3.2 The Chip-Firing Game
3.2.3 Baker-Norine 的搬硬幣遊戲
3.2.3 Baker-Norine 的搬硬幣遊戲
2007 Baker-Norine 的遊戲
硬幣 數 數
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
熱帶幾何的因子理論
4.1 熱帶幾何中的因子
圖的因子理論 用 熱帶幾何 熱帶曲線中的 線
與線 的圖形 “圖” 的 用 的
熱帶曲線 的因子 論 關 本文 論的熱帶幾何因子
理論 “ 線 的熱帶圖形 Γ”
範例 4.1.1. 圖 2.7 本 熱帶曲線圖形 ( 線)
v..0
線 的 熱帶曲線圖形 Γ
v..0
範例 4.1.2. 圖 2.8 熱帶曲線中 形式
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
..
v1
. v2
. v3
. v4
線 的 熱帶曲線
..
v1
. v2
. v3
. v4
範例 4.1.3. 熱帶曲線 線
v...2 v3
.
v1
. v4
. v2
.
v3
.
v1
. v4
範例 4.1.4. ( 熱帶曲線 線 )
‧
定義 4.1.7. 的熱帶因子 (discrete tropical divisor)
熱帶圖形 Γ 中的 係數 線
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
..
v1
. v2
. v3
. v4
圖 4.1: 二次熱帶曲線 Γ
圖形的因子中 介紹 用
熱帶因子 的因子
係數的 數 f : V (Γ) → Z
M(Γ) 的 ∆ : M(Γ) → Div(Γ) f 圖形 的因子
∆(f )
定義 4.1.9. 熱帶因子的 (Laplacian operator )
∆ :M(Γ) → Div(Γ) f ∈ M(Γ) ∆ 的因子
∆(f ) = ∑
v∈V (Γ)
∆v(f )· v
中
∆v(f ) =val(v)· f(v) − ∑
e=wv∈Ev(Γ)
f (w)
= ∑
e=wv∈Ev(Γ)
(f (v)− f(w))
範例 4.1.10. 圖 4.1的 熱帶曲線 Γ
f (v1) = 3, f (v2) = 1, f (v3) = 0, f (v4) = −2 的 數 f 因子
圖 4.2 因子 的係數
∆v1(f ) = (3− 1) = 2
∆v2(f ) = (1− 3) + (1 − 0) = −1
∆v3(f ) = (0− 1) + (0 − (−2)) = 1
∆v (f ) = (−2 − 0) = −2
‧
‧
定義 4.1.15. 熱帶因子的等價 (equivalence)
D, E 熱帶曲線 的 因子 數 f D− E = ∆(f)
D, E 因子等價 D∼ E
D, E 因子等價 數 f D− E = ∆(f)
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
範例 4.1.16. 圖 4.1的 熱帶曲線 因子 D, E
D = −1v1+ 0v2+ 1v3+ 2v4, E = 1v1− 1v2 + 2v3 + 0v4,
⇒ E − D = 2v1− 1v2 + 1v3 − 2v4
4.1.12 f (v1) = 3, f (v2) = 1, f (v3) = 0, f (v4) = −2 的 數
f E− D = ∆(f) D 與 E 等價
性質 4.1.17. D1, D2, E1, E2 熱帶曲線 的因子
D1 與 E1 等價 D2 與 E2 等價 因子 D1+ D2 與因子 E1+ E2 等價
D1 ∼ E1, D2 ∼ E2 ⇒ (D1+ D2)∼ (E1+ E2)
定理 4.1.18. 熱帶曲線 的 因子等價 因子的係數 等
D ∼ E ⇒ deg(D) = deg(E)
證明. 因 因子 D, E 等價 數 f : V (Γ)→ Z D− E = ∆(f) ⇒ D = E + ∆(f)
deg(D) = deg(E + ∆(f )) = deg(E) + deg(∆(f )) 理 4.1.14 deg(∆(f )) = 0 deg(D) = deg(E)
4.2 搬硬幣遊戲與因子等價的關係
介紹 chip-firing game 的 用 Baker-Norine
的搬硬幣遊戲 熱帶曲線的因子 圖形 搬 硬
幣 ( 硬幣) 搬 硬幣 ( 硬幣)
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
範例 4.2.2. 4.2.1 因子 D0 搬硬幣遊戲 因子 D4
D4− D0 =−1v1+ 4v2 − 2v3− 1v4
4.1.12
f (v1) = 1 , f (v2) = 2 , f (v3) = −1 , f(v4) = −2
∆(f ) = −1v1+ 4v2− 2v3− 1v4 因 D0 與 D4 等價
附註 4.2.3. 數 f
f (v1) = a , f (v2) = b , f (v3) = c , f (v4) = d a = d + 3, b = d + 4, c = d + 1
∆(f ) =−1v1+ 4v2−2v3−1v4 f (v1) = 3 , f (v2) = 4 , f (v3) = 1 , f (v4) = 0
搬 搬 硬幣 “ 1 ” “搬 硬幣
” “ −1 ” “搬 硬幣 ”
範例 4.2.4. ( D, E 因子等價 D 搬硬幣 E)
曲線 Γ 的 因子
D = −1v1+ 0v2+ 1v3+ 2v4, E = 1v1− 1v2+ 2v3+ 0v4,
4.1.16 D, E 等價 利用搬硬幣遊戲 因子 D 因子 E
v1 3 , v2 1 , v3 2 , v4 −2
v1 5 , v2 3 , v3 2 , v4 0
( 4.2.8 何找 的 )
‧
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
範例 4.2.7. 熱帶曲線 Γ D = 2v1+ 3v2− 4v3+ 1v4
v1 中 −2 (搬 硬幣 2 )
v2 中 −1 (搬 硬幣 1 )
v3 中 3 (搬 硬幣 3 )
v4 中 3 (搬 硬幣 3 )
E = 1v1+ 0v2+ 0v3+ 1v4
硬幣 形 E− D
∆(f ) =−2 · ∆(f1)− 1 · ∆(f2) + 3· ∆(f3) + 3· ∆(f4), 中
f =−2f1− f2+ 3f3+ 3f4. D 與 E 等價
等價的因子 D, E ∆(f ) 利用 4.1.12 找 數
f 中 f f1, f2, f3, f4 的線 何 利用搬 搬
硬幣幾 因子 D 因子 E
範例 4.2.8. ( 4.2.4)
因 f (v1) = 3, f (v2) = 1, f (v3) = 0, f (v4) = −2 的 數 f E− D = ∆(f) = 2v1 − 1v2+ 1v3 − 2v4 D 與 E 等價 數 f
因子 D 因子 E
v1 中 3 v2 中 1
v3 中 0 v4 中 −2
利 用 4.1.12 找 數 f ∆(f ) =
2v1− 1v2+ 1v3− 2v4 f (v1) = 5, f (v2) = 3, f (v3) = 2, f (v4) = 0 的
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
v1 中 5 v2 中 4
v3 中 2 v4 中 0
範例 4.2.9. 熱帶曲線的 因子
D = 1v1− 1v2+ 0v3+ 1v4 E = 2v1+ 0v2− 3v3+ 2v4
⇒ E − D = 1v1+ 1v2− 3v3+ 1v4
因 f (v1) = 3, f (v2) = 2, f (v3) = 0, f (v4) = 1 的 數 f ∆(f ) = 1v1+ 1v2− 3v3+ 1v4 D 與 E 等價 D 搬硬幣 E
v1 中 3 v2 中 2
v3 中 0 v4 中 1
子的 論 的 理
定理 4.2.10. D, E 熱帶曲線 Γ 的 熱帶因子, D, E 代 因
子 D, E 搬硬幣遊戲 的 因子 D 與 E 等價, D 搬硬幣遊
戲 E
證明. 數 代 搬硬幣的
vi ( vi 中 係數 1) 用 數
fi(v) =
1, v = vi
0, v ̸= vi
數 fi 的因子 的 ∆(fi) 搬硬幣遊戲中
係數 的 形 圖形中 n v1, v2, ..., vn 搬硬幣的
多 代 的 數 f1, f2, f3, ..., fn 的線 係數 的
形 ∆(f1), ∆(f2), ∆(f3), ..., ∆(fn)的線 ∆(f ) 因 多 的因子 E = D + ∆(f ) 因子 D 與 E 等價
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
因子 D 與 E 等價 數 f E− D = ∆(f)
E = D + ∆(f ) 中 ∆(f ) 找 的 數 f 的因子 數 f
fi 的線 fi 的係數 何 搬硬幣遊戲
因子 D 因子 E
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
用 秩的計算
5.1 利用搬硬幣遊戲找因子的秩
定義 5.1.1. 因子的線 (linear system )
熱帶曲線 Γ 的因子 D 與 D 等價的 因子 ( 因子)
的 因子 D 的 “線 ” |D|
|D| = {E ∈ Div(Γ)|E ≥ 0, E ∼ D}
|D| 利用搬硬幣遊戲 係數 數的 因子
E 因子 D 多 因子 用 因子 |D| 的
(the dimension of the linear system|D|) 多 因子的 因子的秩
定義 5.1.2. 因子的秩 (rank)
熱帶曲線 Γ 的因子 D 因子 D 的 “秩”rank(D) r(D)
• |D| r(D) =−1
• |D|
r(D) = max{n | 數 n的 因子E, |D − E| ̸= ϕ}
r(D) = min{m − 1 | 數 m的 因子E, |D − E| = ϕ}
‧
‧
‧
定義 5.2.1. 因子 (canonnical divisor)
熱帶曲線 Γ 利用 的 數 因子 K
K = ∑
v∈V (Γ)
(val(v)− 2) · v,
因子 K 因子
‧
定理 5.2.4. 熱帶黎曼 -羅赫理論 (Tropical Riemann-Roch Theory)
熱帶曲線 Γ g K Γ 的 因子 Γ 的 因子 D
r(D)− r(K − D) = deg(D) + 1 − g.
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
範例 5.2.5. 5.1.5 圖 5.2 曲線 Γ2 的 因子
D = 0v1+ 1v2+ 2v3− 2v4. Γ2 的 因子
K =−1v1+ 1v2− 1v3− 1v4,
K− D = −1v1+ 0v2− 3v3 + 1v4, 因 deg(K − D) < 0 r(K − D) = −1
Γ2 的 g = 0 黎曼 -羅赫 理
r(D) = r(K− D) + deg(D) + 1 − g
= −1 + 1 + 1 − 0
= 1.
用黎曼 -羅赫 理 用搬硬幣遊戲 找 的秩
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
論
本 論文 熱帶曲線 的 因子 搬硬幣遊戲 論遊戲與等
價因子 的關係 論 何 的因子 搬硬幣
遊戲 中 因子 的 圖 “ ” “ ” pi pi
係數 ci 線 的因子
D =∑
ci· pi 中ci ∈ Z, pi ∈ Γ 熱帶曲線 Γ 圖 6.1
p1, p2, p3, p4, p5 係數 形
圖 6.1: 二次熱帶曲線 Γ 上的連續型因子
因子
D = 1p1− 2p2+ 2p3+ 1p4+ 3p5.
[5] [6] 的文 介紹 因子的 等價關係 用黎
曼 -羅赫 理 因子 因子 的 chip-firing
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
game 何 與等價因子的關係 [6] 多 因子
的 因子 用
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
文
[1] Matthew Baker. Specialization of linear systems from curves to graphs. Algebra Number Theory, 2(6):613–653, 2008. With an appendix by Brian Conrad.
[2] Matthew Baker and Serguei Norine. Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph. Adv. Math., 215(2):766–788, 2007.
[3] N. L. Biggs. Chip-firing and the critical group of a graph. J. Algebraic Combin., 9(1):25–45, 1999.
[4] Anders Björner, László Lovász, and Peter W. Shor. Chip-firing games on graphs. European J. Combin., 12(4):283–291, 1991.
[5] Andreas Gathmann and Michael Kerber. A Riemann-Roch theorem in tropical geometry. Math. Z., 259(1):217–230, 2008.
[6] Christian Haase, Gregg Musiker, and Josephine Yu. Linear systems on tropical curves. Math. Z., 270(3-4):1111–1140, 2012.
[7] Shinsuke Odagiri. Tropical algebraic geometry. Hokkaido Math. J., 38(4):771–795, 2009.
[8] Jürgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels, and Thorsten Theobald. First steps in tropical geometry. In Idempotent mathematics and mathematical physics, volume 377 of Contemp. Math., pages 289–317. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
[9] David Speyer and Bernd Sturmfels. Tropical mathematics. Math. Mag., 82(3):163–173, 2009.
[10] Yen-Lung Tsai. Working with tropical meromorphic functions of one variable.
Taiwanese J. Math., 16(2):691–712, 2012.