The Methods and Error Estimations on the Second-Order Differential Equations

(1)

二階徵分方程式的解法及其估計

THE METHODS AND ERROR ESTlMATIONS ON THE SECOND-ORDER

DIFFERENTIAL EQUAT工ONS. w a

--hu • L SC -a v-nr bet Rs b qA n a y

工 n this paper

,

we solve the 工 nitial Value Problem (IVP)

by a Modified Predictor-Corrector method. We can prove i t

has trucncation error Q(h4 ) and i t is stable. For Boundary

Value Problems (BVP)

,

Shooting method and Finite-Difference

method are often used. We improve these methods and get some theorems and error estimations.

(2)

師大學報第卅二期

THE METHODS AND ERROk .t; ST 工 MAT 工 ONS ON THE

SECOND-ORDER D 工 FFERENTIAL EQUAT 工 ONS

REN-SHIAW YANG

DEPARTMENT OF MATHEMAT 工 CS

TAIWAN NORMAL UN 工 VERSITY

TA 工 PE 工， TA 工 WAN ， R. O. C.

工 NTRODUCTION

工 n this paper

,

we will discuss two types of the second

order differential eguations of the following form:

(工 y" = f(x,y,y') , a < x < b and (P) y(a) = c y' (a) =.d _y" + f(y) =0 y (a) =c y (b) =d

,

a < x< b

On the f i r s t type 工)， there' are many packages

developed such as PHASER which involves Euler's Method [7]

,

工 mproved Euler's Method [5] and Runge-Kutta Method [6]. But

for more accurate

,

we use multistep methods and then

predic-tor-corrector techniques is can also be developed. For

controlling the error

,

the main purpose is each component

must be accurate. So wedevelop a modified method (combine

Runge-Kutta Method

,

Adams~Bashforth Method [5] and

Adams-Moulton Method [5]) and take.a small number r (seè step 2 .òf

the following algorithm) to solve this system (主) •

On the second type (P)

,

Shooting Method and Difference

Method are often used. But for stability

,

we use

(3)

step 2: (Compute starting values using Runge-Kutta method.) Forward by a (very small) distance r

,

and to

calculate

Kn r

*

f(a, ya) y

a.

==y(a) ==c Yl

â.==

Ya+ ka k_1d== r

*

f(a+r, Y

,

a

可 == Y

a.+

_{k 1a} ]<;1 r

.*

f(a+ 玄，有 Y 2

&.

== Y + 2kl

kz

ð.. == r

*

f ( a + 2 r , Y 2d. ) Y₂ Y

_q

+ (ka+ 2kl

â.

_{+ 2k 1 + k2~) /6}

step 3: (Adams-Bashforth three-step method for predictor and Adams-Moulton three-step method for corrector) ( s e t x = a + i h _l 有Q. == Y3 + Y4 == Y₃+ h {5f (x1 '叫卜 16f( 勻， Y2 )+23f (勻，Yj)}/12 h{f( 呵，可 )-5f (巧，Y2 ) + 1 9f (勻 'Y;3 ) +9f( 旬， Y咱)}/24 ) ←」 14 u s e r 、 V 』 vt e'-heL tx 一

!

←」 ut- pu- tp- ut-ou 一 (。一

..

4. p e +」 S step 5: stop

For example

,

we will solve the followin9 initial value problem: 。 }' 「4. (-←」 r6 )q2 X}s9 -門， LII 「3 Y{-11 f 、←」 Dιda *r*1 .lq3. PS+3 *IJ1= ﹒工可 d ﹒工。‘一 -Dι -= E'e -一 )or 。 {e H{Eh yyyw /flstJ 、 tltk < x < 2 sqrt(2)==1.4142135...

We write a program (using above a 工 gorithm) to solve this prob18m. The program and output are listed in Appendix.

(4)

(1) Predictor-corrector Method for 工 nitial value problems

Suppose we will slove the initial value problem:

(工 VP)

( Y = f ( X Y Y ) y(a) = c

y' (a) =d

a < x 三 b ，

We can set upon a system equations:

( u 1 = y

,

u2 y'

u1 (a) = c

u2 (a) = d

then

,

to solve (TVP) is equivalent to solve the followihg differential equations (Q) of first order:

( u l ' = u2

,

u 1( a) =c

(Q)

l

u2" = f(x

,

u1

,

u2)

,

u2(a) = d

/ Since (Q) contains two differential equations of first order and from the predictor-corrector method techrtique for first order

,

we can develöp an algorithm as follows:

PRED 工 CTOR-CORRECTOR ALGOR 工 THM:

To approximate the solution of the initial-value problem:

f(x

,

y) a ~ x < b

,

c

Step 1:(Set initial values)

(5)

三階微分方程式的解法及其估計

We know that Adams-Bashforth Three-Step Method has

3

truncation error O(h~) and Adams-Mou 工 ton Three-Step Method

4

has truncation error O(h~) ([5]). We also know that the

predictordashcorrector method has the same order of accuracy 4

as the implicit method

,

that is O(h~) ([13]). Since the

Runge-Kutta Method of order four has local truncation error

O(h ), we conclude that this method has lo~al truncation

error O(h)

For Runge-Kutta Method

,

the local truncation error

approaches to zero as the step size approaches zerOi that

is

,

the method is convergent. Adams-Bashforth Three-Step

Method and Adams-Moulton Three-Step Method satisfy the root

condition

,

so they are also convergent. Therefore

,

the

developed method is stable.

(2) Finite Difference Method for Boundary Value problem

Consider finite difference methods for the special

class of nonlinear BVP's given by

-u" + f(u) = 0

,

0 三 x < 1 (P) u(O) = c

u( 1 ) d

Our primary concern 土 s producxing a tractable numerical

method for this problem. We shall see that

,

under fairly

mild aS5umption on f

,

that i t i5 possible to construct and

analyze for (P) which are of high accuracy. Applying the difference approximation

-u(x. -uH{XJ)2 J - 1 + 2u (x , ) - u (x. 2 h J+ 1

(6)

第卅三期師大學報 ~ N-2

,

equations < J system of

(72-J(刊=;

2w

. -

W:'.

,

+h "f (w 布) J-1 臼 J "J+ 1 . U

.,..

J -wN- 2 + 2wN_1 + hG_{f(wN_1)}

=

_d

_,

1/N is the grid spacing and Vf ~U(x~ ).

, J in matrix form as 2 0

,

-the discrete the ODE yields

(P h) to 己 ystem The 『 h 1ilhere g( 見玉， {g( 足) } j f (Wj )

,

k i s

positive gefinite

,

and 乏=(c

,

0

,....,

0

,

d ) T

The algebraic system (A) ls nonlinear

,

iteration is necessary to therf concisely written kw + h ♂-1 →RN_-1 can be (P_h) (A) and kind symetric some bence g: where 。 W 戶 t approximation 。 ur produce of first decide factor multiplying g

,

to get the iteration we 。f Because step

2

, (i ) =玉- h- g(主) • convergence properties of (工 1 )

,

algebra.[2

,

at each ‘‘', 1e +h it 's-. 、 w~e bkq-V4 1-a n a k invert simply )

-T 止 { need we To nu 「4 斗 nr 們 G 4Y 戶 IY n a r o f--linear from lemma following the its A. then 11 112 T 久、 min 11 之 I~ 丘之〈JZi mx

llz||?

where "}、miniAjiλmax for a11 eig~nvalues令。 f

is symmetric and postive defnite

,

then

又 j n*n matrix

,

symmetric a 1. S A A proof: eigenvalues 工 f 工 f Lemma. its and Thus e v

--• L -L-sn 。 R p n a Dι s and real and are orthonrmal are V

恥『吋

}C.3 啊，「 d f'1-L~' 、=

-nz-3

s--aF r

切

YN c e v n e qd .工 e

'

、正呵， ι Y cl.

_J

丸_max

n

λ. <入 max 主 3 一

=♂ d

j =1 J yTl\.y that s 。 j =1 of convergence the lower bound. e p1J 14 司， •• a6 n3 a4

.

op ιL 『I qL 4. Dι the n o

--令」 -l s' 。 3 P1 [ aflk

-nh' -1

,

E T4 wt 、。 n forλand 佇11n similarly iteration are We and the

(7)

二階微分方程式的解法及其估計

then determined by (1

1)

,

戶 (i)=1: 目 2{i) ， HillIE{i}

卅一 r

,,-"'(

0)" '

f (5) 1 11 e.' v '1 m11l

11ε(1)

112

H '~hcorem : (2 ) < 、

15 the sm<llle5t cigenvalue of k.

。 l > mll1 where ) ,4 γaa { and (11.) from have-

,

We Proof: (i) g(之)) • =-112(9{2) ke (1+1)

..

』 -h I

e

-。 D ‘ m 。 c 、 J } hi ι .. 』， 1. 、 J -3w eF-A LH ←』 c0l1s1der •• EJ '} LL 、'， -n1

,

qd-i .，也， E ‘ rw 呵 { eqJ I i 恥、 lerm on t:lle '1'0 ana1yze } ﹒旬， d w {-EL

=

'

} .、品， E 、.、'， e .、 J S { FA (g(~) 、

-lhus 2_ (i) = -h~De '、圖， } 可 -A + -l14 r 、 a e~n ko qd a ., _.• • G Thus

.

) .、 J qH (

-SL 2 ， ~(i+l) ， T~_(i) -h~(e ，---， )ADe

-一 D. . JJ mat:rix with.element:s a lS where 0

=

(i+1)1'. (i+l) (e' - --, ) ke ( 3 ) right: } -l f ‘.、 J e ) ，且也 + .、品 { .可 J e } ﹒『 J RM {

,

SL 唔，晶，主白，“= N-3 白白 t:he (i+1),T ~_(i)

I

(皂 }DB term on the at look ^gain

,

是 maffh)||lji叫11

₂

!I

!t( i

)16

we get fllhz d 到『4

,

_..

A 斗， .可 A e~ EH FA ( 3)

,

side of left: 可4 1 1 〈、 t:he

Ib(i叫I ~

。 n l using Lemma IJence, mé\x A m11l (2) . t:o immediat:ely leads which l < i f converges Ami I1 müx

I

f I (s)

I

i t:erat:ion '、 h"" = the U t:hen

,

Clearly

,

(8)

g:

The eigenva1ues of k do depend on N

=

1/h

,

and in fact it Cëln be 2

shoWI1 tha t.入:~ = O(h'). 'fhus u = 0(1) and so conVergenCe is.itot SQ

m~n

Dutomatic as it seems. We nced to modify (1

1) to improve matters. To improve (1

1) we 100k at thc definition of u

.

We add a COl\

st-i1llt to the diago/la1 of a matrix shifts the eigellva1ues: if

A t.

=

"'1.

I

• ,-J ,..,..,'

l.I

ic

lI

(A + vl)z = ( ,,+ y)z.

'.Iot!vated by this we add:!: v.'己 i l1 to (A) to get

(A ' ) (k+VI )if+(h29{3) - v~)

₌

_.、，r

,

which leads to the i l:eration

E

Ta-{ ( i+ 1) _._ I L 2 _ I • • ( i ) \ .... ( i )

(k + vI) 之=! - (h~g( X!\-')

^"

ana1ysis simi1ar 1:0 thal: used in Theorem 1 shows that

,

for

_ (i) ;::J ( i )

=

w - w'-' . we nave 9桐、"

11 兒(

i ) 11 2 <

(u

(v)

1

i 11

~(

0 ) 112 where u(v)

=

) s { ZL 『4 l v xR nuιLW ms v

+"

_nun

obvious1y we want to choose v 50 that u(v) < 1

,

andu(v) is as small

i1S possib1e.

Theorem 2: I f f '(s }iEOfor al l.s , and vZhzmax f '(s ),

v - h2 min f'(s)

then

u (v)

=

<1

v ... " _m~n för a11 h.

(9)

二階微分-方程式的解法及其估計 1、 roof: UIlJcr lhe hypolhcsns of f nnd v

,

max

I

v - .h 2 f ' (口 )|=max(v-i12f'{s)),

=

v 呵 h

2

min

f'(5)

,

which i5 strictly le55 than v

.

lJut v +λ>v ， hence the rati 。

m~n

u(v)< .1.

Since u(v) is a non-decreasillg function for v 主 0 ， we wish t 。

take v a5 small as possible to a~lieve minimum convergence factor

u(v). Theorem 2 appears to give. condltions for finding the optimal

v

,

but in fact dοes not. Because Theorem 2 gives only sufficient conditions for u(v) <1

,

not neces.ary ones; u(v) <1 is p 。正sible even when the hypotheses of Theoem 2 do' not hold. Generally

,

(I

r )wil1

converge so lol\g as f' (s) ~ 0 on a larg.e enough interval containil\g

會 he boundary values.

We are now toexamine theerror in approximating solutions

to (P) using our nonlinear algorithm. The analysis foilows mucll

lhe same lines as the linear casc. _{If the} _{vector 均=}

_f

_u_,(_X_j)I _{i s} the vector of the exact solution evaluated at x.;' l~ j 乏 N-l ， then

3

(4 ) _KEa

+1129( 山}=r+112z ，

可?戶﹒

<:h2

,

where C d

r.

pcnds ollly on the c;ierü;atives of u

,.

叫 th 11 7. 11正

Subtracting $4) and (A) we get

k(足， -23)+h2{9{E，}-9{1))=

2z~ 2z~ -n

--YN D 司正 ku

'

+ WM 「 k u~r 、 = Y

“

r 。 SL O S

where D is a diagonal matrix with entries Dj = i4xj)and wyThus

(10)

闕，甜甜

"

可 -a D 弓，必』 H + 'bhi 呵， h

iE

ZEh--C

=〈\昌 ﹒『 .J W ﹒『 Ed x "可 M 間，、、期似 .o •

-mo

卅第報。學大師

based on the f0110wing 1emma.

Lemma z zf Dj=f'{sj}and E '{s }事。~"> 0

,

for a11 5

,

then

II(

I(

k + h k

+

h 20 ) -2 0 ) -

111，國<

J 1/(h20").

Proof: k+ h20 = Q(1 -C)

,

where Q i5 diagonal

,

Qj = 2 + h20_j

,

and each row of C has at most two non-zero entries

,

viz.

,

=-l/{2+112D. } , C =-l/(2+lE2D ).

j-l -

-..., \'

,- JI Uj_l" "j+1 -

...,

\~

..

....j+1

月l'hus

~cll...

<2/(2 +

h

2

，σ)

< 1 .and s 。

II(k

+ h20)-l

.11..

~

IIQ-

1

IL [

1 _

~clI...

J

l

r

1 < 、 2 + h-a- I 1- --~-2 + h-(7" l

-2 +

h

2

，σ-

2 自

=1/(11;σ}

We have thus estab1ished

,

under the condition f'(s)3 (7" >0

,

that

-1.2 !u

,

(x..:) - W.!! .5 C

,IT'

-"'h

O~ j這 N'

-,'

"j , .. j 、 l

where C

1 depends onbounds for the third and fourth derivatives of u

.

(i)

since we a1most a1ways are working w1th ~\~I instead of ~

,

we 11.. ..(1)/1

have the addi tiona1 error term _,.11 w - W

\...,

11

(11)

二階微分方程式的解法及其估計 ( i) I lu(x.!) -w~"'/1 O 吉 j 空 N J J 、

11 旦- ~II...

+

1 ~ -兌付) 11 阿

< < 、 cf-lt12+!ls-di}lL

,

C

₁

小

~1h2

+

(u(V))ill~112

' ( 0)

assurnir193zo . w e thus are interested in taki 呵 i 1ar.ge enough

so that

i ".. 2

(u(v)}.I.

=

Q(h"'")

,

in order to preserve accuracy.

REFERENCES

[1) A1exander

,

R.

,

Diagona11y implicit Runge-Kutta method~ f。早

stiff O.D.E.'s

,

SIAM J.Numer. Anal.

,

14

,

1977

[2) Atkinson

,

k.

,

An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley, New York ，工 978

[)) Boyce

,

W.and R.Diprima

,

Elementary Differential Equations

,

3rd.

,

John.Wi1ey

,

New York

,

1977.

[4) Bulirsch

,

R. and J.Stoer

,

Numcrical treatment of ordinary

differential equations by extrapolation

,

Numer.Math.

,

8

,

1966

[5) Bur~en ， R. Faires

,

J. and Reyno1ds

,

A.

,

Numerica1 Analysis

,

2rd.

,

PWS Doston.

,

1981.

[6) Butcher

,

J.

,

On the attainable order of Runge-Kutta methods

,

Math.Comp.

,

1'

,

1965

,

pp. 408-417.

[7) Ceschino

,

F. and J. Kuntzmann

,

Numerica1 So1ution of 工 nitial

Va1ue Prob1ems

,

Prentice-Hall

,

Englewood Cliffs

,

N.J.

,

1966.

[8) Coddington

,

L.

,

and N. Levinson

,

Theory.of Ordinary Different-ial Equations

,

McGraw;-lIi l l

,

New York

,

1966.

(12)

different-師大學報第卅二期

ial equations

,

in Mathematical Software

,

J. Rice

,

ed.

,

Academic Press

,

New York

,

1971

,

pp.477-507

[10JGear

,

C.W.

,

Numerical Initial Value Problems in Ordinary Diff-erentìal Equat!ons

,

Prentice-IJall

,

Englewood Cliffs

,

.N. J.

,

1971. [IIJGragg

,

W.

,

On extrapolatlon algorithms for ordinary initial

value problEms

,

SIAM J.Numer.Ana

l.,

2

,

.1965

,

pp.384-403..

[12Jllornbeck

,

R.

,

Numerical Methods

,

Prentice-IJall

,

Englewood Cliffs

,

N.J.

,

1982.

[13J Issacon

,

E.

,

and II.Keller

,

Analysis of Numerical Methods

,

John Wiley

,

New York

,

1966.

[14J Keller

,

II.

,

Numerical Methods for Two~Point 80undary Value Problems

,

Ginn-81aisdell

,

Will tham.

,

1968.

[15J Keller

,

II.

,

Numerical Solution of Two-point 80uridary Value Problems

,

Regional Conf. Series 1n Appl.Math~12~ ， SIAM ， Phil-adelphia,1976.

[16J Milna.W.E.

,

Numerical Solution of Ordinary Differential Equations

,

John Wiley

,

New YorJ屯， 1965.

[17] Shal1)lPine;L. and M.Gordon

,

Computer Solution of Differential

(13)

二階傲分方程式的解法及其估計

ll~[ I O/~EST lVl < STMIfOnD rASCAl, IICClll VERSIOII Of .1\AY -82 > 10:22: 15

05-19--r

(M.M'flflMIi， ltfllrtrA fIf，It'， fti， M，'， M，食 frftf, fI "" M. 的晶，'， hl. 食 trlltr^ft ",..(,...,,;,... tl'" 自由公自治}

1 (I"H "俞正，)

3 ) (10111'

) (1，必備 DlrrEn[HrlAl EQUATIOH 食品吋

5 ) 1" 也fI 'AIIC, Rtll-SIIIAII ,.".,1,)

6 ) (1，晶晶晶的 1

) I 晶晶晶

8 (~frAfrltfrAfrlt^flfrflflfr~frA~AfrfrtrltltfrfrAfrtrflfrflfrfrfr"frfrfrflfrflflfrfrAAfrfrfl 晶晶帥的自晶晶}

9 ) rnocnA" SYSDEQ (oUlrU!l1

10 ) COll5T DPI'. 3.1~ 15926535897931

11 ) TYrE AnTEH • AnnA' (/1..10/) Of nEAl

,

12 rntco - AnnAYI/I..'.

,

I..IO/) or RtAll

13 VAR I.J.K,l,II: 1111 [(an

,

I~ 372D 1) DX.oXX,JI.nESlnEAll

15 LoBD 1) YO:AnTEH

,

16 ~88D 1) YOUT,COUrlrRECOI

-17 1128D 1) pnll:TExTI

18 1137D 1) (fr tllrEn IIEnE 111E DIrFEnEIITIAl EQUATIO'IS 1.)

19 1137D 1) (1，俞仇食fI""晶食食州食俞 a州*禽*食 h 街食食*食u 食M食 h舵 flllllflfl itI，，，食“削州6白E 食食 frA禽禽 Afl itI， l，帥，ii.州"';1吋*晶俞，'，;削"

20 1137D 1) (也""

21 1131 自 1) (甜食fI P 11 0 C ( D U R ( F U N "M,)

22 11370 1) (f，喝fI fr 曲必}

23 11370 1) 1 fn"，ftI"H， t""" ， ftfrfrltf，禽白自由 fr tr{， frflM，1I 命白自由食街 *h~~b~hh~~A^trå~~~ 自由帥的詢公)

2~ 1137D 1) rnocEounE rU~(~:INTEGtnIDx:nEAllvAn Y:AnTENlvAR p:AnTEII):

25 (fr EXAIIPlE Y" • -r112 晶 (Y-X) t,)

26 ), BEGIII

27 C(/I/) 1- Y(/2/) I

28 111 2) C (121)

,-

-DPlfrDP' 禽 (Y(/'/) -DX)

,

29 111 2) EIID

,

30 _ ) (" EIIO or DlrrtnEIITIAl EQUATIOHS fr)

31 ) .(frAfr"frfrflfrfrflflfrfr"frltfrfrltfrfrflfrfrfrfrfrllfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrlt 圳的自由 l'f"(~I(t 的}

32 ) (f'自由

33 ) (M'" P iR 0 C [ OU R E I N I T fr{:{')

3" ) (f"'" 甸的 f，)

35 ) (frfrfrfrfrfrfrfrAAllltltfrfrAfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrltfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrltfrltltfrfrfrfrfrfrAfrItfrfrfrfrJ

36 (It ""T1AL STARTII'G FOR/lUlA (RUIIC[ KUTTA)

37 ESTADlISIIES Y AIID' C VECTons AT x-o (CIVEII),

3B X.II ^"D X.211, EACII 8Y 5 RUIIGE-KUTTA SllCES fr)

39 rROCEDunE INIT(KII1I1ECER

,

VAR OXIREAl

,

VAR YO:^RlEII:II:REAll

.0 VAR YIIEII.rREcólvAR GIIEII:P~EtO) I

~I LA8El 991

1, 2 (ft K - IIUIIOER OF EQUATI OllS

L3 DX • IIIITIAllY X(O)

,

8UT IS UPDATtD

,

\I['ICE VAR

L~ YO • IIIPUT VECTOR OF Y(O)

L5 11 • IIITERVAl SIZE FOR PREOICTOn CORRECTOR

.6 YIIEW - OUlrurl 3 VECTORS YII[II(I. 的 AT X.X (0)

"7 ), cmw.. OUlrUl1 3 VECTORS lIKt Y"EII

~8 OUlrUT IS RE^OY rOR IIIPUT IIITO ^DDASII ~)

49 VAR Y.G:ARIEIII

50 30,,0 2) YIJRI:,CIJnl:lrnECOI

51 9~'， D 2) DEl,OXII:nEAlI

52 9600 2) Ifl,I,J,K^,l,.I,III1,IIKllllTEGERI

53 9920 2) 8ECIII (r

,

BEGII' rROCEDURE 吋

.5" DEl:"II/10.01

(14)

師大學報第-JIt二期 LIHE I O/HEST LVL '。 7." 。 "Enu ﹒'、 4.2.qq' ，包，'"。 "Emu-' ，'‘‘ 3. 旬，言，。 7."un3 《 u. ，筍，‘， 3'" ，、'， b' ，俏。 "3 向 u. ， -4 ， 2." ，、'，旬，''"。 "Emu-' 旬，.， 3." ， 2 ， b 可 '"En3O EdRdFDR' ， b'" ，。'。， b'b' 。， b' 。'。可'，'，旬，'，、'，、'，，旬，呵，旬， '"nnE 胸口 monomonoaonunon3"3qdn3n3"3n3nERER3nMOOnunununνnununuI 11111111111 }}}}}}}}}}1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ‘'‘.'‘‘'‘司，‘呵，‘‘'‘‘'‘角，‘‘'，‘‘'，‘司，‘‘'‘呵，‘司，‘‘， •• ，.唔，且，‘' •• ，.司， •• '‘喝，‘.'‘司， •• ' •• '‘‘'‘‘'‘"，‘角，‘‘'，.呵，.司， a •• , z •• ', •• sa--' ，.旬，‘嚕，‘‘'‘‘，‘旬，，.呵，‘.'‘‘，“ -dy MHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHMHMHMHHHHHM 肉""“阿 HHU 間 HHHHHHH"HHMHHNAU 阿 HHHHHNHNHNHNM 伺 unnunu"UMHHN -e ﹒'，‘有 4 、 4 ， -zdZJZJZJZdzdtd 司 d 『 d ﹒句.“﹒旬，‘ dzd 司 dL 可."﹒句有 d 且， 2."-h 『﹒ ι 甸甸‘ J2J 電 d-h 『﹒旬， h『 L 呵，‘ d1d ‘ 4 •••• "、‘ 4 ， hu--' ，‘ nu'' ，且 ,‘',‘ d' ‘ d

< STANfOnO PASCAL

,

MCCILL VERSION Of MAY -82 > 10:22:15 05

fOR MK j - 1 10 ] 00

BECIN 食 BEC ItI I\K LOOP 白}

IFL 1- 0

,

FOR 1 :- 110 K 00 YNEW(/I\K,I/) I-YWnK(/t.I/): F OR 1\1\. 1 10 5 00

DEC 111 (1. BEC Itl 111\ LOOP 1.) FOR 1:- 110 K 00 Y(/I/):- YWnK(/I,I/);

rUN(K,OX,Y,C)

,

RES:-].OACOS(OPIA(OX-0.25)). + OXI

WRITELN(' ','X

.·

,OX: 81 1..' Y-', Y (/1/) : 12: B, Y (/21) : 12: S. I C

.

I ,C (/ 1 /) : 1 2 : 8 ,G 1/ 2/) : 1 3 : B • R E 5: 1 5 : 9)

,

Ir IfL-O 111EN FOR 11-1 10 K 00 CNEW(/I\K.l/) :-G(/I/) I IF IIK- 3 TIIEN C010 99

,

Ifl 1- .11

fon 1:- 1 10 K 00 BECIN GWnK (/1, 1/) 1- G (/1/) 1

Y\IIIK (/2, 1 月 1- YWRK (/1,1/) + OELAGWnK (/1.1/): Y(/I/) 1- \WnK(/2,1/)1 ENOI

OXII:-OX+OEl

,

~U，l(K.OXII. Y ,G) I

FOR 11- 1 10 K 00 BEGIN GWRK (/2. 1/) 1- G (/1 /)

,

YWRK (/3, 1/) : - YWRK (/1.1/) + OELftCWRK (/2. 1/) I Y(/I/)1- YWnK(/3,1/); ENOI

FUII(K,OXH,Y,C) I

fOR 11- 1 TO K 00 BECIN GWRK (/3, 1/) 1- G (/1/) I

YWnK(/I..I/) 1- YWRKI/l, 1/) + 2.0 ft OEl"'GWRKII3..I/)

,

Y (/1/)

,.

YWRK(/t., 1/) I . ENO

,

OXII :- OX+2.0 ft OELI fUN (K,OXII, Y ,G) I

rOR 1:- I TO K 00 BEGIN GWRK (/t. ,1/)

,-

C (/I /) I

YWRK (/1,1/) : -YWRK (/1,1/) + (OEL/3 .0)'" (GWRK (/1., 1/H2.0"CWRK (/2,1 i'J

+2.0"'GWRK(/3

,

1/)+GWRK(/t..I/)) ; ENO.:

OX:-0 X+ 2.0食。 EL;

ElIO; (1. EHO III\-LOOP t:)

ENO

,

(ft EllD tlK-LOOP 吋

99: ENO; (... ENO PROCEOURE 1.)

(...ftftft.ftftftftftAftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftftft...ftft...ftftft...ftft...ftftftft...)

{自擔負 Id"")

(ftU P R 0 C E 0 U R E A 0 B A S H "'(01:)

(..." ftft...)

(ft"""Aftft""""""ft"ft""""""...""ft 州州自 ftftftftftftft..."..."...ft...ftft"..."... 會州州白} (1. AOAI\S-BASlIFoR1H 3-POlIlT PREOIC10R CORnEC10R t.)

PROCEOURE ^Oß^SII(K:INTEGER:VAR OX:RE^L:II:REAL:H1:INTEGER: V^R YIIEWIPRECOIVAR GHEW:PRECO):

VAR Y,G:AnTEIII OXIIIRULI

IITT,I,J,KA,L,I\IIHTEGERI BEGIN

fOR NTT 1- 1τo N1 00

BEGIN 食 BEG1 H TlIE COIIPLE1E PROCE 55 l:l {食 PREOlt10n I 吋

(15)

llNE I O/"EST lVL < STAIIFORO PASCAl

.

HCGILl .VERSION or HAY -82 > 10:22:15

05-19-111 211 2) ron J:

.

1 10 k 00

112 2" 2) YIIEW(/~ ， J/):- YNEW(/J,J/) + "'(5.0 仇 GIIEW(/ 1, J/) . 16 .0ItGI/H1 (/2, J/) 。

\'IJ 2N 2) +H.OftGIIEW(/J,J/ll/l2.0: 11 ~ 211 2) r OR J: - 1 TO k 00 Y (/ J/) I

.

YNEW(/q,J/} 1 115 211 2) OXII :- OX + J.O 叫 11 116 211 2) fUlqK,OXII,Y,G) 1 117 2N 2). (tI CORREt:10R I ft) 118 211 2) FOR J:

.

1 10 K 00 BEGIH 119 JII 2) GllrW(/~ ， J/):"G(/J/)1

120 JII 2) YNE~(/q ， J/) 1" YHEW(/3,J/) + H~(GIIEWI/I ， J/) -5.0~GIIEW(/2 ， J/) 121 3H 2) +19.0^GIIEW(/3 ， J/)+9.0^GNEW(/" ， J/))/2~.0:

122 311 2) Y (/J/) 1- YIIEW(/~ ， J/) 1 ENO:

123 211 ,2) FUIl(K,DXII,Y,G)f

12" 211 2) fOn J:

.

110 K 00 GIIEW(/q,J/) I-G(/J/)I

125 211 2) RES :- ].0 呵。 S(OPI "'(OXII-0.25)) + OXHI

126 211 2) IF (HTT t\OD 20)

.

18 111EII

127 2t1 2) WRITELN(' ','X "',OXI1I9:'I,' Y"',YIIEW(/q,I/):12:8',YlIEW{/I,,2/)112:8, 128 211 2) , G簣'， GNEW(/q ， I/)11218,GIIEW(/q,2/) IIJ,8,RES: 15:9);

129 2H 2) fOR J:- 1 10 3 00

130 2H ,2) Fon KA

,

4 I TO K 00 BEGIN

131 ]N 2} YIIEW(/J ， KA/)~-YHEW(/J+I ， KA/) I

132 3t1 2) GNEW(/J,KA/)

,

-GHEW(/J+I,KA/) 1 EHDI

133 2N 2) OX

,-

OX+H

,

13~ 2" 2) ENDI 1ft [NJi PIÜOICTOR CORRECTOR' 'c)

135 111 2) .EIIDI (* END PROtEOURE ADBASII tc)

136 ) (ft 食食食食 to*to申，，*""，" 食食 tIi.自由食自*晶*由 tlir曲曲禽 It toflltf， fr食自由It to 食肉fIfr fI fr to'r.... fr" f，，~ fI fI f, i, fr 品}

137 ) ((c tc 食面食 tc)

138 ) (街會晶 H A I N P R 0 G R A 1\ ...食自}

139 J (狗食禽 tcicic)

1 ~o } (frfr....u 叫自由 tl lI，，* U 州 ..."tlltltfr"frflfrfrlttoltfrfrlt~tlltfltllllt"toll...ltfr帥的帥，，~，'帥的}

1"1 BEGIN (fI HAIN PROGRAt\ It)

1"2 ) YO(/I/):-J.O/SQRT(2.0) 1 1~3 111 1) YO{/2/):.I.O+].OtlDPI/SQRT(2.0) I I"~ 111 1) K:-2: 11,5 111 J) 11 :-0 .005: 11,6 111 1) DXX:-O.O; DXI-O.OI 1"7 111 1) WRITElH('I')I

1~8 ltI 1) IIIIT(K ， DXX ， YO ， II.Y 口 UT.GOUT)I

11,9 111 1) fOR 1:

.

1 10 ] DO BEGIN

150 211 J) WRI1ElN;

151 .211 1) WR'ITElN(' ',' AT lt . ' ,Dx+(I-l)f'H:9:5,' Y AIIO G AAE'):

152 211 1) WRITEllI(' ',' ',YOUi(/I,I/),12I8,GOUT(/I,I/)112:8,YOUT(/I,2/):lq:8,

153 211 1) GOUT(/I,2/):12:8),

15" 211 1) EIIO;

155 111 1) DXX:- 0.01

156 111 J) l :- I,0C1;

157 111 1) AOBASII(K ， DXX ， II;L ， YOυT ， GOUT) 1

158 111 1) WAITElII:WnITELlI

,

WnITtlll

,

159 1/1 1) WRITElII (." '

',

1]\1101 n I T E T H E D 0 C U" E N T A T 1 011')

,

160 111 1) WR I TE lIl(

,

0 F T I I 5 P R 0 G R A t\.) ;

161 111 1) WnITELN(' IIUmAICAL SOlUTìOl or A DlrFERElITlAl EQUATIOII ')

162 1/1 1) WRITElII(' surrost 1 WANT TO SULVE 11ft rOLLO\llllG EQUATlOII: '):

163 111 1) \lRIHLI/ (' D2Y (X) ...PI 仰 l 自 (y-x),Y (0) 吋 /SQRT(2) ,DY (0) ﹒1+3 叩I/ SQRT(2) ') ;

16~ JII 1) WRITElII(' WE tAH SOLVE 11ft EQUATIOIl HITO A SYSTEt\ OF EQUATlOl/S: ');

(16)

lINE' D/NEST lVl < ST^NFORD P^SCAl, MCGlll VERSION OF M^Y -B~ > 10:22:15 05

16&111 1) WRITHII(' DG(2)--PlflPlfI(Y-X), G(2)-1+31,PI/SQRT(2) AT X"O'

1&] lN 1) WRITElN:

168 111 1) WRITElN (' WRITE A PROCEDURE FUN TO COIIPUTE G (1)車 110 G (21 ') ;

1&9 111 1) WRITElIl;

1]0 1N 1) WRITElN(' WRITE A PROCEOURE INIT- (nUIIGE kIJTT^ IIETIIQOI :');

1]1 111 1) WRITElN(' RESUlTS IN10 YtlEW: 3 VEC10RS: YIIEW(J,"'),J=I,2,3

172 "' 1) WRITElN (. AIID GIIEW: 3 VECTOR5: GIIEW(J,"') ,J=I,2-,3

1 73 111 1) WR 1 TE 1I1 :

17~ 1111) WRITEllI (. WRITE A PROCEDURE ^DBA511 (ADAM-B^SII 月 onm IlETIIOO) :

175 111 1) WRITElll(' RE5UlTS IIITO YIIEWIII" JIl ^"0 GIIEW(I" J) ,J=I,2'

17& 111 1) WRITElN(' THE REQU1RE AIISWER ISYNEW(I,,1) '):

1 77 111 1) (110 ,

食油食指 1/0 SYIITAX ERROR (5) DEnCTED,

食，，;.1\﹒117 1I11E (5) READ, 3 rnOCEDURE (51 COIIPILED,

a 白仇* 1520 P_IIISTRUCTI 日 115 GENER^lED, . 3.97 5ECOIIDS IN COHPllATIOII.

食*** ST^"ronO P^5C^l POST-rnOCEsson, MCGlll VERSIOII OF IIfty ~B2 食品自由 110 A

****

6732 BYTES OF COOE GEIIERATED, 2.92 SECONDS 111 POST_PROCESSIIIG. 00COE8 BYTES USED

(17)

二階徵分方程式的解法及其估計 x- 0.0000 Y ﹒ 2.1213203~ 7.&&~32~~0 c- 7.6 的 32 仙。 -20.93659259 x- 0.0010 Y- 2.12897~18 7.&~335496 c- 1.643]5496 -21.002263~1 x- 0.0020 Y- 2.13660703 7.6223199~ ç- 7.62231994 -21.06712695 x- 0.00]0 y. 2.1"21880 1.60121957 c- 1.60121951 -21.13298255 x- 0.00'0 Y- 2.151809'~ 1.58005~05 ç- 1.58005405 -21.19802959 x- 0.0050 Yω2.'5937889 7.55882358 0-. 1.55882358 -21.26286140 X- 0.0060 Y- 2.16692707 7.53752838 c- 1.53752838 -21.32749536 Xa 0.0070 Y- 2.114'5392 1;51616866 c- 1.51&16866 -21.]9191283 Xa 0.0080 y. 2.18195939 7.4947'46] 0- 7..947.'63 -21.'5611916 X- 0.0090 Y- 2.189.4339 7.473256'9 c- 1..73256'9 -21.5201137' x- 0.0100 y. 2.1969058 日 1.'5170'41 c- 1..5170447 -21.58]89592 AT X • 0.00000 Y AHO O.AnE 2.121]20]4 1.66432"0 1.664]2 仙。 -20.93659259 AT X • 0.00500 Y ^HO G AnE 2.15937889 7.55882358 1.55882]58-21.26286740 nuFEmu-旬，'，‘'"草，旬，眉，‘ dnu ﹒句俏旦司，‘， bnu 司 4nunv'b 唔，'，、 d'huanuamw 司 4 嚕，‘司 d ‘ 3.B.M •• "， hv-z 司 dRHwqd7'" 。， b r2qdnpRd 『'‘ onE"ERE 唔， appq4nE' •• Jnum 耳， '"o.s -h 『唔，，苟，'，“ •. nwd 筍，‘‘‘ J' ‘ d ﹒ '"wdtb 司，'，可'， -u 可 mwd 峙，‘'‘'‘‘ J ﹒壘， Rwd 'h •• 4-4 ，_{huEd--RURu--FhJ'hw} 旬，‘‘ 4 ，_{hvRd--nunnv-BP} 呵， -ELM-L-y ﹒ 1 ， hu--， s.g.-‘ 4 ， b ﹒'， b 『 L 可 -4 ， hu-3.1 •• ', .'hu RHU-h 『 -huτ" “"，‘ J. “可，‘且，‘‘ d-h 可‘‘ JnNHWEU 旬，包， -aMU' ‘ J-b 呵，‘ J ‘‘'， -u 『'‘ J ZJ 句，‘司 41dqdL 呵， h" ， bL 可 qdzd-4 『 dtdq' ，.“旬， hv'bsb 『 qd

...

'。 "Enp' 。向 U 司，'"'"， 3nu' 。 "pnp'bnuz' ，旬， qZA 且 u 旬，‘司 42. ，‘‘ 4 ••••• , 2.' ,", h7.9. , •• 2." •• Z 呵，“ •••• , ••• 唔，'，‘ a' ，‘ JRHU' ，‘ dnwd 唔，'‘'‘‘‘'，“ •• phJ' ‘ J ‘‘ dmwd 帥"unHd ，“ •. ，hJ 筍，‘肉 "J 'hM.B-nuph' ，‘‘ JFhd 峙， a 句‘虐，唔，'， hJ 的 MU 啥‘ a'" 肉"‘句， ••.• "喝喝，恥，‘ J 伯鼠"， hu' "3nuoad' 句"口， 3 司，"。，句 n3nunpnE'"" 。 1 ， 1'" 。'"呵呵，‘ phd'h" ， huEJ 筍， -ZJEU-可 L 『司 J 唔，‘， hJ'huwphdF 『'、 4 ，‘ d-h 呵，“『﹒‘ J 句，. 肉 "J 嗯，'，‘ d' ‘ d'' ，.‘ J"hJ 嚕，'，''， hJ 。‘ J'' ，‘‘ d' ‘ d 、'，嚕‘ Jphd 嚕，，司 a' ， hd' ‘ d phd 自MU' ，“『 -M 呵們 MUF'" 呵，'， aHU'" “H'" ，'，“ "!"MHV-M 旬，“司 "MU ，“"、嚕， '"MU"HM 唔，'， h 司 "耳， r 呵，'，'，可 F'bnpnvnunE'" 、'， F 可 J 可'， b"Enunuqd' 。 "MUW 呵， •• h 『 -h 呵呵，‘， huw ‘‘.'，‘ J ﹒‘ J' ‘ d'hm--， a_•• hM1.hu--，動， hu ﹒‘ d' ‘ d ‘‘'‘‘ J'hu" ,‘ 2 , ••••••••••••.•••••••• "。 Ed 唔， ."uw' 、 4 島，旬， '"mwmE 苟， phdzdnu 筍，‘鳥，呵， '"wdnunu'" 呵，弓，' , hJ ••• ""，也 •••• ,',

.

• E ••• " •••••••••••••••• 司 4 ，切， UFUFUPU-pu"URUFUFUFUFUFUFURURURUFUR 切， u m 、'，可，'，‘ d' ‘ d" “ uw ﹒‘ dRWd 唔，，峙， •• ，‘ dEU--FH' ，‘ d ﹒‘ J 側wdRHHW 恥"JEU-' ， hJ ‘'‘鍋 "d L •• ， hut-mUEJZJEJ 筍，‘ 1 ，唔，'， hJEu-‘ dRHutd1.Eh 呵呵 4 育， Ru" ， hu iu 司"旦 "unuq' ，肉"口， 3 司，"。 '"nEnvm 呵， RE'"" 。， 31'" 。，何 nu" ，_hd'hu' ， huphd 旬，‘。‘， -h 唔， b 可.‘ J ‘_{dphd'hvphdphd} ‘'‘、‘ d-h 『 -h 『。‘ J 『 4 、'，嚕，'，‘'，‘，唔，'.‘ dphd 唔，'‘''， hd 、‘品，、，'，‘ d' ‘ d 苟，'，‘ J'hd 唔，'，''， hd ‘‘ J -SRH" ，“呵 L 『 EUL 呵唔，'， MURMMYWL"law-句 -h 呵 au-h 呵唔， '"MURNHW 旬，'， u司，巴唔，可'，可'，可'，'，， b"3DRURE'b 旬，'，'，可'，旬，'。 "Enunuq' ，。 "MHL 呵，恥﹒肉 L 呵呵，.， btdtdZJZJι" ，‘.句 L 呵呵，‘， hu1dZJZJ 司 d'hM ann--••••••••••••••••••• 旬，'，橋，縛，“ nu' ‘ dphJ 句 s'""u'" “"﹒''，叫 J 。‘ '"HV ‘'.， hJ 唔，'"叫 Jnυ"um 叫 d 啥，' "u'" 馳"輯" •••••

,

-1 "u'hut--' ‘ "MM'hu--2 ，.‘ dphJ ﹒甸甸 J' ‘ dnu' ‘ J-t •• znumwJ 唔， '"nuL 可 HNrpnunuvqdtdp 門，'"呵， hu'" 司 4 月， nunu'hva 旬，"，甸甸 4 ， 3 呵， a a" ，'， nEPDPDREmu-' ， 3' 。 -snvn3ppvpnpnuno' 。， 2.znu LMY-z'huιnw. ，『 4 ，'，偽 Uqdv' 、 4.1 ，_hu' ， b ﹒』呵，‘呵，‘ qdnu 唔，'‘ 4 "'，句 nunvnvnu' 、 '"2 ， 3' 。"草，'，肉 ununu0 ， 3nu' 。、 Jn 耳， 3 0 ， 3 ， 3 司'， 3.2.t 的呵， muzz-' ，且， 31' ， 3.'" 。 nV-J-8. 』嚕，'‘'，， hu' ， hw 唔，，呵，.， hw'huw ‘‘ J'hu 峙，‘旬，.， h" ， huv 、'，令，‘'‘ J ‘‘ J'hM'hHW 啥，‘ nu wn J'TE THE DDCUMEIIT'ATIOII o f T H 1 S P R 0 G R A /'1

IIUIIERICAl SOlUTIOH or A DIFfEREIITI^l EQUATIOH SUl'rOSE 1 W^,H TO SOlVE TIIE FOLlOWllIC EQUATIOII: D 2Y (X)--PI 台 P1 fr (Y-X) • Y (0)" J/SQRT (2) • OY (0) ﹒ 1+] 伸 I/SQRT(2)

WE C^" SOlVE. TIIE EQUATIOII 11110 A SYSTEfI or EQUATlOHS: OC(I)-OI2l. 0(1)..]/5QnT(2) AT X"O.

OC (2)﹒ -PI 叩 1 也 (Y-X). 0 (2).1+]lpl/5QnT(2) AT x-o WRITE A pROCEOURE fUH TO CO/IPUTE 0 (1) AlIO C (2) wnlTE ^ pROCEDUnE IIIIT (nUlICE KUTTA METHOD):

nE5ULTS IIITO YIIEW: ] VEC10nSI YNEW(J. 會}， J ﹒ 1.2.3

AlIO ClIEW: 3 VEC10nSI O Il EW(J ，的， J-I ， 2 ， J

wnlTE & rROCEDunE ^DB^SII (^0^,I-B^SIIfOn111 /'IETlIOol: RESUlTS 11110 YIIEW(/4.J/) AIID CHEW(4,J) ,J

.

1,2 1m REQU I nE AI/SWEn 1 S Ylml (4, 1)

'‘ dRHu--' ， hvm 苟，、‘ d. “可 mmw 肉 u'hw 嚕，‘ au 『 nmu' ，、 J 州 U ﹒旬風"，'.'，句 4nynE" 。司，'， hump-h 可 nonun3. 、'， Jno 口，句 7'" 。 qdn 口，''， Jqd'JRd ‘ 4 、'， nu-smU 嚕，，唔，‘ phJVL 司，'"， nu 'Jm 豆，包嚕，‘"口， Jnpa 甸回 d ﹒_H 可們 3 .En 口， hw'" ， lnwd' 。 a 旬， Em 草， hu q4 筍，‘ 1J ﹒旬 phJ' 、'， hM 呵，， aMUn"u'""d 11111111111

...

‘'‘‘，.呵，‘‘'‘‘' •• ‘'‘旬，‘.'，.‘'‘‘'‘‘'‘ 2112395h93211Z3nwh593 7227hqJEJoeJh7227hoo9qdh ppnunuR' ， 3." ，唔，'。'"， JF300p2 ， JPD' 。， Ja 旬， J nERdppnEmu-『， 3' 。 •• nun3RdppnEnuno' 。， 3. ， nv '，， b' 。 •• 司，‘旬， nuny 嚕，呵，‘ •• '。'。'，弓，‘司，‘ nEnu 唔，呵，‘ 《unununu1'" 草， 34 。"， 1doomu 口， Jnu' 。， Jm 草， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3.' ， '"3hu--' ， 3 、 2 ， 3 、 3.'"nnun7. ， -z v' ，_hv'b 苟，'，‘， bι" ，‘ dι" ，‘'，'， h" ， hu--' ，‘ 4 司 d 司 JιUV/hw 呵，‘ ''， -Z 峙，‘ nu'huwm3.' ，‘'，."，且，、 d 可'，， hw ‘ 4 ， h 日，呵，‘『 4 司 4 『 4. ，

...

' •• ‘ dzd 屯，旬，必 -2 •• tnUAU---B.E.-•• '的 unv. ，.， etJ'" ••• "-mm

(18)

二階微分方程式的解法及其估計

摘要數學系﹒楊岳孝本丈中，我們將研究下列二種類別的二階微分方程式之修飾解法: ( 1)

r

y" = f ( x , y , y') , a 三三 x 三三 b ~ y (a)=c l y' (a) =d

及

.(p)

r _y"

+f(y)=O

,

a 至 x 三三 b -{ y(a)=c \. y (b)=d 對於第一類型( 1 )的解法，目前有套裝軟體發展，如 P~SER ，其中使用的

方法有 Euler's Method , Improved Eùler's Method 及 Runge-Kutta Met-hod 。但為使解更精確，我們探用 Multistep rnethod 旦使用 predictor-

corr-ector 的技巧，通常，我們為了控制錯誤至最小，最主要是要使每一部分的答案

均應準確。因此，我們發展一修飾的解法(融合 Runge-kutta Method, Adams

";" Bashforth Method

,

Adams -Moulton Method )並適當選取一小數 r (見第一部分文中演算法之步驟 2 )來解此問題。

對於第二類型 (P) 的解法通常使用打靶法及有限差分法，但為顧及穩定性，我們探用有限差分法後再加以改進。然後，我們再討論此解法具較高的精確度。