Lucas-Kanade 影像校正演算法

= =

l

i ciAi x x

A x A

0( ) 1 ( )

)

( (2-19)

在結合原先的兩組參數時，是設定^c=

(

^p₁^,p₂^,K^,p_n^,λ₁^,λ₂^,K^,λ_m

)

^T，接著利用 PCA 的方式將維度給化簡，但由於為了保持演算法的正確性，其化簡後的維度 不可小於n 與 m 的最大值，即l ≥max( mn, )；而在Independent AAM 中，其主要 的調整參數是以形狀參數為主，而紋理參數可在形狀參數經迭代完成後再做計算 即可。因此在每次迭代過程的計算量上，Combined AAM 需要較多的計算量，而 由於本論文所使用的系統為嵌入式的影像處理平台，需要考慮計算量上面的問 題，所以在此我們選擇 Independent AAM 的迭代方法來做可形變樣板的追蹤 [30-32]，即 Lucas-Kanade 演算法。

2.5.1 Lucas-Kanade 影像校正演算法

Lucas-Kanade 演算法是以梯度為基礎的影像變動估測演算法，它具有簡單快 速的優點，在許多研究與應用上廣泛的被使用，如影像形變校正、物體動態追蹤 與立體視覺的計算等。我們將參考[30]所介紹的專屬於 AAM 所用的追蹤演算 法，且針對此演算法再做許多進一步的改良，來達成準確的效果。

假設有一樣版影像(Template image)，即A₀(x)，代表未形變前的目標影像，

另外有一影像 I 代表輸入的影像亦為形變後的影像，其中 I 與A₀存在一形變 關係使得I(W(x;p))= A₀(x)，若將式(2-20)最小化，則可求得最佳形變參數 p。

[ ]

∑ −

x

A

₀

( x ) I ( W ( x ; p ))

² (2-20) 由於影像的亮度分佈為非線性，使得形變參數p 不可能直接求出。因此將 p 改為以下的形式，利用迭代的方式使p 漸趨於最佳值。

[ ]

Steepest descent images。忽略上式的高次項，並將此式代入式(2-21)中來微分 求極值：

(2) 計算誤差影像A₀(x)−I(W(x;p)) (3) 藉由參數p 來形變梯度影像∇I (4) 藉由參數p 來計算 Jacobian matrix

(5) 計算

p p x I W

∂

∇ ∂ ( ; )

(6) 由式(2-23)來計算 Hessian matrix

(7) 計算 ( ; )

[

( ) ( ( ; ))

]

0 x I W x p

p A p x I W

T

x −

∑ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∇ ∂

(8) 由式(2-24)來計算Δp (9) 更新參數 p← p+Δp

不過就此迭代流程的計算量來看，由於步驟(3)與步驟(4)都是與形變參數 p 相關 的，因此在每次的迭代過程中都還必須再計算一次梯度上的形變以及Jacobian，

以致於後面的Hessian matrix 也必須重新再計算一次，所以在每次迭代的計算量 上面需耗費許多時間，因此必須對此演算法做計算量上面改良[30,32](Inverse Compositional Algorithm, IC)。

Inverse Compositional Algorithm 的重點在於避免讓所有要計算的過程均與形 變參數p 相依，因此式(2-21)需改成：

由此兩種演算法比較可看出在傳統的Lucas-Kanade 演算法是計算輸入影 像的梯度值，接著再從此計算出的梯度值來找出Warping jacobian，每一次迭 代就要計算一次此部份；但在Inverse Compositional Algorithm 的改良演算法 可看出梯度值是從樣板影像去計算的，而樣板影像是已知的，所以也就是說 在後面的Warping jacobian 的部份也是已知，故若用此種演算法來做迭代時，

只要在迭代前先將樣板影像的梯度值以及 Warping jacobian 計算出來，之後 的迭代過程中就不需要再去計算此部份，因此在計算量上，經過改良的演算

IV. 藉由式(2-31)來計算出 Hessian matrix 迭代直到收斂：

(4) 由式(2-30)來計算Δp

(5) 更新參數W(x;p)←W(x;p)oW(x;Δp)⁻¹

由此兩演算法比較下來可看出在 Inverse Compositional 演算法中的迭代 步驟少做了四項，所以若迭代越多次，相較之下就會比原本的演算法還要少

圖2-18 Inverse Compositional 演算法迭代流程

就此矩陣的第一列來說，W 代表的是形變點_x W( px; )在 x 的座標，而p 則是代_m

由上式可得知，當z≠i,j,k， =0

⎟ ⎟

最後由式(2-39)與式(2-40)可得出 Warping jacobian 的算法：

( )

∑

=

圖2-19 對

( ) (

i i

)

^T

雖然Inverse compositional 演算法具有計算量較少的優點，但是它只能解 決輸入影像與固定樣板圖像間的匹配問題，由文獻[30]可知，AAM 可具有變

其中 ⋅ 為 L2 norm，接著對上式加以轉化以滿足 Inverse compositional 演算 法的定義。因此可轉化為求下式最小化的問題[34]： Inverse compositional 演算法先求出滿足式(2-48)前半部份的形狀參數 p，且將 p 看作常數，進而求出滿足後半部份的紋理參數λ_i。因為A_i(x)是相互正交的

關係，故紋理參數λ_i可表示為：

(1) 藉由式(2-48)計算紋理參數λ

在文檔中 多姿態人臉辨識及其在機器人與人互動之應用 (頁 39-51)