本研究除對賠款準備金估計外，亦包含 MARS 建構模型準確度分析，此部 分使用樣本外預測檢定(Out-of-Sample Test)，於 MARS 建構模型完成後，使用配 適對象外實際理賠資料作為基準，再將傳統四個準備金估計方式與 MARS 估計 之期望最終賠款作為對照，比較實際資料與估計值間之差額。
樣本外預測檢定是擷取過去部分實際資料建構預測模型，而另一部分作為模 型之驗證分析。本研究實際獲取資料為 40 個事故季、40 個發展季之理賠資料，
擷取前 20 個事故季上三角之資料作為模型配適之賠款準備金估計資料，將各事 故季之發展季 20 實際理賠作為驗證分析。
回顧前述，本研究假設於發展季 20 時，累積已付賠款已發展至最終賠款，
因此將各事故季之發展季 20 實際資料做為檢測基準。本研究將發展季 20 之實際 資料減去各準備金估計辦法之估計值，將其差額(
i C
i,20 C
i
,20)設為誤差。若 誤差趨近於零時，則可認為估計之期望最終賠款與實際接近，代表其方法之估計 值準確。若估計值小於實際值，誤差則大於零，代表期望最終賠款呈現低估情勢；反之代表高估。
本研究檢測估計誤差未使用傳統平方和概念，是因為想了解，若依模型之估 計值作為期望最終賠款時，其提列之賠款準備金是否充裕，因此未使用平方合作 為準確性檢測標準。
56
第肆章 實證研究分析結果
本研究採用一般責任險作為分析資料，主要因為一般責任險涵蓋範圍廣，事 件發生波動度大，於損失頻率與損失幅度不易估計，且對於責任歸屬可能需要經 過長期訴訟才能釐清，或是事件發生到發現損害時潛伏期長，相較於其他險種，
一般責任險的理賠程序長，且損失賠款波動大，損失發展趨勢較為紊亂，特選此 險種作為實證分析目標。
本研究資料取自國內某產險公司實際理賠資料，選取其中二十個事故發生季，
累積已付賠款損失率作為配適對象，當中假設於發展季 20 時，損失賠款已經發 展到最終。此外，本研究為比較各賠款準備金方法期望最終賠款準確度，因此使 用樣本外預測檢定法最為比較基準，觀察各辦法下期望最終賠款與實際理賠之差 異程度，若差異小，則代表估計值準確，反之則非。
本研究採用累積已付賠款損失率做為模型估計資料，估計產險公司未來理賠 金額趨勢。由於無法取得其他外部資訊，所以對滿期保費假設，於任一事故季而 言，費率因子皆為相同，費率未有改變。相對地，對於損失賠款則忽略通貨膨脹 率(Inflation)與損失趨勢(Loss Trend)，皆站在同一觀點下給予理賠。此假設是因 為無法取得更多資訊，若是能夠取得更多外部資訊或是費率因子等，則可加入於 模型中。
一般責任險對於案件需要經過法定釐清、責任歸屬判決期間冗長，對於被保 險人需準備大量資料，導致報案時間拖延，使得理賠程序發展速度慢，由於損失 幅度難以依經驗判定，各事故年度間發展趨勢差異大，對於估計最終賠款準確度 較差。
57
一般責任險賠款損失率圖顯示如圖 12，由於資料數過多，於圖中只將較為 離群之事故季損失率使用不同符號特別表現出來，其中離群值為事故季 7。
圖 12 一般責任險損失率散佈圖
模型配適對象為一般責任險損險賠款損失率上三角，由實際資料可觀察出，
於較年輕之發展季時，損失率發展迅速，至中年時發展速度趨緩，而在成熟時有 逐漸收斂趨勢。一般責任險累積已付賠款損失率上三角列於表二十一，其中，賠 款損失率四捨五入到小數點後 3 位。
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500
0 5 10 15 20
賠 款 損 失 率
發展季
事故季7 其他事故季
58
表二十一 一般責任險累積已付賠款損失率
事故季 發展季(DQ)
(AQ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 0.016 0.046 0.068 0.079 0.089 0.103 0.113 0.123 0.123 0.124 0.124 0.124 0.125 0.124 0.125 0.124 0.124 0.124 0.124 0.124 2 0.020 0.048 0.068 0.080 0.090 0.102 0.112 0.125 0.130 0.131 0.221 0.228 0.229 0.229 0.229 0.226 0.226 0.226 0.226 3 0.013 0.040 0.054 0.065 0.079 0.092 0.104 0.115 0.117 0.117 0.117 0.118 0.117 0.123 0.123 0.123 0.123 0.124
4 0.018 0.056 0.087 0.143 0.159 0.169 0.182 0.189 0.190 0.190 0.190 0.190 0.197 0.198 0.198 0.198 0.198 5 0.034 0.074 0.089 0.104 0.114 0.126 0.136 0.146 0.146 0.146 0.147 0.147 0.147 0.147 0.147 0.148
6 0.040 0.071 0.090 0.110 0.123 0.134 0.151 0.161 0.163 0.165 0.166 0.168 0.168 0.170 0.172 7 0.230 0.272 0.293 0.311 0.327 0.345 0.356 0.369 0.372 0.418 0.420 0.427 0.434 0.442
8 0.026 0.063 0.092 0.109 0.124 0.137 0.150 0.164 0.165 0.165 0.165 0.168 0.170 9 0.034 0.069 0.103 0.133 0.153 0.163 0.174 0.189 0.191 0.191 0.191 0.192 10 0.051 0.095 0.159 0.176 0.196 0.209 0.222 0.233 0.238 0.241 0.243
11 0.029 0.080 0.115 0.137 0.151 0.162 0.182 0.190 0.193 0.197 12 0.049 0.078 0.111 0.126 0.139 0.151 0.162 0.172 0.172
13 0.020 0.045 0.076 0.122 0.138 0.153 0.164 0.172 14 0.034 0.071 0.089 0.107 0.117 0.128 0.141
15 0.025 0.056 0.075 0.090 0.100 0.114 16 0.021 0.049 0.065 0.085 0.107 17 0.048 0.094 0.114 0.130
18 0.036 0.063 0.078 19 0.021 0.044
20 0.015
59
60
61
表二十二 MARS 法之一般責任險賠款損失率與期望賠款損失率
事故季 發展季(DQ)
(AQ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 0.016 0.046 0.068 0.079 0.089 0.103 0.113 0.123 0.123 0.124 0.124 0.124 0.125 0.124 0.125 0.124 0.124 0.124 0.124 0.124 2 0.020 0.048 0.068 0.080 0.090 0.102 0.112 0.125 0.130 0.131 0.221 0.228 0.229 0.229 0.229 0.226 0.226 0.226 0.226 0.189 3 0.013 0.040 0.054 0.065 0.079 0.092 0.104 0.115 0.117 0.117 0.117 0.118 0.117 0.123 0.123 0.123 0.123 0.124 0.139 0.139 4 0.018 0.056 0.087 0.143 0.159 0.169 0.182 0.189 0.190 0.190 0.190 0.190 0.197 0.198 0.198 0.198 0.198 0.200 0.200 0.200 5 0.034 0.074 0.089 0.104 0.114 0.126 0.136 0.146 0.146 0.146 0.147 0.147 0.147 0.147 0.147 0.148 0.166 0.166 0.166 0.166 6 0.040 0.071 0.090 0.110 0.123 0.134 0.151 0.161 0.163 0.165 0.166 0.168 0.168 0.170 0.172 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 7 0.230 0.272 0.293 0.311 0.327 0.345 0.356 0.369 0.372 0.418 0.420 0.427 0.434 0.442 0.403 0.403 0.403 0.403 0.403 0.403 8 0.026 0.063 0.092 0.109 0.124 0.137 0.150 0.164 0.165 0.165 0.165 0.168 0.170 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 9 0.034 0.069 0.103 0.133 0.153 0.163 0.174 0.189 0.191 0.191 0.191 0.192 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 10 0.051 0.095 0.159 0.176 0.196 0.209 0.222 0.233 0.238 0.241 0.243 0.242 0.247 0.247 0.247 0.247 0.247 0.246 0.246 0.246 11 0.029 0.080 0.115 0.137 0.151 0.162 0.182 0.190 0.193 0.197 0.198 0.203 0.208 0.208 0.208 0.208 0.208 0.208 0.207 0.207 12 0.049 0.078 0.111 0.126 0.139 0.151 0.162 0.172 0.172 0.183 0.188 0.193 0.199 0.199 0.198 0.198 0.198 0.198 0.198 0.198 13 0.020 0.045 0.076 0.122 0.138 0.153 0.164 0.172 0.166 0.172 0.177 0.182 0.187 0.187 0.187 0.187 0.187 0.187 0.187 0.187 14 0.034 0.071 0.089 0.107 0.117 0.128 0.141 0.155 0.160 0.166 0.171 0.176 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 0.181 15 0.025 0.056 0.075 0.090 0.100 0.114 0.137 0.143 0.148 0.153 0.158 0.163 0.168 0.168 0.168 0.168 0.168 0.168 0.168 0.168 16 0.021 0.049 0.065 0.085 0.107 0.120 0.135 0.141 0.146 0.151 0.156 0.161 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 0.166 17 0.048 0.094 0.114 0.130 0.146 0.161 0.176 0.181 0.186 0.192 0.197 0.202 0.207 0.207 0.207 0.207 0.207 0.207 0.207 0.207 18 0.036 0.063 0.078 0.103 0.119 0.134 0.149 0.155 0.160 0.165 0.170 0.175 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 0.180 19 0.021 0.044 0.047 0.063 0.078 0.093 0.108 0.114 0.119 0.124 0.129 0.134 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 20 0.015 0.018 0.047 0.063 0.078 0.093 0.108 0.114 0.119 0.124 0.129 0.134 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 0.139 註:陰影部分為 MARS 估計之期望損失率，為估計值
62
63
表二十三 MARS 法之一般責任險累積已付賠款與期望累積已付賠款 (單位:萬元)
事故季 滿期保費 發展季(DQ)
(AQ) (EP) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 19,905 324 919 1,356 1,572 1,772 2,040 2,250 2,451 2,453 2,466 2,469 2,478 2,488 2,474 2,497 2,472 2,472 2,472 2,472 2,472 2 21,268 433 1,026 1,443 1,700 1,923 2,162 2,383 2,652 2,774 2,776 4,692 4,859 4,874 4,875 4,875 4,806 4,806 4,806 4,806 4,027 3 22,694 305 918 1,224 1,481 1,803 2,099 2,359 2,612 2,649 2,649 2,649 2,671 2,667 2,787 2,787 2,791 2,791 2,816 3,155 3,154 4 24,126 443 1,355 2,107 3,452 3,830 4,082 4,394 4,570 4,579 4,580 4,580 4,580 4,749 4,786 4,786 4,786 4,786 4,835 4,834 4,832 5 25,755 883 1,911 2,294 2,670 2,947 3,240 3,496 3,750 3,751 3,762 3,781 3,782 3,789 3,789 3,789 3,812 4,269 4,267 4,265 4,263 6 28,423 1,151 2,017 2,558 3,116 3,495 3,812 4,288 4,572 4,635 4,694 4,722 4,767 4,767 4,833 4,896 5,130 5,128 5,126 5,124 5,122 7 29,211 6,706 7,955 8,571 9,096 9,548 10,080 10,413 10,778 10,875 12,201 12,283 12,485 12,676 12,914 11,778 11,776 11,774 11,771 11,769 11,767 8 28,069 719 1,776 2,580 3,060 3,468 3,857 4,200 4,603 4,634 4,637 4,641 4,728 4,762 5,087 5,085 5,083 5,081 5,079 5,077 5,074 9 23,015 793 1,596 2,367 3,051 3,518 3,756 4,006 4,356 4,389 4,396 4,402 4,408 4,683 4,682 4,680 4,678 4,676 4,675 4,673 4,671 10 23,164 1,179 2,198 3,690 4,069 4,530 4,832 5,140 5,408 5,513 5,573 5,625 5,598 5,718 5,716 5,714 5,713 5,711 5,709 5,708 5,706 11 22,493 648 1,806 2,594 3,076 3,388 3,653 4,083 4,280 4,336 4,435 4,444 4,560 4,676 4,675 4,673 4,671 4,670 4,668 4,666 4,665 12 21,110 1,027 1,643 2,340 2,664 2,938 3,198 3,411 3,631 3,637 3,866 3,975 4,084 4,193 4,192 4,190 4,189 4,187 4,185 4,184 4,182 13 18,429 367 833 1,395 2,243 2,535 2,820 3,020 3,179 3,066 3,162 3,257 3,352 3,447 3,446 3,445 3,443 3,442 3,440 3,439 3,438 14 22,203 755 1,581 1,968 2,375 2,595 2,848 3,125 3,448 3,563 3,678 3,792 3,907 4,022 4,020 4,019 4,017 4,015 4,014 4,012 4,010 15 20,593 524 1,149 1,555 1,846 2,050 2,351 2,828 2,935 3,041 3,148 3,254 3,361 3,467 3,466 3,464 3,463 3,461 3,460 3,458 3,457 16 21,613 463 1,068 1,406 1,846 2,311 2,595 2,925 3,037 3,149 3,261 3,372 3,484 3,596 3,594 3,593 3,591 3,589 3,588 3,586 3,585 17 14,979 725 1,404 1,710 1,949 2,180 2,409 2,638 2,716 2,793 2,870 2,948 3,025 3,103 3,102 3,100 3,099 3,098 3,097 3,096 3,095 18 20,926 750 1,308 1,624 2,164 2,485 2,805 3,125 3,233 3,342 3,450 3,558 3,666 3,774 3,773 3,771 3,770 3,768 3,767 3,765 3,763 19 23,231 486 1,021 1,097 1,453 1,808 2,164 2,520 2,640 2,760 2,880 3,000 3,120 3,240 3,238 3,237 3,235 3,233 3,232 3,230 3,228 20 23,816 365 422 1,125 1,489 1,854 2,218 2,583 2,706 2,829 2,952 3,075 3,199 3,322 3,320 3,318 3,316 3,315 3,313 3,311 3,309 註:陰影部分為為估計值。事故季 4 與 11 賠款準備金小於零，於表二十三調整為 0。
64
表二十四 MARS 法之一般責任險賠款準備金
事故季 (1) (2) (3) (4)=(1)*(3) (5)=(4)-(2) (6) (AQ) 滿期保費 累積已付賠款 最終損失率 期望最終賠款 賠款準備金 調整準備金
1 19,905 2,472 0.139 2,766 294 294 2 21,268 4,806 0.189 4,027
-780
0 3 22,694 2,816 0.139 3,154 338 338 4 24,126 4,786 0.200 4,832 46 46 5 25,755 3,812 0.166 4,263 451 451 6 28,423 4,896 0.180 5,122 226 226 7 29,211 12,914 0.403 11,767-1,147
0 8 28,069 4,762 0.181 5,074 313 313 9 23,015 4,408 0.203 4,671 264 264 10 23,164 5,625 0.246 5,706 81 81 11 22,493 4,435 0.207 4,665 229 229 12 21,110 3,637 0.198 4,182 545 545 13 18,429 3,179 0.187 3,438 259 259 14 22,203 3,125 0.181 4,010 885 885 15 20,593 2,351 0.168 3,457 1,106 1,106 16 21,613 2,311 0.166 3,585 1,274 1,274 17 14,979 1,949 0.207 3,095 1,146 1,146 18 20,926 1,624 0.180 3,763 2,139 2,139 19 23,231 1,021 0.139 3,228 2,207 2,207 20 23,816 365 0.139 3,309 2,944 2,944 (單位:萬元)65
表二十五為各事故季於發展季 20 時之實際理賠資料，當中以累積已付賠款 呈現，此表包含前述四個傳統準備金估計辦法之期望最終賠款，以事故季依序列 出，並且與 MARS 法比較。其中可觀測，各辦法所估計之期望最終賠款於對應 之事故季差異不大，於估計期望最終賠款時，可使用其結果相互比較，提存適當 之賠款準備金。
表二十五 一般責任險之實際資料與期望最終賠款
事故季 實際理賠 期望最終賠款
(AQ)
C
i,20 CL 法 EC 法 BF 法 CC 法 MARS 法 1 2,472 2,472 3,350 2,472 2,472 2,766 2 4,806 4,806 3,579 4,806 4,806 4,027 3 2,816 2,816 3,819 2,816 2,816 3,154 4 4,786 4,800 4,060 4,797 4,800 4,832 5 3,817 3,823 6,029 3,829 3,827 4,263 6 4,907 4,894 6,654 4,894 4,894 5,122 7 12,917 12,958 6,838 12,937 12,934 11,767 8 4,865 4,832 6,571 4,858 4,843 5,074 9 4,468 4,510 4,947 4,520 4,512 4,671 10 5,630 5,815 4,978 5,788 5,776 5,706 11 5,423 4,916 4,834 4,908 4,872 4,665 12 3,779 4,097 4,537 4,147 4,108 4,182 13 3,651 3,621 3,114 3,559 3,626 3,438 14 4,158 3,813 3,751 3,802 3,921 4,010 15 3,063 3,117 3,479 3,206 3,357 3,457 16 4,006 3,375 3,651 3,462 3,665 3,585 17 2,670 3,211 2,210 2,817 3,119 3,095 18 3,060 3,304 3,087 3,194 3,738 3,763 19 3,623 2,865 3,427 3,227 3,992 3,228 20 2,707 2,252 3,513 3,309 4,330 3,309 (單位:萬元)66
表二十五為實際理賠資料與期望最終賠款，但因不易觀測估計值是否與實際 值相近，因此本研究將實際值減去估計值，觀測各準備金估計方法之誤差，其誤 差值呈現於表二十六。觀察表二十六各種準備金辦法誤差總和，若總和為正，代 表對於未來理賠之估計值為低估；若總和為負值，則表示估計值高估。於監理單 位角度認為，在估計賠款準備金時，應採取適當之保守態度，因此總和為負之準 備金辦法符合監理需求；此外，若誤差總和愈接近零，代表其估計值與實際值相 近，由此部分可觀察到 MARS 法較其他四個準備金辦法來的優異。
表二十六 一般責任險之期望最終賠款估計誤差 事故季 期望最終賠款誤差(
C
i,20 C
i
,20)(AQ) CL 法 EC 法 BF 法 CC 法 MARS 法
1 0
-878
0 0-294
2 0 1,227 0 0 780
3 0
-1,004
0 0-338
4
-14
725-12 -14 -46
5
-6 -2,212 -12 -9 -446
6 13
-1,747
13 13-215
7-41
6,079-20 -17
1,150 8 32-1,706
7 21-210
9
-43 -479 -53 -44 -204
10
-186
651-158 -146 -76
11 507 589 515 551 758
12
-318 -758 -368 -329 -403
13 30 538 92 25 213 14 345 407 356 237 147
15
-55 -417 -144 -294 -394
16 631 354 543 341 421
17
-540
461-147 -448 -424
18
-244 -27 -134 -678 -704
19 758 196 396
-369
395 20 455-807 -602 -1,623 -603
總和 1,323 1,192 273-2,785 -491
(單位:萬元)67
第伍章 研究發現與結論
在傳統賠款準備金估計辦法中，皆圍繞損失發展因子為主軸，藉由損失發展 因子，作為發展年間損失賠款比率，推估各個事故年度下損失賠款發展趨勢，其 中，或依經驗估計期望損失賠款、或使用滿期保費作為估計元素給予不同資訊效 果，並且將損失發展因子視為估計期望最終賠款權重，於實際理賠與期望損失間 權衡。
從文獻分析中，可發現研究學者們希望找出能解釋理賠發展趨勢之模型，並 且估計損失賠款下三角未來發展趨勢，所用之解釋變數不外乎是發展年度、事故 年度與損失發展因子，但會面臨模型無法收斂、模型假設與資料型態不符合或者 資料分佈與機率分配相牴觸，於使用時須調整資料，這可能會使模型結果產生偏 差，無法如實闡釋資料訊息。
就以上各點，本研究將考慮累積已付賠款損失率為主要配適對象，並使用 MARS 模型配適分析，期望可以得到足以解釋損失成長速率不相同之險種，其結 果須使尾端呈水平收斂型態，且能使用負數型態之資料，以更真實反映實際資料 所帶來之訊息。
MARS 擺脫了傳統線性迴歸線常態性假設，將簡單線性迴歸線拓展為非線性 回歸模型，為一無母數迴歸，對於資料設限少，使模型更具彈性化，對於非線性 或高維度資料，有極佳的解釋能力與配適效果。可將 MARS 視為由多個迴歸模 型所組成之非線性迴歸線，藉由結點連接前後兩組基礎函數，解釋資料所呈現之 分佈狀態。其中 MARS 包含缺適性檢測，運用 GCV 數值比較配適之模型誤差值 與基礎函數個數，以防止模型過度配適。
68
模型的建構中，由於取得資料有限，所以只選擇事故年度與發展計作為解釋 變數，若於建立模型時能取得更多資訊，如損失趨勢(Loss Trend)、通貨膨脹率 (Inflation)或保費趨勢(Premium Trend)，則可適當地加入模型中作為解釋變數，或 者改變資料型態，以達到更高預測水準。
樣本外預測檢定並非用以評價賠款準備金估計方法好壞之方法，本研究使用 樣本外預測檢定，是為表示 MARS 模型，可用於賠款準備金之估計，且其估計 結果較傳統準備金辦法優異。在精算人員估計賠款準備金時，需依據當時情勢與 險種，選取適當之準備金估計辦法，或使用多種方法，並互相比較其值之合理性，
給予適當合理之估計，而非使用單一辦法給予準備金估計。
在一般責任險中，損失賠款發展速度較為緩慢，且承保範圍廣泛，使得失頻 率及損失幅度波動難以收斂，但由實際資料可觀察，無論是理賠給付或收回，損 失頻率漸減，其損失幅度甚小，MARS 法與其他準備金辦法比較，其誤差值較其 他估計方法小，本研究認為此精準度可接受，若將觀察時間拉長，則可使估計值 誤差下降，提高模型解釋程度。
69
第陸章 參考文獻
[1] Bruce E. Ollodart. 1997. "Loss Estimates Using S-Curves:Environmental and Mass Tort Liabilities." Casualty Actuarial Society Forum.
[2] Clark, D. R. 2003. “LDF Curve-Fitting and Stochastic Reserving: A Maximum Likelihood Approach.” Casualty Actuarial Society Forum.
[3] England, P. D., & Verrall, R. J. 2001. “A flexible framework for stochastic claims reserving.”
In Proceedings of the Casualty Actuarial Society (Vol. 88, No. 1, pp. 1-38).
[4] Friedland, J. 2009. “Estimating unpaid claims using basic techniques.” In Casualty Actuarial Society (Vol. 201, No. 0).
[5] Friedman, J. H. (1991). “Multivariate adaptive regression splines.” The annals of statistics, 1-67.