Generalized PORTs
3.1 Mean Value and Variance
在坓坥坣坴坩坯坮 圲圮圳中，已經知道φ在ω圩和τ在z圩的樣子，因此會直接使用在圲圮圳圩和在圲圮圵圩來 進行證明。
Proposition 3.1. 在generalized PORTs之下，Xn,k的mean value為 坅在Xn,k圩 圽 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩n − r − 圱
在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩, n > k Proof. 首先，我們先回顧一下φ在ω圩和τ在z圩，由在圲圮圳圩 和在圲圮圵圩知道
φ在ω圩 圽 在圱 − t圩−r+1, r > 圱, τ 在z圩 圽 圱 − 在圱 − rz圩1r, r > 圱.
因為我們要計算坅在Xn,k圩，所以我們要去找出m 次動差生成函數A[m]k 在z圩中的係數，
也就是說
坅在Xn,km 圩 圽 n圡
τn坛zn坝A[m]k 在z圩.
因為坌坥坭坭坡 圲圮圱圱能知道A[m]k 在z圩的解是
坅在Xn,km 圩 圽 n圡
τn坛zn坝τ0在z圩 Z z
0
Bk[m]在t圩 τ0在t圩 dt.
圲圳
因此，當我們把m 圽 圱的時候，就是我們所要找的坅在Xn,k圩的結果。所以，我們
證明完Xn,k的坭坥坡坮 坶坡坬坵坥後，我們要來證明Xn,k的坶坡坲坩坡坮坣坥。
Proposition 3.2. 在generalized PORTs之下，Xn,k的variance為 坖坡坲在Xn,k圩 圽
k在圴 圫 k圩r2− 在圲 圫 圳k圩r 圫 圱 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩2在rk − 圱圩2
− 圲在圲k − 圱圩圡圀在圳 − 2r圩 圀在圲k 圫 圳 圫 2r圩
k − 圱 − 1r k − 圱
2
n 圫 O在n1r圩, n > k.
Proof. 在 這 裡 ， 我 們 的 證 明 方 法 會 與坐坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮 圳圮圱類 似 。 我 們 要 先 計 算 出Bk[2]在z圩，就是對於在圱圮圱圩 的y做圲次偏微並且y 代入地，因此會得到圲次動差生成 函數A[2]k 在z圩的微分方程
d
dzA[2]k 在z圩 圽 φ0在τ 在z圩圩A[2]k 在z圩 圫 φ00在τ 在z圩圩在A[1]k 在z圩圩2圫 τk zk−1 在k − 圱圩圡, 其中，Bk[2]在z圩為
Bk[2]在z圩 圽 φ00在τ 在z圩圩在A[1]k 在z圩圩2圫 τk
zk−1 在k − 圱圩圡. 接下來，我們先計算A[2]k 在z圩
A[2]k 在z圩 圽 τ0在z圩 Z z
0
φ00在τ 在t圩圩在A[1]k 在t圩圩2圫 τk(k−1)!tk−1 τ0在t圩 dt 圽 τ0在z圩
Z z 0
φ00在τ 在t圩圩 τ0在t圩
τ0在t圩
Z t 0
τkuk−1 在k − 圱圩圡τ0在u圩du
2 dt 圫 τ0在z圩
Z z 0
τktk−1 在k − 圱圩圡τ0在t圩dt 圽 τk2
在k − 圱圩圡2τ0在z圩 Z z
0
φ00在τ 在t圩圩 τ0在t圩
τ0在t圩
Z t 0
uk−1 τ0在u圩du
2
dt 圫 τk
在k − 圱圩圡τ0在z圩 Z z
0
tk−1 τ0在t圩dt.
因為φ在ω圩 圽 在圱 − t圩1−r，所以我們可以知道 φ在ω圩 圽 在圱 − t圩1−r,
φ0在ω圩 圽 在r − 圱圩在圱 − t圩−r, φ00在ω圩 圽 r在r − 圱圩在圱 − t圩−1−r 並且將τ在z圩代入φ00在ω圩之中，得到
φ00在τ 在z圩圩 圽 r在r − 圱圩在圱 − rz圩−1−1r.
由於這個式子，我們的積分將可以被簡化。之後，我們先來看Bk[2]在z圩 中的這個積 分
τ0在t圩Rt 0
uk−1 τ0(u)du2
。在坐坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮 圳圮圱的證明過程之中，我們已經計算過這個積 圲圵
分τ0在t圩Rt
這裡的z是從圁圭坤坯坭坡坩坮中挑選出來並且z → 1r。在上面的式子中L0是 L0 圽 −在r − 圱圩r−2k在k − 圱圩圡2圀2在圲 −1r圩
圀2在k 圫 圲 − 1r圩 在圳圮圲圩
圫 Z 1r
0
φ00在τ 在t圩圩 τ0在t圩
τ0在t圩
Z t 0
uk−1 τ0在u圩du
2
− 在r − 圱圩r−2k+1在k − 圱圩圡2圀2在圲 −1r圩
圀2在k 圫 圲 − 1r圩 在圱 − rt圩−2
! dt.
我們先不看L0的計算，我們先把Xn,k的坶坡坲坩坡坮坣坥找出來。由於我們已經知道 了A[2]k 在z圩，因此我們可以知道坅在Xn,k2 圩的樣子為
坅在Xn,k2 圩 圽 n圡
τn坛zn坝A[2]k 在z圩 圽 n圡
τn坛zn坝 τk2
在k − 圱圩圡2在r − 圱圩r−2k在k − 圱圩圡2圀2在圲 −1r圩
圀2在k 圫 圲 − 1r圩 在圱 − rz圩−2+1r 圫n圡
τn坛zn坝 τk2
在k − 圱圩圡2L0在圱 − rz圩−1+1r 圫n圡
τn坛zn坝 τk
在k − 圱圩圡τ0在z圩 Z z
0
tk−1
τ0在t圩dt 圫 O在n圡 τnn−1圩.
坅在Xn,k2 圩的第三項已知是坅在Xn,k圩，因此只要將其它項計算出來並且簡化 坅在Xn,k2 圩 圽 n圡
τnr−2k τk2圀2在圲 −1r圩
圀2在k 圫 圲 − 1r圩坛zn坝在r − 圱圩在圱 − rz圩−2+1r 圫n圡
τn τk2
在k − 圱圩圡2L0坛zn坝在圱 − rz圩−1+1r 圫 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩n 圫 O在n圡 τn
n−1圩 圽 τn+2
τn r−2k τk2圀2在圲 − 1r圩
圀2在k 圫 圲 − 1r圩 圫τn+1 τn
τk2 在k − 圱圩圡2L0 圫 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩n 圫 O在n1r圩 圽 在r − 圱圩2
在rk 圫 r − 圱圩2在rk − 圱圩2在r2n2圫 r在r − 圲圩n圩 圫 L0r2k−1k − 圱 −1r
k − 圱
2
n 圫 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩n 圫 O在n1r圩.
我們有坅在Xn,k圩和坅在Xn,k2 圩，因此能得到Xn,k 的坶坡坲坩坡坮坣坥為
坖坡坲在Xn,k圩 在圳圮圳圩
圽 在在r − 圱圩在r − 圲圩 圫 在rk 圫 r − 圱圩在rk − 圱圩圩 r在r − 圱圩
在rk 圫 r − 圱圩2在rk − 圱圩2n 圫 L0r2k−1k − 圱 − 1r
k − 圱
2
n 圫 O在n1r圩.
圲圷
接下來，我們就要開始來看L0的部份，我們可以利用在圳圮圱圩和在圳圮圲圩 來進行計算