Some Numerical Results
5.2 The Number of Leaves in Binary Search Tree
在 Chapter 4 中, 我們計算出 Yn 的極限分佈, 並且證明 Yn 正則化後會唯一收斂到 N (0, 1) ,針對Yn 我們也會計算一些特別的例子,其中我們計算的例子有n = 10, n = 20, n = 30, n = 50,分別對應到Figure 5.2, Figure 5.3, Figure 5.4, Figure 5.5。
觀察過後我們會發現Yn收斂的速度非常快,當n = 30的時候,其實已經非常接 近N(0,1),透過 Xn 和Yn的圖我們可以很清楚的看到兩個圖的差別,首先, Yn收斂的 速度比Xn 快許多, 除此之外, 雖然兩個參數的遞迴式相似, 但會發現兩個參數的行為 差別是很大的。
Figure 5.2: n = 10
Figure 5.3: n = 20
Figure 5.4: n = 30
Figure 5.5: n = 50
Chapter 6 Conclusion
我們將在這一章做簡短的總結還有本篇報告得到的主要結果, 本篇論文的目標是希望 可以得到動物群組的群數 Xn 的動差以及中央動差, 並使用動差法得到該參數的極限 分佈, 因此在Chapter 1中, 我們介紹了關於動物群聚的問題, 並介紹了一些前人研究 過的動物群聚的模型, 並在 Section 1.2 中介紹了本篇報告中研究的兩個重要的參數: 動物群聚的群數Xn和二元搜尋樹的外點數Yn,以及它們的遞迴式。
接著在 Chapter 3 中, 我們我們利用奇異點分析算出 Xn 的所有動差以及中央
動差,推廣了[2]的結果,也讓我們對這個參數有更多的了解,遺憾的是,我們並沒有辦 法從動差法找到Xn的極限分佈。
在 Chapter 4中, 我們計算了另一個與 Xn 擁有類似遞迴式的參數Yn, 雖然兩 個參數的遞迴式非常相似, 但得到的結果卻是完全不同, 因為算出Yn 的中央動差之後 我們發現可以透過動差法得到它的極限分佈, 也就是說, 雖然兩個參數看起來很像, 但 是從分析的角度來看,卻是差蠻多的。
最後,在Chapter 5中,我們將Xn和Yn 算出特定的n 並繪成統計圖表。 雖然 我們辦法透過動差法得到Xn的極限分佈, 不過我們計算出它的動差以及中央動差,希 望之後研究這個問題的人能夠利用別的方法找到Xn的極限分佈。
在Chapter 3中,我們有計算出Xn所對應的生成函數的微分方程 z ∂
∂zQ(y, z) = Q(y, z)2+ Q(y, z) + eyz2+ 2ey z3 1 − z.
這是一個Riccati differential eqution。Flajolet, Gourdon和Martinez三人在[4]提出 了一個化約Riccati differential eqution到極限法則的定理,可惜的是,他們的定理不能 使用在這裡。 在解釋這個原因之前我們先使用一般解Riccati differential eqution的方 法來計算此微分方程式。
首先我們定義
Q(y, z) =e Q(y, z) z . 則,
∂
∂zQ(y, z) = ee Q(y, z)2+ ey + 2ey z 1 − z. 接下來,我們令
Q(y, z) =e
∂
∂zT (y, z) T (y, z) . 則T (y, z)會滿足下列二階微分方程式
∂2
∂z2T (y, z) + ey1 + z
1 − zT (y, z) = 0.
觀察這個微分方程式我們會發現它在 z = 1有一個奇異點。 這就是我們先前提 過為什麼Flajolet, Gourdon和Martinez的定理不能應用在這個微分方式的原因。 那麼 是否可以推廣他們的定理適用於我們的狀況呢?
最後,我們將以上的這個微分方程式的解算出來如下 T (y, z) = W M
−ey/2,1
2, 2ey/2(z − 1)
+ c(y)W W
−ey/2,1
2, 2ey/2(z − 1)
,
其中WM和WW為Whittaker M和Whittaker W函數而且 c(y) = −(ey/2− 1)W M −ey/2+ 1,12, −2ey/2
W W −ey/2+ 1,12, −2ey/2 .
因此,我們對Q(y, z)有一個明確的表式式。 那麼是否可以找到這個二元漸近的極限法
則呢? 如果真的能找到的話, 那麼我們也就對可以對動物群聚的模型有更深刻的了解 了。
Bibliography
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