LRG 法 法 法

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2. 利用 Rao-Ghangurde 修正:

由 Lagrange 乘數法求出的 ξ 未必符合 0 ≤ ξi ≤ 1，i = 1, · · · , m 的限制條件，

此時可利用 Rao-Ghangurde 修正法來對 ξ 進行修正，直到所有的 ξi 符合限制條 件的要求為止。

在本文中為了敘述的方便起見，將上述求解的過程稱為 LRG 法。

本章中我們分成四個部份來討論。第一、利用 Lagrange 乘數法推導出邊際機率值 之公式解，並說明如何利用 Rao-Ghangurde 修正法來對 ξ 進行修正，第二、說明採用 干擾參數法的原因及其理論依據，第三、說明邊際機率多組解之檢驗法以及求出所有可 能解的做法，第四、推導出檢驗理論相容的充分條件。

4.1 LRG 法 法 法

本節中我們將對 LRG 法做詳細的說明。

先不管 0 ≤ ξi ≤ 1，i = 1, · · · , m 的限制條件，只考慮在 ξ1+ · · · + ξ_m = 1 的限 制條件下，我們利用 Lagrange 乘數法推出 ξ 的公式解。

令

F (ξ, λ) = ||Dξ||²+ λ (ξ₁+ ξ₂+ · · · + ξ_m− 1) 則

F (ξ, λ) = ξ⁰D⁰Dξ + λ (1⁰ξ − 1)

，其中 1 =

1, 1, · · · , 1

⁰

， ξ =

ξ₁, ξ₂, · · · , ξ_m

⁰

。 由引理2.1.及引理2.2.可得:







∂F

∂ξ = 2D⁰Dξ + λ1

∂F

∂λ = ξ⁰1 − 1 令







∂F

∂ξ = 0

∂F

∂λ = 0

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即







2D⁰Dξ + λ1 = 0 ... h1i ξ⁰1 − 1 = 0 ... h2i 接下來求解聯立方程式的 (ξ, λ) 值:

由h1i可知，

2D⁰Dξ = −λ1

⇒ ξ = −1/2 · λ(D⁰D)⁻¹· 1 ... h3i 將h3i代入h2i，

−1/2 · λ1⁰(D⁰D)⁻¹· 1 − 1 = 0 所以

λ = −2 (1⁰(D⁰D)⁻¹· 1)⁻¹ ... h4i 將h4i代入h3i，

ξ = −1/2 [−2 (1⁰(D⁰D)⁻¹· 1)⁻¹](D⁰D)⁻¹· 1

= [1⁰(D⁰D)⁻¹· 1]⁻¹(D⁰D)⁻¹· 1

= (D⁰D)⁻¹· 1

1⁰(D⁰D)⁻¹· 1 (4.1.1)

以上是假設 D⁰D 擁有逆矩陣的情形所求出的解。當條件分配矩陣 A 和 B 相容時，

會存在 ξ 使 Dξ = 0，因此 D⁰Dξ = 0。若 D⁰D 滿秩(即 rank(D⁰D)=m)，則可推 得 ξ = 0，如此將與限制條件 ξ1 + · · · + ξ_m = 1 產生矛盾。所以當 A 和 B 相容 時，rank(D⁰D)≤ m − 1。因此在一般的情況下，公式(4.1.1)中的逆矩陣應以廣義逆矩 陣來取代。即

ξ = (D⁰D)⁻· 1

1⁰(D⁰D)⁻· 1 (4.1.2) 不過 (D⁰D)⁻ 有無限多個，到底要選擇那一個是沒有什麼特別的方法可依循，所以在實 際的應用上有其困難性，因此我們選擇用 Moore-Penrose 廣義逆矩陣(即 (D⁰D)⁺ )來代

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表。因為 (D⁰D)⁺ 除了擁有一些良好的特殊性質之外，還能夠具體的被表示出來，且在 很多統計理論上似乎都有不錯的表現，故當 (D⁰D)⁻¹ 不存在時，我們常會以 (D⁰D)⁺ 來取代。

有時找出的 ξ 未必會滿足 0 ≤ ξi ≤ 1，i = 1, · · · , m 的條件，該如何處理呢? 在此 我們將介紹如何對未滿足條件限制的 ξ 使用 Rao-Ghangurde 修正的方法。

Rao-Ghangurde 修正法處理的方式如下:

1. 邊際機率值有出現小於 0 且沒有大於 1 的情形:

如果發現求出的 ξ 中有 ξi 的值是小於 0 且沒有大於 1 的情形時，我們會令這些 小於 0 的 ξ_i 中最小的那一個 ξi 為 0 ，此時原始邊際機率和為 1 的限制條件會有 變動，且方程系統中的矩陣 D 會縮減一行，再經由 ξ 的求解公式可得出新的 ξ 來。如果新求得的 ξ 中仍有值是小於 0 的，則繼續依上述的方式進行修正，直到 所有的 ξ_i 符合 0 ≤ ξi ≤ 1，i = 1, · · · , m 的條件為止。

例如:

令 第 一 次 找 出 來 的 解 為 ξ⁽¹⁾ = (ξ₁⁽¹⁾, ξ₂⁽¹⁾, · · · , ξm⁽¹⁾)， 若 發 現 ξ⁽¹⁾₁ < 0 且 為 最 小 值，可令 ξ⁽¹⁾1 = 0，則原始的限制條件變為 ξ2 + ξ3· · · + ξm = 1，且 矩陣 D 會少掉一行，此時經由 ξ 的求解公式，得出第一次修正後的解為 ξ⁽²⁾ = (0, ξ₂⁽²⁾, ξ₃⁽²⁾, · · · , ξm⁽²⁾)。 若修正後發現新求出的 ξ2⁽²⁾ < 0 且為最小值，可 令 ξ₂⁽²⁾ = 0，則限制條件就改變成 ξ3+ ξ₄· · · + ξ_m = 1，且矩陣 D 會再少掉一 行，此時經第二次修正後得到的新解為 ξ⁽³⁾ = (0, 0, ξ₃⁽³⁾, ξ₄⁽³⁾, · · · , ξm⁽³⁾)。若發現 ξ₃⁽³⁾ 值小於 0 ，則繼續依照上述的處理模式做修正，直到所有找出的 ξi 都滿足 0 ≤ ξi ≤ 1 ，i = 1, · · · , m 的限制條件。

2. 邊際機率值大於 1 及小於 0 的情況同時存在:

(a) 只處理邊際機率值小於 0 的情形:

如果計算後發現其中有 ξi 的值大於 1 且也發現有其它 ξk 的值小於 0 ，i 6= k 且 k 可能不只一個，此時先令其中一個最小的 ξk 值為 0 ，原始邊際機 率和為 1 的限制條件會有變動，且系統方程中的矩陣 D 會縮減一行，

再經由 ξ 的求解公式可得出新的 ξ 來。若求出的 ξ 值仍然不完全符合 0 ≤ ξ_i ≤ 1，i = 1, · · · , m 的限制條件則繼續進行修正，直到所有的 ξi 符合

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條件要求為止。

(b) 只處理邊際機率值大於 1 的情形:

如果計算後的結果發現其中有 ξi 的值大於 1，則我們會令大於 1 的 ξi 中最 大的值為 1 ，而其餘的 ξk 值都為 0 ，其中 i 6= k，此時表示所有 ξi 的值只 會剩下一個且值為 1 ，則矩陣 D 只剩下一個行向量。