Pythagorean Triple Fermat’s Last Theorem

7.2. Pythagorean Triple Fermat’s Last Theorem 93

的 primitive Pythagorean triples. primitive Pythagorean

triples , 的 的 primitive Pythagorean triples

, 的 primitive Pythagorean triples .

Theorem 7.2.2. primitive Pythagorean triple x, y, z m, n∈ N

m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數

x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數,

x = m²− n², y = 2mn z = m²+ n², x, y, z primitive Pythagorean triple.

Proof. x, y, z primitive Pythagorean triple. x²+ y²= z², y²= (z + x)(z− x). y 數 x, z 數, y/2,(z + x)/2 (z− x)/2 整數 (y/2)²= ((z + x)/2)((z−x)/2). (z + x)/2 (z−x)/2 質. 質數 p (z + x)/2 (z−x)/2 的 數, p (z + x)/2 + (z−x)/2 = z (z + x)/2−(z−x)/2 = x 的 數. p|y²= z²− x², p|y, gcd(x, y, z) = 1 .

(z + x)/2 (z− x)/2 質, (y/2)²= ((z + x)/2)((z− x)/2) (z + x)/2 (z− x)/2 整數 , m, n∈ N m²= (z + x)/2 n²= (z− x)/2.

x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

m n, x > 0, m²− n²> 0, m > n. (z + x)/2 (z− x)/2 質, gcd(m², n²) = 1, gcd(m, n) = 1. x = m²− n² 數, m n

數 數.

m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n 數 數,

x = m²− n², y = 2mn z = m²+ n², x, y, z∈ N x²+ y²= z², x, y, z Pythagorean triple. primitive, gcd(x, y, z) = 1, x

數 y 數. y = 2mn y 數, m, n 數 數

x = m²− n² 數. gcd(x, y, z) = 1 gcd(x, y, z) > 1, gcd(x, y, z)

數 ( x 數) 質數 p x, y, z 的 數. p 整 z + x = 2m²

p 整 z− x = 2n² p 質數, p|m p|n. m, n 質的 ,

gcd(x, y, z) = 1. 

Theorem 7.2.2 primitive Pythagorean triple

質的 整數 m, n , 的 整數 primitive Pythagorean triple.

的 的 m, n primitive

Pythagorean triples, 的 m, n 的 Pythagorean triple.

m, n m^′, n^′ 質的 整數 m > n m^′> n^′, m, n m^′, n^′ 的 primitive Pythagorean triple. m²−n²= m^′2−n^′2 m²+ n²= m^′2+ n^′2.

2m²= 2m^′2, m, m^′ 整數 m = m^′. n = n^′. .

Corollary 7.2.3. primitive Pythagorean triple. 的 primitive Pythagorean triple 的 m, n∈ N m > n, gcd(m, n) = 1 m, n

數 數 x = m²− n², y = 2mn, z = m²+ n².

7.2.2. Fermat’s Last Theorem. x²+ y²= z² 的 整數 , 的 x³+ y³= z³ 的 整數 , 3 的 整數 n, xⁿ+ yⁿ= zⁿ 的 整數 .

Fermat n≥ 3 xⁿ+ yⁿ= zⁿ 整數 . 的 的

, Fermat’s Last Theorem.

Fermat’s Last Theorem conjecture ( )

整的 . 的數 , 1995 整

的 . 的 的數 論, Fermat

的 . Diophantine equation 論整數 的 , 的

Diophantine equation 的數 .

Fermat’s Last Theorem 3 的 整數. n 的質 數

p, n = pm, x = a, y = b, z = c xⁿ+ yⁿ= zⁿ的 整數 , a^pm+ b^pm= c^pm x = a^m, y = b^m, z = c^m x^p+ y^p= z^p 的 整數 . 言 x^p+ y^p= z^p

整數 , n = pm, xⁿ+ yⁿ= zⁿ 整數 . n 的質 數, n = 2^r,

r≥ 2 4|n, x⁴+ y⁴= z⁴ 整數 , n = 2^r> 2, xⁿ+ yⁿ= zⁿ

整數 . Fermat’s Last Theorem, 質數 p, x^p+ y^p= z^p

整數 , x⁴+ y⁴= z⁴ 整數 . 前 質數的 ,

descent 的 x⁴+ y⁴= z⁴ 整數 .

x⁴+ y⁴= z⁴ 的 Diophantine equation.

Proposition 7.2.4. x⁴+ y⁴= z² 整數 .

Proof. descent 的 x⁴+ y⁴= z² 整數 . x = a₁, y = b₁, z = c₁

x⁴+ y⁴= z² 的 整數 , 整數 x = a2, y = b2, z = c2

c₁> c₂. 整數的 well-ordering principle , 整數 .

x = a₁, y = b₁, z = c₁ x⁴+ y⁴= z² 的 整數 . gcd(a₁, b₁) = d > 1, d|a1 d|b1 d⁴|a⁴₁+ b⁴₁= c²₁, d²|c1. x = a₁/d, y = b₁/d, z = c₁/d² x⁴+ y⁴= z² 的 整數 c1/d²< c1.

x = a1, y = b1, z = c1 x⁴+ y⁴= z² 的 整數 gcd(a1, b1) = 1.

gcd(a²₁, b²₁, c₁) = 1 ( gcd(a²₁, b²₁) = 1) x = a²₁, y = b²₁, z = c₁ x²+ y²= z². 前 論 primitive Pythagorean triple 的 , 性 a²₁ 數 b²₁ 數,

x = a²₁, y = b²₁, z = c1 primitive Pythagorean triple. Theorem 7.2.2 m, n∈ N m > n gcd(m, n) = 1

a²₁= m²− n², b²₁= 2mn, c₁= m²+ n².

7.3. 95

gcd(a₁, m, n) = 1 ( gcd(m, n) = 1), x = a₁, y = n, z = m x²+ y²= z², a₁

數 前 論 primitive Pythagorean triple 性質 n 數 ( m

數), x = a1, y = n, z = m primitive Pythagorean triple. 次 Theorem 7.2.2 u, v∈ N u > v gcd(u, v) = 1

a1= u²− v², n = 2uv, m = u²+ v².

, b1 n 數, b1= 2b^′₁ n = 2n^′. b²₁= 2mn

b^′2₁ = mn^′. gcd(m, n^′) = 1 m n^′ 整數 , c₂, e∈ N m = c²₂ n^′= e². 2e^′2= 2n^′= n = 2uv gcd(u, v) = 1, u v 整 數 , a2, b2∈ N u = a²₂ v = b²₂. m = u²+ v² c²₂= (a²₂)²+ (b²₂)²

x = a₂, y = b₂, z = c₂ x⁴+ y⁴= z² 的 整數 . c₁= m²+ n²> m²= c⁴₂, x = a2, y = b2, z = c2 x⁴+ y⁴= z² 的 整數 c2< c1. descent

的 本 . 

Proposition 7.2.4 x⁴+ y⁴= z² 整數 , 的

x⁴+ y⁴= z⁴ 整數 . x = a, y = b, z = c x⁴+ y⁴= z⁴ 的 整數 , x = a, y = b, z = c² x⁴+ y⁴= z² 的 整數 . Proposition 7.2.4 ,

論.

Corollary 7.2.5. x⁴+ y⁴= z⁴ 整數 . 7.3.

整數論 的 , 整數 整數的

. 整的 整數 整數的 , 的 整

數 整數的 .

7.3.1. Sum of Two Squares. 整數 整數的 ,

整數的 . n 本 整數的 , m∈ N n = m²,

n n = m²+ 0². 整數的 的數

數的 .

的 :

(a²+ b²)(c²+ d²) = (ac + bd)²+ (ad− bc)². (7.1)

, 的 數 .

z1= a + bi, z₂= d + ci∈ C ( C 數 , i∈ C i²=−1). z1, z₁ 的 數 z₁= a− bi,z2= d−ci |z1|²= z₁z₁= a²+ b² |z2|²= z₂z₂= c²+ d².

(a²+ b²)(c²+ d²) = z₁z1z2z2= z₁z2z1z2=|(ad − bc) + (ac + bd)i|²= (ac + bd)²+ (ad− bc)².

(7.1) .

Lemma 7.3.1. m, n∈ N 整數的 , mn 整數的 .

Proof. m = a²+ b² n = c²+ d², a, b, c, d∈ Z, (7.1) mn = (ac + bd)²+ (ad− bc)². ac + bd, ad− bc ∈ Z mn 整數的 . 

Lemma 7.3.1 m, n 整數的 , mn

整數的 ; m, n 整數的 , mn

整數的 .

1 的整數 質 數的 , Lemma 7.3.1 的

質數 整數的 質數 . 2 = 1²+ 1², 2

整數的 , 質數的 . Lemma 7.3.1

質數 整數的 的 .

Lemma 7.3.2. p 質數. a, b∈ Z a²+ b²=λ p, λ ∈ N

λ < p, p 整數的 .

Proof. S ={s ∈ N | u, v∈ Z u²+ v²= sp}. S 的 , p

整數的 1∈ S. 1∈ S ? S

( λ ∈ S) S 的 整數, 1∈ S S 的 1 (

整數的 well-ordering principle, S S 的 ). m∈ S

S 的 , m = 1.

, m̸= 1. λ ∈ S λ < p 1 < m < p. S m

的數 . m∈ S, u, v∈ Z u²+ v²= mp, m 數

m 數 論.

(I) m 數: u²+ v²= mp 數, u, v ( u²+ v²

數), u + v u− v 數. (u + v)/2 (u− v)/2 整數

(u + v

2 )²+ (u− v

2 )²= u² 2 +v²

2 =m 2p.

m/2∈ S m/2 < m, m S 的 .

(II) m 數: m 數

{−m + 1

2 ,−m + 1

2 + 1, . . . , 0, 1, . . . ,m− 1

2 − 1,m− 1 2 }

complete residue system modulo m. c, d∈ Z c≡ u (mod m)

d≡ v (mod m), −(m − 1)/2 ≤ c,d ≤ (m − 1)/2. c d 0,

c = d = 0 u≡ v ≡ 0 (mod m), m|u m|v. m²|u²+ v²= mp, m|p. 1 < m < p , c d 0. c²+ d²≡ u²+ v² (mod m)

u²+ v² = mp, c²+ d²≡ 0 (mod m). k∈ Z c²+ d²= km.

c d 0, k̸= 0. −(m − 1)/2 ≤ c,d ≤ (m − 1)/2,

7.3. 97

c²+ d²≤ (m − 1)²/4 + (m− 1)²/4 = (m− 1)²/2 < m², 0 < k < m. k∈ N

k < m. : u²+ v²= mp c²+ d²= km. (7.1)

(uc + vd)²+ (ud− vc)²= m²k p.

u≡ c (mod m) v≡ d (mod m),

uc + vd≡ u²+ v²≡ 0 (mod m) and ud − vc ≡ uv − uv ≡ 0 (mod m).

(uc + vd)/m∈ Z (ud− vc)/m ∈ Z.

(uc + vd

m )²+ (ud− vc

m )²= k p,

k p 整數的 , k∈ N k∈ S. k < m,

m S 的 .

m̸= 1 m 數 數 的 .

m̸= 1 , m = 1. p 整數的 . 

Lemma 7.3.2 的 descent 的 的

. 的 論 , ; .

descent 的 論 的, 整數 的

的 整數 , 的 論. 的

m 的 整數 的, m > 1 的 . ,

m = 1, . 的 , .

Lemma 7.3.2 的 , .

的 . 的 .

Example 7.3.3. p = 89. 89≡ 1 (mod 4), a∈ Z a²≡ −1 (mod 89). a = 34 , a²= 1156≡ −1 (mod 89), (34)²+ 1 = 13× 89.

13 < 89 Lemma 7.3.2 89 整數的 . Lemma 7.3.2 的

89 整數的 .

Lemma 7.3.2 的 , 13∈ S. 13̸= 1, 13, S

的 . c, d 34≡ c (mod 13), 1 ≡ d (mod 13) −6 ≤ c,d ≤ 6.

c =−5 d = 1. c²+ d²= 25 + 1 = 26 = 2× 13. (7.1) (34× (−5) + 1)²+ (34− (−5))²= 169²+ 39²= 2× 13²× 89.

169 = 13× 13 39 = 3× 13, 13²+ 3²= 2× 89, 2∈ S.

13∈ S 2∈ S. 數 的 , 2 .

(13 + 3

2 )²+ (13− 3

2 )²= 8²+ 5²= 89.

Example 7.3.3 89 ≡ 1 (mod 4) a∈ Z a² ≡ −1

(mod 89). 的 a ( a ) a¹+ 1 =λ p, 0 <λ < p,

Lemma 7.3.2. 的 , p 質數 p≡ 1 (mod 4) , .

.

Proposition 7.3.4. p 質數 p≡ 1 (mod 4), p 整數的 . Proof. p≡ 1 (mod 4), Theorem 5.4.1 x²≡ −1 (mod p) .

a∈ N a²≡ −1 (mod p). {1,2,..., p − 1} reduced residue system modulo

p, 1≤ a ≤ p − 1 a²≡ −1 (mod p) ( 1 < a < p/2).

λ ∈ N a²+ 1 =λ p. a≤ p − 1, λ p = a²+ 1≤ (p − 1)²+ 1 =

p²− 2(p − 1) < p². λ < p, Lemma 7.3.2 p 整數的

. 

的 質 數 整 數 的 . p≡ 1 (mod 4) ,

Proposition 7.3.4 x²≡ −1 (mod p) p 整數的

. p≡ 3 (mod 4) , x²≡ −1 (mod p) p 整

數的 .

Lemma 7.3.5. p 質數 p≡ 3 (mod 4) n∈ N p|n. a, b∈ Z a²+ b²= n, p|a p|b.

Proof. . 性, p- a. a²+ b²= n p|n

p- b, a²= n− b² p|a² p- a 的 . a²+ b²= n p|n, a²≡ −b² (mod p). a, b p 質, Legendre symbol

. Legendre symbol 的性質 (Lemma 5.3.2) 1 =

(a² p

)

= (−b²

p )

= (−1

p )(b²

p )

= (−1

p )

. p≡ 3 (mod 4) Theorem 5.4.1

(−1 p

)

=−1. p|a,

b²= n− a² p|b. 

Lemma 7.3.5 的 Proposition 7.1.1 的 , x²+ y²= n Diophantine equation modulo p 的 Diophantine equation .

Lemma 7.3.5 .

Proposition 7.3.6. p 質數 p≡ 3 (mod 4), p 整數的 .

Proof. . a, b∈ Z a²+ b²= p. p 質數, a, b

0. a, b∈ N 1≤ a ≤ p − 1 1≤ b ≤ p − 1. a, b p 質

Lemma 7.3.5 的 . p 整數的 . 

質數 整數的 , 質數 整數的 .

整數 整數的 . 整數 n. n = 1

整數的 . n≥ 2, n 質 數的 . 2

4 1 的質 數 略, 整數的 . n 4 3 的質

數, 的 略, 整數的 .

質 數 的次數 的, 的 : n = pⁿ₁¹··· pⁿr^r, p_i

7.3. 99

質數. p_i n 的質 數 n_i p_i 的次數. 2250 = 2× 3²× 5³,

2250 2 次 3 的質 數 3 次 5 的質 數. .

Theorem 7.3.7. n∈ N. n 整數的 n 的

4 3 的質 數 次數 數.

Proof. n 的 4 3 的質 數 次數 數. n≥ 2 的

. n 質 數

n = 2ⁿ⁰qⁿ₁¹···qⁿr^r· p^2m₁ ¹··· p^2ms ^s,

qi, pj 的 質數 qi≡ 1 (mod 4) pj≡ 3 (mod 4). n

n = 2ⁿ⁰qⁿ₁¹···qⁿr^r· (p^m₁¹··· p^ms^s)²,

2 整數的 , q1, . . . , qr 整數的 (Proposition 7.3.4)

(p^m₁¹··· p^ms^s)² 整數的 ( 數), Lemma 7.3.1

n 整數的 .

, p≡ 3 (mod 4) n 的 質 數 次數 2k + 1, n = p^2k+1n^′, p- n^′.

n 整數的 . a, b∈ Z a²+ b²= n.

Lemma 7.3.5 p|a p|b. a = p^rc b = p^sd, c, d p 質 r, s∈ N.

性 2r≤ 2s, 2k + 1 > 2r. 2k + 1 < 2r, p^2rc²+ p^2sd²= p^2k+1n^′ n^′= p^2r−2k−1c²+ p^2s−2k−1d². 2s− 2k − 1 ≥ 2r − 2k − 1 > 0 p|n^′. p- n^′ , 2k + 1 > 2r. p^2rc²+ p^2sd²= p^2k+1n^′

c²+ p^2s−2rd²= c²+ (p^s−rd)²= p^2k+1−2rn^′,

p^2k+1−2rn^′ c p^s−rd 的 . p≡ 3 (mod 4), p|p^2k+1−2rn^′ p- c,

Lemma 7.3.5 的 , n 整數的 . 

2250 = 2× 3²× 5³ 的 4 3 的質 數 3, 3 的次數 2 數, 2250 整數的 . 2250 = 45²+ 15². 6174 = 2×3²×7³

4 3 的質 數 3 7, 7 的次數 3 數, 6174 整數的

.

7.3.2. Sum of Four Squares. 的 整數 整數的

, 的 整數 整數的 . ,

7 整數的 . 整數 整數的

整數 4^m(8n + 3) 的 . 整數的

Lemma 7.3.1 的性質, 整數的 的 .

的 , 談 整數 的 ,

談論 整數的 .

整數的 的 整數的 .

(7.1) 的 .

(a²+ b²+ c²+ d²)(e²+ f²+ g²+ h²) = (ae + b f + cg + dh)²+ (a f− be + ch − dg)² +(ag− bh − ce + d f )²+ (ah + bg− c f − de)².

(7.2)

. 的,

數的 的 quaternion algebra . quaternion

algebra 的 , .

(7.2) .

Lemma 7.3.8. m, n∈ N 整數的 , mn 整數的

.

1 的整數 質 數的 , Lemma 7.3.8 的

質數 整數的 . 2 4 1 的質數 整數

的 , 整數的 ( 的 0), 論

4 3 的質數. Lemma 7.3.2 的 質數

整數的 的 .

Lemma 7.3.9. p 質數. a, b, c, d∈ Z a²+ b²+ c²+ d²=λ p,

λ ∈ N λ < p, p 整數的 .

Proof. S ={s ∈ N | t, u, v, w∈ Z t²+ u²+ v²+ w²= sp}. S 的 ,

p 整數的 1∈ S. 1∈ S ?

S ( λ ∈ S) S 的 整數, 1∈ S S 的

1. m∈ S S 的 , m = 1.

, m̸= 1. λ ∈ S λ < p 1 < m < p. S m

的數 . m∈ S, t, u, v, w∈ Z t²+ u²+ v²+ w²= mp,

m 數 m 數 論.

(I) m 數: t²+ u²+ v²+ w²= mp 數, t, u, v, w 數;

數 ; 數 數. 的 t, u, v, w

的 . 性, t, u v, w , t + u, t− u, v + w

v− w 數. (t + u)/2, (t− u)/2, (v + w)/2 (v− w)/2 整數 (t + u

2 )²+ (t− u

2 )²+ (v + w

2 )²+ (v− w 2 )²=m

2p.

m/2∈ S m/2 < m, m S 的 .

(II) m 數: m 數

{−m + 1

2 ,−m + 1

2 + 1, . . . , 0, 1, . . . ,m− 1

2 − 1,m− 1 2 }

complete residue system modulo m. e, f , g, h∈ Z e≡ t (mod m), f ≡ u (mod m), g≡ v (mod m) h≡ w (mod m), −(m−1)/2 ≤ e, f ,g,h ≤ (m−1)/2.

7.3. 101

e, f , g h 0, m|p 1 < m < p . e²+ f²+ g²+ h²≡ t²+ u²+ v²+ w² (mod m) t²+ u²+ v²+ w²= mp, e²+ f²+ g²+ h²≡ 0 (mod m).

k∈ Z e²+ f²+ g²+ h²= km. e, f , g h 0, k̸= 0.

−(m − 1)/2 ≤ e, f ,g,h ≤ (m − 1)/2, e²+ f²+ g²+ h²≤ (m − 1)²= (m− 1)²< m², 0 < k < m. k∈ N k < m. : t²+ u²+ v²+ w²= mp e²+ f²+ g²+ h²= km. (7.2)

(te + u f + vg + wh)²+ (t f−ue+vh−wg)²+ (tg−uh−ve+w f )²+ (th + ug−v f −we)²= m²k p.

e≡ t (mod m), f ≡ u (mod m), g ≡ v (mod m) h≡ w (mod m),

te + u f + vg + wh≡ t f − ue + vh − wg ≡ tg − uh − ve + w f ≡ th + ug − v f − we ≡ 0 (mod m).

T =te + u f + vg + wh

m , U =t f− ue + vh − wg

m ,

V =tg− uh − ve + w f

m and W =th + ug− v f − we

m ,

T,U,V,W∈ Z

T²+U²+V²+W²= k p.

k p 整數的 , k∈ N k∈ S. k < m,

m S 的 .

m̸= 1 m 數 數的 . m̸= 1

, m = 1. p 整數的 . 

Lemma 7.3.9 的 整數 整數的 .

4 3 的質數 整數的 . x²≡ −1

(mod p) , 性 α ∈ N x²≡ −α (mod p) .

(−α p

)

= (−1

p )(α

p )

=− (α

p )

,

(−α p

)

= 1

(α p

)

=−1.

α ∈ N x²≡α (mod p) . 的, S ={1,2,..., p − 1} modulo p 的 reduced residue system, p- a, x²≡ a (mod p) 的 S 的 modulo

p . x²≡ a (mod p) c∈ S c²≡ a (mod p).

S 的 , a 的 數 modulo p x²≡ a

(mod p) ; , a 數 modulo p x²≡ a (mod p)

. c∈ S p− c ∈ S (p− c)²≡ (−c)²≡ c (mod p), p 質數,

c̸≡ p − c (mod p). S 的 modulo p (p− 1)/2

. S (p− 1)/2 a x²≡ a (mod p) , (p− 1)/2

a x²≡ a (mod p) .

Theorem 7.3.10. p 質數 p≡ 3 (mod 4), p 整數的 .

, 的 整數 整數的 .

在文檔中 整數的基本性質 (頁 96-106)