兩個場形圖。

圖（3.3-10）中三個分量H_z、E_φ、H_r中，分別乘上 eta1*1.e8/30、1.e8/30、

0.9*1.e8/30。圖（3.3-11）中三個分量H_z、E_φ、H_r中，分別乘上 eta1*1.e8/12、

1.e8/12、0.9*1.e8/12，其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε 。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

The fields of TE of step-index fiber (2L) 1^st / 2 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Hz E_φ Hr

圖（3.3-10）2L step-index fiber，TE，多模，H H E_z, _r, _φ對 r 之高模場形（1^st / 2）

n1 n2

β

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

The fields of TE of step-index fiber (2L) 2^nd / 2 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Hz E_φ Hr

圖（3.3-11）2L step-index fiber，TE，多模，H H E_z, _r, _φ對 r 之高模場形（2^nd / 2）

B.三層結構

（1）^m≠⁰

在三層結構的光纖波導中折射率曲線如圖（3.1-1），傳播常數β有兩種 情況：

n k

_{2 0}

< β < n k

_{1 0}及

n k

_{3 0}

< β < n k

_{2 0}。

設定波長

λ =

1.55 m

µ

，core 的半徑

r

₁

=

2 m

µ

及 cladding 的半徑

2 4 m

r = µ

，第一層折射率

n

₁ =1.45，第二層折射率

ⁿ

^{2 =}

ⁿ

¹

(

^{1 0.1%−}

)

^，第三層 折射率

ⁿ

^{3 =}

ⁿ

¹

(

^{1 0.2%−}

)

，其中 mode numbers 為 1，圖（3.3-12），mode =1為 fundamental mode；對四個分量E_r、H_r、E_φ、H_φ分別乘上係數 0.9/50、1/50、

0.7/50、0.4/50，以方便分辨各個場形。

圖（3.3-13）中，藉由檢驗E_r、D_r在介面處的連續與否來驗證數值分 析是否正確。圖（3.3-14）為圖（3.3-13）的放大圖。

0 2 4 6 8 10 12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

The fields of EH(HE) of step-index fiber (3L) 1^{s t} / 1 mode

r (_µm)

Normalized field intensity

Er H_r E_φ H_φ

圖（3.3-12）3L step-index fiber，m = 1，單模，E H E H_r, _r, _φ, _φ對 r 之基模場形

n1 n2

n3

β

0 2 4 6 8 10 12

Normalized field intensity

Er

Normalized field intensity

Er

接下來，則是我們改變 core 的半徑

r

₁

=

2 m

µ

及 cladding 的半徑

2 4 m

r = µ

，第二層折射率

ⁿ

^{2 =}

ⁿ

¹

(

^{1 1%−}

)

^{，第三層折射率}

ⁿ

^{3 =}

ⁿ

¹

(

^{1 3%−}

)

^的 值，其他的參數維持不變。如此可讓 guiding mode 的數目增加，其中 mode numbers 為 3。圖（3.3-15）為mode 1= ，fundamental mode，圖（3.3-16）

為mode=2，high order mode。

Normalized field intensity

Er

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Normalized field intensity

Er

TM 中，modes=2，圖（3.3-17）為mode =1，fundamental mode；圖（3.3-18）

為mode=2是為 high order mode。

mode=2對三個分量E_z、E_r、H_φ分別乘上係數 1、0.7、eta1，以方便分辨各

個場形。其中， ⁰

1 0

etal 1 n

µ

= ε

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

The fields of TM of step-index fiber (3L) ( 1^st / 2 mode )

r (_µm)

Normalized field intensity

Ez H_φ Er

圖（3.3-17）3L step-index fiber，TM，多模，E E H_z, _r, _φ對 r 之高模場形（1^st / 2）

n1 n2

n3

β

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Normalized field intensity

Ez H_φ Er

圖（3.3-18）3L step-index fiber，TM，多模，E E H_z, _r, _φ對 r 之高模場形（2^nd / 2）

TE 中，modes=2，圖（3.3-19）為mode =1，fundamental mode；圖（3.3-20）

為mode=2是為 high order mode，；三個分量H_z、E_φ、H_r，，我們已對磁

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Normalized field intensity

Hz

Normalized field intensity

Hz

在文檔中 圓柱座標多層介質之模態分析 (頁 64-80)