將空氣視為薄片進而詮釋波動方程式之探究

將空氣視為薄片進而詮釋波動方程式之探究

周鑑恆

萬能科技大學 航空暨工程學院 chou0717@gmail.com （投稿日期：民國 106 年 10 月 17 日，接受日期：106 年 12 月 05 日） 摘要：波動方程式是應用牛頓定律於介質的自然結果，但在不少教科書中的推導 過程，未能交待重要細節，本文探討若干應用牛頓運動定律於介質之細節，同時 指出：在波動方程式與波函數中的 x 變數，可當作介質中各近乎質點的極小體積 之編號；而在計算上，可以用各質點在沒有波動時的原始平衡點位置作為編號， 但 x 變數標示的是：近乎質點之『某極小體積的介質』，而不是『位置』。本文 的結論，也適用於弦波及其他機械波。 關鍵詞：波動方程式

壹、 前言

牛頓運動定律其實可以處理生活周遭、乃至於各科技領域的任何力學問題。除非在極高 速度的情形（如同步輻射或對撞機之類的加速器中），牛頓運動定律十分可靠且精準。眾所 周知：牛頓定律十分簡潔，但因為傳遞波動的介質相當複雜，應用簡潔的牛頓定律在這樣複 雜的問題時，過程和結果都會比較複雜。 應用牛頓定律的過程中，首先會得到 x 和 t 變數的偏微分方程式，稱之為波動方程式， 其解則為 x 和 t 的函數，稱之為波函數。一般教科書在導出波動方程式的過程中，對於若干 細節常避免詳細解釋【_1,2,3,4】 ，一方面也許是擔心增加學生負擔，另一方面是許多細節各教科 書之說法也不盡相同，所以許多人推導波動方程式時，常用近似含糊帶過，其實不然，波動 方程式的推導過程，包括近似之論述，都相當嚴謹。 許多人認為波函數昰位置和時間的函數，但事實上並非如此。波函數中 x 變數其實並不 代表空間位置，而代表介質中質點的編號，用來標示該介質質點，而非用來標示位置。這是 一項在很多教科書中都出現的教學瑕疵，造成相當的混淆和無法嚴謹應用物理定律的困擾。 10.6212/CPE.2017.1802.01

在本文中較為嚴謹地理解：應用牛頓運動定律於介質過程中的細節，也對 x 變數的物理 意義提出較合理解釋。

貳、 教科書中的瑕疵

一般教科書常將振動系統中各質點的編號與位置混為一談，使得推導過程在邏輯上禁不 起推敲。本節將改善這樣的情形。值得注意的是，牛頓第二運動定律必須要針對的是某一塊 物體，而不是某個位置。 教科書常見的瑕疵主要可分為兩部分： （一） 在推導波動方程式的過程中，的確是基於牛頓第二運動定律。值得注意的是：雖 然最原始的牛頓第二運動定律是針對某質點，但是用於計算波動的牛頓第二運動 定律，卻是已經一番推導、應用在一個多質點系統（一個有尺寸的物體）的牛頓 第二運動定律。應用在有尺寸物體的牛頓第二運動定律，進而推導波動方程式的 嚴謹過程，部分教科書中之敘述多未完整。 （二） 在波動方程式和波函數中都有 x 變數，教科書常將 x 定義為位置，其實這樣的定 義太含糊。首先，x 若是位置，是什麼的位置？這個位置會隨時間變化嗎？其次， 牛頓力學是針對某一個質點或物體，而非針對某個位置的質點。針對某位置，應 用牛頓力學，顯然不合理。 那維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程式，是極佳的對比。在流體力學中，因為流體既能 流動、又能振動，科學家只好被迫利用「流場」的方法處理，流場u(r,t)是指某瞬間t剛好 在位置r的質點的速度，其中r就真的是位置向量。但牛頓第二運動定律仍然是針對某一物 體的公式，相關的數學計算就變得更為複雜。因為應用牛頓第二運動定律時，必須計算某質 點加速度，某質點加速度就不等於流場u(r,t)對時間的微分。 此外，從馬克斯威爾方程式導出的電磁波方程式，也確實是以位置與時間作為變數，這 反映出電磁波與機械波本質上的不同，雖然波動方程式的數學形式一致，但機械波（例如聲 波）須透過介質（例如空氣）傳播，電磁波則不須要介質。

參、 牛頓第二運動定律

牛頓第二運動定律原先是描述一個質點運動的定律。但經過簡單的計算，此定律也可以 應用於一個有尺寸的物體（此物體可視為由許許多多的質點構成），而公式的形式居然未變， 仍為 cm ext ma F    (3-1) 如果將此數學公式正確完整的翻譯成中文，則Fext 為作用在某物體上所有『外力』的向 量和，m 是該物體的質量，a_cm是該物體之質心加速度。只要牛頓第三運動定律成立，則在

這塊物體中各個質點的作用力（內力）為何，完全可以不考慮。 在推導聲音在空氣中的波動方程式時，用的是適用於某塊有尺寸物體的牛頓第二運動定 律。

肆、 氣柱中的聲波

因為弦波是橫波，弦振動時組成弦的每個質點沿波傳播方向的位置都不變，恰巧掩蓋了 弦波或弦駐波的相關計算中x到底是位置、或具有其他的意義的問題。 在空氣中的聲波是縱波，振動的方向平行聲波行進的方向。縱波的波動方程式更容易凸 顯x 不應該代表位置的事實。本文推導氣柱的波動方程式，力求過程嚴謹，並解釋波動方程 式和波函數中x的真實含義。 所謂氣柱指的是管子中的空氣，管子中的空氣通常振動的方向與管子平行，而這樣一段 像柱子形狀的空氣，兩端近管口（未封閉）的部分可以激烈振動，但這部分空氣的壓力變化 不太大。這柱狀空氣在近封閉的管口附近則受到限制，不能振動，因此，這部分空氣壓力變 化激烈，卻難以動彈（因為封閉的限制）。 空氣柱（氣柱）中的每一片幾乎沒有厚度的空氣，可視為像一個平面的質點（平面垂直 振動的方向），編號為x。於是，就物理意義而言，x 是每一片幾乎沒有厚度的空氣的編號； 為了方便計算起見，x 就是每一片幾乎沒有厚度的空氣片在完全沒有聲音時的位置（見圖 1）。 圖 1：即使x 這片極薄空氣位置不斷改變，x 始終不隨時間改變，因為x 代表的是那片極薄空氣的編 號，就標示那片極薄空氣。或者為方便，極薄空氣的編號x，即為沒有振動時那片極薄空氣靜止的位 置。在任何瞬間每片（即不同的各個x ）極薄空氣之Px,t，Sx,t均可能並非定值，但每片均有 可明確定義的Px,t，Sx,t，因為在一極薄片x中Px,t，Sx,t才可以分別只有一個值。

有聲音時， x 這片極薄空氣位置不斷改變，x 卻始終不隨時間改變，因為 x 代表的是那 片極薄空氣的編號，而不是那片極薄空氣的實際位置。 某一片編號為x幾近沒有厚度的空氣之壓力為P



x,t



，在這極薄片空氣中壓力才是均勻 的，所以是明確的值。但因為會隨時間變化，P



x,t



是時間的函數。每一片沒有厚度的空氣 的壓力P



x,t



也可能不同，所以P



x,t



也會隨x不同而不同，也就是說，在任何一瞬間t各 極薄空氣片的壓力不同。 某一片編號為x，幾乎沒有厚度的空氣距其平衡處的位移量為S



x,t



，這極薄片空氣的 位移量才是單一明確的值，但會隨時間變化，S



x,t



因此是時間的函數。各片極薄空氣的位 移量S



x,t



可能不同，所以S



x,t



也會隨x不同而不同，也就是說，任何一瞬間t各極薄空氣 片的位移量不同。 應用在一塊物體的牛頓第二運動定律，亦即：物體所受外力的向量和，等於這塊物體的 質量乘以這塊物體「質心」的加速度。 首先，空氣柱可以被劃分成許多含有dx 片的有厚度空氣小塊（見圖 1 及圖 2），針對一 空氣小塊，應用在牛頓第二運動定律。這一小塊空氣的體積可能會變化，這一小塊空氣的壓 力在這厚度內就可能有變化。這一小塊厚片空氣中各極薄片空氣的位移量也可能不同。這小 塊空氣，包括許多極薄空氣片，編號範圍從x  dx /2到x  dx /2，原先正中間一片極薄空氣 片之編號為x ，在任一瞬間，在此dx 範圍內，Px,t及Sx,t就不是定值。 圖 2：這是在某一瞬間含有空氣片編號分布範圍dx 的實際空氣小塊。dx 不能小到在任何時間 2 2 ) , ( x t x S   始終為零，也不能大到不能使用微積分；dx 並不代表此實際空氣塊之厚度。此實際空氣塊 的厚度會隨時間改變，在此實際空氣小塊中（含有dx 片，中間片編號為x ），在任何瞬間Px,t， x t S , 在dx 範圍內就會變化。但是，在x dx /2到x dx /2範圍內任一極薄片的Px,t、Sx,t 均可明確定意。

雖然dx 其實並不代表振動中空氣小塊的實際厚度，正在分析的空氣小塊厚度事實上並不 等於dx 。x 代表的是在dx 層中的中間極薄空氣片。這許多層空氣薄片形成這小塊空氣的實 際厚度一定會隨時間變化。dx 代表許多層的極薄空氣的編號範圍，卻不能隨時間變化。 這小塊空氣所受外力的向量和，等於它的質量乘以它的「質心」加速度。因為牛頓力學 通常應用的某物體，其質量不會改變，dx 這小塊空氣包含的空氣質量也不會改變。

小塊空氣的質量：

為了若干方便，以空氣完全不振動的原始位置x，作為每一極薄片空氣的編號，所以這 塊空氣的質量為： dxA m 



_(4-1) 其中： 為空氣不振動時dx 層空氣的密度。當然，振動之後這許多片極薄空氣就不一定分 布在固定的dx 厚度之中。dx 是不振動時編號分布的實際位置範圍，是無聲波狀態下此氣塊 的厚度，而 也是空氣平衡不振動時的密度。

此空氣小塊所受外力：

這包括許多片極薄空氣片的空氣小塊dx 所受的外力，當然是指此空氣小塊dx 左側表面 所受之力，以及其右側表面所受之力（見圖 3）。        dx t x P , 2 是指時間t時，x dx /2這極 薄片空氣的壓力，就等於作用在小塊空氣左側表面x  dx /2上的壓力。        dx t x P , 2 是指時間t時，x dx /2這極薄片空氣的壓力，此壓力也就作用在小塊空 氣右側表面x  dx /2上，也就等於作用x dx /2這一薄片空氣的壓力。 空氣小塊右側及左側所受之外力的向量和，是什麼呢? 所以要求出：因振動而位置根本 不固定、厚度也不固定的小塊空氣左側和右側那兩片極薄空氣的受力。 如果依許多教科書的說法，x代表位置，分析此位置根本不固定、厚度也不固定的小塊 空氣所受之外力，就十分不容易解釋了。 編號x  dx /2之薄片空氣之氣壓，等於平衡時的氣壓加上因波動而變動的氣壓變化量。 2 / dx x 這薄片空氣的氣壓也如此。分別表示如下： t) , 2 ( ) , 2 (x dx t P₀ P x dx P      _(4-2) t) , 2 ( t) , 2 (x dx P₀ P x dx P      _(4-3)

圖 3： _      dx t x P , 2 是指時間t時作用在小塊空氣左側表面x dx /2 上的壓力。 _      dx t x P , 2 是指時間t時 作用在小塊空氣右側表面x dx /2上的壓力。 作用在dx 此空氣小塊上所有『外力』的向量和即為：



P P x dx



i A



P P x dx



i A F_ext    ) t , 2 ( ) (-) t , 2 ( ₀ 0         i dx x P dx x P A F_ext   ) t , 2 ( ) t , 2 ( － － ＋ ） （     i dx t x P x A  ） （ ＝      ( , ) _(4-4) 所以 P(x,t) x    之微分 x   並非對位置微分，如果是對位置微分，如何解釋是什麼東西 的位置？如果是對座標位置微分，座標位置代表的是何意義？即便是對薄片空氣的原始平衡 點位置微分，解釋起來也大費周章。 x   是對薄片空氣編號的微分，求出的結果是『不同的 薄片空氣其壓力變化的情形』。 根據上式，淨外力與  Px t x ,    _{成正比，而  } t x P ,  是在dx 片的範圍內中間編號x 之極 薄空氣壓力。亦即：dx 這一小塊空氣有無受到淨外力，與這一小塊中氣壓是否隨不同極薄片 改變的中間斜率有關。如果Px,t不隨不同極薄片而改 ，亦即在中間一薄片之微分

   P x t  x ,    等於零，這一小塊空氣受到的淨外力即為零。 在此仍須仔細推敲如何求出  Px t x ,    。已知空氣的特性： V V B P     (4-5) 意思是：某塊空氣壓力變化的負值，等於該塊空氣之體積變化，除以該塊空氣原來體積，乘 以B ，B 稱為 bulk modulus。從圖 4 可知該小塊空氣dx 之體積變化為： t A dx x S t dx x S V _           , ) 2 ( ) , 2 ( _(4-6) 圖 4：該小塊空氣dx 之體積變化 從公式來看，V 是指以x 薄片為中間，向兩側多dx /2薄片，無數薄片的編號範圍在dx 內的這小塊空氣的體積變化量，與這小塊空氣兩側薄片（分別為x dx /2，x dx /2）位移 量之差有關。問題是：即使在這小塊空氣中，氣壓並不均勻，求出小塊空氣的體積變化量之 後，如何求出中間薄片的氣壓變化量Px,t以及  Px t x ,    ？ Bulk modulus 是空氣的特性，即使空氣很小很薄此公式依然成立。在此可以再將編號在 dx 範圍之氣塊，再細切成n 片。 i i i P V V B



 



_(4-7)

小塊空氣再分為n 個小部分，每個小部分 i 的體積變化和壓力變化均可求出。又已知每 個小部分的體積變化的總和，應該等於小塊空氣的體積變化V 。亦即



V_i  V ； n V V_i  (4-8) 每一個小部分之體積為小塊空氣體積的n 分之一，即 B



Vi  



PiVi i  1,2,3, n (4-9) i i n i n i i PV V B







     1 1



   n i i n V P 1  n P V n i i



   1 

 

P _ave V    V B V B n i i   



1  (4-10) 其中P_i的平均值為

 

n P P _ave 



i   (4-11) 從圖 5 可見

 

P _ave  P



x,t



(4-12) 根據(4-10)式，即求出：

 

V V B t x P      _{, (4-13)} 亦即：小塊空氣壓力變化的平均值與小塊空氣體積變化有關，而小塊空氣壓力變化的平均值 等於Px,t。所以，從小塊空氣的體積變化，就可以求出中間一極薄片的壓力變化Px,t。 而小塊空氣的體積變化又與中間那片位移量Sx,t隨x變化的情形（即對x 微分）有關。 於是：從位移量Sx,t在中間那薄片對x 之微分，就可求出中間那一片壓力的變化量， 而壓力變化量在中間這片對x的微分（即等於中間這片位移量對x 的兩次微分），即可求出這 小塊空氣所受的淨外力。

圖 5：無論x代表什麼意義，P是x的什麼函數，Px,t在dx 範圍內近似直線，亦即雖P_i各個 不同，它們的平均值必為Px,t（中間那片的氣壓值）。 也就是說： V V B t x P     ( , ) Adx A t dx x S t dx x S B          ) , 2 ( ) , 2 ( Adx A dx x t x S B       ) , ( x t x S B     ( , ) _(4-14) 於是中間片之位移Sx,t對x 的兩次微分，即可求出小塊空氣所受的淨外力 ext F   P x t dx i x A  ） （ ＝      ( , ) i dx t x S x AB  ） （ ＝    ) , ( 2 2 (4-15) 位移量在中間極薄片對編號之微分，正比於中間極薄片之氣壓變化量。氣壓變化量在中 間極薄片對編號之微分，正比於淨外力。所以淨外力，正比於位移量在中間極薄片對編號之 兩次微分。

質心加速度：

在小塊空氣dx 的中間薄片x的加速度，近似這一小塊空氣質心加速度 i t t x S a_cm   2 2 ) , (    _(4-16) 證明如下：根據質心加速度的定義，質心加速度可以表示如下式

 



_

n i i i cm t m S ma  



  n i i S m 1    ave S m n    m S_ave ave cm S a    (4-17) 其中：S_i是在空氣小塊範圍dx 內再細分成n 部分，每一部分之加速度為S_i，每部分之質量 為m 。 由此可知：根據質心加速度的定義，每極薄片加速度的平均值，即為質心加速度。而根 據微積分，因為dx 分佈非常小，加速度幾乎線性變化（見圖 6），每極薄片加速度的平均值， 於是幾乎等於中間那極薄片的加速度。所以質心加速度，等於中間那極薄片的加速度。  x t S t S_{ave 1} 2 2      _(4-18) 如果依一般教科書的說法，x的意義是位置，所造成的困擾如下： (1) 此處的   x t x S   , ，x若是原始平衡的位置座標，而『某個x 的空氣極薄片』已不在 原始平衡位置，這樣的微分有何意義？ (2) 如果   x t x S   , 中，x代表正當此瞬間的位置，但下一個瞬間『第x極薄空氣』就不 在此地，亦即x  x(t) ；下一個瞬間可能是另一片極薄空氣片在此地，對此瞬間位 置作微分，意義何在？此瞬間t又該是哪一個瞬間？ 如果依照一般教科書對x之解釋，這兩個問題都不能合理回答。因此，如本文上述應用 牛頓第二運動定律時，就是針對無數小塊空氣，而導出每一極薄空氣片位移量的波動方程 式。換言之，Sx,t之意義是：編號x極薄片在t時的位移量。

圖 6：質心加速度等於中間那極薄片的加速度

波動方程式：

應用牛頓第二運動定律於含有dx 薄片的空氣小塊。這一小塊空氣的體積可能會變化，這 一小塊空氣的壓力在這厚度內就可能有變化，這一厚片空氣中各極薄片空氣的位移量也可能 不同。但 cm ext ma F    始終成立，即得： i dx t x S x AB  ） （    ) , ( 2 2 i t t x S Adx  2 2 ) , (     _(4-19) 2 2 2 2 ) , ( ) , ( x t x S B t t x S         2 2 2 ( , ) x t x S v    _(4-20) 聲音的速度，因此為：  B v  _(4-21)

可能的解為： ) ( ) , (x t f x vt S   ) cos( kx t S_m    ) cos( S_m kx  t  ) ( 2 cos x t S_m       ) ( 2 cos x vt S_m     (4-22)   B v    (4-23) 亦即編號為x的空氣極薄片之位移，隨時間變化的情形。 現在要看看編號為x的空氣極薄片之壓力（或者說編號為x的空氣所在之處的氣壓）隨 時間變化的情形 x t x B t x P      ( , ) S( , ) ) sin( ) ( k S kx t B  _m    ) sin( kx t BkS _m   ) sin( kx t P_m    (4-24) 其中：   2 v B B v    _(4-25) 還可以進一步化簡： m m BkS P   Sm v v2   m S v   (4-26) 壓力變化的振幅正比於空氣密度、頻率、聲速與位移量之振幅。

伍、 聲波的能量傳遞

從聲波能量傳遞的相關計算，更容易看出：x 之物理意義應該是近似質點的極薄空氣片 的編號。 見圖 7，計算聲波的能量傳遞時，可以將空氣柱想像成左右兩部分，在左右兩部分接面 處，左方的氣柱對右方氣柱做功（假設聲波由左至右傳遞），做功涉及的是對某物體的能量 轉換。因此將x視為某片空氣之編號更為合理。 x t P Po   , 為x 這片極薄空氣的氣壓，也是x 這片極薄空氣對其左側鄰接氣柱之壓 力，Po Px,t也是左側氣柱施加在x這片極薄空氣的氣壓，A(Po  Px,t)於是是左側 鄰接氣柱施加在『x這片極薄空氣』的力，Sx,t為『x這片空氣』的位移；x ,t為『這x 片極薄空氣』之速度。 x t Power , 為左測的氣柱對『x 這片極薄空氣』做功的功率，就等於左測氣柱對右側氣 柱做功的功率，亦即能量由左向右傳輸的功率。 圖 7：聲音由左向右傳播，對x 這片極薄空氣做功的功率，就等於左測氣柱對右側氣柱做功的功率。 x這片極薄空氣的氣壓變化量、位移量以及速度可分別表示如下： ) sin( ) , (x t P_m kx t P     (5-1) ) cos( ) , (x t S kx t s  _m 



(5-2) ) sin( ) cos( ) , ( kx t S kx t t S t x v _m    _m      _(5-3) 左側氣柱，對x這極薄片空氣做功的功率等於，作用在x 這薄片空氣的力，內積x 這片 空氣的速度，可表示如下：

i t t x S i A t x P P t x v t x F t x Power          ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , ) ) , ( ₀   





t t x S A t x P P      ₀ ( , ) ( , )



P₀ P sin( kx t)



S sin( kx t) A   _m    _m   (5-4) 左側氣柱對x這片空氣做功的功率，對時間的平均值如下式： dt t kx P T x Power T m ave sin ( ) 1 ) ( 2 0    

_

dt t kx P T S A t m m ) ( sin 2 0     

_

m mA S P    2 1 (5-5) 單位面積傳過能量的功率為：  m m ave S P A x Power I    2 1 ) ( 2 2 2 1 m S v   _(5-6) 如果依一般教科書之敘述，x為位置，這片空氣片明明會振動，應用做功公式時，必須 針對某物體，推導過程即很不容易以正常應用物理原理的方式，加以解釋。例如：如果說是 在x 這位置能量傳遞的功率，那麼如何正確地利用做功的物理原理解釋呢？

陸、 結語

波動方程式和波函數中的變數，就物理意義而言，應該是空氣柱中每一片極薄空氣片的 「編號」。換言之，此編號指的就是該片極薄的空氣片。在計算上可以該極薄空氣片在空氣 完全靜止、毫無聲音時的平衡點位置，但這只因計算上的某些方便，例如：dxA 即為編號 在dx 範圍之內的空氣塊的質量。將x 視為極薄空氣片的編號時， P(x,t)為振動中位置不 固定的某一（編號x）極薄空氣片的氣壓，S(x,t) 為振動中的某一（編號x）極薄空氣片距 其平衡點的位移量。而P(x,t)、S(x,t) 做微分時，其微分的意義明確為：隨著相鄰的不同 編號的極薄空氣片，氣壓和位移量變化的情形。 x指的當然不是位置，牛頓第二運動定律本來就是針對某個物體，應用牛頓運動定律時，

針對的是一編號範圍dx ，以編號x 極薄空氣片居中的一塊稍厚的空氣小塊（編號範圍dx 不 能太小，也不能太大）。 本文釐清了推導聲波波動方程式的細節，較嚴謹地應用牛頓第二運動定律於空氣介質， 指出：波動方程式及波函數中的x變數，是極薄空氣片的編號，而非位置。這結論也適用於 其他機械波。

致謝

感謝科技部經費支持，計畫編號 No. 105-2511-S-001。

參考文獻

1. Giancoli, D. C. (1984). Physics for Scientists and Engineers, 2th ed., Chapter16-17, Prentice Hall 1984.

2. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2001). Fundamentals of Physics, 6th ed., page 249, John Wiley & Sons, Inc.

3. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2011). Fundamentals of Physics 9th ed., Chapter 16-17, John Wiley & Sons, Inc.

4. Serway, J. (2006). Principles of Physics, 4th ed., Chapter 13-14, Brooks/Cole—Thomson Learning.

A Study on How to Derive a Wave Equation

Chien-Heng Chou

College of Aviation and Engineering, Vanung University chou0717@gmail.com

Abstract

The wave equation is the direct result of applying Newton's law to the media of mechanic waves. However, the derivation process in many textbooks often fails to account for important details and causes some difficulty of learning. This paper explores the details of the application of Newton's laws to mechanic waves. We also point out the fact that the physics meaning of the variable x in wave equations and in wave functions actually is a tag of a very small element of the media of waves. For convenience of calculation, the original position of each of the very small element can be used as the tag. However, the variable x indicates a very small element of the media rather than a position. The conclusion of this paper is also applicable to string wave and other mechanics waves and implies related necessary modifications in the content in various textbooks.