x
」的三次方，最終求得的結果「一立方之二百七 十四萬四千」，亦即現代符號裡的「2744000
3x
」（林倉億，2001）。除了源於西學的借根方之外，無論是傳統中算的天元術或四元術，都是利用相對位置來表 徵不同的符號與意義。其中，天元術是利用上下擺放的籌式，來表示未知數不同冪次項的係數，
例如二次項下面的是一次項、一次項之下是常數項、常數項以下是負一次項等。如表二所示，
為天元術的籌算表示法，從中可看出如何表示出７
𝑥項，該表示法裡，以常數項下一列的位置來 表示負一次項，21而該位置上擺放的籌式，則是該項的數字係數，並且無法表示出符號係數，且 空間使用上頗受限制。另外，中算家所發明的四元術，其籌式擺放則利用了上、下、左、右四 個方位，來表示出四個未知數，並且利用其它各方位來表示這些未知數的組合，不難想見其空 間使用上更不具彈性。
20借根方是十七世紀末期，由傳教士傳入中國，並教授康熙的西方代數學知識。
21元所在位置為 x 的一次項，元的下一列為常數項，再下一列即為負一次項。
表 2
天元術的籌算表示法與今日表示法對照表
修改自「中國清代 1723~1820 年間的借根方與天元術（未出版碩士論文）（頁 32）」，林倉億，
2001，國立臺灣師範大學，臺北市。
無論是借根方或是天元術都發展出用來表示 x-1項的方式，並為中算家所使用。然而，當中 算家熟悉了借根方中，以文字形式來表示「一根之一百四十」的方式，或者天元術中，以常數 項下一列的「位置」來表示負冪次之後，分式籌式符號的需求不再。再者，無論是天元術或四 元術，所相應使用的計算器為籌算，在不同位置上所擺放的籌式各有不同意義，在各位置上附 加新符號或記號易產生混淆，也難以外加文字，且它們分別只能表示一個未知數與四個未知數 的多項式，無形中也限制了符號的發展性。加以中算書中的問題，所涉未知數往往不多，同樣 未帶來符號發展的需求。因而，中算家終未發展出具現代性的分式符號。而這也說明了計算工 具－制式算籌的擺放與位置－的局限，以及所解問題類型的局限，影響了數學概念與符號的發 展。22
另一方面，十七世紀中期過後，和算家所處理的數學問題，往往涉及了多個未知量，或者 他們是以抽象的方式解決問題。因此，只能表示一個未知數的天元術與傳統的籌算已明顯不敷 使用，在此需求下，新的符號系統於是誕生。到了關孝和時期，他所發明的傍書法，將未知數 從天元術中的各個「位置」解放，成為真正的符號，一方面得以利用不同的符號，表示出多個 未知數，增加了未知數使用上的數量與彈性，也增加了空間使用上的可能性。多個「實質符號」
同時使用時，勢必無法再利用傳統的算籌等計算器來進行符號運算與操作，因此，筆算得以發 展。同時，畫式記號「|」的使用，使得單一籌式的左側空間得以被利用，進而如本文所述，逐 漸發展出代表不同意義的新表示法。再者，筆算也促進了外加符號與記號的便利性，使得籌式 可與文字相結合，文字脈絡中表示除法的運算程序，可被轉移記載至籌式「｜」的左右側，而 後固定於左側，最後，和算家籌式中帶程序性的「四除」，成為數學物件「四」，且可再將此數 字置換成抽象的符號，終形成具現代性的分數（式），使得分式符號得以完備。
22這裡筆者以一現代例子作類比，例如以計算機執行除法運算固然便利，然而，計算機並無法表示出分數，
更遑論促進分數概念或符號的發展與學習。
𝑥2+ 32𝑥 + 7 𝑥2+ 7 𝑥2+ 32 +7 𝑥
再從前述分式表徵的發展歷程來看，和算家的分式概念具「程序」與「物件」的二元特色，
且操作性的程序面向先於結構性的物件面向，他們透過對「式與數」的除法操作，最終發展出 分式符號與分式概念，並將分式視為一數學物件，可進一步對其進行操作與運算。再者，後期 和算家使用成熟的分式符號「乙｜甲」之餘，偶爾仍會混雜地使用了較不成熟的符號（例如：
乙||甲，其中的「||」被用來表示籌式中的 2，亦即它尚有表示數字 2 之意，而非單純作為畫分分 子與分母的符號。同時，其左邊的乙表示的是分母，右邊的甲，表示的是分子，因此，該籌式 符號之意，即為現代分式符號裡的
2甲
乙
）或具程序操作的表徵，例如以「乙除|甲」來表示甲 乙
，這 恰反應出分式概念對某些和算家而言，具有「程序－物件」二元性同時存在的特色，分式符號 一方面表徵了數學物件，也表徵涉及了乘除法的程序操作或演算法，這正呼應了 Sfard（1991）有關數學概念二元性的觀點與論述。
此外，和算的分式符號發展，除了可作為印證 Sfard 對於數學概念「程序─物件」二元性之 論述的歷史證據外，和算分式發展的過程，亦可佐證 Sfard 的論點：透過具體操作可將之內化成 概念操作，進而物化成數學物件，得以進行運算操作，在此，筆者以一個簡單的一般性例子進 行說明。早期和算文本的術文中，出現的演算法「置甲，四除之，合問」，代表著利用算籌或筆 算，透過具體的「置甲」以及「四除」等操作，可得所求。到了十七世紀初期，上述演算與操 作，開始被濃縮成「四除｜甲」之類的分式表徵，象徵著原本的演算法已逐漸被內化成概念上 的操作，意即以符號「四除｜甲」濃縮並內化了原欲執行的「將甲除以四」之運算，而不再進 行實際操作或提及操作上的細節，但它仍帶有程序操作的面向。一直到十八世紀中期，「點竄法 則」的出現象徵著分式符號與相關運算法則已發展成熟，這也代表和算家眼中的「置甲，四除 之」，已完全從程序性的具體操作，物化成「四｜甲」之類的數學物件－分數（式），並可再將 它置於新的演算法脈絡裡，對此數學物件進行運算或操作。換言之，透過對數或式進行動態而 具體的運算與操作，最終形成了靜態的概念結構關係與新數學物件－分數（式），乘除運算相關 的演算法，被物化成分式符號後，這些分式亦再成為新演算法的程序裡所操作的數學物件。23
儘管傍書法發展至點竄分式符號的過程中，出現了各式各樣的表徵，不過，有馬賴徸公開 了點竄定則之後，此表示法也為關流與一般和算家所接受。從另一個角度來看，許多十八世紀 的和算著作，其刊刻或成書時間乃至抄寫者皆不詳，但數學家慣用的符號系統，特別是和算家 對於「分式」符號的使用情況，就像筆跡或者慣用詞語一般，可作為判定作者、抄寫者或者成 書時期的重要依據。
例如，某書中所使用的是較不成熟的分式符號，或者可使用卻未使用分式符號，我們當可
23事實上，和算裡的術文（演算法）發展，同樣具有類似的特色，不過礙於篇幅與主題，不在此多作說明。
推定成書時間應為 1740 年代之前，或該數學家尚未習得此符號。倘若書中使用了較成熟的分式 符號，那麼此書的成書年代當可後推，或可推定該版本非早期和算家的手稿，亦可能是後代數 學家的傳抄版。例如，從徐澤林（2009）《和算選粹補編》一書所收錄的《久留島極數》來看，
「解義」裡所用的成熟分式符號，與久留島義太慣用的符號並不一致，且久留島義太其它著作 並不使用「解義」一詞，因此可推斷應非久留島義太本人所寫，可能為後世傳抄版或是後人的 諺解版。而現存的《久留島先生答術之論》一書中，同樣使用了成熟的分式符號，不過此書署 名為安島直圓於 1773 年所編寫的版本，這也佐證了後人在抄寫過程中，可能修改了原書中所用 的符號，改用較成熟的符號。24
又如建部賢弘的《圓理弧背術》一書，由於該書屬秘傳而未刊刻，故成書年代不詳，一方 面日本學士院（1956）主編的《明治前日本數學史》認為此書是建部賢弘作品，但徐澤林則指 出此書的作者問題，是和算史上無法考證的謎團（徐澤林，2013）。不過，若據書中署名建部不 休撰，以及關流和算家本多利明（Honda Rimei，1743-1821）於該書的書誌中所述，此書原作者 應為建部無誤（徐澤林，2013）。但筆者考察了目前可及的版本後發現，該書中使用了「四 | 矢」
等「點竄」式的成熟分式符號（如圖 12 所示），這裡衍生兩種可能性，其一，此版本為建部弟 子傳抄本，傳抄者增修了建部賢弘原書中的符號，並使用了十八世紀中後期和算家慣用的符號。
其二，倘若此版本真出於建部之筆，或傳抄者未增改書中的符號，那麼將傍書法推廣至可表示 分式之功，建部賢弘應居其中。特別是松永良弼 1739 年的《方圓算經》，尚未出現完備的分式 符號，而建部賢弘歿於 1739 年，若此版《圓理弧背術》的確為建部賢弘手稿，那麼和算分式符 號的發明者，應是建部賢弘才是，這也推翻了過去數學史界的定論。
圖 12 建部賢弘《圓理綴術－圓理弧背術》書中的符號。引自” Japanese Mathematics in the Edo Period 1600-1868: A study of the works of Seki Takakazu (?-1708) and Takebe Katahiro (1664-1739) (p. 289),” by H. Annick, 2010, Birkhäuser: Basel, CH.
另一方面，Ogawa（2001）引松永良弼的《圓中三原適等》一書中所使用的分式符號（如 圖 13 所示），說明松永良弼將關孝和的傍書法推廣至可以表示分式的「點竄術」。不過，事實 上《圓中三原適等》的刊刻時間不詳，且據徐澤林（2008）所述，他認為《圓中三原適等》應
24 參 考 的 版 本 主 要 為 東 北 大 學 附 屬 圖 書 館 收 藏 版 本 ：
http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G0000002wasan_4100001787
是松永良弼於享保元年至十年間的作品，即約是 1715~1725 年間的著作。然而，此圖中出現的
是松永良弼於享保元年至十年間的作品，即約是 1715~1725 年間的著作。然而，此圖中出現的