§ 9 參數方程式
求參數曲線上某點 (x, y) 之切線斜率時, 我們常利用公式 dy
dx = dy dxdt dt .
此一公式顯然必須在 「分母不為 0」 之情況下方可使用, 一旦遇到分母 dx dt t0
為 0 , 則需視
t→tlim0
dy dx
是否為有限或 ±∞ 而定, 建議讀者參閱拙著 《 微積分學．電子書 2.1 版》 第三章 § 3.13.
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♠ (9-1) 設曲線
x = t3− t2− t + 5,
y = 2t3− 9t2+ 12t − 1, t ∈ R , 試問當 t = 1 及t = −1
3 時, 該曲線有無切線? 若有則求之. 分析 題目中二指定點皆使 dy
dx = 0 , 處理時應當十分小心. 解 由於
dx
dt = 3t2− 2t − 1 = (3t + 1)(t − 1) , dy
dt = 6t2− 18t + 12 = 6(t − 1)(t − 2) . 當t 6∈ {1, −1/3} 時,
dy
dx = dy/dt
dx/dt = 6(t − 2) 3t + 1 . 1◦ 當 t = 1時, 過點 (x, y) = (4, 4) , 而
limt→1
dy dx = lim
t→1
6(t − 2)
3t + 1 = −3 2, 故切線為y − 4 = − 3
2(x − 4).
2◦ 當 t = −1
3 時, 過點 (x, y) =140
27 , −164 27
, 而
t→−1/3lim
dy dx
= lim
t→−1/3
6(t − 2) 3t + 1
= +∞, 是以知參數曲線在點 140
27 , −164 27
有垂直切線 x = 140 27. 為使讀者更了解此一參數曲線, 我們將其圖形繪製於下 :
9 參數方程式 71
圖9–1
♠ (9-2) 設
x = 4 cos t,
y = t2, t ∈ [0, 2π] , 試求上述參數方程式在點t之導數 dy
dx, 並求t = 0 時此曲線之切線方程式.
分析 特別留意 dx
dt = 0 時之t.
解 1◦ 由於
dx
dt = −4 sin t, dy
dt = 2t,
, 是以當 t 6∈ {0, π, 2π}時, dy
dx = − t 2 sin t ; 2◦ 當 t = π 時, 由於
limt→π
dy dx = limt→π
−
t 2 sin t
= +∞, 知 dy
dx 不存在, 同理 t = 2π 時, 亦不存在. 3◦ 當 t = 0時,
dy dx
t=0= lim
t→0+
dy
dx = lim
t→0+− t
2 sin t = −1 2; 而切點為(x, y) = (4, 0) , 故此曲線之切線方程式為 y = −1
2(x − 4).
♠ (9-3) 設
x = t2− 3t + 4,
y = t − 1, 試求 d
3y
dx3 . 分析 大家都知道 dy
dx = dy/dt
dx/dt, 如果 d
2y
dx2 可以解決, 那麼 d
3y
dx3 也差不多可以解決.
9 參數方程式 72 解 由
dx
dt = 2t − 3, dy
dt = 1, 得
dy
dx = dy/dt
dx/dt = 1 2t − 3; 其次, 因
d2y dx2 = d
dx(dy dx) =
d dt(dy
dx) dx
dt
= −2(2t − 3)−2
2t − 3 = −2(2t − 3)−3.
最後,
d3y dx3 = d
dx(d2y dx2) =
d dt(d2y
dx2) dx
dt
= 12(2t − 3)−4
2t − 3 = 12(2t − 3)−5. (∗)
顯然, 當 t = 3
2 時, dy dx, d2y
dx2, d3y
dx3 皆不存在, 是以當 t ∈ R \ {3/2}時, (∗) 方為 有效.
♠ (9-4) 設
x = sin t,
y = cos 4t, t ∈ [0, π/2].
(a) 試求上述參數方程式在點t 之導數 dy dx.
(b) 設此曲線與 X 軸相交之點為切點, 試求這些切線.
分析 (a) 題應注意分母為 0 之問題, 至於 (b) 題, 先由 y = 0 ( X 軸) 解出 t 值, 再找 到交點, 利用點斜式即可找到切線.
解 (a) 由於 dx
dt = cos t , dy
dt = −4 sin 4t , 1◦ 當 t ∈ [0, π/2) ,
dy
dx = dy/dt
dx/dt = −4 sin 4t
cos t = −8 sin 2t cos 2t
cos t = −16 sin t cos 2t.
2◦ 當 t = π 2 , dy
dx 存在, 因為 lim
t→π/2
dy
dx = lim
t→π/2−16 sin t cos 2t = 16 .
是以∀ t ∈ [0, π/2] , dy dx
t= −16 sin t cos 2t.
(b) 由於
9 參數方程式 73
曲線和 X 軸相交 ⇔ y = 0
⇔ cos 4t = 0
⇔ 4t ∈ {π/2, 3π/2}
⇔ t ∈ {π/8, 3π/8}
⇒ x = sinπ
8 或 sin 3π 8 . 此時斜率 (利用 (a) 之結果) 分別為
− 16 sinπ
8 · cosπ
4 = −8√
2 sinπ 8, 及
− 16 sin3π
8 · cos 3π 4 = 8√
2 sin3π 8 . 故二切線分別為:
y = −8√
2 sinπ 8 ·
x − sinπ 8
, y = 8√
2 sin3π 8 ·
x − sin3π 8
.
圖 9–3 注意 : 切線以虛線表示.
9 參數方程式 74
♠ (9-5) 試求參數曲線
x = 6 t + 1,
y = t3− 2, t ∈ R , 上之點P 之坐標以使過其上之切線與直線 2x + 5y − 8 = 0 垂直, 並求切線方程式.
分析 先由題意找到切線之斜率, 再求得參數 t 之值, 則可求得切點之坐標, 切線方程式 已在掌握之中.
解 由於 dx
dt = 6 , dy
dt = 3t2. 故 dy
dx = dy/dt dx/dt = 3t2
6 = t2
2 , ∀x ∈ R, 因切線與直線 2x + 5y − 8 = 0 垂直, 故切線斜率應為 5
2, 應有 t2
2 = 5
2 ⇔ t2 = 5 ⇔ t = ±51/2, 1◦ 當 t = 51/2 時, 切點為 (6 · 51/2+ 1, 53/2− 2) , 故切線為
y − 53/2+ 2 = 5
2(x − 6 · 51/2− 1).
2◦ 當 t = −51/2 時, 切點為 (−6 · 51/2+ 1, −53/2− 2) , 故切線為 y + 53/2+ 2 = 5
2(x + 6 · 51/2− 1).
♠ (9-6) 橢圓 ( x(t) = 3 cos(t),
y(t) = 2 sin(t), t ∈ [0, 2π] , 予以旋轉 π
6 (= 30◦) , 試寫出新橢圓之參數 方程式.
分析 參數圖形旋轉對於對於電腦圖形用途甚廣, 只要會使用其中之一, 其餘問題即可迎刃 而解.
解 只需令θ = π
6 , 由轉軸公式知, 旋轉後之點 (x1(t), y1(t)) 如下: ( x1(t) = cos(θ) · x(t) − sin(θ) · y(t),
y1(t) = sin(θ) · x(t) + cos(θ) · y(t), 亦即
x1(t) = cos(θ) · 3 cos(t) − sin(θ) · 2 sin(t)
= 3√ 3
2 · cos(t) − sin(t),
y1(t) = sin(θ) · 3 cos(t) + cos(θ) · 2 sin(t)
= 3
2 · cos(t) +√
3 · sin(t).
9 參數方程式 75
9 參數方程式 76 解 在拙著 《 微積分學．電子書 2.1 版》 第三章中業已說明:
所謂參數方程式 (parametric equations) ( x = f(t),
y = g(t), t ∈ S, (S 為 R 之一非空子集).
乃向量函數 F : S → R2 : F(t) = (f (t), g(t)) 之簡寫, 內 f 與 g 為定義於集合 S 上之二實值函數, 我們將先 界定二參數方程, 之後再予以合併.
0 1
-X
−1 0 1
Y6
圖 9–3
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .
若令
x = t,
y = t − 1, t ∈ [0, 1] , 消去 t 後得得 y = x − 1 及路徑之第一部分. 若令
x = 2 − t,
y = t − 1, t ∈ [1, 2] , 消去 t 後得 y = 1 − x及路徑之第二部分. 故知此路徑為
F : [0, 2] → R2 : F(t) =( (t, t − 1), 若 t ∈ [0, 1], (2 − t, t − 1), 若 t ∈ (1, 2].
若以參數方程式表之, 則為 :
x =( t, 若t ∈ [0, 1], 2 − t, 若t ∈ (1, 2].
y = t − 1, t ∈ [0, 2] , (看上去有點不太自然. )
♠ (9-9) 設有一半徑為 a 之圓, 於 X 軸上向右滾動, 則圓上一固定點 P 之軌跡稱為一擺
線. 已知其軌跡為
( x(t) = a(t − sin t),
y(t) = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π]
(參見拙著 《 微積分學．電子書 2.1 版》 第三章 § 3.13 ) , 若 t 表時間, (x(t), y(t)) 表 P 之位置向量.
(a) 試求 P 之速度向量 ;
(b) 試問t 為何值 P 之最大及最小速率 . 分析 速度向量乃 dx(t)
dt , dy(t) dt
, 速率則為速度向量之絕對值 r
dx(t) dt
2
+dy(t) dt
2
.
9 參數方程式 77
圖9–4
解 (a) 由於
dx(t)
dt = a(1 − cos t), dy(t)
dt = a sin t,
是以P 之速度向量為
v(t) = a(1 − cos t), a sin t.
(b) P 之速率為
|v(t)| = q
a2(1 − cos t)2+ a2sin2t
= q
a2(1 − 2 cos t + cos2t + sin2t)
=pa2(2 − 2 cos t) = r
4a2sin2 t 2
= 2a
sin t 2 .
顯然當 t = π 時, P 速率最快, t = 0 或2π 時, P 速率最慢.