第二章 文獻探討
第二節 delta 模型下相關文獻
析。1. Time discipline：依固定時間調整避險部位，並調整到delta中立。2. Market move disciple：當避險投資組合的delta變動到特定的程度時再調整避險部位到delta中立，否則 就維持原來的資產配置。3. Lag discipline：投資組合價值超過可容忍的程度，低於或高 於所要求的價值才進行調整，不需要調整到delta中立，而是將標的資產部位價值，調整 至避險投資組合價值與債券價值之差的一固定比例。實證結果發現，採取Time discipline 策略，每週調整的績效最好。因為每月調整則避險誤差會過大；每小時調整，會因為交 易頻率增加而導致交易成本增加。Market move disciple的績效比Time discipline差，因為 只考慮到delta值變動卻忽略了時間的敏感性。Lag discipline是三種策略中績效最好的，
其研究指出在給定3%的變動幅度下表現最佳，因為Lag discipline只要針對投資人可容忍 的程度做調整，因此可以節省股票在連續劇烈變動時，連續調整所產生的交易成本。
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另 一方 面 在Sepp (2013) 把delta 避險策略區分成三種 ：依時間調整 (time-based hedging with fixed frequency)、依價格調整 (price-based hedging)及依delta調整 (delta-based hedging)。依時間調整就是固定頻率調整到delta中立，像是固定一天調整一次或固 Black-Scholes策略。Boyle and Emanuel (1980)採用每日調整，結果發現避險投資組合的 預期超額報酬為零，僅能獲得無風險利率報酬。
Henrotte (1993)則是採用依價格調整策略，發現股價在短時間內劇烈變動超過一定 的百分比後，在進行調整一次的投資組合，此策略的績效會優於依時間調整。Hodges and Neuberger (1989)與Clewlow and Hodges (1997)採用依delta調整策略。這兩篇文章利用恆 定型絕對風險厭惡 (constant absolute risk aversion, CARA)效用函數，提供了嚴謹的估值 界線。當風險係數越高，交易員對風險承受能力更低，避險次數會增加，高頻率的避險 會有大量的手續費，而delta的避險帶會變窄，因為要隨時把避險部位調到delta中立；另 一方面，風險係數越低，交易員對風險承受能力更高，避險次數會減少，delta的避險帶 會變寬。模擬結果發現，當交易成本降低時，避險帶的寬度也會變窄，因為避險次數會
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增加；當交易成本為0時，避險帶就會變成BSM的delta。在Clewlow and Hodges (1997)的 模擬結果發現此策略績效優於Leland (1985)的依時間調整策略。
BSM 假設中有一項波動度為已知且固定，但在現實世界裡波動度是隨機，因此有 學者將波動度的影響加入 delta 避險策略，如利用波動度非常數的非隨機波動度模型 (Dumas et al. (1998)、Engle and Rosenberg (2000)、Coleman et al. (2001)、Lim and Zhi (2002) 及 Yung and Zhang (2003))或利用隨機波動度模型(如： Hull and White (1987, 1988)、
Bakshi et al. (1997, 2000)、Nandi (1998)、Lim and Guo (2000)及 Kim and Kim (2004))。當 波動度會隨著時間變動所衡量出來的 delta 再也不是 BSM 的 delta，此 delta 即稱為最小 變異 delta (minimum variance delta)。
部分文獻發現最小變異 delta 可改善 BSM 的 delta 避險績效。例如，Bakshi et al.
(1997)利用標準普爾 500 指數在 1988 年 6 月至 1991 年 5 月期間的買權數據實施了三種 不同的隨機波動度模型做避險；Bakshi et al. (2000)利用了 1993 年 9 月到 1995 年 8 月之 間的標準普爾 500 指數的短期和長期選擇權做避險，發現在價外賣權 delta 是小於 BSM delta，價內賣權則是 delta 大於 BSM delta；Alexander and Nogueira (2007)利用了 2004 年 六個月期間標準普爾 500 指數的買權做避險；Alexander et al. (2009)考慮了 2007 年標準 普爾 500 指數交易中買權和賣權的六種不同模型的避險績效。另一方面，Coleman et al.
(2001)發現非隨機波動度模型的 delta 會小於 BSM delta；但對 delta 避險而言，Dumas et al. (1998)觀察到 BSM delta 避險績效會優於非隨機波動度模型，可能是波動度函數預測 能力較差。
除了上述文獻外，部分文獻是利用隱含波動度與股價的負相關性，在 BSM 之下，
建立最小變異 delta，例如：Vähämaa (2004)與 Hull and White (2017)。Vähämaa (2004)使 用了歐式富時 100 指數 (FTSE 100 index)在 2001 年 1 月 2 日至 2001 年 12 月 28 日期間 的價內、價外及價平的買賣權結算價格。透過依時間調整策略來比較最小變異 delta 與 BSM 的 delta 之間的避險績效，分為每天固定調整、每五天固定調整及每十天固定調整，
由平均絕對避險誤差 (MAHE)與均方根避險誤差 (RMSHE)來衡量避險績效，主要是觀 察避險期間的總誤差。結果發現最小變異 delta 的避險績效比 BSM 的 delta 的避險績效
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好，尤其是短期的價外和價平的選擇權且當避險時間越長，最小變異 delta 的避險表現 較佳。
Hull and White (2017)利用最小變異 delta、SABR 模型及局部波動度模型來比較避 險績效，其中避險績效之計算為
Gain=1-SSE[∆f-δMV∆S]
SSE[∆f-δBS∆S]， (6) 其中 SSE 為誤差平方和，表示 Gain 越大越好，每日避險誤差平均越小。研究資料期間 是 2004 年 1 月 2 日至 2015 年 8 月 31 日，選擇權的買賣權採用的是標準普爾 500 指數 和道瓊工業指數 (Dow Jones Industrial Average index)的歐式選擇權以及標準普爾 100 指 數 (S&P 100 index)的美式選擇權。研究結果發現道瓊在賣權的穩定性很差，因為道瓊 工業指數只有 30 支股票，所以隱含波動度更容易互相受到影響，因此避險只適用於歐 式、美式選擇權。
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