IEEE754 浮點運算

IEEE 二進位浮點數算術標準是最廣泛使用的浮點數運算標準，為許多 CPU 與浮點 運算器所採用。這個標準定義了表示浮點數的格式與反常值，一些特殊數值如無窮與非 數值，以及這些數值的「浮點數運算子」；它也指明了四種數值修約規則和五種例外狀 況，如包括例外發生的時機與處理方式。

IEEE 754 規定了四種表示浮點數值的方式：半精度單精度、倍精度與延伸倍精度（79 位元以上，通常以80 位元實做），而現今許多電腦抑或計算機皆以單精度之格式做訂定，

大部分程式語言都有提供IEEE 格式與算術，但有些將其列為非必要的。

該標準的全稱為IEEE 二進位浮點數算術標準，又稱 IEC 60559:1989，微處理器系 統的二進位浮點數算術。

二進位浮點數是以符號數值表示法格式儲存，將最高效位元指定為符號位元（Sign bit），當 s = 0 時，表示此數列為正值; s = 1 時，表示此數列為負值。「指數部份」，即次 高效位元，指數 (Exponent, e)為浮點數中，經指數偏差處理過後的指數，根據所求得的 指數，再加上去各式精度之偏移值(Bias,b)，便可求得。；「小數部份」，即剩下的位元，

即為有效位數（Significand,sign）減掉有效位數本身的最高效位元。 如表 2.3.1 所示：

表2.3.1 IEEE 二進位浮點數算術標準 x (1. + Significant) x

Sign Exponent 1.+Significand

以下小節中將對IEEE754 Converter 三種經度做概述，半精度、單精度與倍精度。

半精度總bit 數為 16bit，單精度為 32bit，而倍精度為 64bit。

2.3.1 半精度

一般來說，浮點數字的格式為： x (1. + Significant) x 。設計者 必須在有效數字欄位的寬度與指數欄位的寬度之間取得妥協，因為字組的長度是固定 的，從某一個欄位的減少一位元時，就表示另一個欄位多一個位元：增加有效數字欄位 的寬度，所能表示的有效數字的位數便提高，但增加指數欄位的寬度時，所能表示的數 字範圍便擴大。有時數字太大而無法表示時，就需要溢位中斷半段訊號，此處的溢位表 示指數太大，而無法以指數欄位表示。當然有時候可能所要表示的數字太小無法表示 時，電腦會以最低有效不足位來提醒輸入訊號之參數值。

MIPS浮點數字的表示法， S 是浮點數字的正負符號，指數放在5位元指數欄位，

有效數字是16位元的小數，此格式表示法稱為半精度，如表2.3.1.1所示。

表2.3.1.1 半精度浮點運算表示法

Sign Exponent 1.+Significand

15 14..10 9..0

以IEEE754半精度、單精度、倍精度，探討座標軸數位旋轉計算器。由Cordic模組 中，取其中一模組Rotation linear，作為精準度的比較。Rotation linear模組，在CORDIC 運 算 上 ， 是 用 已 表 示 乘 法 的 動 作 。 半 精 度 設 定 一 輸 入 值 呈 現Xin = 39910 = 0-00111-1000111102，Zin = 0.5610 = 0-00101-00011110102，相乘結果為Yout = 222.7510 = 0-10111-10111101112，圖2.3.1.1所示。

圖2.3.1.1 半精度浮點運算之運算結果

2.3.2 單精度

MIPS 浮點數字的表示法， S 是浮點數字的正負符號，指數放在 8 位元指數欄位，

有效數字是23 位元的小數，這種表示法稱為符號與數值大小表示法，如表 2.3.2.1 所示。

表2.3.2.1 單精度浮點運算表示法

Sign Exponent 1.+Significand

31 30..23 22..0

由CORDIC模組中，取一模組Rotation linear，作為精準度的比較。Rotation linear模 組，在CORDIC運算上，是用以表示乘法的動作。設定一輸入值為Xin = 399(10) = 0-10000111-100011110000000000000002，另一輸入為Zin = 0.56(10) = 0-01111110-00011110 1011100001010012，其相乘結果為Yout = 222.8789(10)=0-10000110-10111101110000100000 00010，如圖所示2.3.2.1所示。.

圖2.3.2.1 單精度浮點運算之運算結果

2.3.3 倍精度

MIPS 浮點數字的表示法， S 是浮點數字的正負符號，指數放在 11 位元指數欄位，

有效數字是52 位元的小數，這種表示法稱為符號與數值大小表示法，如表 2.3.3.1 所示。

表2.3.3.1 倍精度浮點運算表示法

Sign Exponent 1.+Significand

63 62..52 51..0

倍精度Xin = 399(10) = 0-10000000110-10001111000000000000000000000000000000000000 000000(2)，Zin = 0.56(10) = 0-01111111101-00011110101110000101001000000000000000000 00000000000(2)，相乘結果Yout = 223.25(10) = 0-10000000101-101111101000000000000000 0000000000000000000000000000(2)為，圖2.3.3.1所示。

圖2.3.3.1 倍精度浮點運算之運算結果

經由以上三種精度比較可知，應用倍精度於CORDIC 模組中，其精準度較高，運算 結果之誤差值較低，但以現階段應用於CORDIC 比較，則選擇單精度為較廣泛使用。其 原因在於，倍精度所使用的位元數較多，導致硬體成本較高，且運算時間有過長之情形，

對於需求高速運算與低功耗之要求，而許多CORDIC 應用上，兩種精度表示法，誤差值 皆低於0.1%，所以相對比較上，倍精度使用上實用性較低，故選擇單精度作為 CORDIC 演算法建置之應用原因於此。 

第三章 室內無線感測定位之設計