4.3 Protocol for Integer Class
在多方安全計算的環境下，對於整數運算來說，首先就是必須確定運算所在的值域 大小(Domain)，有了 Domain 才具有處理運算的能力，因為 secret 型態的數值資料是處 於保密狀態的，所以說即使是負責處理運算的 SMC client 端也是無法知曉數值的真實內
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本上 Domain 的大小定義為 2n，n = k+1，也就是說最高位(MSB)為第 k+1 個 bit 且編號為 k，而最低位(LSB)為第 1 個 bit 且編號為 0。
不同 Domain 下的數值資料想要做運算的話，不可直接執行運算 protocol，必須先經 過 Domain 轉換的動作，使得所有數值資料皆在相同 Domain 下才能做運算。而做 Domain 轉換會呼叫到 zn_to_z2 和 z2_to_zn 這兩個 protocol，由於 protocol 的內層會呼叫到 scalar product protocol，使得需要耗費網路傳輸的時間，造成的 cost 會較高，所以能夠盡量減 少 Domain 轉換，就可降低時間複雜度，在設計演算法時，如何減少 Domain 轉換的次 數將會是決定效能好壞的關鍵。
對於整數的基本四則運算，皆可實現在多方安全計算的環境中。假設有兩個 secret 型態的數值資料 X = x1 + x2 和 Y = y1 + y2，且分持於 client1 和 client2 兩人手裡，即 client1 手中擁有的資料為(x1, y1)，client1 手中擁有的資料為(x2, y2)，且整數運算所採用的 Domain 為 d，數值範圍為 0 ~ (232-1)。
現在要對 X 和 Y 做四則運算，以下為詳細的設計規則以及相關的演算法與程式碼。
4.3.1 Plus
要求得 X + Y 的結果，只需要將各自手上所持有的部分結果做相加再做 mod 運算，即 為結果。因為根據 mod 運算的定理， 。
Protocol: plus
Party 1 and Party 2 individually computes (xi + yi) mod d, for i = 1, 2.
No need scalar product protocol. Trivial.
Specification: Plus
X + Y = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2)
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4.3.2 Minus
要求得 X - Y 的結果，只需要將各自手上所持有的部分結果做相減再做 mod 運算，即 為結果。因為根據 mod 運算的定理， 。
4.3.3 Product
要求得 X × Y 的結果，必須要先將各自手上所持有的部分結果做相乘，以及做一次 scalar product protocol 所得的結果，將兩結果相加之後再做 mod 運算，即為最後結果。
可直接使用之前已定義好的 product protocol。
使用者必須保證相乘之後的結果依然處於 Domain 之內，否則會造成 overflow 的情形，
且經由 mod 運算完之後的結果將會輸出非預期的結果。
Algorithm: plus
(x - y)%d
Protocol: plus
Party 1 and Party 2 individually computes (xi - yi) mod d, for i = 1, 2.
No need scalar product protocol. Trivial.
Specification: Plus
X - Y = (x1 + x2) - (y1 + y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2)
Algorithm: plus
(x + y)%d
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4.3.4 Division
要求得 X÷Y 的結果，必須決定好輸出的數值型態。整數的除法運算結果會得到商跟 餘數，若是想求得具有小數點的數值時，要使用浮點數的除法運算 protocol，且還要先 經過整數轉浮點數的型態轉換才行。這裡將使用的是整數的除法輸出。
由於是分持的被除數與除數，所以無法直接得知其值，而若是要做長除法，需先將 被除數與除數由 10 進位轉換成 2 進位，之後再開始做除法的動作。除數先對齊被除數，
被除數減除數後的結果若是小於 0，則被除數不變繼續往下做並記錄 0，若是大於 0，則 記錄 1 並將結果設為被除數，接著重新跑上述的流程，直到跑完最後一個位元為止。最 後再將記錄的結果由二進位轉為十進位，則為商，而之前剩餘的被除數則為餘數。
Algorithm: product
t = (x × y)%d
s = case(@client_type)
when 1 then scalar_product(x, y, d) when 2 then scalar_product(y, x, d) end
(t +s)%d
Protocol: Prodoct
1. Party 1 and Party 2 jointly execute the Scalar-Product protocol ((x1 , y1), (y2 , x2)) → (t1 , t2) such that t1 + t2 = x1y2 + y1x2 .
2. Party j individually computes zj = tj + xjyj , for j = 1, 2.
Specification: Prodoct
X × Y = (x1 + x2) × (y1 + y2) = (x1 × y1) + (x1 × y2) + (x2 × y1) + (x2 × y2) product((x1 , y1), (x2 , y2)) → (z1 , z2) such that z1 + z2 = (x1 + x2)(y1 + y2).
z1 + z2 = x1y1 + x2y2 + (x1y2 + y1x2)
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其中 Domain 轉換的功能，使用到 z2_to_zn 以及 zn_to_z2 這兩個 protocol，而比大小 的功能，此使用到的 protocol 為 negative?，這是用來判斷一個分持的數是否小於零，主 要是利用 MSB 是否為 1 來判斷結果。且還會使用到 if_the_else 這個 protocol，利用 negative?
的結果以取得該往哪一步去做的結果。由於使用到了 if_the_else 這個 protocol，所以底 下的兩個 block 都會被執行，且除法也使用到了迴圈，所以整數範圍因為是 0 ~ (232-1)，
以至於說上述的流程將會是執行 32 次，執行時間上所花費的時間較多。
Protocol: division
1. Two parties collaboratively execute the z2_to_zn(zn_to_z2 { k’ }) {2k’} protocol ((x1, y1), (x2, y2)) → ((b01 , . . . , bk’1 ), (b02 , . . . , bk’2)) → ((u1, v1), (u2, v2)), such that bi =
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