第五章 數值方法
5.6 PISO 演算法流程 1. 設定初始值。
5. 第二次的壓力修正得到p'' ，並對壓力及速度再做一次修正。
6. 上敘步驟 2 至步驟 5 為一個完整的 Time Step 的流程。持續步驟達 到所求解的時間，最後將結果輸出。
第六章 結果與討論
本章首先進行網格測試，藉由網格測試挑選出最適合的網格密度，接 著利用數值方法模擬對稱性與非對稱性蠕動式管道流場，透過影響蠕 動式流場的五個主要無因次參數:振幅比ε= /a h、波數α= /h λ、雷諾數
Re ρch
= μ 、背壓P =b pb2
ρc 、相位差φ。且文中敘述相位差即是上管壁與 下管壁相位角差值，若相位差為零(φ=0)，則稱此管壁為對稱性蠕動 管道；若相位差為φ π= ，則蠕動式管壁截面積為定值。再將其結果進 行分析，經由本研究中的數值方法計算出分析解與 Shapiro et al.[1]
所提出潤滑模型中的理論解做比較。以及觀察蠕動管道內流動情形，
更進一步了解在管壁內的質點運動狀況。
6.1 網格測試
本節使用管道高度為 2、長度為 100，而蠕動方式在一個週期下 的平均流量當作參考；來進行四種不同網格密度 10x100、20x200、
40x400、60x600 精準度分析。並對應網格密度可知分別為Δ = 0.1x 、
0.5、0.25、0.16，Δ =y 0.2、0.1、0.05、0.03和時間間距Δt為10−3，在 上/下蠕動壁面無相位差φ，且管道兩端無壓力差P =0b 、波數α =0.1
時，測試不同振幅比ε與雷諾數Re下造成平均流量的影響，則測試結 果如表(6.1)所示；其以網格密度 60x600 的平均流量作為參考，則誤
差百分比如表(6.2)所示。由表(6.1)與表(6.2)的結果得知，低雷諾 數下網格密度 20x200、40x400、60x600 之平均流量差異甚小；但較 高雷諾數下網格密度 20x200 和 60x600 流量超過 5%的誤差百分比，
有最大平均流量Q*max =2;而當背壓P =0b 時，平均流量Q*只為振幅比與 相位差的函數，即可表示為:
* 2
2
4[4 2 (1 cos )]
2 [8 2 (1 cos )]
Q ε φ
ε φ
− +
= − + + (6.2)
當上式中振幅比ε =0為零時，此平均流量為零(Q*=0)。
6.4 數值方法之計算結果
在本節中藉由有限體積法的計算結果，考慮五種不同的參數振幅比
（範圍ε =0~1）、波數（範圍α =0.1~0.3125）、雷諾數（範圍R e=1~100）、 相位差（範圍φ=0~π）、背壓（範圍Pb=-1.0~1.0）之設定，在其參數下造 成平均流量Q*的影響，並與 6.2 節所提出的理論解進行比較。
相位差對平均流量的影響 (a)改變雷諾數
由圖(6.1)所示，設定波數α=0.1、振幅比ε=0.6 與背壓P =0b ， 在三種不同雷諾數下，相位差與平均流量的變化。從圖中可觀察出在 相位差φ=0有最大的平均流量，隨著相位差增加則平均流量減少，當 到達相位差φ π= 流量最小。此時雷諾數對平均流量的影響不大，當相 位差較小時，雷諾數 Re=100 之平均流量略低於雷諾數 Re=1;當相位 差較大時，則雷諾數 Re=100 略高於雷諾數 Re=1。並於理論解 6-2 式
可得知在背壓為零時，雷諾數的影響與平均流量無關，但圖中可發現 與雷諾數略有影響，此是因為理論解中假設波數幾近於零的關係。
(b)改變波數
由圖(6.2)考慮在波數α =0.1與波數α =0.3125下，固定振幅比 ε 0.6、= 雷諾數 Re=100 與背壓P =0b 的情形下，測試在相位差對平均流 量的影響。從圖中可觀察在波數α =0.3125的平均流量明顯高於波數 α =0.1，且隨著相位差改變時平均流量減少幅度較小。由圖中觀察理 論解在相位差φ π= 平均流量為零；但在數值結果上，相位差φ π= 在波 數α =0.1的平均流量略高於零，隨著波數增加至0.3125時，有更大的 平均流量。此理論解的結論是因為解假設波數幾近於零，因此數值分 析結果可適用於波數不為零的假設上。
(c)改變背壓
由圖(6.3)中，固定波數α =0.1、振幅比ε 0.6、= 雷諾數 Re=100，測 試在不同背壓情形下，相位差對平均流量的影響。圖中可知當背壓
Pb=0的平均流量高於背壓Pb=1.0。當背壓Pb=1.0會產生回流的現象，此 時平均流量為負，隨著相位差增加則流體徑向速度增加但軸向速度卻 相對減少，因此回流現象較易出現在相位差較大時。當相位差φ= 0.649π 平均流量為零;而理論解為平均流量為零處發生於相位差φ= 0.554π。並 於相位差φ=0、π/2、π在不同背壓下的流線圖，如圖 6.4 至圖 6.9 所示。
雷諾數對平均流量的影響 (a)改變相位差
由圖(6.10)所示，設定波數α=0.1、振幅比ε=0.3 與背壓P =0b ， 在三種不同相位差的管道下，雷諾數與平均流量的變化。從圖中可發 現數值分析結果隨著雷諾數的上升，平均流量的影響卻很小，在此情 形下平均流量幾乎為一直線；在此觀察出當理論解背壓為零時，平均 流量為一定值與雷諾數無關。然而數值之結果中，當相位差φ=0時，
平均流量大於其他兩者相位差，且隨著雷諾數增加，平均流量稍微減 少，此是因為在管壁震盪頻率較小下，雷諾數增加則黏滯性減少，流 體在流經收縮管壁時，速度略快於低雷諾數則造成管壁的徑向推力減 少，因而影響流體的軸向速度變慢。
(b)改變波數
由圖(6.11)所示，固定相位差φ=π/2、振幅比ε=0.3 與背壓 P =0b ，考慮兩種不同波數下，探討隨著雷諾數改變與平均流量的影 響。從圖中可觀察出在波數α=0.1 時，平均流量的改變與雷諾數無 關，與理論解結果相同；但在波數α=0.3125 時，因為管壁震盪頻率 較高，因此與波數α=0.1 相比下平均流量較高，隨著雷諾數上升，
黏滯性越低，造成管道的平均流量呈線性上升。因此可知在 Shapiro et al.[1]所提出潤滑模型適用於波數較低的情形下。
(c)改變背壓
由圖(6.12)所示，固定相位差φ=π/2、波數α=0.1 與振幅比ε
=0.3，考慮三種不同背壓下，探討隨著雷諾數改變與平均流量的影響。
從圖中可知，當背壓正值時，壓力會阻止流體向出口前進，當雷諾數 越大時，黏滯性越弱，則流體越容易受到壓力小的方向移動，因此當 背壓P =1.0b 時，雷諾數增加則平均流量呈線性減少。當背壓P =-1.0b 時，
壓力會造成流體往出口方向前進，因此當雷諾數越大則平均流量越 大。最後探討背壓為零時，平均流量幾乎不受雷諾數的影響，此結果 也符合 Shapiro et al.[1]的理論解。
振幅比對平均流量的影響 (a)改變雷諾數
如圖(6.13)所示，在固定相位差φ=π/2、波數α =0.1與背壓Pb=0 下，
考慮兩種不同雷諾數，探討隨著振幅比改變對平均流量的影響。從圖 中可觀察出隨著振幅比增加則平均流量變大，在較小的振幅比(ε
=0.3)時，不同雷諾數的平均流量差異很小，當振幅比越大時則平均 流量在雷諾數 Re=100 時比雷諾數 Re=1 大。
(b)改變波數
如圖(6.14)所示，在固定相位差φ=π/2、雷諾數 Re=100 與背壓Pb=0 下，考慮兩種不同波數，探討隨著振幅比改變對平均流量的影響。由
圖中波數較高的曲線，隨著一開始振幅比上升，流量有明顯的提高，
但之後振幅比在提高，流量的上升趨於平緩，而波數較低的曲線，隨 著振幅比提高，曲線斜率緩緩增加，並推測振幅比在提高，最終兩條 曲線會交會。
(c)改變背壓
如圖(6.15)所示，在固定相位差φ=π/2、波數α =0.1與雷諾數 Re=100下，考慮三種不同背壓，探討隨著振幅比改變對平均流量的影 響。當背壓P =-1.0b 時，在較小的振幅比情形，可發現流體在壓力的幫 助下，直接往出口流動;當振幅比逐漸變大的時候，因管壁的變形較 大，促使管壁給流體的徑向推力較大則提升流體的軸向速度，近而使 平均流量增加。而背壓P =1.0b 時，壓力在流場中為阻力，因此在管道 中阻止流體向出口流動則平均流量減少。而圖中可推測，當振幅比越 來越大，三種不同背壓的曲線慢慢地接近，推測在振幅比ε＝1 時，
流場將不受背壓的影響。並於振幅比ε=0.1、0.8在不同背壓下的流線 圖 ，如圖 6.16 至圖 6.17 所示。
波數對平均流量的影響 (a) 改變雷諾數
如圖(6.18)所示，在固定相位差φ=π/2、振幅比ε=0.3 與背壓
P =0b 下，考慮三種不同雷諾數，探討隨著波數改變對平均流量的影響。
可發現在波數 0.1 時，三種不雷諾數幾乎在同一點，隨著波數增加則 平均流量較大，且雷諾數高者明顯比雷諾低平均流量大，即可發現在 波數較高時，雷諾數對流量的影響越來越大；此是當波數越大時，管 壁震盪的頻率變高，則使管道流體加速造成流量增加。並由理論解可 發現隨著波數增加，雷諾數與平均流量無關。
(b) 改變振幅比
如圖(6.19)所示，在固定相位差φ=π/2、雷諾數 Re=100 與背 壓P =0b 下，考慮兩種不同振幅比，探討隨著波數改變對平均流量的影 響。隨著波數增加下，振幅比越大則平均流量越高，此是當振幅比增 加時則管壁上的波振幅越大，使管道壓力變化變大，近而使流體加速 造成平均流量增加。並發現理論解下固定振幅比，波數的增加與平均 流量無關，且振幅比越大平均流量越大。
(c) 改變背壓
如圖(6.20)所示，在固定相位差φ=π/2、振幅比ε=0.3 與雷諾 數 Re=100 下，考慮三種不同背壓，探討隨著波數改變對平均流量的 影響。由圖中可發現三條曲線隨著波數的增加，明顯使平均流量也跟 著增加，且彼此曲線的斜率相當接近。並於波數α =0.1、0.3125在不同 背壓下的流線圖，如圖 6.21 至圖 6.22 所示。
背壓對平均流量的影響 (a)改變相位差
如圖(6.23)所示，在固定波數α =0.1、振幅比ε=0.3 與雷諾數 Re=100，考慮三種不同相位差下，探討隨著背壓改變對平均流量的影 響。從圖中可發現在固定相位差時，背壓與平均流量的關係呈線性關 係，隨著背壓增加則平均流量減少，並發現具較小相位差的管道中，
其曲線較為其他平緩，隨著相位差增加則曲線越傾斜。
(b)改變波數
如圖(6.24)所示，在固定相位差φ=π/2、振幅比ε=0.3 與雷諾 數 Re=100，考慮兩種不同波數下，探討隨著背壓改變對平均流量的影 響。從圖中發現平均流量和背壓的曲線一開始幾乎呈線性下降，當背 壓增加時曲線斜率的會緩緩的改變，並發現波數越大斜率改變越明 顯。即可推測當波數越小時，則曲線越接近一條斜直線，則如同理論 解的曲線。
(c)改變振幅比
如圖(6.25)所示，在固定相位差φ=π/2、波數α =0.1與雷諾數 Re=100，考慮兩種不同振幅比下，探討隨著背壓改變對平均流量的影 響。從圖中可發現在固定振幅比時，平均流量與背壓為線性的關係，
如圖(6.25)所示，在固定相位差φ=π/2、波數α =0.1與雷諾數 Re=100，考慮兩種不同振幅比下，探討隨著背壓改變對平均流量的影 響。從圖中可發現在固定振幅比時，平均流量與背壓為線性的關係，