國
立
交
通
大
學
光電系統研究所
碩
士
論
文
顏料分散彩色濾光片造成 TFT-LCD 對比度下降機制
之討論
Discussion on the Contrast-Ratio Degradation of
TFT-LCDs Caused by Pigmented Color Filter
研 究 生：廖偉翔
指導教授：楊界雄 教授
顏料分散彩色濾光片造成 TFT-LCD 對比度下降機制之討論
Discussion on the Contrast-Ratio Degradation of TFT-LCDs Caused
by Pigmented Color Filter
研 究 生：廖偉翔 Student：Wei-Hsiang Liao 指導教授：楊界雄 Advisor：Kei-Hsiung Yang 國 立 交 通 大 學 光 電 系 統 研 究 所 碩 士 論 文 A Thesis
Submitted to Institute of Photonic Systems College of Photonics
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Photonic Systems
July 2011
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
i 顏料分散彩色濾光片造成 TFT-LCD 對比度下降機制之討論 學生：廖偉翔 指導教授：楊界雄 國立交通大學光電系統研究所碩士班
摘要
目前要使 TFT-LCD 能夠生成彩色的主流方法為在 LCD 面板上建構顏 料分散式彩色濾光片。文獻中的實驗結果顯示，將彩色濾光片置於兩穿透 軸方向互相垂直的偏振片中間時，兩偏振片會出現漏光的現象。我們認為 此現象的成因乃是線性偏振光入射顏料分散式彩色濾光片後，被解偏而造 成對比度下降所致。 文獻中的數據已證實此現象與顏料顆粒之大小有關。就我們所知，截 至目前為止，並無任何文獻解釋造成此現象的物理機制。故我們假設了兩 個光學模型，分別為等效波板（光學非等方向性，anisotropic）與米氏散射 （光學等方向性，isotropic）模型，以便解釋此現象。ii
在等效波板模型中，我們利用瓊斯矩陣計算並得出顏料顆粒大小正比 於解偏程度的結果，其與文獻上的結果相符。
然而在米氏散射模型中，我們還無法得到適當的數值結果來解釋文獻 中的結果。
iii
Discussion on the Contrast-Ratio Degradation of TFT-LCDs Caused by Pigmented Color Filter
Student：Wei-Hsiang Liao Advisor：Kei-Hsiung Yang
Institute of Photonic Systems National Chiao Tung University
Abstract
The most popular color generation of TFT-LCDs has been based on pigment dispersed (PD) color filters (CFs) built in the LCD panel to produce sub-pixel-red (R), -green (G), and – blue (B) colors from a backlight system attached onto the panel. Experimental results showed that, by placing such PDCF plate between cross polarizers, additional light leakage occurred due to the change of the linearly polarized input light into elliptically polarized output light. We call this effect as the depolarization-induced degradation of contrast ratio (DID-CR) due to the PDCF.
The DID-CR depends on the particle size of PDCF. So far, there have been no prior publications to explain the mechanism of DID-CR of the PDCF. In this thesis, we suggest two optical models: birefringent effect (BRE) and Mie scattering effect (MSE) caused by PDCF particles to explain the phenomenon of DID-CR.
In the BRE model, we use Jones matrix method to calculate the DID effect through a PDCF of fixed thickness but composed of multi-layer pigment-particles of different sizes. Using the BRE model, we have confirmed the occurrence of DID-CR that is proportional to the particle sizes within the PDCF plate consistent with published results.
In our MSE model, we have assumed that the PDCF particles are optically isotropic and the effect of DID-CR disappears for forward-scattered lights independent of particles sizes. For fixed particle size, the effect of DID-CR increases with increasing oblique-scattered angles and the scattered intensity within the same solid angle increases as the particle size
iv
decreases. The MSE model at this moment of development is unable to produce suitable numerical results to compare with the experimental results that the effect of DID-CR is more severe with larger particles and much reduced with smaller particles within the PDCF layer.
v
誌謝
牛頓曾經說過：「如果我比別人看得更遠，那是因為我站在巨人的肩 上。」，敝人絕對不敢自比為牛頓，但在這兩年的碩士生涯中，敝人有幸能 站在楊界雄教授這位學界巨人的肩上做研究，並接受楊老師在學業與生活 態度上的諸多指導，敝人深覺受益良多，對楊老師的感謝之情豈能在三言 兩語間道盡！ 再來敝人要感謝本實驗室的同仁；感謝聖雅對許多量測上的大力幫忙， 感謝禹任與信旭能在討論時提出許多新想法，感謝志豪對於數學問題上的 解答，感謝皇明幫忙借書，感謝偉彥在外出時充當司機，以及感謝菀君提 供美食資訊。 最後要感謝我的家人，感謝你們對我的支持，我的榮耀是屬於你們的。vi
目錄
中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… iii 致謝 ……… V 目錄 ……… vi 表目錄 ……… viii 圖目錄 ……… ix 符號說明 ……… x 一、 緒論……… 1 二、 理論模型與計算方法……… 3 2. 1 等效波板……… 3 2. 1. 1 瓊斯矩陣……… 3 2. 1. 2 等效波板的計算……… 5 2. 2. 米氏散射……… 6 2. 2. 1 米氏散射的推導結果與物理意義……… 6 2. 2. 2 米氏散射的計算……… 8 三、 計算結果、討論與初步結論……… 12 3. 1 等效波板模型的計算結果與討論……… 12vii
3. 2 米氏散射模型的計算結果與討論……… 14
四、 結論與未來展望……… 26
參考文獻 ……… 29
viii
表目錄
表 3. 1. 1 使用等效波板模型計算時所帶入的各參數值……13
表 3. 1. 2 以等效波板模型計算所得結果………13
表 3. 2. 1 各符號與顏色所對應的粒子半徑……… 17 表 3. 2. 2 各粒子半徑下所對應的𝑅值……… 20 表 3. 2. 3 各符號與顏色所對應的𝜑角值……… 21ix
圖目錄
圖 2-1-1 單軸波板示意圖……… 4 圖 2-2-1 入射光與散射光分量示意圖……… 7 圖 3-2-1 顏料粒子在彩色濾光片中的橫截面分布……… 15 圖 3-2-2 散射角對相位差分布圖……… 17 圖 3-2-3 立體角Ω示意圖……… 19 圖 3-2-4 粒徑為 50 奈米時的曲線圖……… 21 圖 3-2-5 粒徑為 100 奈米時的曲線圖……… 22 圖 3-2-6 粒徑為 150 奈米時的曲線圖……… 22 圖 3-2-7 粒徑為 200 奈米時的曲線圖……… 23 圖 3-2-8 粒徑為 250 奈米時的曲線圖……… 23x
符號說明
𝑛𝑒：非尋常光折射率 𝑛𝑜：尋常光折射率 𝑉𝑥：入射光 x 方向的瓊斯向量 𝑉𝑦：入射光 y 方向的瓊斯向量 𝑉𝑥′：出射光 x 方向的瓊斯向量 𝑉𝑦′：出射光 y 方向的瓊斯向量 𝜓：𝑥軸與𝑠軸的夾角 𝛤：相位延遲 𝑑：波板厚度 𝜃：散射角 𝜑：原始入射光偏振向量與入射面的夾角 𝐸0𝑟：垂直散射面的入射光向量 𝐸0𝑙：平行散射面的入射光向量 𝐸𝑟：垂直散射面的散射光向量 𝐸𝑙：平行散射面的散射光向量 𝑥：尺寸參數 𝜆：入射光波長xi
𝑎：粒子半徑 𝑚：粒子折射率 Ω：立體角
1
第一章 緒論
現今，液晶顯示器（LCD）已經在各種顯示應用上達到主流地位，無 論是家用或商用。又以一般電腦與電視螢幕來說，｢彩色螢幕｣絕對是已經 到了必備條件的地步。 穿透式液晶顯示器能夠顯示彩色之原因在於其內建了三原色的彩色濾 光片，藉由改變三原色之比例以達到顯示｢彩色｣的目的。 而彩色濾光片又大致上分為兩種：染料式與顏料式，然而根據文獻[1]， 由於染料的耐光性差，目前幾乎所有的廠商都採用顏料分散光阻法製造彩 色濾光片。 目前顏料分散式彩色濾光片在使用上所面臨的問題為造成顯示器的對 比度下降。我們認為此問題的成因為線性偏振光在入射彩色濾光片後，出 射光變為橢圓偏振（即入射光被彩色濾光片解偏）所導致。雖然將彩色濾 光片中的顏料顆粒磨細[2][3]可以改善對比度下降的問題，但就我們所知， 為何將顆粒磨細可以使對比度上升，其詳細的物理機制從未被探討過。
2
故本文的研究目的在於釐清線性偏振光被解偏的物理機制，進而使往 後的研究能夠有更深入的理論基礎。
3
第二章 理論模型與計算方法
以下我們提出兩個理論模型來解釋解偏現象，分別為等效波板與米氏 散射（Mie scattering）。2. 1 等效波板
等效波板模型的中心思想為：假定每一個顏料顆粒都有一個等效的光 軸，即光經過顏料顆粒會產生雙折射（birefringent，即折射率有𝑛𝑒與𝑛𝑜的區 別），故將每一個顆粒等效為一片波板(wave plate)。然而，彩色濾光片中包 含許多的顏料顆粒，其中每個顆粒的光軸方向是隨機分布的。 由於在計算上會使用到瓊斯矩陣（Jones Matrix）[4][5]，以下將針對瓊 斯矩陣作簡略的介紹。2. 1. 1 瓊斯矩陣
根據文獻[5]，瓊斯矩陣為一種計算光在通過非均勻介質 （波板， retardation plates）後的偏振態之方法。參照圖 2-1-1，以單軸（uniaxial）雙4 折射波板為例，入射光由負𝑧軸方向垂直進入波板，𝑠與𝑓分別為波板的快軸 和慢軸方向，𝜓代表𝑥軸與𝑠軸的夾角。 圖 2-1-1 單軸波板示意圖[5] 假設入射光的瓊斯向量（Jones Vector）為(𝑉𝑥𝑉𝑦)，出射光的瓊斯向量為 (𝑉𝑥′𝑉𝑦′)，兩者間存在等式關係： (𝑉𝑥′𝑉𝑦′) = 𝑅(−𝜓)𝑊0𝑅(𝜓) (𝑉𝑥𝑉𝑦) 其中 𝑅(𝜓) = (− 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑐𝑜𝑠 𝜓) 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑊0 = 𝑒−𝑖𝜑(𝑒 −𝑖𝛤 2 0 0 𝑒𝑖𝛤2 ) 𝜑 = 1 2(𝑛𝑠 + 𝑛𝑓) 2𝜋 𝜆 𝑑 𝛤 = 2𝜋 𝜆 (𝑛𝑠 − 𝑛𝑓)𝑑 = 2𝜋 𝜆 ∆𝑛 ∗ 𝑑 = 2𝜋 𝜆 (𝑛𝑒 − 𝑛𝑜)𝑑
𝑛𝑒與𝑛𝑜分別為非尋常光折射率（extraordinary refractive index）與尋常光折 射率（ordinary refractive index），𝑅(𝜓)為座標軸旋轉矩陣，𝑊0為波板的瓊
5
斯矩陣，𝜑為絕對相位差（absolute change in phase），𝛤為相位延遲（phase retaration），𝑛𝑠與𝑛𝑓分別代表快軸於慢軸的折射率，𝜆為入射光波長，𝑑為波 板厚度。在多重反射不明顯的情況下，我們通常把𝑒−𝑖𝜑項忽略不計。 由以上敘述，我們可知一個光軸落在𝑥 − 𝑦平面上，並且慢軸與𝑥軸所夾 角度為𝜓的波板之瓊斯矩陣可表示為：𝑊 = 𝑅(−𝜓)𝑊0𝑅(𝜓)。
2. 1. 2 等效波板的計算
由於光軸是隨機分布的，在計算上必需處理角度分布的問題。我們的 方法為個別求出每一片與𝑥軸夾一隨機角度的波板之光強度，而後對所得的 光強度做角度變數的積分並除以所積分的總角度求其平均值。欲計算通過 所有波板所得的強度，若通過 N 層波板最後所得的強度將含有 N 個不同的 角度分量。以下用計算一層等效波板光強度作為說明範例： 假定今有一線偏振光由負𝑧軸往正𝑧軸方向入射，偏振方向為平行𝑥軸， 其歸一化的瓊斯向量為(10)。參照圖 2-1-1 的設置，波板的𝑠軸與𝑥軸之間所 夾隨機角度為ψ，定義出射光的瓊斯向量為(𝐸𝐸𝑥 𝑦)，則可得以下關係式： (𝐸𝐸𝑥 𝑦) = ( 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝜓 − 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑐𝑜𝑠 𝜓) (𝑒 −𝑖𝛤/2 0 0 𝑒𝑖𝛤/2) ( 𝑐𝑜𝑠 𝜓 − 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑐𝑜𝑠 𝜓 ) (10) (2.1) 又𝐼𝑥 = |𝐸𝑥|2、𝐼 𝑦 = |𝐸𝑦|2
，
進一步計算可得光強度。6 由(2.1)式，我們得知光強度為隨機角度ψ的函數，即𝐼 = 𝐼(𝜓)。計算𝐼𝑦即 可得光在通過單一波板後的解偏程度，計算方法分為以下兩個步驟： 1. 計算∫ 𝐼0𝜋 𝑦𝑑 𝜓 （由於空間對稱性，只須對𝜓進行0~𝜋的積分） 2. 將上式除以𝜋 （意在求其平均值） 所得即為光通過單一波板後的解偏光強度。
2. 2 米氏散射
根據文獻[6] ~ [9]，米氏散射為在滿足 Maxwell 方程式的情況下，令一 單色平面波入射一任意大小的均勻球體，代入適當的邊界條件，解偏微分 方程式（PDE）所得到的解析解。 若將顏料顆粒近似為均勻球體，則以米氏散射模型來套用其散射光的 行為（包括散射光的偏振態與強度分布）乃為一合乎常理的解釋方式。 詳細的公式推導在這裡在此並不重複詳述，以下僅簡略地介紹即將運 用到的米氏散射之推導結果與其物理意義。2. 2. 1 米氏散射的推導結果與物理意義
[6]7 考慮一道線偏振光由負𝑧軸方向往正𝑧軸方向入射一任意大小的球體， 其中，𝜃為散射角，𝜑為原始入射光偏振向量與入射面的夾角。入射光與散 射光向量可分解為平行與垂直散射面的兩個分量：𝐸0𝑟為垂直散射面的入射 光分量、𝐸0𝑙為平行散射面的入射光分量、𝐸𝑟為垂直散射面的散射光分量、𝐸𝑙 為平行散射面的散射光分量。 圖 2-2-1 入射光與散射光分量示意圖[6] 入射光與散射光存在以下的關係式： 𝐸𝑟 = 𝑆1(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝑟+𝑖𝑘𝑧𝑖𝑘𝑟 𝐸𝑟0 (2.2) 𝐸𝑙 = 𝑆2(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝑟+𝑖𝑘𝑧 𝑖𝑘𝑟 𝐸𝑙0 (2.3) 上式中，𝑟代表粒子中心到散射光波面上任意點的距離，𝑧代表粒子中心到 入射光波面上任意點的距離[18]。 𝑆1與𝑆2為散射振幅，與𝜃有關。兩者可寫為以下形式：
8 𝑆1(𝜃) = ∑ 2𝑛+1 𝑛(𝑛+1) ∞ 𝑛=1 {𝑎𝑛𝜋𝑛+ 𝑏𝑛𝜏𝑛} (2.4) 𝑆2(𝜃) = ∑ 2𝑛+1 𝑛(𝑛+1) ∞ 𝑛=1 {𝑎𝑛𝜏𝑛+ 𝑏𝑛𝜋𝑛} (2.5) 係數𝑎𝑛、𝑏𝑛、𝜋𝑛、𝜏𝑛分別為： 𝑎𝑛 =𝜓′𝑛(𝑚𝑥)𝜓𝑛(𝑥)−𝑚𝜓𝑛(𝑚𝑥)𝜓′𝑛(𝑥) 𝜓′ 𝑛(𝑚𝑥)𝜉𝑛(𝑥)−𝑚𝜓𝑛(𝑚𝑥)𝜉′𝑛(𝑥) (2.6) 𝑏𝑛 =𝑚𝜓′𝑛(𝑚𝑥)𝜓𝑛(𝑥)−𝜓𝑛(𝑚𝑥)𝜓′𝑛(𝑥) 𝑚𝜓′ 𝑛(𝑚𝑥)𝜉𝑛(𝑥)−𝜓𝑛(𝑚𝑥)𝜉′𝑛(𝑥) (2.7) 𝜋𝑛 =𝑠𝑖𝑛(𝜃)1 𝑃𝑛1(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (2.8) 𝜏𝑛 =𝑑𝜃𝑑 𝑃𝑛1(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (2.9) 𝑚為折射率。𝑥 = 2𝜋𝑎/𝜆稱尺寸參數，為2𝜋乘以粒子半徑𝑎與入射光波長𝜆的 比值。𝑃𝑙𝑚(𝑥)為連帶雷建德多項式（Associated Legendre polynomials）。𝜓𝑛和 𝜉𝑛是 Riccati-Bessel 函數，可用第一類 Bessel 函數與第二類 Hankel 函數表示 為： 𝜓𝑛(𝑧) = (𝜋𝑧 2) 1 2𝐽 𝑛+12(𝑧) (2.10) 𝜉𝑛(𝑧) = (𝜋𝑧 2) 1 2𝐻 𝑛+12 (2) (𝑧) (2.11)
2. 2. 2 米氏散射的計算
由上一節的內容，我們了解到，欲計算單顆粒子在空間中任意分布的 散射光向量，則必須將𝑆1(𝜃)與𝑆2(𝜃)求出。但是，若以上一節的原始公式直 接帶入電腦做計算必會遭遇到許多問題。以下我們將用條列式地簡略敘述9 問題與解決的方法： 1. 上一節中，散射振幅是以無窮級數的方式展開，其在計算上為非常 不實際的表示方式。有文獻[10]給出在已知𝑥的情況下，套入以下公 式可得知無窮級數計算到第幾項即可近似於無窮多項： 𝑁 = { 𝑥 + 4𝑥 1/3 + 1 𝑥 + 4.05𝑥1/3+ 2 𝑥 + 4𝑥1/3 + 2 8 < 𝑥 < 42000.02 ≤ 𝑥 ≤ 8 4200 ≤ 𝑥 ≤ 20000 N 即為近似的項數。 2. 係數𝜋𝑛、𝜏𝑛中存在連帶雷建德多項式，在𝜏𝑛中甚至需要對其微分。 若我們在使用 Matlab 計算時直接套用上一節的公式將各項展開，其 消耗的硬體資源與時間將非常可觀。所幸已有文獻[11][12]給出𝜋𝑛、 𝜏𝑛的遞迴關係式： 𝑠 ≡ 𝜇𝜋𝑛(𝜇) 𝑡 ≡ 𝑠 − 𝜋𝑛−1(𝜇) 𝜋𝑛+1(𝜇) = 𝑠 + (𝑛 + 1 𝑛 ) 𝑡 𝜏𝑛(𝜇) = 𝑛𝑡 − 𝜋𝑛−1(𝜇) 其中𝜇 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)，初始值為： 𝜋0 = 0 𝜋1 = 1 𝜏0 = 0 利用遞迴式求解將大幅提升其效率，使消耗的資源與時間縮減至可 接受的範圍。 3. 同樣地，計算係數𝑎𝑛、𝑏𝑛時也會遭遇到類似第 2 點所提到的問題。 雖然現今的數學計算軟體已經可計算𝑎𝑛和𝑏𝑛中的微分項，但論計算
10 效率，直接計算仍然遠低於遞迴關係式，且直接計算所消耗的硬體 資源也遠大於遞迴關係式。從上世紀中後期[11][13] ~ [15] 開始，直 到近幾年[12]，仍有文獻針對係數𝑎𝑛、𝑏𝑛的遞迴關係式作探討。如 此持續性的研究，其原因在於考慮球體對光的吸收（折射率𝑚存在 虛部）時，𝑚的虛部大小與尺寸參數𝑥會左右計算結果的穩定度。最 常見的問題為：使用某種遞迴關係式，當𝑚的虛部極大或極小與尺 寸參數𝑥也同時處於極大或極小的極端狀態時，將會造成電腦在計算 上溢位。 然而，若我們假定忽略球體對光的吸收，則無需考慮以上的問 題；這意味我們使用的遞迴式將會簡單許多。以下為我們使用的遞 迴關係式[11]： 𝑎𝑛 = ( 𝐴𝑛(𝑧) 𝑚 +𝑛𝑥) 𝜓𝑛(𝑥) − 𝜓𝑛−1(𝑥) (𝐴𝑛𝑚 +(𝑧) 𝑛𝑥) 𝜉𝑛(𝑥) − 𝜉𝑛−1(𝑥) 𝑏𝑛 = (𝑚𝐴𝑛(𝑧) + 𝑛𝑥)𝜓𝑛(𝑥) − 𝜓𝑛−1(𝑥) (𝑚𝐴𝑛(𝑧) + 𝑛𝑥)𝜉𝑛(𝑥) − 𝜉𝑛−1(𝑥) 式中，𝑧 = 𝑚𝑥。雖然𝜓𝑛(𝑥)與𝜉𝑛(𝑥)存在遞迴關係式[11][16]，但由於 在 Matlab 中已經內建 Bessel 函數的指令，故我們選擇使用同前一節 直接計算的方式求出𝜓𝑛(𝑥)與𝜉𝑛(𝑥)。 最後，我們指出係數𝐴𝑛(𝑧)的關係式[13][17]：
11 𝐴𝑛(𝑧) = −𝑛 𝑧 + 𝜓𝑛−1(𝑧) 𝜓𝑛(𝑧) 運用前述結果即可求得𝐴𝑛(𝑧)。
12
第三章 計算結果、討論與初步結論
延續第二章的內容，本章將實際應用前述的結果作運算。為了確保精 確性與兼顧效率，所有的計算都藉由數學軟體 Matlab 來完成。 以下將分別以兩個小節敘述等效波板與米氏散射模型的計算結果。3. 1 等效波板模型的計算結果與討論
首先說明本模型在計算上的先天限制： 由於我們是以多層波板的來近似彩色濾光片的光學行為，但我們的計算方 法需要做符號積分，每一層波板皆有各自的隨機角度，層數越多變數就越 多。然而使用 Matlab 作計算時，因為我們是進行符號積分，過多的變數將 會消耗大量硬體資源並造成計算效率低落。故我們在實際計算時，所採用 的波板層數將不會太多。 計算所需的各參數將彙整在表 3. 1. 1。在此我們要聲明，據我們所知， 目前還沒有任何文獻宣稱過可以利用瓊斯矩陣來近似彩色濾光片的光學行 為，故所有的參數都由我們自行猜測而得。其中波板厚度𝑑即代表單顆顏料13 粒子的直徑大小。 參數 數值 𝑑 200 nm、100 nm 𝜆 550 nm 𝑛𝑒 1.51 𝑛𝑜 1.5 表 3. 1. 1 使用等效波板模型計算時所帶入的各參數值 依照文獻[2]中所記載，顏料顆粒的大小最大不超過 500 奈米，故我們 假設顏料顆有 200 與 100 奈米兩種大小，波板的層數分別為 2 層與 4 層。 如此假設乃是為了讓總波板厚度相等（一般業界用的彩色濾光片厚度大約 在 1.5 微米至 2 微米之間）。計算的結果以下表示之： 波板厚度（顏料顆粒直徑） 對比度 200 nm 7.6622 × 103 100 nm 1.5325 × 104 表 3. 1. 2 以等效波板模型計算所得結果 呈 2. 1. 2 節，由於入射光瓊斯向量為(10)，故我們定義對比度為出射波 板的𝑥方向光強度除以出射波板的𝑦方向光強度。
14 由以上結果，顏料顆粒小者的出射光因為解偏程度較小，對比度較高， 顆粒大者反之。故我們證明了可利用等效波板所建立的彩色濾光片模型來 解釋顏料顆粒大小與出射光解偏程度的關係。
3. 2 米氏散射模型的計算結果與討論
同上一節，在計算前有幾項參數我們必須事先假設。我們假設入射光 的波長為 550 nm，顏料顆粒的折射率為 2，顏料顆粒所在的介質之折射率 為 1.5。 然而，在討論計算結果前有一點需要特別說明，即直向散射（𝜃 = 0） 的情況。根據第二章的(2.4)和(2.5)式，若𝜃 = 0，則我們會得到𝑆1(0) = 𝑆2(0) 的結果，這意味著散射光將無相位差，即散射光無解偏的現象，此與實驗 的結果相違背。這是僅考慮單顆粒子的結果，然而，彩色濾光片中必定含 有許多顏料顆粒並均勻的分佈在其中，僅考慮單顆粒子的行為實際上是不 合理的。 為了解釋光的解偏現象，我們必須以群粒子的觀點來考量。以下我們 給予兩個內含兩顆顏料顆粒的彩色濾光片的粒子分布橫截面圖，以說明我15 們的想法。 圖 3-2-1 顏料粒子在彩色濾光片中的橫截面分布 圖中以紅色的球體代表顏料顆粒，粗黑箭頭代表入射光由下往上入射 至彩色綠光片，較細的黑箭頭代表入射光入射至第一顆顏料顆粒後，再度 入射第二顆顏料顆粒的散射光。 我們已經知道直向散射的散色光不會有解偏現象，如 3-2-1 左圖的配置 所示，光在經過第一顆粒子後，其直向散射光再次入射第二顆粒子，如此 彩色濾光片的出射光將無解偏現象。但在彩色濾光片中不可能所有的粒子 都如同左圖，上下如此排列的整齊；其上下粒子必定會有某種程度的錯位， 如同 3-2-1 右圖。進一步檢視右圖，我們可知，入射光入射至第一顆粒子後， 其在某個散色角𝜃的散射光會再次入射至第二顆粒子。由於第一顆粒子的散 入射光 入射光 散射光 散射光 𝜃
16 射角𝜃不等於零，則𝑆1(𝜃) ≠ 𝑆2(𝜃)，其散射光將帶有解偏的現象。然而，當 第一顆粒子的散射光入射第二顆粒子時，第二顆粒子的散射光將再次以散 射角𝜃的散射光出射彩色濾光片，並且，累加第一次散射光的相位差。我們 稱散射角𝜃不等於零的情況為斜向散射。 由以上推論我們知道，只要一道線性偏振的入射光被斜向散射的次數 越多，其解偏現象就會越顯著。 以下我們要先驗證我們對於斜向散射次數會累加相位差的說法。我們 遵照前述的參數設置，並且由於是計算相位差，𝑟和𝑧可為任意值並不影響 計算結果。令一道線性偏振光入射粒子半徑為 200 奈米的粒子，計算其在 散射角為 30 度時的相位差，在一次散射時為-4.407 度，二次散射時為-8.814 度；後者為前者的兩倍，故我們的假設得到驗證。 再來我們要進一步探討粒子半徑大小與解偏度的關係。參照文獻[2]中的粒 子半徑配置，我們取半徑 50 ~ 250 奈米、散射角 0 ~ 90 度的區間做一次散 射的計算。以下為計算所得之散射角對相位差分布圖：
17 圖 3-2-2 散射角對相位差分布圖 圖中各符號與顏色所對應的半徑大小以下表示之： 粒子半徑 (nm) 符號與顏色 50 “B”，紅色 100 “*”，藍色 150 “+”，綠色 200 “9”，黑色 250 “8”，淡藍色 表 3. 2. 1 各符號與顏色所對應的粒子半徑 檢視圖 3-2-2，我們發現在散射角不大的情況下，粒子半徑與相位差成 正比關係，符合文獻中的結果[2]並與我們的預測相符，但在大散射角的情 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 散 射 角 <deg.> 相位差 < d e g .>
18 況下卻不合我們的預期。 關於大散射角的現象，我們提出以散射光能量分布的觀點作解釋；即 散色光在空間中的能量分布不是均勻的。根據文獻[7]，隨著粒子的半徑增 大，向前的散射光將會越比向後的多，這一現象稱米氏效應。 因此，我們在這裡要提出一個假設：粒子越小，散射能量越是平均的 往四周散射；粒子越大，則散射能量越集中往前散射。觀察能量在空間中 的分佈情形可能將給予我們進一步的資訊，假若能驗證我們的假設，則散 射光在大散射角的相位差不合乎預期的現象即可忽略，如此我們的計算結 果將能夠解釋文獻上與我們所預期的結果。 受到文獻[18][27]的啟發，我們將利用文獻所提的資訊來計算光強度之 空間分布以證明我們的假設。我們的想法如下： 由公式(2.2)和(2.3)，若我們假設𝐸𝑟0與𝐸𝑙0可表示為以下的形式 𝐸𝑟0 = 𝐸0sin 𝜑 (3.1) 𝐸𝑙0 = 𝐸0cos 𝜑 (3.2) 𝐸0表示入射光的振幅，入射光強度為 𝐼0 = |𝐸𝑟0|2 + |𝐸 𝑙0|2 = |𝐸0|2
(3.3) 散色光強度為 𝐼(𝑟, 𝜃, 𝜑) = |𝐸𝑟|2 + |𝐸 𝑙|2
19 = 𝐼0 𝑟2𝑘2[|𝑆1(𝜃)|2(sin 𝜑)2+ |𝑆2(𝜃)|2(cos 𝜑)2] (3.4) 我們定義散射分布函數為 γ(𝜃, 𝜑) = [|𝑆1(𝜃)|2(sin 𝜑)2+ |𝑆 2(𝜃)|2(cos 𝜑)2] (3.5) 應用(3.4)式，在已知𝑟、𝜃、𝜑的情況下，我們可得散射光在空間中任意 點的強度分布。 圖 3-2-3 立體角Ω示意圖（圓錐內為立體角Ω所包含的範圍） 更進一步的，如圖 3-2-3 所示，我們可以利用(3.4)式計算空間中在某個 立體角Ω內，其圓錐曲面上的強度相對於整個散射球面的強度比值。以下為 我們的計算方法： 𝑅 = ∫ 𝐼 𝑟0Ω 2𝑑𝜔 ∫ ∫ 𝐼 𝑟𝜋 2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜑 0 2𝜋 0 (3.6) 𝑅 代 表 立 體 角 Ω 內 的 強 度 分 布 與 整 個 球 體 的 空 間 強 度 之 比 值 ， 𝑑𝜔 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑為單位立體角，𝑟2𝑑𝜔即代表半徑為𝑟的球面上之曲面積元素。對 曲面積元素積分即得通過曲面的總強度。 Ω
20 此處我們要指出，我們計算𝑆1、𝑆2的方式為利用遞迴關係式，用數值計 算求解，但數值計算將導致無法進行(3.6)式中的積分。然而近幾年發行的 Matlab 版本已經有提供符號計算的擴充功能，我們原先使用的程式碼只要 稍經修改，即可運行符號運算。 以下我們將計算在不同粒子半徑的情況下，𝜃 = 45度所構成的立體角 內對總球體之光強度比值，以驗證我們的看法。計算所得在不同粒子半徑 下光強度的比值如表 3. 2. 2 所示： 粒子半徑 (nm) 𝑅 50 21.520% 100 29.952% 150 48.415% 200 62.238% 250 76.727% 表 3. 2. 2 各粒子半徑下所對應的𝑅值 雖然光強度𝐼(𝑟, 𝜃, 𝜑)與𝑟、𝜃、𝜑三個變數有關，但我們僅對角度與光強 度的分佈感興趣，所以我們的下一步是要作散射角對散射分布函數的曲線 圖。作圖時，我們僅選擇幾個特定的𝜑角做為不同散射平面的代表。圖中， 我們以不同的符號與顏色代表不同的散射平面（即不同的𝜑角），詳見下表：
21 𝜑 (rad.) 符號與顏色 π 6 “o”，藍色 π 4 “+”，紅色 π 3 “*”，綠色 π 2 “-”，黑色 表 3. 2. 3 各符號與顏色所對應的𝜑角值 以下為我們計算不同粒子半徑所得的曲線圖： 圖 3-2-4 粒徑為 50 奈米時的曲線圖 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 散 射 角 <deg.> ( , )
22 圖 3-2-5 粒徑為 100 奈米時的散色曲線圖 圖 3-2-6 粒徑為 150 奈米時的曲線圖 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 散 射 角 <deg.> ( , ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 散 射 角 <deg.> ( , )
23 圖 3-2-7 粒徑為 200 奈米時的曲線圖 圖 3-2-8 粒徑為 250 奈米時的曲線圖 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 散 射 角 <deg.> ( , ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 50 100 150 200 250 300 散 射 角 <deg.> ( , )
24 由本節以上所呈現的結果，我們可以歸納出下面幾個結論： 1. 觀察圖 3-2-4 至 3-2-8 的縱軸尺度，我們可知當粒子的半徑越大，散射光 向前散射的比率將越高。 2. 雖然在不同的散射面上，散色光的強度分布略有不同，在折射率不變的 情況下，粒子半徑仍為影響整個向前散射分布情形的主要參數。 3. 對照圖 3-2-4 至 3-2-8，我們的計算結果可以解釋我們前面所提出的｢粒子 越小，能量越是平均的往四周散射；粒子越大，則能量越集中往前散射｣ 之假設
。
4. 因為強度分佈隨著粒子半徑改變而變，參照表 3. 2. 2，當粒子半徑為 150、 200 與 250 奈米時，在𝜃 = 45度所構成的立體角內幾乎都佔了所有散色 光強度的一半以上。再對照圖 3-2-6 至 3-2-8，散色強度均隨著散射角增 大而遞減，且最大值皆出現在散射角為 0 度時。故，當粒子顆粒較大時， 僅需考慮小散射角度的散射光行為。 5. 如圖 3-2-2 所示，粒子半徑 50 與 100 奈米所對應的曲線，所有的散射角 與其對應相位差皆非常小；兩條曲線對應的相位差甚至從未超過 10 度。 對照圖 3-2-4 與 3-2-5，其強度分布也比大粒子半徑時均勻許多。 6. 綜合第 4 與第 5 點，我們可得以下結論：｢顏料顆粒半徑大小與散射光的 解偏程度乃成正比關係｣。雖然不同於等效波板模型，我們利用米氏散射 模型尚無法得到數值上精確的結果。原因在於大散射角的散射行為難以25
透過實驗驗證，故其正確性與實用性尚無定論。但我們相信此模型仍擁 有參考的價值，特別是在粒子半徑不大的情況下。
26
第四章 結論與未來展望
在本文中，我們分別提出兩個理論模型欲解釋彩色濾光片所造成 LCD 對比度下降的物理機制，並且就我們所知，到目前為止，尚無人對其物理 機制作詳細的探討。 然而米氏散射模型在顆粒半徑較大時存在爭議性的計算結果，以下我 們將對其進行深入的討論。 第 3. 2 節末我們已經提到，米氏散射模型無法完全解釋文獻上的結果， 在此我們要提出其原生的缺陷與可能的改善方向。我們所提出的米氏散射 模型乃是針對單一顆粒子，然而彩色濾光片中不可能只含有一顆顏料粒子， 僅用單顆顏料粒子的散射結果來解釋整個彩色濾光片造成之解偏現象，是 與現實不符的。若把單粒子改成群粒子，則在物理觀點上將較為合理，但 如此單粒子散射理論將不復適用或必須加以擴充。已有許多文獻對群粒子 散射的理論進行探討[19] ~ [24]，我們相信把群粒子納入考量將是散射模型 未來的發展方向。 若 進 一 步 探 究 群 粒 子 散 射 理 論 ， 我 們 可 以 將 其 大 略 的 區 分 為 團27
（aggregated）粒子散射[19] ~ [22]與 Radiative Transfer[23] ~ [26]兩種。
團粒子散射理論可視為單粒子的米氏散射理論之擴充，其概念乃為考 慮許多個別半徑可相同或不同，並且在空間上任意分布的粒子其在巨觀的 散射行為。此理論在解釋由個數不多的粒子所構成的｢粒子團｣時存在優勢， 但其重大的缺點在於隨著粒子個數的上升，其計算所消耗的硬體資源也跟 著上升，文獻[22]甚至以分散式計算（distributed computing）進行處理；由 於在計算上將每個粒子對其他粒子的交互影響都考慮進去，故其對於硬體 需求隨粒子數目增加而上升乃是必然的結果。顯然，若以團粒子散射理論 來套用我們的需求將不符效率。 反觀 Radiative Transfer 理論，其一開始就是為了解釋平行介質層中帶 有許多粒子所造成的散射現象，故此理論符合我們的需求。雖然 Radiative Transfer 理論在開始發展時偏向忽略光的偏振性質，但已有文獻[24] ~ [26] 將其理論加以擴充至可納入光的偏振性，而我們對於此理論相關的研究也 正在進行。 最後，我們要在此指出釐清顏料粒子的材料性質之必要性。本文中我 們所使用的兩種模型都存在不同的預設條件，即粒子是否在光學上為等方
28 向性的。等效波板模型為事先假設顏料粒子會造成雙折射（光學非等方向 性），故其折射率有𝑛𝑒與𝑛𝑜的區別，也使得其擁有利用瓊斯矩陣來計算的正 當性；然而米氏散射模型則剛好相反，回顧第 3. 2 節，我們一開始即假設 顏料粒子是光學等方向性的。故，若能釐清顏料粒子的材料性質將給予我 們進一步的資訊去決定該往哪個方向繼續發展或修正。 然而，在未知顏料粒子之材料性質的情況下，其尺寸與光波長之關係 將給予我們該應用何種模型的初步判斷依據。若粒子的尺寸遠小於入射光 波長時，散射模型將主導彩色濾光片的出射光行為；此時我們可以無視粒 子的光學等方向性與非等方向性之區別。反之，若粒子尺寸接近或者大於 入射光波長，則此時就有必要考慮其為光學等方向性或非等方向性。 由以上，我們總結了我們的計算結果，並指出所有我們認為在本文中 尚未釐清與待探討的項目，相信對未來的研究有一定程度之幫助。
29
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[27] K. N. Liou, An Introduction to Atmospheric Radiation, Second Edition, Academic Press, 2002
31
附錄
以下收錄本文作者在 2010 International Conference on Optics and Photonics in Taiwan 以及 2010 中國液態晶體學會年會暨研討會中發表的三篇論文： 1. Analytic Solution of Phase Transfer Function for a General Twisted Nematic
Cell
2. 一般扭曲向列型液晶之相位轉換函數的解析解
3. Design Tolerance to Reduce Curtain Mura in TFT-TN Panels after COG NCF Process
Analytic Solution of Phase Transfer Function for a General Twisted Nematic Cell
Chih Hao Kuo1*, Wei Hsiang Liao2, and Kei Hsiung Yang1
1
Institute of Imaging and Biomedical Photonics, 2Institute of Photonic System College of Photonics,National Chiao Tung University, Guiren, Tainan
Abstract---Analytic solution of phase transfer function for a general twisted nematic (GTN) cell has been derived. The solution can be applied to analyze data obtained by Heterodyne interferometry to derive important cell parameters such as cell gap, pretilt and twist angles.
Keywords: phase difference, retardation, Jones matrix, liquid crystal cell gap, pretilt angle, twist angle
INTRODUCTION
LCDs (liquid crystal displays) become dominant from small-size mobile to large-size TV applications. To optimize the display qualities of LCDs, it is imperative to obtain optimized cell parameters such as cell gap, pretilt and twist angles. Recent publication [1] indicates that, by measuring the retardation of a GTN cell rotating along its cell normal in a Heterodyne interferometeric system, all the above three parameters can be obtained by fitting the experimental results to the calculated results using numerical computation in a computer [1]. This paper presents analytical solutions to replace the published numerical computations of Jones matrix method for better accuracy and faster analysis.
THEORETICAL CALCULATION
If the incident light into a GTN cell is linearly polarized along x-axis and can be expressed as
in Jones-vector representation, the polarization state of the emerging light can be written as
.
The phase difference of can be measured by using an optical Heterodyne
interferometeric system. We can carry out the following theoretical derivations.
We choose to be the input Jones vector to incident upon a GTN cell with arbitrary rotation
β：the angle between the entrance LC director and the incident light
：twist angle
Our output Jones vector
Which Γ λ
， and are the refraction index of extraordinary
light and ordinary light respectively is the pretilt angle of the general TN cell
is wave length of the incident light. We can rewrite
as
, where is the phase difference. We, then,
have
Let , , → . Finally, we have Let , then
The above equation shows the analytic solution of phase transfer function for a GTN cell.
CONCLUSIONS
We have derived an analytic solution of phase transfer function for a general TN cell. This analytic solution can be used to derive the pretilt angle, cell gap, and twist angle of a TN or GTN cell from measured data of retardation versus rotation angle β with better accuracy and faster analysis.
REFERENCES
[1] Ra Bin Li , Heng Cheng Tseng , and Kei Hsiung Yang , Determination of the cell parameters of a
‧63‧ PP-06``
‧135‧ PP-28``
