第二章 近似字串比對演算法
第二節 Bit-parallelism
Bit-parallelism 利用位元運算子模擬 NFA 在讀取輸入文字時，狀態 啟動或關閉的結果，判斷是否有 match 發生。NFA 是指非確定有限狀態 自動機，與傳統確定有限狀態自動機（Deterministic Finite Automaton, DFA）不同之處在於 NFA 允許在同一時間點時，有多個狀態啟動；而 DFA 在同一時間點時，只允許一個狀態啟動。
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就上述特質而言，NFA 的特有運作方式與近似字串比對極為相似，
皆可允許一些例外的情況發生。而 NFA 如同樹狀結構，需要定義資料結 構與運作規則。圖 2-4 中，𝐷𝑛的數量為字串樣式的長度﹘edit distance，
即 4﹘2 ﹦2。
圖 2-4 非確定有限狀態自動機（NFA）
註：圖中為字串樣式 ATCG，輸入文字 A 之狀態
圖 2-4 即是一非確定有限狀態自動機，以階層顯示容許之誤差值，
即 edit distance；灰色代表狀態啟動，白色狀態除了在𝐷 與𝐷 之內代表狀 態未啟動，其餘皆忽略其狀態。特別須注意的是，由於必須保證所有的 輸入文字都會進入此 NFA，因此特別設定一個循環的機制在起點位置上；
而 edit distance 由階層來顯示，故在 edit distance = 0 階層中，可忽視後 兩位字元，edit distance = 1 階層則忽視前後各一位字元，edit distance = 2 則忽視前兩位字元。以圖 2-4 來看，在比對近似字串時，只須關注在 Start、
𝐷 與𝐷 兩個對角線，甚至 Start 也可忽視，因為此對角線狀態會永遠啟 動。
由於只需儲存𝐷 與𝐷 的變動，在實作時，以 2 進制呈現 NFA 的運 作，0 表示狀態啟動，1 表示狀態未啟動。而為了避免位元運算時，造 成溢位（overflows），所以兩條對角線中間必須有一個 0 當作分隔位元，
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圖 2-4 的狀態即是0𝐷 0𝐷 。但需特別注意𝐷 與𝐷 中數字的儲存位置，以 圖 2-5 說明如下：
圖 2-5 說明如何儲存𝐷 與𝐷
以 0 和 1 來表示，在 bit-parallelism 之中的𝐷 為001，𝐷 為 011，有 別於一般人直覺地對應位置。而最終判別字串樣式與輸入文字是否相似 的關鍵位置，在於𝐷 011中，左起第一個位元是否為 0，其位置稱為 最終狀態（final state）；圖 2-5 中，則其最終狀態是最右下角 3的位置。
因此，圖 2-5 的 NFA 狀態為 00010011，其中左起第一位與第五位為分隔 位元，對應到每個狀態為0 40 3 。Bit-parallelism 之演算式，其 中有許多位元運算子，像是 AND、OR、XOR，而 k 代表容許的 edit distance，
m 則代表字串樣式的長度。
1. ← (𝐷 ≫ (𝑘 + 2))|𝑀𝑇𝑗 2. D ← ((𝐷 ≪ 1)|(0𝑘+ 1)𝑚 𝑘)
3. & ((𝐷 ≪ (𝑘 + ))|(0𝑘+ 1)𝑚 𝑘 01𝑘+ ) 4. & ((( + (0𝑘+ 1)𝑚 𝑘)^ ) ≫ 1)
5. &(01𝑘+ )𝑚 𝑘
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上述各行運算式可以呈現 NFA 內部的運作，說明如下（Hyyrö, 2008）：
1. 此行代表 NFA 水平的移動。x 記錄了𝐷 有哪些狀態已啟動，而𝐷需 依據 x 來決定要啟動哪些狀態，只有𝐷 中已啟動的狀態才可以針 對當下讀入字元作對應的啟動。
2. 此行代表 NFA 對角線λ的移動。向左移 1 位元，目的是檢查對角線 𝐷裡第（𝑑 − 1）個狀態是否已啟動，若已啟動則第𝑑個狀態也將啟 動。
3. 此行代表 NFA 垂直的移動。向左移（k+3）位元，目的是檢查𝐷 + 中第
（𝑑 − 1）個狀態是否已啟動，若已啟動則啟動𝐷 中第𝑑個狀態。
4. 此行代表 NFA 對角線ε的移動。若𝐷中第𝑑個狀態已啟動，則𝐷中 第（𝑑 ≤ ≤ 𝑘 + 1）個狀態也將啟動。
5. 此行代表遮罩，為避免溢位而設，要重新將分隔字元設為 0。
在演算式中，第 2、3 行可能會造成𝐷的第一個狀態產生錯誤，由於 沒有前一個狀態可供檢查，故在此情況下，皆設定成前一狀態未啟動。
此外，第 1 行的𝑀𝑇𝑗代表當 match 時，NFA 應啟動的狀態，必須在比對 之前預先處理。而第 3、4、5 行皆有一個由 0 與 1 組成的表示式，例如 第 3 行的（0𝑘+ 1）𝑚 𝑘 01𝑘+ 。此表示式之次方代表重複次數，以 m=4, k=2 為例，此表示式為 00010111。
以下將舉一簡單範例，分解每個循環 NFA 之運作。給定 k 為 2，輸 入字串為 ATCGGG，字串樣式為 ATCG，則 m 為 4。首先需設定𝑀𝑇𝑗， 如圖 2-6，𝑀𝑇𝑗分別為𝑀𝑇1為 01100111、𝑀𝑇2為 01010110、𝑀𝑇3為 00110101 及𝑀𝑇4為 01110011。
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圖 2-6 設定𝑀𝑇𝑗遮罩
接下來便可進入比對程序，即根據上述演算式進行運算 。每當
𝐷𝑚 𝑘 中，由右邊算起第（𝑘 + 1）個狀態，即最終狀態 3為啟動時，
便回報 match，其過程如圖 2-7 所示。
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圖 2-7 模擬 bit-parallelism 內部 NFA 運作流程