2
h
=
g
η ，
m kg M h
0
2ργ
= [2.4-20]
將(4)式取拉氏轉換可得：
S
2ΔY
(s
)−ηΔY
(s
)=M
ΔU
(s
) [2.4-21]將(5)式移項整理後可得系統線性化後之轉移函數如下所示：
η
= − Δ
Δ ) 2
( ) (
s M s
U s
Y
[2.4-22]6.文獻中使用傳統PID控制的模擬結果：
PID控制器：
u
(t
)=k
pe
(t
)+k
i∫ e
(t
)+k
ddt d e
(t
) [2.4-23]其中e(t) 為目標懸浮位置與感測器量測位置的差值，即位置誤差。而比例參 數值
k 、積分參數值
pk 及微分參數值
ik
d 分別乘上位置誤差之原值、積分值及 微分值，總合上面三項即是我們要輸入到電磁鐵的控制量u(t) ，或稱控制力。PID控制器的三個參數對系統之影響整理如下：
1.
k 的選定可決定「雜訊的抑制率」、系統之「振盪性能」、「響
p 應速度」。2.
k
d 的選定可改善系統的「相對穩定度」、降低「最大超越量」及適當地減小「安定時間」。
3.
k
i 的選定可決定系統的「穩定性」及「改善穩態誤差」，但 其相對穩定性會降低。4.選擇以下參數模擬：
[ k
pk
ik
d]
=[
4 10 0.3]
圖5.PID控制器simulink圖
7.定位控制模擬圖：
圖 6. 步階響應圖
圖 7. 方波響應圖
圖 8. 弦波響應圖
8、LQR RSS Tracker with Compensator的設計：
吾人其實可以將這個系統轉化以倒數狀態空間架構表示，並搭配加速度計與一個 簡單的積分器，來測試吾人所設計的追蹤控制法則。
Step1.修改成為搭配加速度計與積分器在標準狀態空間架構下的系統參數 加速度計輸出電壓與飄浮距離的定義：
y
=−γh
+y
⇒&y
&=−γh
&& [2.4-24]其中γ 為y與h之間轉換的斜率且γ >0， y 為定值。
加速度計規格如下：
圖9.加速度計實際圖 圖10.加速度規格
全系統模擬架構圖：
圖 11. 線性化系統之閉 迴路方塊圖
Step 2.轉成RSS-Framework
根據(7)式的磁浮系統線性化模型，考慮輸入為u，輸出為y 之系統，其狀態變數
轉成RSS-Framework：
⎥
吾人取性能指標 (Performance Index)如[2.2-21] :
( )
最後可得到受控的性能輸出追蹤 Reference Input Signal r(t)的結果如下:
第一次模擬：(使用方法 1-1)
參考輸入訊號 ：步階函數 ；弦波 ；方波 。 LQR 參數：
選擇 initial gain
K
0 =[
-42.1249 -100.5376 85.8371 218.7978]
[2.4-34]Q=10,R=0.1 [2.4-35]
將[2.2-37]至[2.2-40]經過 Matlab 的疊代演算後,求出最佳回饋增益：
K=
[
37.2177 -3.4254 2.2483 5.7313]
[2.4-36]調整穩態誤差的加權矩陣 N= -343.6290 [2.4-37]
閉迴路系統的特徵值：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
100.00
-95.6876
-7.0506i
-8.3136
-7.0506i +
8.3136
-S
[2.4-38]定位控制模擬輸出響應圖：
最大超越量:0.0235 穩態誤差: 0.0000 穩態值: 2.300 圖 12.追蹤步階函數響應圖
圖13.追蹤弦波響應圖
圖 14.追蹤方波響應圖
［結果分析］：由輸出圖可以看出 RSS 控制器同樣可以完成追蹤訊號的目的,性 能輸出可以與圖 6.比較,確實能被定位在平衡點位置 2.3 上,以 下將調整 Q、R 參數使得追蹤效果更好。
第二次模擬：(使用方法 1-1)
參考輸入訊號 ：步階函數 ；弦波 ；方波 。 LQR 參數：
選擇 initial gain
K
0 =[
-0.5783 -1.4792 4.2338 -4.5610]
[2.4-39]Q=100 、R=0.01 [2.4-40]
將[2.2-37]至[2.2-40]經過 Matlab 的疊代演算後,求出最佳回饋增益：
K=
[
0.00147 -0.4032 -9.2104e -007 -2.6736]
[2.4-41]調整穩態誤差的加權矩陣 N= -343.6290 [2.4-42]
閉迴路系統的特徵值：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
33.3 -1098.9
-1437i -1171.1
-1437i + 1171.1
-S
[2.4-43]定位控制模擬輸出響應圖：
最大超越量:1.0205e-016 穩態誤差: 0.0000 穩態值: 2.300 圖 15.追蹤步階函數響應圖
圖16.追蹤弦波響應圖
圖17.追蹤方波響應圖
［結果分析］：將整 Q、R 參數調整後 optimal feedback gain 得到更好的解, 可以由閉迴路特徵值看出,經 LQR 最佳化演算後,將其轉往更左半平面的位置,追 蹤效果得更好的效能。
第三次模擬：(使用方法 1-2)
參考輸入訊號 ：步階函數 ；弦波 ；方波 。 LQR 參數：
選擇 initial gain
K
0 =[
-0.5783 -1.4792 4.2338 -4.5610]
[2.4-44]Q=100 、R=0.01 [2.4-45]
將[2.2-37]至[2.2-40]經過 Matlab 的疊代演算後,求出最佳回饋增益：
K=
[
0.00147 -0.4032 -9.2104e -007 -2.6736]
[2.4-46]調整穩態誤差的加權矩陣: N= -343.6290； [2.4-47]
閉迴路系統的特徵值：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
33.3 -1098.9
-1437i -1171.1
-1437i + 1171.1
-S
[2.4-48]定位控制模擬輸出響應圖：
最大超越量:1.0205e-016 穩態誤差: 0.0000 穩態值: 2.3000 圖 18.追蹤步階函數響應圖
圖 19.追蹤弦波響應圖
將[2.2-37]至[2.2-40]經過 Matlab 的疊代演算後,求出最佳回饋增益：
K=
[
50.2288 -6.418 -1.1879 -2.0847]
[2.4-53]調整穩態誤差的加權矩陣： ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ 0
D
1 [2.4-54]當a∈n×n時，若要追蹤 m 個 r 值,則 r 是m×1,D 是n×m,h 是m×n,e 是m×1 D 矩陣就是由[2.3-18]中求出的 G 矩陣的前半n×m子矩陣
閉迴路系統的特徵值：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
5.3804i
-5.9909
-5.3804i +
5.9909
-28.8526
-48.4679
-S
[2.4-55]定位控制模擬輸出響應圖：
最大超越量:0.0347 穩態誤差: 0.0000 穩態值: 2.300 圖 21.追蹤步階函數響應圖
圖 22.追蹤弦波響應圖
將[2.2-37]至[2.2-40]經過 Matlab 的疊代演算後,求出最佳回饋增益：
K=
[
0.0007 -0.4032 -2.2222e-006 -0.0284]
[2.4-61]調整穩態誤差的加權矩陣： ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ 0
D
1 [2.4-62]［說明］：
當a∈n×n時，若要追蹤 m 個 r 值,則 r 是m×1,D 是n×m,h 是m×n,e 是m×1 調節穩態誤差的 D 矩陣就是由[2.60]中求出的 G 矩陣的前n×m子矩陣。
閉迴路系統的特徵值：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
33.3 -6371.8
-5835.9i
-3775.8
-5835.9i +
3775.8
-S
[2.4-63]定位控制模擬輸出響應圖：
最大超越量:3.9587e-005 穩態誤差: 0.0000 穩態值: 2.300 圖 24.追蹤步階函數響應圖
圖 25.追蹤弦波響應圖
圖 26.追蹤方波響應圖
［結果分析］：可以由輸出結果明顯看出,將整 Q、R 參數調整後 optimal feedback gain 得到更好的解,追蹤效果得更好的效能。
實驗結果分析與討論：
1.參考文獻[24]中作者在標準狀態空間架構下，使用簡單的PID控制器來完 成控制目標，PID控制器不論是在業界或是學界都是被廣泛應用的一種控制器，
其好處是PID控制器的設計簡單且容易修改，只要搜尋出好的比例，積分，微分 增益參數，即可。而搜尋的方法有很多種，嘗試錯誤法，基因演算法，類神經網 路演算法…等，並且，因為系統中缺少了一次微分的狀態變數，使用PID可以很 容易補足因狀態的缺項，而產生的設計困難。但其缺點是，搭配著控制法則，在 硬體架構上就必須使用昂貴且非常占空間的位置感測器，在成本上大大提高，在 實用上，會因位置感測器很佔空間，而縮限了在其他領域被應用的可能性。
而本文，使用在倒數狀態空間架構下所設計的Tracking Control Law ，使 用的是state derivative feedback 。所以，可以使用具有以下優點的加速度計：
(1)價格便宜；(2)體積小；(3)較快的熱和機械響應；(4)對待測物之干擾較小；
(5)能量消耗少；(6)在晶圓上成批大量生產，成本低；(7)量測點範圍小，訊號 集中；(8)可與積體訊號處理電路製作在同晶片上構成智慧型感知器(Integrated Smart Sensors)；(8)具生物醫學應用之前景。並且，由模擬結果亦可直接看出，
搭配狀態估測器也可以在倒數狀態空間架構下被使用且設計，其輸出結果，性能 指標並不輸給在標準狀態空間架構下設計，並且若遇到像參考文獻中的系統，存 在一次微分的狀態變數缺項時，因為輸出是電壓，所以只要搭配一個簡單的OP 積分器即可，同樣也是具有價格便宜，體積小的優點。如此不但減少了實用上的 成本，並且也增加了被應用至其他領域的價值。
2. 在 RSS 下設計追蹤控制法則還有一個優點，那就是 Output feedback gain K 與穩態誤差調節矩陣的解比起在 SS 下來的簡單且直接。參照[2.1-35]式發現 在 SS 下的 K 是在Ac−1中,在 RSS 下參照 Table 1.就可以用簡單的廣義反矩陣即 可求出,並且可以看出其性能並不輸給在 SS 下設計。
第三章
Step 2.設計偏軌系統(Deviation System) :
吾人可將系統拆成 2 部分計算 , 分別為收斂階段的偏軌系統部分 , 與收斂後