CRR 二項式評價模型

4.3.1 基本假設〆

1. 資本市場是競爭性的市場 2. 不存在交易費用及稅。

3. 可無限放空及充分利用放空得來的資金。

4. 存在無風險利率 r，在到期日前維持不變。

5. 投資者是有理性的，偏好高利潤。

4.3.2 CRR 評價模型輸入因子〆

S 〆對應層總資產或總收入之折現值 T 〆對應層的時間

K 〆對應層的履約價格或成本界限

r 〆無風險利率 ; q 〆股利率 σ 〆資產價值變異之標準差

計算因子〆

上升機率p =^{(e(r−q )δt}_(u−d)^−d)

上升幅度u = e^{σ δt} 々下降幅度d = e^{−σ δt}

當中 ，將每一時段原來的固定長度 t，分成 n 個小時段。當 ， ,

這意味著 將會變得極小，資產在極度微小時間內做極小幅度變動，使得過程像是連續 進行，此一形態下的 CRR 模型推展至極限，其解會趨近於 BS 模型解。

而 n 越大表示程式運算越多次，執行速度會拖慢下來々但 n 值不夠大，求得解又不 夠精確，故要在速度與精確兩者取得權衡。

4.3.3 由單一期的評價來看 u,d 和 p 等計算因子〆

1. 由 t = 0 至 t = 1，資產價值可能上升 u 或下降 d。可以表示如下

圖 4-5 單一期展開與回推 此處〆X = 買權的履約價

Cu代表，在 t = 1 時，當股價上升 u 的買權價格 Cd代表，在 t = 1 時，當股價下降 d 的買權價格 uS 代表，在 t = 1 時，當股價上升 u 的價格 dS 代表，在 t = 1 時，當股價下降 d 的價格

要找出在 t=1 時，買權契約的合理價格 C。評價方式為複製一個避險組合，使其在 t=1 的資金結構(Payoff Structure)與該買權在 t=1 的資金結構完全相同。該避險組合的成 分包括履約股數(Δ)及籌借或貸放某些資金(B)。

C C

=max(uS-K,0) C

max(dS-K,0)

t=0 t=1

S uS

dS

t=0 t=1

2. 由 t = 0 至 t = 1，資產價值可能上升 u 或下降 d。可以表示如下

圖 4-6 避險組合價值變動 此處〆i=(1+r)，r=無風險利率

複製避險組合，使其在 t=1 時，避險組合的資金結構與買權的資金結構相同，根據 圖 3-與圖 3-可建立下列方程式〆

C_u = u(ΔS) + iB (4.20) C_d = d(ΔS) + iB (4.21) 聯立求解Δ 與 B 可得到

Δ =_S(u−d)^Cu−Cd (4.22)

B =^uC_(u−d)i^d−dCu (4.23)

公式(3.3.6)及(3.3.7)代表在 t=0 時複製(避險)組合所應包含的履約股數及籌借或貸放 資金的金額。

因在 t=1 時複製組合與買權的資金結構完全相同(由公式(1)及(2)所代表)，兩者 的現值(t=0)也應相同。表示如下

C = ΔS + B (4.24) 在選擇權價值與避險組合在 t=1 時相等，才不會出現套利的情形。

Δ

S+B u(

S)+iB

d(

S)+iB

t=0 t=1

將公式(4.22)及(4.23)的Δ及 B 代入公式(4.24)，得買權契約在 t=0 時的價格如下〆

C =¹_{i u−d} ^i−d ∙ C_u + _u−d ^u−i ∙ C_d .

=¹_i p ∙ C_u + (1 − p) ∙ C_d (4.25)

此處〆p =_(u−d)^(i−d) =^(e_(u−d)^rδt−d) ，1 − p =_(u−d)^(u−i) =^(u−e_(u−d)^rδt)

假設δt = 1，則e^rδt = e^r =^r_0!⁰+^r_1!¹+^r_2!²+ ⋯ ≈ 1 + r = i

而當股價上升 u 的價格與股價下降 d 的價格，將時間長度 t 分割極小的δt，共計 n 小段來看，可視為 ln(u)與 ln(d)表示連續複利。則在 n 小段時間內，價格有 j 次向上變動，

則股票連續複利報酬率為〆

ln S_n/S₀ = (j) ln u + n − j ln d ＝(j) ln u/d + n ln d (4.26) 故，E[ln S_n/S₀ ] = E[j] ln u/d + n ln d (4.27) 而 Var[ln S_n/S₀ ] = Var[j][ln u/d ]² (4.28) 在未來，ln S_n/S₀ 可能上升 ln(u)或下降 ln(d)。在時間 t 內，ln S_n/S₀ 的標準差為 σ t。故在小時段δt內，ln Sn/S₀ 的標準差是σ δt。所以我們可以選擇股價上升或下降 的連續複利報酬率為其波動幅度(即標準差)，如下表示〆

ln u = σ δt , ln d = −σ δt (4.29)

∴ u = e^{σ δt} , d = e^{−σ δt}

4.3.4 單層 CRR 評價模型(以 T=2 為例)

圖 4-7 二項式展開 在 T=2 時，當資產低於 K 時不會被執行

圖 4-8 往回推算的進行方式 計算步驟

step１〆從 T=0 開始長出樹狀結構，每個節點由 u 與 d 控制上升與下降。

step２〆在 T=2 的資產價值，由上到下可視為從最好(uuS)到最壞(ddS)的情況 當價值低於執行價格 K，選擇權就不會被執行，視其價值為０。

step３〆從 T=2 回推至 T=0，得 C

由前一點選擇權價值乘以上升機率 p 與下降機率(1-p)和用無風險利率做折現。

C=[pCu+(1-p)Cd]/(1+r) Cu=[pCuu+(1-p)Cud]/(1+r)

Cd=[pCud+(1-p)Cdd]/(1+r)

Cuu=max(uuS-K,0)

Cud=max(udS-K,0)

Cdd=max(ddS-K,0)

S uS

dS

uuS