C.1 研究目的
Reed-Solomon 碼為目前廣為使用的錯誤修正碼，其高度的修正能力，使得普遍應用在 光儲存設備與通訊系統之中。本計畫中所使用的無線通訊標準 IEEE 802.16a[8]亦是以 Reed-Solomon 編碼系統為其 outer code，共規定了六種不同的 Reed-Solomon 編碼模式，主 要皆利用(255, 239) Reed-Solomon 編碼系統配合縮短(Shortening)與穿孔(Puncturing)的機制 來達成，因此我們將以此熱門的錯誤修正碼為對象，加以分析及實現。
在本計畫的第二年已經初步為此部分程式加速，並做了一些演算法的改善。在第三年的 計畫中，我們將以實現至 DSP 平台為最終目標，首先仍須對現有的 Reed-Solomon 系統作分 析 ， 以 對 前 一 年 成 果 中 效 能 不 足 的 地 方 加 以 改 進 。 另 外 我 們 也 將 考 慮 另 一 種 熱門的 Reed-Solomon 解碼程序—Remainder Decoding Algorithm，並與現有的解碼程序作比較，以 得到較佳的 Reed-Solomon 解碼器，最後再實現至德州儀器 C6416 的 DSP 平台上執行。
C.2 文獻探討
參考前一年的研究成果與相關論文[9]，在 Reed-Solomon 解碼器部分主要使用傳統的解 碼程序：計算 Syndrome，使用 Berlekamp Massey 演算法求得 Error Location Polynomial(ELP) 的係數。再利用 Chien 搜尋法找到根，即錯誤發生的位置，最後再利用 Forney 演算法求得 錯誤值(Error Value)。前一年在此部分程式所做的改善包括了 Berlekamp Massey 演算法與 Chien 搜尋法兩個部分，在 Berlekamp Massey 演算法部分以省去 Galois Field(GF)反相運算的 演算法來取代，而在 Chien 搜尋法中則使用到提早終結(Early Termination)的技巧來做改善。
接下來，我們仍遵循 TI 的 Programmer’s Guide 所建議的改善步驟來對程式做加速，前 一年的重點在於演算法的改善，尚未討論到如何針對硬體的架構去對程式做加速。在計畫第 三年裡我們將以此方向為重點，一方面繼續對演算法去做改進，一方面則使用一些技巧與 intrinsic function，以利硬體去做執行。
除了傳統的 Reed-Solomon 解碼程序，Remainder Decoding Algorithm[10]亦為一熱門的解 碼程序。此方法可以略過計算 Syndrome 的步驟直接得到 ELP，因此在求得 ELP 的過程中也 將無法使用到 Syndrome，所以必須改以 Welch-Berlekamp(WB)演算法[11]來求得 ELP。我們 知道，求得 Syndrome 的運算量非常龐大，大大提高了 Reed-Solomon 解碼的複雜度，而 Remainder Decoding Algorithm 正可以免去此一步驟，因此值得我們加以討論與比較。
C.3 研究方法
C.3.1 傳統解碼程序之改善
首先先對前一年改善後的 Reed-Solomon 解碼器做 Profile，觀察還有哪一部份需要做改 進，Profile 結果如圖 C.1所示。從圖上可以看出計算 Syndrome 與 Chien 搜尋法的部分佔據 整體的運算時間最多，因此接下來便針對此兩部分做改進。
80.98%
在計算 Syndrome 的部分，我們使用類似 FFT radix-4 的方式來對原本的 Syndrome 計算 公式做整理[12]，使其在一個迴圈中可以處理四組運算。迴圈結束後再將每組運算的倍數差 乘回來即可，如此大大減少了迴圈的數目。整理過後的 unrolling 效果也使程式能夠更有效 率的執行，同時也減少了大量的記憶體存取次數。此外，由於 intrinsic function 提供了許多 有助於平行運算的指令，經過 unrolling 的程式不但可以更容易使用 intrinsic function，以達 到平行運算的效果。連帶也能夠減少變數的使用量，進而改以暫存器運算的方式來取代記憶 體的存取。
在 Chien 搜 尋 法 方 面 ， 我 們 使 用 到 了 一 個 有 效 率 的 解 根 演 算 法 — Berlekamp-Rumsey-Solomon (BRS) Algorithm[13] 。其中規定了一種特殊的多項式—Affine Polynomial，只要形式為此種多項式即可使用 BRS 演算法來解根，可大大降低 GF 乘法的使 用量。因此，我們用來改善 Chien 搜尋法的方式就是，先將求得的 ELP 做整理，一部份為 Affine Polynomial，而另一部份則為不滿足 Affine Polynomial 條件的多項式。前者可使用 BRS 演算法來求值，後者則仍使用 Chien 搜尋法來求值，一旦兩者求出的數值相同，則目前代入 的元素(element)即為我們所要的根。由於最終的改善方式需要事先對 ELP 做整理，所以根 據參考文獻[13]所述，若 ELP 的最高次超過 11，所獲的改善將會不顯著，甚至比單獨使用 Chien 搜尋法的情況更沒效率。
C.3.2 Remainder Decoding Algorithm
此 演 算 法 對 Reed-Solomon 碼 進 行 解 碼 的 程 序 為 ： 先 對 接 收 到 的 資 料 再 做 一 次 Reed-Solomon 編碼，再將餘式輸入 WB 演算法求出 ELP。後續同樣使用 Chien 搜尋法與 Forney 演算法來處理。其中有兩個重點，一方面提出有別於傳統的 key-equation，另外就是餘式與 ELP 之間的關係。在此 WB 演算法是利用編碼過後的資訊，得到數個限制條件，利用這些 條件再去推算出 ELP 的係數。雖然先前提到此 Reed-Solomon 解碼方式不需事先作計算 Syndrome 的動作，但是由上述可知，仍須額外對接收到的資料做一次 Reed-Solomon 編碼，
而其運算複雜度則與計算 Syndrome 的部分相近。
C.3.3 DSP 平台實現
在 Reed-Solomon 解碼器的部分，同樣使用 TI 的 C6416 DSP 平台，以 Block Mode Streaming 作為主要的傳輸模式。實現至 DSP 平台的操作介面如圖 C.2所示，包括了一個輸 入欄以供使用者指定所要解碼的模式。本計畫所使用的無線通訊標準 IEEE 802.16a 中規定 了四種必要的編碼模式，使用者需配合編碼端的編碼模式來做選取。若輸入的數值不在此四 種模式之中，則本程式會以預設的(60, 54)模式做解碼。接下來將程式下載至 DSP 端後，即 可按下「Transfer」開始執行，執行途中可再次按下「Transfer」以暫停程式。並可更改解碼 模式，以供之後的資料使用。
圖 C.2. Reed-Solomon 解碼器於 DSP 平台上之操作介面
C.4 結果與討論
C.4.1 傳統解碼程序之改善
在計算 Syndrome 的部分，與前一年經過改進後且尚未使用 intrinsic function 加速的程式 做比較，僅使用我們的方法去對算式做整理後，即可得到 30.7%的改進幅度。再經過 intrinsic function 與編譯器層級的改進之後，總改進幅度更可以達到 97.79%。相較之下，若直接將前 一年的程式以 intrinsic function 以及編譯器層級來做改善，改進幅度則只有 58.13%。因此使 用我們的方式去做改進後，不但能夠更有效率的去使用 intrinsic function，而且編譯器也將 更容易對我們的程式去做最佳化。
另一方面，Chien 搜尋法的部分，由於先前的程式中使用到了「提早終結」的技巧，所 以我們在此分為兩種情況作討論。一種是最佳情況，也就是沒有發生任何錯誤，此時不需經 過 Chien 搜尋法處理。另一為最壞的情況，就是最後一個位置發生錯誤，必須搜尋所有的元 素(element)才能找到所有的根。單獨使用前述的方法去對 Chien 搜尋法做改善，在最佳情況 下，效率會比改善前的程式差，而最壞情況下則會比原先來的好。這是因為使用我們的方法 去做改進時，需要事先對 ELP 做整理；而在經過 intrinsic function 與編譯器的改善之後，無 論在最佳或最壞情況下皆比原來的程式有效率，這代表我們的方式不但使 intrinsic function 能更容易被充分利用，同時編譯器也更容易對我們的程式做處理。綜觀上述兩個部分的改 善，Reed-Solomon 解碼器整體的效能列表如表 C.1：
Decoder Version Code Size Cycle Improvement Percentage (%) Lee RS Decoder 5284 447,109 N/A Using the Intrinsics 4936 238,050 46.76 Modified RS Decoder 5584 121,466 48.97 Compiler File-Level Opt. 5048 11,650 90.41 Compiler File-Level Opt.
(Lee RS Decoder) 4732 121,169 72.90 表 C.1. Reed-Solomon 解碼器效能列表
上表中「Lee RS Decoder」代表經過前一年改進之後的解碼器版本。從表中可以看 到，即使已經經過 intrinsic function 改善，使用我們的方式去做改進後仍可額外獲得 48.97%
的改進幅度，使用編譯器層級的最佳化後更可以獲得整體 97.39%的改進幅度，同時我們也 列出 Lee RS Decoder 直接使用 intrinsic function 與編譯器去做改善的狀況，其改進幅度則只 有 72.90%。表示使用我們的方式並配合 intrinsic function 去做改善，使編譯器能夠更容易處 理程式，進而在硬體上更有效率的執行。
C.4.2 Remainder Decoding Algorithm
在 Remainder Decoding Algorithm 程序中同樣使用 Chien 搜學法與 Forney 演算法作為後 續處理的程序，因此我們只將前端對接收到的資料作 Reed-Solomon 編碼(在此我們稱做 Re-Encoding)、WB 演算法兩個部分，拿來與傳統的解碼程序作比較。其中計算 Syndrome 與 Re-Encoding 兩部分的目的，都是為了從資料中得到解碼的必要資訊，而 Berlekamp-Massey 與 WB 演算法皆是用來求得 ELP，因此我們將對前者與後者分別兩兩做比較。初步實現後 發現，由於 Remainder Decoding 程序中的記憶體存取次數頻繁許多，加上其運算複雜度也較 高，所以無論 Re-Encoding 或 WB 演算法皆較傳統的解碼程序來的耗時。為了解決此一問題，
我們仍舊使用 intrinsic function 來提升其效率。一方面利用 intrinsic function 來充分發揮硬體 的特性，一方面也能夠達到平行運算的效果，進而減少陣列變數的使用量，以暫存器的運算 來取代記憶體的存取。經過 intrinsic function 的改進，並配合編譯器最高層級的最佳化，最 後可得到的改進幅度如表 C.2。未使用 intrinsic function 與編譯器層級最佳化，單獨在演算 法方面作改善時，傳統解碼程序經過我們上一個項目所述的方法作改善，會比使用 Remainder Decoding Algorithm 還要有效率。使用 intrinsic function 與編譯器改善後，Remainder Decoding Algorithm 則為較有效率的 Reed-Solomon 解碼程序。
Procedure Code Size Cycle Improved Percentage (%) Re-Encoding without Intrinsics 436 191,484 N/A Re-Encoding with Intrinsics 996 2,926 98.47 WB Algorithm without Intrinsics 2,036 33,683 N/A WB Algorithm with Intrinsics 2,208 2,672 92.07
表 C.2. Re-Encoding 與 WB 演算法效能列表
C.4.3 DSP 平台實現
前部分皆為在模擬器上測得的數據，接下來我們將實現至 DSP 平台上執行。在第二年 計畫中，錯誤修正碼的部分主要還包括了 Viterbi 解碼器，所以在此也將其一同實現。實際 於 DSP 平 台 上 測 得 的 效 能 如 表 C.3 所 示 。 Reed-Solomon 解 碼 器 最 後 可 以 達 到
176.40Kbytes/sec 的處理速度，與第二年實現的程式相較之下，可以得到 96.44%的改進幅度。
而在 Viterbi 解碼器方面，處理速度則約為 17.42Kbytes/sec，仍為錯誤修正解碼程序中的一 大瓶頸。但 Viterbi 演算法的架構幾乎已經固定，很難再去對其演算法或程式撰寫方式做改 進。而且 DSP 為序列執行的處理器，若要對此部分加速，可以考慮改以 FPGA 的方式去做 實現，更容易達到平行處理的運算。
Implemented
Decoder Name Code Size Processing Rate (Kbytes/sec) Improvement Percentage (%) Original RS
Decoder 17,137,575 58.80 N/A
Improved RS
Decoder 17,139,055 176.40 96.44
Viterbi 17,120,975 17.42 N/A
表 C.3. Reed-Solomon 解碼器與 Viterbi 解碼器於 DSP 上實現之效能