This method is not restricted to periodically driven mechanical systems, but extends to any system whose dynamics can be

characterized by a nonlinear map.

非线性物理：

非线性物理：混沌物理混沌物理

混沌作业：

• 单自旋体系中的自旋进动过程：在现代高速磁记录和自旋电子学 中具有重要价值。

• 考虑一个单一自旋体系，其磁矩大小恒定：m=1

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• 磁矩 m (m_x,y,z)空间轨迹演化满足下面的动力学方程(矢量形式)：

• 其中a_dc和a_ac是外加直流和交流电流产生的自旋磁力矩，^为频率

，H_eff为有效场。对permalloy薄膜，^{=1.7x107(Oe)-1s-1} 是gyro-magnetic ratio回转惯量，=0.02为损耗因子，e_x,y,z矢量坐标。

• 因为此方程为矢量方程，考虑三维空间坐标，混沌一定存在。我 们只是处理很简单的情况：H_eff=H_exte_x+H_km_xe_x-4M_se_z，取

4^M_s^=8400Oe。

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• 我们将看到根据外场条件的变化，这一演化系统会展现出同步 (synchronization)、调制(modification)和混沌(chaos)行为。

• 我们只是利用数值计算方法来显示一下结果，同学们只需要重复 本文的结果就可以了。能在此基础上做得更好那是我们的造化。

• 计算过程利用the fourth-order Runge-Kutta algorithm。此方法基 本步骤在计算物理书中可以找到。其基本思路是精细差分格式。

• 对微分方程 y=f(x,y)，给定初值 (x₀, y₀)，差分迭代得到(x_n,y_n)。为 了求得(x_n+1, y_n+1)，采用如下代数：

• y_n+1=y_n+(K₁+2K₂+2K₃+K₄) /6，这里  ^{为差分步长。}

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• 其中：

• K₁=f(x_n , y_n); K₂=f(x_n+ /2, y_n + K₁ /2); K₃=f(x_n+ /2, y_n + K₂ /2);

K₄=f(x_n+^{, y}_n ⁺ ^K₃^)。

• 上述迭代在数学上被证明是十分有效的，但是  ^{的取值仍然要足} 够小以消去迭代误差。

• 动力学演化相图如下图所示：取H_ext=200Oe, a_ac=20Oe，计算进动 频率与外加直流场a_dc的关系。

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• (1) a_ac=0时，静态情况下有极限环解，极限环频率与a_dc关系由dot line表示。

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• 可以看到，极限环频率 ₀ 与a_dc关系有两个分枝：随a_dc增加先是 下降然后上升，对应于m在面内(x,y)进动和垂直于(x,y)面进动。

• 当外加a_ac时，如果v=(-₀)很小，则最后会达到₀=。当v比较 大时，就会出现调制与混沌行为，分别用M和C表示。

• (2) 同步区域(green regions)：

极限环完全同步到a_ac频率，使 得v=0。

• 功率谱峰值狭窄锐利。

• x₁点(a_dc=420Oe, =32GHz)。

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• 增大a_ac扩展同步区域大小。

• 同步区域与调制区域的边界为 直线，表明交流场可以作为一 种微扰处理。

• (3) 调制区域(M)：同步行为在差频 v 达到临界值 v_c 时失稳，进入 到调制区域。磁矩进动呈现高频振荡与低频振荡的叠加，即存在 低频拍频现象。但是拍频频率v_b并非位于线性系统中的拍频位置

，即并非v。相图中点x₂ (a_dc=500Oe, =32GHz)的结果。

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• 可以看到，在<_c时，对应锁频同步行为； >_c时，

才出现拍频行为。

• 在同步区域附近，有v_b~(v-v_c)^1/2，与实验吻合。

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• (4) 混沌区域：混沌区域只发生在两个同步分枝相交的窄小区域 内。

• 对点x₃计算。

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• 在这个系统中，混沌窗口非常小，直流场的微小变化将会导致混 沌失稳而进入到调制区域，如图所示。

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• 红、绿、空心点分别表示混沌、同步和调制位置，可见混沌窗口 之间有乾坤。

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• 关于混沌存在的数学证明，作者原文中给出了详细描述。可以参 考处理。

• 作业要求：三者必一，或者三者都作最好！

• 1，重复本文的主要数值结果。

• 2，分析混沌道路，计算其三个分量的李雅普洛夫指数。

• 3，考虑有效场H_eff=H_exte_x+H_km_xe_x-4



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混沌作业：二维海森堡模型动力学

• 前一个作业显得比较复杂。我们考虑一个相对简单一些的磁学模 型：二维海森堡模型的回线动力学。

• 考虑(x, z)平面上一个 L x L 的正方点阵，其哈密顿为：

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• 存在几个可控参量：J, K, (h_z, _z^{), (h}_x^, _x^)。

• 计算系统磁矩 M 与 z 轴外场 h_z 之间的回线。给定 _z 和 h_x ，研究 h=h_z0 时的 M 值 M₀ 与_x 的关系，看看有没有同步锁频行为和混 沌行为。当然，_x ^{可以表示为} _x /_z ^。