※雙曲線的定義
設 F1 與 F2 為平面上相異兩定點﹐若定值 2a 滿足 0＜2a＜ ¯F1F2﹐則在平面上滿足
│ ¯PF1－ ¯PF2│＝2a
的所有點 P 所形成的圖形稱為雙曲線﹐其中 F1 與 F2 稱為此雙曲線的兩個焦點。
例題 1--- 如圖所示﹐ F1﹐F2 為圓心的兩組同心圓﹐各組六個同心圓的半徑分別為 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐
且 ¯F1F2＝6﹐如果有一雙曲線
以 F
1﹐F2 為焦點﹐且此雙曲線 上的點到 F
1 與 F2 的距離差為 2﹐試利用同心圓的交點找出
上的點﹐並利用平滑的曲線連接起來。
---隨堂練習--- 承例題 1﹐若雙曲線
上的點到 F
1 與 F2的距離差為 3﹐試利用下圖同心圓的交點找出雙 曲線 上的點﹐並利用平滑的曲線連接起來。
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※雙曲線的各要素
中心：兩焦點連線段 F1F2 的中點 O 稱為中心﹐
焦距： ¯F1F2＝2c。
頂點：通過兩焦點的直線與雙曲線有兩個交點 A﹐B 稱為雙曲線的頂點 貫軸：此兩頂點的連線段 AB 稱為貫軸。
雙曲線的定義得： │ ¯¯AF2－ ¯¯AF1│＝2a
共軛軸：線段 CD 稱為雙曲線的共軛軸。¯¯CD＝2b 其中 b＝ c2－a2（即滿足 c2＝a2＋b2）
例題 2--- 已知一雙曲線的貫軸長為 8﹐兩焦點間的距離為 10﹐試求此雙曲線的共軛軸長。
--- 解 由題意知 2a＝8﹐2c＝10﹐所以 a＝4﹐c＝5﹐因此
b＝ c
2－a2 ＝ 52－42＝3﹐故共軛軸長 2b＝6。
隨堂練習--- 已知一雙曲線的貫軸長為 6﹐共軛軸長為 8﹐試求此雙曲線兩焦點間的距離。
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※雙曲線的標準式
(一) 中心在原點﹐焦點在 x 軸上的雙曲線：x2 a2－y2
b2＝1 (二) 中心在原點﹐焦點在 y 軸上的雙曲線：y2
a2－x2 b2＝1
a、b 差別說明
雙曲線的“ a ”永遠代表貫軸長之半﹐“ b ”永遠代表共軛軸長之半，a、b 無大小關係。
橢圓中的 a﹐b 分別代表長﹑短軸長之半﹐必有 a＞b。
例題 3--- (1) 已知一雙曲線的兩焦點為（3，0）﹐（－3，0）﹐貫軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式。
(2) 已知一雙曲線的兩焦點為（0，4）﹐（0，－4）﹐共軛軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式。
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隨堂練習--- (1) 已知一雙曲線的兩焦點為（4，0）﹐（－4，0）﹐共軛軸長為 6﹐試求此雙曲線的方程式。
(2) 已知一雙曲線的兩焦點為（0，5）﹐（0，－5）﹐貫軸長為 8﹐試求此雙曲線的方程式。
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例題 4--- (1) 已知一雙曲線的方程式為 9x2－16y2＝144﹐試求其貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂
點坐標。
(2) 已知一雙曲線的方程式為 9x2－4y2＝－36﹐試求其貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂 點坐標。
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隨堂練習--- (1) 求雙曲線 x2
25－y2
9＝1 的貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點坐標。
(2) 求雙曲線－x2 9＋y2
16＝1 的貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點坐標。
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※雙曲線的漸近線
當點 P 沿著雙曲線向遠處移動時﹐我們考慮點 P 到某一條直線 L 的距離的變化情形﹐如 果此距離愈來愈接近 0﹐我們就稱這條直線 L 是雙曲線的漸近線﹐如圖所示。
※雙曲線的漸近線
隨堂練習--- 試求雙曲線－x2
4＋y2
9＝1 的兩條漸近線方程式。
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※共軛雙曲線
有共同中心的兩雙曲線﹐若其中一個雙曲線的貫軸及共軛軸分別為另一個雙曲線的共軛軸
及貫軸﹐則此兩雙曲線互稱為共軛雙曲線。例如雙曲線 x2
4－y2
9＝1 與－x2 4＋y2
9＝1 就是互為 共軛雙曲線﹐它們有相同的漸近線。
隨堂練習--- 試求雙曲線 x2
25－y2
9＝1 的共軛雙曲線。
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※等軸雙曲線
如果雙曲線的貫軸與共軛軸的長度相等﹐我們稱之為等軸雙曲線。
隨堂練習--- 下面四個雙曲線中﹐何者是等軸雙曲線？
(A) x2－y2＝1 (B) 4x2－3y2＝1 (C)－5x2＋5y2＝15 (D)－3x2＋3y2＝－12
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雙曲線的平移 (1) 將雙曲線x2
a2－y2
b2＝1 平移（h，k）後﹐可得方程式為（x－h）2
a2 －（y－k）2 b2 ＝1。
(2) 將雙曲線 －x2 b2＋y2
a2＝1 平移（h，k）後﹐可得方程式為－（x－h）2
b2 ＋（y－k）2 a2 ＝1。
例題 6 --- 已知一雙曲線的兩焦點為（－4，2）﹐（2，2）﹐貫軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式。
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隨堂練習--- 已知一雙曲線的兩焦點為（1，7）﹐（1，－3）﹐貫軸長為 8﹐試求此雙曲線的方程式。
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※雙曲線的伸縮