不同數學寫作模式與數學能力水準對國小學童分數除法學習成效之影響/ 141

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不同數學寫作模式與數學能力水準對國小學童分數除

法學習成效之影響

黃啟晉屏東縣前進國小教師

中文摘要

相關文獻已指出紙筆式數學寫作能協助教師了解學生數學概念的學習成效，透過紙筆式數學寫作活動的練習，學生可建構出合於邏輯的數學意涵，惟紙筆式數學寫作的成效會受個人先備知識與能力的影響，產生不同差異的學習結果。近來，部分文獻的提倡與教育思潮的興起換來線上式數學寫作的契機，是故，本文結合以上兩項變因（數學寫作模式與數學能力水準），透過準實驗設計法進行二因子多變量共變數分析。研究對象有 95 人，研究期程配合學校教學進度以分數除法為單元，分析學生在成就測驗總分與總解題策略量。研究發現：以高、中、低三種數學能力面向來看，除了低數學能力的學習者外，使用線上式數學寫作的學習者皆較紙筆式數學寫作有較佳的總分與總解題策略量之表現。再以兩種寫作模式來看，使用線上式數學寫作的學習者，都能讓不同數學能力的學習者在總分與總解題策略量的表現上有顯著差異，若改使用紙筆式數學寫作，則在總解題策略量的表現上未若使用線上式寫作來得佳。據此研究結果，本文提出相關結論供學校及教師參考運用。關鍵詞：線上式數學寫作、紙筆式數學寫作、數學能力水準、分數除法、學習成效

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The influence of different mathematic writing models

and math levels on elementary school students’

learning effectiveness for learning fraction division

Huang, Chi-Chin

Teacher, Pingtung County Cian-Jin Elementary School

Abstract

Previous studies have confirmed that pen-and-paper mathematic writing facilitates teachers to understand the learning effectiveness of students’ mathematic concepts. Pen-and-paper mathematic writing practices enable students to construct logical mathematic meaning. However, the effectiveness of pen-and-paper mathematic writing is influenced by an individual’s prior knowledge and skills, which leads to varying learning results. Recent promotions in relevant literature and the emergence of education trends have given rise to opportunities for online mathematical writing. Therefore, the present study combined the two above variables (mathematical writing mode and math level) and employed a quasi-experimental design to conduct two-way multivariate analysis of covariance (MANCOVA). A total of 95 subjects were recruited. To comply with school syllabuses, the present study focused on the unit of fraction division and subsequent analyzed students' total scores and total number of problem-solving strategies. The results of this study indicated the following: In terms of the dimensions of high, medium, and low math skills, aside from learners with low math skills, employing online mathematical writing yields total points and a total number of problem-solving strategies superior to that of pen-and-paper mathematic writing. Regarding the two writing models, learners that use online mathematical writing exhibited significant differences in total points and a total number of problem-solving strategies compared to those that used the pen-and-paper method, regardless of math level. The performance in total number of problem-solving strategies of learners that switched to the pen-and-paper mathematic writing model was inferior to those who used online mathematical writing. Based on these findings, the present study offers a conclusion that serves as reference for schools and teachers.

Keywords： online mathematical writing, paper-and-pen mathematic writing, math level, fraction division, learning effectiveness

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一、前言

有研究文獻指出數學溝通活動是幫助學生真正參與數學學習的有效方法之一（Burns, 2004; Li & Huang 2008; Newton, 2008; Pugalee, 2004; Yang, 2005），有機會讓學生藉由討論、閱讀、寫作與聆聽等溝通方法，可以讓學生接受到更多的溝通利益而學到更完善的數學概念（NCTM, 2000）。以筆者身為第一現場的教學經驗來說，常見於數學課堂上的溝通方法主要以同儕／師生討論、聆聽教學為多，閱讀與寫作相較之下便少了些，然而依照學者對數學寫作的意涵，數學寫作被認為是可以理解學生解題歷程的相關思維（周立勳、劉祥通，1998；NCTM, 2000），因此在課堂中適當採用數學寫作的方法應能更加瞭解學生實際的理解程

度，在實徵研究中也多能支持此論點（Bell & Bell, 1985; Burks, 1993; Wade,

1994）。研究更是指出，學生雖然可以快速、準確地進行數學解題，但未必能真

正地理解問題背後所潛藏的數學概念和意義（Brenner, Herman, Ho & Zimmer, 1999; Pesek & Kirshner, 2002），此論點亦點出數學課堂上要更加了解學生解題前後所賦予算式的實際意義，避免誤認為學生已真正懂得相關數學概念。

本文以國小數學分數除法為知識域，文獻認為教師應對分數有清楚的概念說明與連結（Netwon, 2008），且不過分拘泥於算則的套入（Li & Huang, 2008），以免發生學生對分數概念與計算只是片段的了解（Brown & Quinn, 2006）或部件遷移性的困難性（Jigyel & Fuata’I, 2007）。李源順（2004）指出分數四則運算中以除法最為抽象，使得教學上相當吃力。按研究文獻的說明，分數除法的教學重點可擺在部件區隔與遷移（Brown & Quinnm, 2006; Jigyel & Fuata’i, 2007）、鼓勵一題多解的教法（Charalambous & Pantazi, 2007; Jigyel & Fuata’I, 2007; Li & Huang, 2008; Netwon, 2008）。過去紙筆式數學寫作的研究相當多，且已指出能提升學生數學理解能力，或是形成老師測試與了解學生數學概念的管道之一，然部分文獻的呼籲提供線上式數學寫作的可能契機，如強化學生間彼此分享寫作作品的互動機會（陳懷萱、林金錫，2003；黃郁婷，2003；Neil, 1996），或是藉由電腦輔助提升解決問題與擴展思考力（Cooper, 2012; Jonassen, 1996）（前者可藉電腦網路的便利性達成，後者可藉電腦紀錄而瀏覽數學寫作情況），在目前實徵研究中，要統合二者的文獻付之闕如，而為了更細膩探究兩種模式與學生原數學能力水準的交互比較，故本研究將以此兩個獨立變項進行二因子多變量共變數分析的實驗設計（共變數為數學學力評估成績），期待透過這樣的設計能更加瞭解其對分數除法教學成效（兩個依變項，分別為總分與總解題策略量）之差異。

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二、文獻探討

(一) 數學寫作 1. 數學寫作的意義數學寫作是鼓勵學生以自己的話將所學到的新知識與舊知識或經驗加以聯結，在寫作的過程中暢所欲言，將自己所想到的方法或解題方式記錄後，教師可根據學生的解題歷程得知學生的思維，視情況給予補救，以提升學習成效（周立勳、劉祥通，1998；NCTM, 2000）。一些研究者（Baxter, Woodward, Olson, & Robyns, 2002; Liedtke & Sales, 2001）認為數學寫作可作為幫助學生學習的方法，因為藉由不斷地提供學生嘗試的機會，讓學生可以更清楚地描述他們自己的想法與概念，教師也可藉由學生的寫作產品得知學生的內在想法，可視為是學生和他人的溝通橋樑。從以上可知，數學寫作就是讓學生試著將所學到的內容做整合後，以自己的話來解釋、闡述與解題，同儕之間可以互相分享寫作產品，教師可根據學生寫作過程給予指導，提升學生的學習成效（Burns, 2004）。 2. 數學寫作的理論基礎

Hayes 與 Flower（1980）在其所做的研究裡，根據放聲思考原案（thinking aloud protocol）分析得到寫作歷程模式有三個階段：計劃（planning）、轉譯（translating）、回顧（reviewing）。計劃是指利用寫作環境裡所有的資料與長期記憶裏的相關訊息，加以建構出寫作文章的藍圖，這是一種產生文思、組織和目標設定的過程。轉譯是指下筆成章，把上述計畫所擬出的藍圖轉成文章的歷程。換句話說，即是將計畫的構思轉換成可接受的符號表徵。回顧是指作者利用包括閱讀、評估與修改等次歷程將先前所寫出來的文章加以改進，達到作者滿意文章內容的過程。然而，Hayes 與 Flower 的寫作歷程模式較聚焦在寫作者本身的角度，並著重內在認知歷程的部分，至於應用到數學寫作情境的探討則未曾涉及到，因此這方面的應用需要對照數學的解題歷程。Polya（1957）在「如何解題（How to solve it）」中探討關於解題的四個階段，依照其所揭示的順序是：了解題意→制定解題計畫→ 執行解題計畫→驗算與回顧。了解題意是指設法理解整個題目的要求是什麼，並正確理解題意。制定解題計畫是指逐漸形成或經過一連串的嘗試錯誤所激發的靈感，而規劃出解題路徑。執行解題計畫是指執行擬定好的計畫，並檢查每一個步驟，時時確保過程中沒有遺漏任何已知的條件及預定的計畫。驗算與回顧是指回顧整個求解的過程，可加深對數學知識的理解及培養解題能力。

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兩相對應可發現，兩者思考的心理歷程幾乎是相互呼應的，也就是說計畫對應到了解題意與制定解題計畫，轉譯對應到執行解題計畫，回顧對應到驗算或回顧，此即代表數學寫作符合解題活動的方法。 3. 數學寫作的形式依寫作時間的長度（Kenyon, 1989）可分為兩種。1.長期寫作（從數天到數週）：可包含以下的過程(1)預寫或規劃：擬定想法與內容大綱，且本階段常需要更多的認知歷程。(2)寫作：將前一階段的想法轉換成明確的文字而表現出作者的思想。(3)修正或重寫：檢視文字內容並藉由澄清自己的思路後加以修改，可使得文字內容更清楚。2.短期寫作：學生可以利用課堂間隙或是部份上課時間來進行寫作活動。內容多半是解釋原因、比較概念、自由擬題、寫出大綱、心得與做筆記。依寫作的性質（Wild, 1991）可分為三種。1.寫下所學的內容：學生可以寫出新近所學到的數學內容，且不拘束寫作的格式。2.文字題：即是結合學生的生活經驗轉變為數學語言。3.程序題：即透過嘗試、推理與判斷的方法去解出問題的答案。依寫作的型式（Neil, 1996）可分為三種。1.闡述性寫作（expository writing）：指學生紀錄討論的重點、或將教材的相關內容記錄下來，這是一種嘗試總結數學概念的多種延伸策略。而這種寫作主要的目的是要學生寫出並解釋數學概念，從其所解釋的內容中就可窺見學生對數學觀念見解的正確性。2.表達性寫作（expressive writing）：是表達對數學想法的寫作，相對於上述闡述性寫作而言，這種寫作強調學生對於數學學習的內在想法，可使用寫日記的方式實施表達性寫作，以做為師生溝通互動的方式，師生間的聯繫就建立起來了。3.創造性寫作（creative writing）：學生以數學概念為中心，以特殊的寫作題材為組織，加以詮釋數學概念，諸如將所學到的數學概念寫成一封信、一篇故事或一個題目等。另外，因應這些數數學寫作形式，一些研究者（林倉億，2000；Burns, 2004; Meier & Rishel, 1998）也衍生出相關數學寫作策略，諸如紀錄學習的心得、讓學生以自己的話表達數學觀念、要求學生說明自己的解題策略或困擾、讓學生自創解題算則或程序、創造開放式的問題供學生組織答案、使用學生的寫作成果應用於隨後的教學上、要求學生練習擬題加深對問題結構的了解、學童進行調查及實測等活動後立即進行數學寫作活動，以增進反思解題策略及練習使用數學語言。根據上述文獻，研究者認為數學寫作活動同時符合寫作與解題的認知歷程，且須因應不同的教學目的、課堂需要與教學時機，在實際的設計與應用上相當多樣化，這些變化就是要將過去數學強調大量解題的情況下，轉變為多省思數學問題的方向。

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(二) 數學寫作的實徵研究

在教學研究中，研究者常依不同環境或與其他教學策略，搭配實施數學寫作於教學裡。如以表達性寫作為主要寫作形式的話，可搭配啟發式教學（Burks, 1993; Van Horn, 1994）、搭配同儕解題策略（Wade, 1994）、搭配解題策略的說明（Bell & Bell, 1985; Countryman, 1992），這些研究結果發現，實施數學寫作的學生有較好的解題表現。Countryman（1992）更是指出連貫性強的數學寫作產品能連結先前的知識和現在學習的知識，使先備知識及過去學習概念得以與現階段學習內容相連，不僅強化對新舊數學概念的認知，更提供教師了解學生深度學習的成效。後期的數學寫作研究更兼以兩種不同寫作型式（闡述型及表達型）運用在教學現場中，國內研究者（周立勳、劉祥通，1998；楊德清、姜淑珍，2008）以此方式進行教學研究，研究發現學生在解題能力顯著提升，特別是了解問題、擬訂計畫與執行計畫的解題歷程最為明顯。楊德清與姜淑珍的研究成效更為良佳，其以數學寫作為國三學生複習一整年國中數學的主要方式，經過一學年數學寫作複習後，與另一班程度相近的班級來比較高中基本學力測驗數學成績，結果發現，參與數學寫作複習的班級在高中基本學力測驗數學成績的表現上顯著優於沒有參與數學寫作複習的班級，在個別成績的表現上，參與數學寫作複習的班級有六位獲得數學學測滿分，沒有參與數學寫作複習的班級只有一位。國外研究者（Pugalee, 2004; Shield & Galbraith, 1998）也使用兩種不同寫作型式（闡述型及表達型）運用在教學現場，Shield 與 Galbraith（1998）在其研究中定義連結新概念至先備知識的文字陳述稱為精緻化（elaboration）的過程，這種精緻化的描述可以讓學習者以多種描述方式連結新概念和先備知識，使得教材更有意義也更被學生整合至原有的概念中，若學生在數學寫作的陳述裡可以有這樣精緻化過程的展現，所寫出來的內容便具有廣義性質的數學核心概念。Pugalee（2004）則認為數學寫作既可減少答題錯誤的情況，在後設認知的表現上也可提高學習成效。最近的數學寫作研究則主要以創作性寫作及線上數學寫作來進行，而這樣的研究文獻不多。Alibali、Brown、Stephens、Kao 與 Nathan（2009）比較故事寫作與代數算式來解方程式的狀況，研究發現故事寫作方式解方程式比代數算式解方程式可以得到更多學生對於數學解題的見解，也較能掌握學生錯誤類型，此非單靠傳統代數解方程式計算就能知道的，故事寫作也促使學生使用概念性知識來解決任務，因而得到更細緻的觀察結果，相較於代數解方程式而言，更能完整了解學生所持有的數學概念。Zhang 與 Wong（2007）的研究則提供學生線上數學寫作平台，讓學生能線上發表、討論解題策略，他們發現發表次數越多成績越好；另外學生在先前的數學成就表現越好，則越能發表更多的內容。Hebert 與 Powell （2016）蒐集 155 位四年級學生的闡述性寫作內容，分析數學寫作內容不同於一般短文寫作，包含加入更多數學詞彙、程序性寫作、數學符號，以支持他們對數學題目的解釋與解題，寫作內容也反應出數學概念理解的正確性。Bicer、Capraro

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與 Capraro（2013）使用闡述性與表達性寫作的方式，分析 96 名學生參與 STEM 課程的數學寫作內容，發現透過寫作歷程的實施，實驗組學生可以獲得更好的問題解決能力，甚至更進一步幫助他們在 STEM 課程中得到跨領域溝通的支持力，他們更認為寫作幫助建構數學學習，相關問題解決的成效超過預期。Kuzle（2013）分析 4 位八年級學生的闡述性數學寫作內容，發現學生進步幅度明顯，尤其是數學概念解釋與解題理由，在前後比較下寫作內容更加完整且有合理性，減少模糊敘述而多了更多數學規則、程序描述與關係解釋。綜觀以上文獻可以發現，研究趨勢多以表達性與闡述性寫作較多而創造性寫作最少；研究結果多以紙筆式數學寫作者多而線上式數學寫作者少，多以個別或全體作為成效分析單位而很少說明不同數學能力水準的成效差異。儘管如此，仍可見數學寫作融入課堂教學確有其成效。 (三) 分數概念與分數相關研究 Kieren（1976）首先提出四個有相互關係的分數次概念：比和比值、運算子、商、測量、卻不包含部份-全體的次概念，因為他認為此次概念瀰漫在上述四個次概念中。Behr、Lesh、Post 與 Silver（1983）延伸 kieren 的想法，將此次概念納入並歸為上層概念，他更進一步發展出一個理論架構來連結解釋分數的基本運算、等值分數與問題解決並分析分數的意義，包含部分/全部的概念、比率、比值與商，分別是指在連續量或是離散量中被分割為相同大小的部件、強調兩個數量的關係、用一個量值來代表兩個數量的關係、兩數相除的結果（Charalambous & Pantazi, 2007; Li & Huang, 2008; Brown & Quinn, 2006）。教育部九年一貫課程綱要（2003）指出有理數即是分數，小學有理數教學必須釐清、練習並且連結下述有理數的四種意涵：平分、測量、比例與部份/全體的意涵。平分的意涵為學生在低年級了解人我分際後，就會強烈的期待公平感，因此從平分觀點入手學習分數，比較容易化解分數學習中常見的認知衝突；測量的意涵裡，長度測量是低年級就開始發展的數學課題，在以個別單位度量線段長度，為了解決剩下部分的餘數時，就能同時發展小數與分數兩種課題，由於強調單位，測量為調和「部分 /全體」的意涵以及帶分數認知衝突中的重要工具；比例的意涵顯示其原理為一種微妙的平分方式，容易為學生所接受。即使學生尚未接觸到比例式，透過比的方式，依然可以協助學生解題。最後透過引入比值，一貫地解決比例的問題；部分/全體的意涵是分數的重要意義之一，但概念較為抽象，且真分數的暗示過深（全體為 1），可能會造成假分數或帶分數學習上的困擾，需要透過單位的強調來解決其認知衝突（教育部九年一貫課程綱要，2003）。研究者分析教育部 97 年國民中小學九年一貫課程綱要（100 學年度實施）之有關分數的標準用詞，三年級開始介紹分數，包含分母、分子、幾分之幾；四年級提及真分數、假分數、帶分數、等值分數、帶入分數加減與應用；五年級進行約分、通分與擴分的教學、

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分數乘法與應用的計算；六年級則有最簡分數、比與比值、分數除法與分數四則運用的大量練習，可呈現分數概念的深度與廣度。從上述各研究者的觀點及教育部數學學習領域課程綱要的分數意涵可以發現，分數因為是量的分割又牽涉到兩個量的相對比較關係，使得它包含眾多的子概念，如：單位量概念、等分概念…等，更與小數、百分比、比、除法與速率等概念密切相關，而這些概念也都是數學中的重要知識。是故，分數可以演變出許多數學形式出來，對兒童的意義是豐富且多變的，並且會因為情境之不同而有不同的數學意義，每位兒童接受到的分數意義也有所不同。所以，教學活動應該引導兒童建構不同的分數意義，確保分數在成為制約式的數學計算之前，與分數相關的數學物件、操作或概念能相互連接（Kieren, 1988）。 Netwon（2008）主張教師所需的分數知識多過於解題技巧、需要的分數知識種類要能夠讓教師提供說明以解釋給學生了解、要分析學生的反應並使用適當的圖像來呈現概念。Li 與 Huang（2008）也提到，清晰明白的分數課程特徵是幫助學生在解題步驟與分數概念間形成連結，然而若教師太拘泥於算則，則會導致學生解題僵硬和缺乏遷移性。Brown 與 Quinn（2006）的研究就發現大部分學生對分數概念與計算只是片段的了解，可以簡單地使用分數概念直接解題的題目，卻使用分數算則帶入解題，此即為解題的僵硬。Jigyel 與 Fuata’i（2007）研究發現，學生最常碰到的困難就是部件的遷移性，即是計算整數部件與分數部件上有困難，且無法分開計算部件或應用部件來解題。李源順（2004）的研究更認為在所有分數四則運數中，分數除法的問題對學生是相當抽象且吃力的，需要教師給予學生更多的幫助與省思，這些幫助與省思包含長期提供明確的分數概念教學以及具體物的操作之後，分數算則才能在此時適當地教導給學生。其他關於分數除法解題的教學要點包含，部件區隔與遷移（Brown & Quinnm, 2006; Jigyel & Fuata’i, 2007）、鼓勵一題多解的教法（Charalambous & Pantazi, 2007; Jigyel & Fuata’I, 2007; Li & Huang, 2008; Netwon, 2008）。以上文獻闡明靈活的分數解題策略才能使學生確實理解複雜的分數概念，可作為分數解題教學的實施依據。 (四) 以上文獻的啟示與研究的啟發綜上所述可以發現，數學寫作的教學研究文獻多以數學寫作為策略而運用於數學課堂，並從學生的相關測驗與寫作產品分析可能成效，歸納相關文獻可發現有兩種寫作模式，一者為紙筆式；二者為線上式。隨著資訊科技融入教學的趨勢，使用線上式數學寫作可有符於上述教育潮流的理念，然關於比較兩種模式差異的研究文獻較為闕如，自然無法提供實徵研究結論而有益於教學現場，此外，班級學生差異極大，若皆齊視成同一水準亦甚難發現實施數學寫作的可能成效或問題，以上成為本研究設計的啟發一。再者，本研究的數學課程是以分數除法為主，

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從以上文獻略可得知，分析學生分數除法學習成效不應只從答對與否來論，對於背後的解題意義及一題多解的巧思更為重要，以上成為本研究設計的啟發二。

三、研究方法

(一) 研究對象以桃園市某兩間國小六年級共 4 個班級為研究對象，計 95 位學生，並以班級為單位隨機分派為紙筆式數學寫作與線上式數學寫作（各兩個班，而採線上式數學寫作的班級學生已有三年的資訊課程經驗，具有上網與基礎打字能力）。本研究的分數除法教學活動，皆配合班級實際授課進度實施，教學時間依照規劃進度為 10 節，每節 40 分鐘。 (二) 研究設計採用二因子之準實驗研究法，教學實驗前取得每位學生在該市 104 學年度五年級數學學力評估成績做為前測共變量，獨立變項為「數學寫作模式」及「數學能力水準」，學習成效依變項包括數學成就測驗之「總分」及「總解題策略量」。數學寫作模式中依所運用的方式區分為紙筆式數學寫作與線上式數學寫作，數學能力水準則依各班級前一學期（即五年級下學期）數學學期總分區分為高（27%）、中（46%）、低（27%）三個組別，每位學習者皆在分數除法教學結束後立即實施成就測驗，評量學習者在分數除法成就測驗的總分與總解題策略量。 (三) 研究工具 1. 教材內容與實施方式配合參與者學校的課程版本，以國小六年級南一版分數除法作為教材。教材再細分為七個教學活動，分別為「最簡分數」、「分數除以分數（同分母）」、「分數除以分數（異分母）」、「有餘數的分數除法」、「分數除法的應用」、「有餘數的分數除法」與「被除數、除數和商的關係」。教學活動的實施內容主要配合教師備課用書之規劃，七個教學活動於六節教學中完成，六節教學中的每一節課將要求學生寫下表達性寫作內容（亦區分成紙筆式與線上式的寫作環境），以說明該節上課內容的心得或想法，教師則分別給予個別性回饋。分數除法單元教學結束後再進行四節課（每節課五道應用題）的解題練習，並要求學生依闡述性寫作方式表達學生所賦予其算式的意涵（亦區分成紙筆式與線上式的寫作環境），並於課堂中或線上環境中進行師生間或生生間的討論。

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2. wiki 平台系統（應用於線上式數學寫作的網頁環境）本研究的線上式數學寫作班級會在研究者自設的 wiki 平台上進行數學寫作活動，平台依據教學活動也被分為兩種寫作區，如上述所說每節課後的表達性寫作區與課後應用題練習的闡述性寫作區，其中闡述性寫作區會依七項教學活動建立個別的寫作專區，便於學生使用。研究者事先建立使用線上式數學寫作系統的學生帳號與密碼，並於課前提供登入練習與寫作發表練習，確保在 wiki 平台上的寫作順利。 3. 分數除法解題成就測驗本測驗屬於總結性測驗，目的在了解學生對分數除法單元的學習成效，測驗編制依據九年一貫數學能力指標，並參照教師手冊、課本與習作題目的內容，經過反覆修改與預試。預試由該市另一國小六年級學生 58 人，其中男生 24 人，女生 34 人進行預試，預試後依試題分析的難度與鑑別度進行檢驗。檢驗結果，難度介於.586～.690 間，鑑別度介於.411～.607 間，平均難度.624，平均鑑別度.524，重測信度為.917（間隔時間為 2 個禮拜）。試卷為 15 道應用題（每題 5 分），合計 75 分，計分方法則參照 Charles 於 1986 所提出的五點計分法，如下表所示（黃麗紅、溫媺純、施皓耀，2008）。表 1 應用題計分法分數解題特徵 0 空白；對題意不了解的計算；答案不正確且沒有過程。 1 策略不合適且未完成；不成功且沒繼續嘗試；企圖求出子目標但沒成功。 2 策略不合適但顯示部分理解；使用合適策略卻未找到答案；正確解答卻無過程。 3 合適策略，但過程不清楚；沒有明顯理由的錯誤答案；忽視問題的一個條件。 4 合適策略；反思問題結果；抄寫或計算錯誤產生不正確解答。 5 同上但答案正確。

四、研究結果與分析

本研究之資料分析是以 104 學年度五年級數學學力評估成績為共變量，就數學寫作模式（紙筆式與線上式）與數學能力水準（高、中、低）對學習成效（分數除法解題成就測驗之總分與總解題策略量）的影響而進行二因子多變量共變數

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分析，統計分析之水準均設定為.05。本研究進行學習成效之共變數分析前，先透過多變項變異數分析檢視學力評估成績對學習成效之影響狀況。 (一) 數學學力評估成績對學習成效影響之檢視在進行學習成效之多變項共變數分析前，先以變異數分析檢視數學學力評估成績對學習者之分數除法表現的影響情形。研究對象先依數學學力評估成績取前、後約 45%為高、低分組，其分數除法解題成就測驗總分與總解題策略量之描述性統計如表 2。依照 Box's M 多變項變異數同質性考驗結果，顯示多變項變異數同質性考驗未達顯著水準（F=2.426，p=.064），符合變異數分析之基本假設，即多個變量符合變異數同質性假設。表 2 高、低數學學力評估成績組之分數除法成就測驗總分與總解題策略量描述性統計依變量數學評估成績分組平均數標準差人數成就測驗總分低分組 57.76 6.488 42 高分組 67.81 4.767 43 合計 62.85 7.581 85 總解題策略量低分組 26.50 4.463 42 高分組 33.56 4.987 43 合計 30.07 5.895 85 多變項變異數分析摘要表如表 3，顯示數學學力評估成績對分數除法成就測驗總分與總解題策略量之影響，均達到顯著水準（成就測驗總分：F=66.486， p<.001；總解題策略量：F=47.205，p<.001）。再由表 2 可以發現，高分組數學學力評估成績的學習者在分數除法成就測驗之總分與總解題策略量，均顯著優於低分組數學學力評估成績。因此，本研究在研究分析上以數學學力評估成績為共變量，先行排除此數學學力評估成績對研究對象分數除法學習成效的影響，將能更精準檢視寫作模式與數學能力對學生學習成效的影響。表 3 數學學力評估成績對於分數除法成就測驗總分與總解題策略量之變異數分析摘要 Source Dependent

Variable Type III SS df Mean Square F Sig. 數學學力評估成績成就測驗總分 2146.881 1 2146.881 66.486 .000 總解題策略量 1058.472 1 1058.472 47.205 .000 Error 成就測驗總分 2680.131 83 32.291 總解題策略量 1861.105 83 22.423

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(二) 分數除法學習成效之共變數分析在進行學習成效之多變量共變數分析前，先以「組內回歸係數同質性考驗」檢視是否符合共變數分析之基本假設。組內回歸係數同質性考驗結果未達顯著水準（分數除法成就測驗總分：F=.56，p=.734，總解題策略量：F=.30，p=.913），符合共變數分析之基本假設。以下分別就本研究分數除法成就測驗之「總分」及「總解題策略量」的多變項共變數分析結果進行摘要與說明。 1. 學習成效之分數除法解題成就測驗的總分分析學習成效之分數除法解題成就測驗總分的共變數分析摘要如表 4 所示，寫作模式與數學能力之主要效果與交互作用均達顯著水準（寫作模式：F(1,88)=12.046， p=.001；數學能力：F(2,88)=37.822，p=.000；交互作用：F(2,88)=3.211，p=.045）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的情況下，學習者在不同數學寫作模式與數學能力水準下進行學習，其分數除法解題成就測驗的總分成效會有所不同。由於交互作用顯著，因而寫作模式與數學能力的顯著與否便沒有實質的意義存在，以下分別針對寫作模式與數學能力進行單純主效果分析。表 4 學習成效之分數除法解題成就測驗總分的共變數分析摘要

Source Type III SS df Mean Square F Sig.

數學學力評估成績 29.769 1 29.769 2.712 .103 寫作模式 132.229 1 132.229 12.046 .001 數學能力 830.323 2 415.162 37.822 .000 寫作模式*數學能力 70.492 2 35.246 3.211 .045 Error 965.959 88 10.977 (1) 數學寫作模式單純主效果分析數學寫作模式單純主效果分析是以學習者之數學學力評估成績為共變數，分別針對高、中、低數學能力水準進行分數除法解題成就測驗總分之共變數分析，便於探討寫作模式對三種不同數學能力水準在成就測驗總分之影響。高數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 5 所示，發現兩者達顯著水準（F=14.005，p=.001）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，高數學能力水準的學習者，使用線上式數學寫作模式較紙筆式數學寫作模式有更佳的分數除法成就測驗總分表現。

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表 5 不同寫作模式之高數學能力水準在分數除法解題成就測驗總分的單純主效果分析摘要表

Source Type III SS Df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 4.729 1 4.729 .527 .476 寫作模式 125.750 1 125.750 14.005 .001 線上式>紙本式 Error 179.579 20 8.979 註：高數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 72.974 與 68.251 中數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 6 所示，發現兩者達顯著水準（F=6.401，p=.015）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，中數學能力水準的學習者，使用線上式數學寫作模式較紙筆式數學寫作模式有更佳的分數除法成就測驗總分表現。表 6 不同寫作模式之中數學能力水準在分數除法解題成就測驗總分的單純主效果分析摘要表

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 39.853 1 39.853 2.468 .123 寫作模式 103.357 1 103.357 6.401 .015 線上式>紙本式 Error 742.772 46 16.147 註：中數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 66.168 與 63.119 低數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 7 所示，發現兩者未達顯著水準（F=.053，p=.821）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，低數學能力水準的學習者，無論使用線上式或紙筆式數學寫作模式皆無法有效影響分數除法成就測驗的總分表現。表 7 不同寫作模式之低數學能力水準在分數除法解題成就測驗總分的單純主效果分析摘要表

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 .013 1 .013 .009 .925 寫作模式 .076 1 .076 .053 .821 Error 28.782 20 1.439 註：低數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 52.636 與 52.751 (2) 數學能力水準單純主效果分析數學能力水準單純主效果分析是以學習者之數學學力評估成績為共變數，分別針對紙筆式與線上式數學寫作模式進行分數除法解題成就測驗總分之共變數分析，便於探討數學能力水準對兩種不同數學寫作模式在成就測驗總分之影響。

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不同數學能力水準之紙筆式數學寫作的單純主效果分析如表 8 所示，發現不同數學能力水準間兩者達顯著水準（F=9.234，p=.000），繼續進行不同數學能力水準的事後比較，結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，使用紙筆式數學寫作的高分組與中分組的學習者較低分組而言，皆有更佳的分數除法成就測驗總分表現。表 8 不同數學能力之紙筆式數學寫作在分數除法解題成就測驗總分的單純主效果分析摘要表

Source Type III SS Df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 41.201 1 41.201 3.090 .085 數學能力 246.244 2 123.122 9.234 .000 高分組>低分組中分組>低分組 Error 613.357 46 13.334 註：紙筆式數學寫作之高中低數學能力的平均數分別為 66.197、63.309 與 55.142 不同數學能力水準之線上式數學寫作的單純主效果分析如表 9 所示，發現不同數學能力水準間兩者達顯著水準（F=38.946，p=.000），繼續進行不同數學能力水準的事後比較，結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，使用線上式數學寫作的高分組較中分組、高分組較低分組、中分組較低分組的學習者，有更佳的分數除法成就測驗總分表現。表 9 不同數學能力之線上式數學寫作在分數除法解題成就測驗總分的單純主效果分析摘要表

Source Type III SS Df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 .408 1 .408 .049 .826 數學能力 647.389 2 323.695 38.946 .000 高分組>中分組高分組>低分組中分組>低分組 Error 340.762 41 8.311 註：線上式數學寫作之高中低數學能力的平均數分別為 72.685、65.893 與 52.884 2. 學習成效之分數除法解題成就測驗的總解題策略量分析學習成效之分數除法解題成就測驗總解題策略量的共變數分析摘要如表 10 所示，寫作模式與數學能力之主要效果與交互作用均達顯著水準（寫作模式： F(1,88)=25.070，p=.000；數學能力：F(2,88)=7.233，p=.001；交互作用：F(2,88)=5.234， p=.007）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的情況下，學習者在不同數學寫作模式與數學能力水準下進行學習，其分數除法解題成就測驗的總解題策略量會有所不同。由於交互作用顯著，因而寫作模式與數學能力的顯著與否沒有實質意義，以下分別再針對寫作模式與數學能力進行單純主效果分析。

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表 10 學習成效之分數除法解題成就測驗總解題策略量的共變數分析摘要

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 數學學力評估成績 48.764 1 48.764 3.640 .060 寫作模式 335.823 1 335.823 25.070 .000 數學能力 193.787 2 96.894 7.233 .001 寫作模式*數學能力 140.232 2 70.116 5.234 .007 Error 1178.807 88 13.396 (1) 數學寫作模式單純主效果分析數學寫作模式單純主效果分析是以學習者數學學力評估成績為共變數，分別針對高、中、低數學能力水準進行分數除法解題成就測驗總解題策略量之共變數分析，便於探討寫作模式對三種不同數學能力水準在成就測驗總解題策略量之影響。高數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 11 所示，發現兩者達顯著水準（F=52.907，p=.000）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，高數學能力水準的學習者使用線上式數學寫作模式較紙筆式數學寫作模式有更佳的分數除法成就測驗總解題策略量。表 11 不同寫作模式之高數學能力在分數除法解題成就測驗總解題策略量的單純主效果分析摘要

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 1.130 1 1.130 .169 .685 寫作模式 353.870 1 353.870 52.907 .000 線上式>紙本式 Error 133.770 20 6.688 註：高數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 39.913 與 31.990 中數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 12 所示，發現兩者達顯著水準（F=4.355，p=.042）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，中數學能力水準的學習者使用線上式數學寫作模式較紙筆式數學寫作模式有更佳的分數除法成就測驗總解題策略量。

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表 12 不同寫作模式之中數學能力在分數除法解題成就測驗總解題策略量的單純主效果分析摘要

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 58.493 1 58.493 3.641 .063 寫作模式 69.966 1 69.966 4.355 .042 線上式>紙本式 Error 739.081 46 16.067 註：中數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 31.688 與 29.180 低數學能力水準之寫作模式單純主效果分析如表 13 所示，發現兩者未達顯著水準（F=1.266，p=.274）。此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，低數學能力水準的學習者無論使用線上式或紙筆式數學寫作模式，皆無法有效影響分數除法成就測驗的總解題策略量。表 13 不同寫作模式之低數學能力在分數除法解題成就測驗總解題策略量的單純主效果分析摘要

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 7.770 1 7.770 .541 .471 寫作模式 18.182 1 18.182 1.266 .274 Error 287.328 20 14.366 註：低數學能力水準在線上式與紙筆式的平均數分別為 24.712 與 22.931 (2) 數學能力水準單純主效果分析數學能力水準單純主效果分析是以學習者數學學力評估成績為共變數，分別針對紙筆式與線上式數學寫作模式進行分數除法解題成就測驗總解題策略量之共變數分析，便於探討數學能力水準對兩種不同數學寫作模式在成就測驗總解題策略量之影響。不同數學能力水準之紙筆式數學寫作的單純主效果分析如表 14 所示，發現不同數學能力水準間兩者未達顯著水準（F=2.444，p=.098），此結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，使用紙筆式數學寫作的學習者未能在分數除法成就測驗總解題策略量上有更佳的表現。表 14 不同數學能力之紙筆式數學寫作在分數除法解題成就測驗總解題策略量的單純主效果分析

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 33.763 1 33.763 2.327 .134

數學能力 70.922 2 35.461 2.444 .098 Error 667.394 46 14.509

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不同數學能力水準之線上式數學寫作的單純主效果分析如表 15 所示，發現不同數學能力水準間兩者達顯著水準（F=5.751，p=.006），繼續進行不同數學能力水準的事後比較，結果顯示在排除數學學力評估成績的影響下，使用線上式數學寫作的高分組較中分組、高分組較低分組、中分組較低分組的學習者，有更佳的分數除法成就測驗總解題策略量表現。表 15 不同數學能力之線上式數學寫作在分數除法解題成就測驗總解題策略量的單純主效果分析

Source Type III SS df Mean Square F Sig. 事後比較數學學力評估成績 15.243 1 15.243 1.223 .275 數學能力 143.401 2 71.701 5.751 .006 高分組>中分組高分組>低分組中分組>低分組 Error 511.172 41 12.468 註：線上式數學寫作之高中低數學能力的平均數分別為 37.976、31.442 與 26.239 (三) 學習成效分析結果彙整討論關於分數除法學習成效的統計結果彙整如表 16 所示。以三種數學能力面向來看，除了低數學能力的學習者外，使用線上式數學寫作的學習者皆較紙筆式數學寫作有較佳的成就測驗總分與總解題策略量的表現，推測原因可能是因低成就的學生在進行數學寫作時，仍無法充分透過師生間討論的鷹架習得分數除法的概念，故周立勳與劉祥通（1998）認為學生本身的語文與數學成就，可能影響學生數學寫作的意願甚至干涉數學解題能力的表現，使先備經驗與能力大大影響數學寫作與解題意願；另外，線上式的學習成效優於紙筆式的原因，可能是因線上環境便於討論與分享（Zhang & Wong, 2007），透過雲端紀錄數學寫作內容，能夠強化學生間彼此分享寫作作品的互動機會（陳懷萱、林金錫，2003；黃郁婷，2003； Neil, 1996），甚至藉由電腦的紀錄讓學生可以瀏覽解題歷程，而輔助其提升解決問題與擴展思考力（Cooper, 2012; Jonassen, 1996）。再以兩種寫作模式來看，使用線上式數學寫作的情況下，都能讓不同能力的學習者在成就測驗總分與總解題策略量的表現上有顯著影響，若改使用紙筆式數學寫作，則總解題策略量的表現結果未若使用線上式寫作來得佳。此一結果說明線上討論的寫作環境，便於學習者透過閱讀來察覺解題的各項巧思，大大提升一題多解的能力。

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表 16 分數除法學習成效（成就測驗）分析結果摘要表組別分數除法成就測驗總分總解題策略量在高數學能力上線上式 > 紙筆式線上式 > 紙筆式在中數學能力上線上式 > 紙筆式線上式 > 紙筆式在低數學能力上線上式 = 紙筆式線上式 = 紙筆式在線上式寫作上高能力 > 中能力高能力 > 低能力中能力 > 低能力高能力 > 中能力高能力 > 低能力中能力 > 中能力在紙筆式寫作上高能力 > 低能力中能力 > 低能力高能力 = 中能力 = 低能力

五、結論與建議

(一) 結論 1. 經由數學寫作，教師可得知更多學生學習數學的完整訊息相較過往，教師批改學生的應用題多以檢視正確答案與否，接著再細看學生所列的算式邏輯是否合理，但外顯式的答案與算式無法協助教師達到有效教學的目的。實施數學寫作可讓學生透過陳述自我內在想法，賦予數學概念或算式的個人意義，因為這些意義很難單從問題的答案或算式得知，學生有可能邏輯思考錯誤但卻陰錯陽差答對題目，故沒有這些文字意義的有效溝通，實無從得知學生的真實本領，此結論也符合一般教師的教學經驗－若學生可從頭到尾敘述一次解題過程，就可確認他們已懂得運用數學概念來解題。數學寫作除了闡述相關算式意義外，學生也可藉由自由的數學寫作抒發個人學習的心得與疑問，使教師立即解惑回饋，讓上課時來不及或不敢發言的學生有更多次相互溝通的機會。 2. 從紙筆式數學寫作開始，培養學生數學寫作能力過往紙筆式數學研究多已支持能加強學生數學概念的意義理解，本文雖以紙筆式為比較組別（控制組），卻不認為紙筆式數學無法幫助學生。相反地，紙筆式數學寫作的實施較無困難性，只要教師改變教學模式使學生從口頭發表改為紙筆紀錄，進而漸漸習慣數學寫作的活動，若養成寫作習慣後可獲得更多、更完整的數學概念。而從本研究結果來看，紙筆式數學寫作雖未若線上式較有便利性，如教師僅在課堂內實施紙筆式數學寫作的話，應強化師生間或生生間的交流分享，創造教室課堂環境成為線上分享式的公開環境，讓班級所有數學寫作作品得以被檢視，應可營造出相同成效，諸如張貼優秀學生的解題歷程、鼓勵更多解題巧思的算式等。

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3. 藉由雲端分享與溝通的特性，線上式數學寫作加速分享所得所想線上式數學寫作可加速學生分享所得與所想。由於雲端的便利性，學生登入網頁後可相當方便地瀏覽他人數學寫作內容，並將所得所想再次發表之，教師透過線上討論引導使學生的寫作內容可以更廣更深。每一筆記錄在線上寫作專區的文字，各個使用者都能於登入後一目了然，相較於紙筆式數學寫作之一定要面對面地溝通紙本上的文字，甚為便利使用。且線上式數學寫作符合當今教育思潮－資訊科技融入教學的理念，若學校能藉由電腦科技的輔助，當能有效協助學生數學學習成效。 4. 使用更多教學策略、表徵或具體操作等活動，給予低數學能力學生更多刺激無論進行線上式或紙筆式數學寫作活動，研究結果指出較難有效提升低數學能力學生的分數除法成就測驗成效。因此，教師在實施數學寫作相關活動時，除了營造恰當合適的數學寫作環境（線上或紙筆）及模式（闡述性、表達性或創作性）外，更應使用更多的教學策略、符號表徵與具體操作的活動，刺激低數學能力學生在分數除法的概念形成，藉由透過其他多元方法以持續釐清學生所疑。 (二) 建議本研究藉由量化分析了解不同數學寫作模式與數學能力水準的交互影響，此量化結果應視為是研究對象在學習成效上所表現出的集中趨勢，然學生個體差異極大，筆者認為可輔以文件分析的質性方法，透過個人寫作歷程的比對將可更確切知道自身寫作內容的改變幅度，尤其對低數學能力學生的寫作內容更能經由分析比較相關錯誤態樣，而改正形成正確的概念發展，對於教師利用數學寫作內容來修正課堂教學或是補救教學更有用處。若使用線上式數學寫作來進行質性研究更為容易，因相關寫作內容都以電子檔形式儲存在雲端伺服器上，便於研究者下載分析而歸納出可能結論。線上數學寫作的活動可視為是教學服務的新型態，針對此項服務若能有效根據師生需求或教學目標加以運用，當能使線上數學寫作有更好成效。畢竟紙本式數學寫作可讓學生在紙上自由創作出寫作內容，但要移至線上式環境卻要有紙筆式的方便寫作，仍有待開發便利的寫作程式。因此現階段可先透過問卷形式了解學生使用線上式環境的喜好差異，建議未來研究以此為方向，開發出更適合於線上數學寫作的學習環境，以提供更多更便利的功能來提升學習成效。

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