C ELLULAR A UTOMATA

細胞自動機(Cellular Automata)最初由數學家 Stanislaw M. Ulam 與 John von Neumann 所提 出(Krawczyk, 2002)，在型態表現上，細胞自動機是一個離散型的動力系統(Discrete Dynamical Systems)，細胞自動機系統的數學模型中，許多細胞同時動作，以產生複雜的行為模式(Packard &

Wolfram, 1985)。一些特定規則的格子組成的同質陣列(homogenous array)，在每個格子上的離散 變量(discrete variable)視為一個細胞(cell)，每一個細胞可以具有一些狀態，由細胞所在的變量來 指定，但是在某一時刻只能處一種狀態之中。隨著迭代的過程，格子上的每一個細胞受到相鄰 細胞的影響，依據相同的法則而改變狀態，意即，一個細胞的狀態是由上一個時刻(time step)相 鄰細胞的狀態所決定，在設定好細胞自動機初始狀態之後，細胞便按照同一個規則做演化(Gács, 2001; Griswold 2002; Wolfram, 1983)，藉由設定細胞自動機的初始狀態和規則，確立細胞自動機 的生成結構。

圖 62 顯示細胞自動機可以具有多種維度（一維、二維、三維……），最簡單的細胞自動機

類型是初等細胞自動機(elementary cellular automaton)，屬於一維的細胞自動機，初等細胞自動 機的細胞單元有兩個可能的狀態：死亡(0)或存活(1)，每個細胞單元的規則取決於相鄰左右兩個 單元的值，一個指定的細胞（本體）與相鄰的兩個細胞皆可以被設定可能的二進制（0 或 1）狀 態，依據定義的規則與相鄰的值來確定演化生成的模式，迭代後的本體細胞則為上一代相鄰的 兩個細胞的總和，圖 63 顯示一個 8 位元的初等細胞自動機的生成規則(Wolfram, 1983)， 在此圖 中，上面那一行顯示本體細胞與兩個相鄰細胞的狀態，下面那一行是初等細胞自動機的生成規 則，以此規則定義本體細胞在某狀態下，於下一代的狀態為死亡或存活，這樣的初等細胞自動 機會有 2⁸＝256 種可能（圖 64）

（a）

（b）

（c）

圖 62 細胞自動機的幾何結構(Griswold, 2002)：（a）一維。（b）二維。（c）三維。

圖 63 設置初等細胞自動機的初始規則(Wolfram, 1983)。

圖 64 初等細胞自動機的 256 種可能(http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html)。

檢視初等細胞自動機生成的圖形結構，選擇相對應的生成規則（圖 65），可以將其應用於 開口設計中。

圖 65 初等細胞自動機的生成規則與圖形結構(rule 30, 54, 62, 90, 94, 102, 110, 122, 126, 150, 158, 182, 188, 190, 220, 222, 250)(http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html)

圖 66 顯示 five-neighbor square 與 nine-neighbor square 的二維細胞自動機的圖形結構，在中 心位址（本體）的細胞，其演化後的值為所有相鄰細胞值的總和(Packard & Wolfram, 1985)，細 胞可能具有兩種狀態，存活(Survival)或死亡(Death)，即 1(true)或 0(false)，而影響這些細胞生死 的規則可分為兩種，誕生規則(Born rule)與存活規則(Survive rule)，以 nine-neighbor square 為例，

誕生規則適用於死細胞,其設定為，當本體細胞為死細胞,而相鄰的八個細胞有 N 個存活時，則本 體細胞經運算後於下一代時誕生，存活規則只適用於活細胞,其設定為，當本體細胞為活細胞，

其相鄰的八個細胞有 N 個為活時，則本體在運算後於下一代時維持活狀態，將此規則應用於不 同的網格結構中，會產生多種可能（圖 67）。

（a） （b）

圖 66 （a）five-neighbor square（b）nine-neighbor square(Packard & Wolfram, 1985)

圖 67 二維細胞自動機在不同的網格結構中，經過演化過程，可能產生多種結果。