基本定義基本定義基本定義基本定義：：：假設一個特定種類的量測值如特徵向量，是由一個可以描述該種： 類分部的機率密度函數(Probability density function)所產生，該機率密度說明該種 類各種量測值出現的機率為何。一般而言，高斯分佈的機率密度為一種常見的分 佈，一維的狀況下數學表示如下：
-1/ 2(( ) / )2
( ) 1 e
2
p x
x µ σπσ
=
− (6)其分佈圖形如圖 2.4.1：
圖 2.4.1 高斯分部
其中有兩個重要的參數，μ和σ，μ為期望值(Expectation value)，其為平均數，
位 於 高 斯 分 佈 的 中 央 ， σ2 稱 為 變 異 數 (Variance) ， 而 σ 為 標 準 差 (Standard deviation)，其值的大小和分佈的集中程度有關，值愈小表示越集中。定義如下：
[ ] x xp x dx ( )
µ
∞−∞
≡ Ε = ∫
(7)2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( , ) ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )
p x y = α g x y µ Σ + α g x y µ Σ + α g x y µ Σ
(12)圖 2.4.2 混和高斯分部
只要知道屬於每個種類的機率密度函數，很容易就可以比較同一個量測值，對應 每個種類的機率的大小，進而找出可能性最大的種類為何，但由於一般待測量的 數據資料，並沒有辦法得知其實際機率密度函數，找出一進似的機率密度函數的 方式如下：
1. 對於每個類別，由一個初始的猜測：給定初始的高斯函數疊加個數，及每個 高斯函數的參數，產生一個初始的 GMM。
2. 利用已經設定好的數據，即訓練樣本，利用 GMM 計算分類結果，找出辨識 率。接下來的目標就是要使這個辨識率的值增加，辨識率越高代表這個分佈 模型越能表示這些訓練樣本。
3. 以微分求極值的方式，由舊有的參數計算出一組新的 GMM 參數。
4. 重複步驟 2~3 疊代，直到辨識率收斂到某一個極值。
此法稱為 Maximum Likelihood Estimation (MLE) 或 Expectation Maximization (EM)，經由反覆疊代，找出一組最佳化的 GMM 參數，當作代表這些數據樣本 的機率密度函數。對於未知種類的測試樣本，簡單比較其值對於各個種類的機率 值大小(屬於該種類高斯分佈位置的高度)，就可以找出最有可能的種類為何，如 此便設計了一個 GMM 分類器。
註 註 註
註：疊代過程中並不是一定會收斂到全局最大值(Global Maximum)，也有可能會 收斂到局部最大值(Local Maximum)。所以並不是所有的數據 GMM 都可以有很 好的表現，這和初始設定的參數也都有關係，如高斯函數疊加的數目…等，想要 有較好的結果，訓練樣本一定要足夠。
三 三 三
三、 、 、 、音樂與情緒的關連模型 音樂與情緒的關連模型 音樂與情緒的關連模型 音樂與情緒的關連模型
關於音樂與情緒的互相聯結，有部分心理學文獻針對其作出討論並提出相關 模型，較常被引用的文獻如[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。一般而言在音樂與情 緒的模型中，抽象的情緒必須和量化的特徵強度有明顯對應的相互關係，如此才 可以應用於音樂情緒辨識的系統中。對於種類較多的情緒分類，較無法找出各個 種類或形容詞和特徵強度的相互關係，應用上較不方便，如文獻[11]為 Hevner 提出的音樂情緒模型，其為針對音樂與情緒的第一篇相關研究文獻，模型圖可參 考圖 3.1.1。共分為八大種類的情緒，各個種類又細分幾種不同的形容詞組，不 同形容詞組間的相互關係較不明顯。
圖 3.1.1 Hevner 的音樂情緒模型
文獻[13]說明由 Thayer 提出的情緒模型，如圖 3.1.2，此模型分為四個象限，
分別為(1)激勵人心的，(2)舒適的，(3)焦躁憤怒的，(4)使人消沉的。橫軸的定義 為壓力，縱軸的定義為能量。類別只有四種但是對於普遍的情緒反應皆能做出概 要的區分。應用於音樂情緒的系統中也相當合適，橫軸的定義為音樂帶給聽者的 抽象壓力，縱軸的定義為音樂帶給聽者的抽象能量，一些簡單的音樂特徵如：節 奏、音色、音量，不難發現這些特徵強度和該模型中的橫軸縱軸有相互的關係。
如：快速的節奏和較大的音量通常代表音樂的能量較高，慢速的節奏和不和諧的 音色則會帶給聽者壓力。
圖 3.1.2 Thayer 的情緒模型