計算 Ajk 的方法可以參考 [WRG+84]，計算一個表面 Tk對一個三角形 Tj所提 供電荷的影響，三角形 Tj 的質心為 r。假設三角形 Tk 位於平面 P ，Figure 3.1，ˆn 為平面 P 的法向量，ρ 是 r 到平面 P 的投影點，而三角形 Tk 的邊分別為 ri，i = 1, ..., 3，r±i 分別為 ri的兩端點。
Figure 3.1: 計算電荷密度示意圖。
d是 r 到平面 P 的距離，
d = ˆn·( r− ri±
), (3.7)
lˆi為 ri方向的單位向量，
lˆi = r+i − r−i
r+i − r−i , (3.8) ρ到 r±的距離為 ρ±，
± ±− ˆn(
· r±)
ˆl = ρ+− ρ−
Figure 3.2: Charge distribution: 此圖左、中、右分別為 pawn、dumbbell、Luigi 算出 電荷分佈的結果，我們以 gray level 的方式表示電荷的強度，越黑的代表電荷密度 越低，越白代表電荷密度越高。
在計算出每個三角形所帶的電荷密度後，我們先對此物體每個三角形所帶的 電荷密度作直方圖均衡化 [L+81]，三角形的總數量為 N 使得每個三角形所帶的電 荷密度以線性的方式作累積，提高電荷密度的對比性。我們先用一個陣列 CDF 累積三角形的數量，CDF [0] 為電荷密度等於 0 的三角形數量，CDF [i] 為電荷密 度小於等於 i 的三角形數量，i = 0, ..., 255，CDF [255] = N ，以此類推，我們累積 所有強度共有多少三角形。並將原始的電荷密度值對應到新的電荷密度值：
chargeDensitynew[i] = CDF [i]/N. (3.18) 我們選擇一個門檻 (thresholdcluster)，將所有電荷密度小於 thresholdcluster的 三角形標記起來。我們對這些被標記的三角形作 cluster，有相連的三角型為同一 cluster。
我們追蹤每個 cluster 的輪廓，若一個 cluster 有兩條輪廓表示其能將物體分割 成兩個不同區域，但有時候一個 cluster 幾乎將物體分成兩個區塊，卻因為一些三 角形的電荷密度高過 thresholdcluster，導致沒有辦法在一開始就將物體切割，所 以我們必須對無法切割物體的 clusters 作測試，檢查一個 cluster 中的三角形數量 是否超過 thresholdgrowing，thresholdgrowing 為一個和物體三角形總數成正比的一
個常數，若此 cluster 中的三角形總數大於 thresholdgrowing，我們必須對此 cluster 作 cluster-growing。
Cluster-growing 的方法是一個 iterative 的過程，Figure 3.3，首先將一個 cluster 中的所有三角形放入 cuttingList 中，並找出和此 cluster 相鄰的所有三角形存入 growingList。我們利用 growingList，來檢查一個 cluster 是否達到 cluster-growing 的 條 件，將 growingList 中 的 三 角 形 分 堆，有 相 鄰 的 一 堆，若 只 能 分 成 一 堆，
則將 GrowingList 中的三角形加入 cuttingList 中，繼續 iterative 的過程，若能將 growingList 中的三角形分成兩堆，表示目前 growingList 中的三角形已經能將物體 分成兩個區域，因此終止 iterative 的過程。
我們必須在 cuttingList 中，利用 cluster-shrinking 的方法找出確切分割的部 分，追蹤 cuttingList 所形成的輪廓，並且由 cuttingList 的三角形中，和輪廓相鄰 的三角形開始一一作 shrinking，我們作 shrinking 的依據是，若一個三角形的邊 包含了兩條不同輪廓的邊，我們稱此三角形為 cutting triangle，cutting triangle 不 能被 shrinking；否則我們將三角形從 cuttingList 中移除，並且更新輪廓，直到 cuttingList 中的所有三角形都是由 cutting triangles 構成。
結束 cluster-shrinking 後所形成的兩條輪廓我們使其平滑化，選擇總長度較小 的輪廓當作我們的分割輪廓。
Figure 3.3: Cluster-growing 流程圖: 淺綠色的三角形代表 cuttingList 中的三角形，
深綠色的三角形為 growingList 中的三角形，(a) 一 cluster 作 cluster-growing 前，將 cluster 外圍的三角形放入 growingList 中。(b) growingList 中的三角形只能分成紅 色的一堆，達到 growing 的條件，繼續 growing，並將 growingList 中的三角形加 入 cuttingList 中。(c)(d)(e)(f) 為 (a)(b) 兩個步驟作 iteration，(f) growingList 中的三 角形被分成紅色和橘色兩堆，停止 growing。
Figure 3.4: Procedure step of object decomposition: (a) 一開始的 model。(b) 算出每 個面的電荷密度，用 gray level 表示。(c) 利用直方圖均衡化增加對比度的結果，
用 gray level 表示。(d) 將通過 thresholdcluster 的三角形作分堆的結果。(e) 經過 cluster-growing 和 cluster-shrinking 後得到的 contour edges。(f) 物體分割的結果。
Chapter 4
Detector-Based Collision Detection
這個章節我們討論 detector-based 的碰撞偵測，在分割完物體之後，每個獨立 的區域即為一個 detector-region，我們在每個 detector-region 中找一個適當的點作 為 detector-point，每個 detector-point 管理各自的 detector-region。
4.1 Detector-Points
在物體分割後，我們必須在每個 detector-region 中找出適合的 Detector-point。
在模擬過程中，detector-point 在 detector-region 中的位置會影響到 detector-based 碰撞偵測的效能，因此找出較佳的 detector-point 是一個重要的課題。Detector-point 的位置在模擬過程中主要會影響三角形的面向、追蹤的時間和 potentially colliding pair 的數量，進而影響到整個碰撞偵測的時間。在這裡我們所使用的 detector-point 為每個 detector-region 的重心，根據我們的實驗，它有較大的機率對 detector-region 中的所有三角形都是可視的。