多種特殊設計之金屬孔洞陣列於兆赫波之穿透特性

國

立

交

通

大

學

光電工程研究所

碩

士

論

文

多種特殊設計之金屬孔洞陣列於兆赫波之穿透特性

THz Transmittance characteristics of Several Designs of Metallic Hole Arrays

研 究 生：彭彥毓

指導教授：潘犀靈 教授

多種特殊設計之金屬孔洞陣列於兆赫波之穿透特性

THz transmittance characteristics of Several Designs of Metallic Hole Arrays

研 究 生：彭彥毓 Student：Yan-Yu Peng

指導教授：潘犀靈 教授 Advisor：Prof. Ci-Ling Pan

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Photonics & Institute of Electro-Optical Engineering

College of Electrical Engineering National Chiao Tung University In partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electro-Optical Engineering

July 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

學生：彭彥毓

指導教授：潘犀靈 教授

國立交通大學光電工程所 碩士班

摘

要

我們量測數種金屬孔洞陣列在兆赫波段之穿透率，並且利用特徵模態展開法 與時域有限差分法分析其特性。在量測樣品中，主要有兩個明顯的分界。其中一 個部份的樣品，厚度與兆赫波波長相近。而另一部份之樣品則考慮表面電漿的衰 減長度後，設計其厚度為 150 奈米。除此之外，在兆赫波段之金屬孔洞陣列其穿 透峰值會隨著孔洞陣列之週期和孔洞形狀的改變而不同。單一孔洞的載止頻率和 表面電漿態的最低模態對於穿透率峰值的頻率，都具有非常重要影響。其中對於 單一矩形孔洞，其穿透率將隨著矩形孔洞的長寬比增加而上升，而這個現象與矩 形金屬孔洞陣列的結果是一致的。當表面電漿態的耦合頻率大於單一孔洞之截止 頻率時，穿透率的頻寬隨著表面電漿態之耦合頻率增加而持續的增加；當表面電 漿態的耦合頻率小於單一孔洞之截止頻率時，則穿透率的頻寬大致上為定值。接 著，當我們旋轉孔洞陣列時並且觀察其穿透率對於角度變化的影響時發現當表面 電漿態的耦合頻率和波導共振態相近時，兩個效應會互相耦合，使得穿透峰值出 現紅移現象；當表面電漿態的耦合頻率和波導共振態彼此遠離時，則隨著角度的 旋轉將會看到波導共振態的穿透率峰值並不會改變，而表面電漿的耦合頻率則會 出現紅移現象。藉由觀察到這些現象，我們可以將金屬孔洞陣列應用於濾波器的 製作，透過改變孔洞的形狀和週期的大小，我們可以設計出適合的帶通濾波器。 i

Student：Yan-Yu Peng

Advisors：Dr.Ci-Ling Pan

Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

We present the characterization of several designed metallic hole arrays in THz transmission and validate the observations by using the eigen-mode expansion method theoretically and finite-difference time domain (FDTD) method numerically. Extraordinary transmission is obtained as the thickness of metallic plate varies, either approximately close to the incident wavelength or within the skin depths of the metal, i.e. several hundreds of nanometers. In addition, the peak frequency of this extraordinary transmission depends on the periodicities of the arrays and on the shapes of the metallic holes. Cutoff frequencies of the guided modes in the metallic holes and the lowest frequencies of surface plasmonic modes in the hole arrays determine the peak transmission frequency of the metallic hole arrays. The normalized transmittance is enhanced as the shapes of the metallic holes are rectangular, and the enhancement increases as the ratio of length to width increases, similar to the results in the single metallic hole. The bandwidth of this extraordinary peak increases as the surface plasmon frequency is larger than the cutoff frequency and nearly remains as the surface plasmon frequency is smaller than the cutoff frequency. As the incident angle changes by tilting the metallic plates, we observes the interaction between surface plasmon mode and localized waveguide mode as the frequencies of these two modes are approaching, and the transmission peak shifts to shorter frequency as incident angle increases. Almost unvaried transmission performance is achieved as these two modes are decoupled. These observations can be applied to the multi-functionality bandpass filter designs in THz region by using metallic hole arrays with different shapes and cutoff frequencies of metallic holes and various periodicities and lattice structures of the hole arrays.

附件七 誌謝格式

誌

謝

時光如箭，歲月如梭。想到剛剛踏入實驗室畏畏縮縮的青澀模樣，經過兩年 的焠鍊，終於可以昂首向人生的下個里程碑邁進。這中間的轉變首先需要感謝的 對像是我的指導教授潘犀靈老師。每次的循循善誘，讓我在學習的過程中獲益 良。接著非常感謝卓帆學長在我剛進入實驗室時仔細耐心的教導實驗技巧與知識 以及各種人生道理和人際關係的進退。也因為學長悉心的引領使我更容易融入這 陌生的環境。而 Mika 學長除了教導我雷射的相關知識，在休閒時也化身為古代 人物一起暢遊在三國演義的歷史故事中。Moya 學長在這兩年中總是不厭其煩地 幫助我解決雷射系統的問題；閒暇之餘也不忘叮嚀我們緣分來了記得一定要努力 爭取。除此之外也非常懷念阿達 、宇泰和家任學長輕鬆閒聊的快樂時光和一起 在球場上揮汗奔馳的日子。在這二年的時間也特別感謝我的戰友們。仰賴韋文學 長實驗及理論上過人的天份幫我解決許多問題，許 Jerry 和韋文學長的雙簧更是 讓我在苦悶生活中得到許多捧腹大笑的機會。而猴子在駕馭車子的天份和技往更 是每每讓我驚嘆不已。在奮鬥的日子中，莊 GG 這最「忠誠」的隊友也使得我在 前線努力時無「後顧之憂」。雖然何大人已經出國追尋自己的夢想，但是這兩年 中在妳身上所發生的天兵事蹟總是在莫名的想起時令我會心一笑。在升上碩二的 這段時間中也非常感謝學弟們，輝哥、撲大師、艾斯佛和阿 Ken 的幫忙，使我在 煩忙的碩二生活中可以專心於實驗而不受雜務影響。自大學到研穿所的六年之 中，特別感謝家人的支持，雖然你嘴上不說，但是我可以感受到你們滿滿的關心， 真的非常謝謝你息。而文靜在這六年中總是為我加油打氣，陪我渡過各種難關， 承擔我的脾氣。最後尤其感謝陳瓊華老師在碩二下義務的協務我完成碩士論文。 若不是有您們這每一個人，我一定沒有辦法順利完成學業，誠心的感謝你們~~~ Thanks a lot iii

附件八 目錄編排範例

目

錄

中文提要

………

i

英文提要

………

ii

誌謝

………

iii

目錄

………

iv

圖目錄

………

v

表目錄

……… viii

符號說明

………

ix

一、

緒論………

1

二、

理論與分析方法………

9

2.1

兆赫波的輻射與機收理論………

9

2.1.1 兆赫波輻射理論………

10

2.1.2 兆赫波時域光譜技術………

15

2.2

金屬孔洞陣列………

17

2.2.1 表面電漿子………

17

2.2.2 圓形及方形波導理論………

22

2.2.3 局部波導共振………

24

2.2.4 弗洛凱定理………

27

2.3

時域有限差分法………

35

三、

實驗架構………

38

四、

實驗數據與分析

42

五、

結論………

65

圖表目錄

Fig1-1：電磁波之頻譜圖及其在各個波段之應用 1 iv

Fig1-2：各種不同雷射其脈衝寬度的演進史 3 Fig1-3(a)電磁波與金屬表面電子共振形成表面電漿子之示意圖 5 Fig1-3(b)電磁波遠離金屬界面時，電場快速的衰減 5 Fig2-1：平行極化波於介電質與金屬中 分量之示意圖 k 18 Fig2-2：表面電漿子模態之色散曲線與真空中電磁波之色散曲線 20 Fig2-3：圓形波導管 22 Fig2-4：矩形波導管 23 Fig2-5：矩形金屬單一孔洞示意圖 25 Fig2-6：單一矩形孔洞之長寬比對穿透率作圖 27 Fig2-7(a)： f

( )

x 經傅立葉轉換在 空間的頻譜分佈 k 28 Fig2-7(b)：g

( )

x 經傅立葉轉換在 空間的頻譜分佈 k 28 Fig2-8：h

( )

x 之振幅與相位對x作圖 29 Fig2-9(a)：g

( )

x 經傅立葉轉換在 空間的頻譜分佈 k 30 Fig2-9(b)：h

( )

x 經傅立葉轉換在 空間的頻譜分佈 k 30 Fig2-10：孔洞陣列之幾何結構示意圖 31 Fig2-11：電場和磁場在 Yee 晶格之示意圖 37 Fig3-1：鈦藍寶石晶體的吸收光譜與放射光譜 38 v

Fig3-2：超快雷射系統圖 40 Fig3-3：兆赫波時域光譜技術系統圖 41 Fig3-4：樣品擺放示意圖 41 Fig4-1：樣品 a 的孔洞陣列穿透率特性 43 Fig4-2：樣品 b 的孔洞陣列穿透率特性 44 Fig4-3：樣品 c 的孔洞陣列穿透率特性 45 Fig4-4：樣品 d 的孔洞陣列穿透率特性 46 Fig4-5：樣品 e 穿透率特性 48 Fig4-6：樣品 f 的孔洞陣列穿透率特性 49 Fig4-7：矩形孔洞陣列穿透率特性 50 Fig4-8：量測孔洞陣列的界面貼上石英的穿透率特性 51 Fig4-9：量測單一孔洞和孔洞陣列的穿透率特性 52 Fig4-10：改變圓形孔洞之週期對穿透率作圖 53 Fig4-11：改變方形孔洞之週期對穿透率作圖 54 Fig4-12：改變矩形孔洞之週期對穿透率作圖 55 Fig4-13：穿透率峰值頻率對週期變化之作圖 56 Fig4-14：穿透率峰值對週期變化之作圖 56 vi

Fig4-15：增強因子對週期變化之作圖 57 Fig4-16：頻寬對週期變化之作圖 58 Fig4-17：垂直旋轉 a 矩形孔洞對穿透率變化作圖 60 Fig4-18：平行旋轉 a 矩形孔洞對穿透率變化作圖 60 Fig4-19：垂直旋轉 b 矩形孔洞對穿透率變化作圖 61 Fig4-20：平行旋轉 b 矩形孔洞對穿透率變化作圖 61 Fig4-21(a)：a 矩形孔洞之峰值穿透率頻率對角度變化作圖 62 Fig4-21(b)：a 矩形孔洞之穿透率峰值對角度變化作圖 62 Fig4-22(a)：a 矩形孔洞之峰值穿透率頻率對角度變化作圖 62 Fig4-22(b)：a 矩形孔洞之穿透率峰值對角度變化作圖 62 Fig4-23：薄樣品之孔洞陣列穿透率 63 Fig4-24：單一圓形孔洞穿透率(理論計算) 64 vii

表格目錄

Table1：不同參數之孔洞陣列穿透率比 47

符 號 說 明

E

：電場強度

B

：磁通密度

H

：磁場強度

D

：電通密度

A

：向量磁位

μ ：導磁係數

ε ：介電係數

ix

第一章 緒論

1.1

兆赫波

自科學發展至今，電磁波的應用從微波至超短波長的γ射線，其研究的範圍幾乎

已涵蓋了全部的頻率(參考Fig1-1)。而兆赫波 (Terahertz wave, THz) 指的是頻率 範圍處在 1011 ~1013 赫茲(0.1~10 THz)的電磁波。此波段的電磁波對應之波長為 3000~30 微米。 Fig1-1：電磁波之頻譜圖及其在各個波段之應用 由於侷限於當時之科技技術，於 1980 年代以前兆赫波段之電磁波並沒有發展出 良好的發射源和偵測技術。在較短兆赫波的微波區段尚可利用電子儀器和天線產 1

生與接收，然而不巧地，限於電子儀器之反應速度只有奈秒等級，無法使用此方 法來產生兆赫波。紅外光和可見光區之發射源可利用電子從高能階躍遷至低能階 時，經由激發輻射(stimulated emission)產生良好的同調光源。然而，利用此方式 所產生的兆赫波長的光子能量非常低，甚至低於室溫熱輻射電磁波之光子能量， 故在正常的環境下無法產生有效的兆赫波光源(在 2002 年，有研究人員在非常低 溫的環境下，產生兆赫波雷射[1])。正因為良好的光源和偵測技術缺乏，兆赫波 段電磁波的研究因此在 1980 年代以前非常稀少。很幸運的，自 1970 年代以降， 超快雷射技術的發展漸趨於完備。利用超快雷射龐大的瞬間短脈衝能量，透過外 加電場來激發於天線上載子，並且輻射出高能之兆赫波光源。 本文兆赫波光源則為利用超快雷射之方式產生，首先在此我們簡單介紹超快雷射 的演進史。西元 1960 年，Maiman 首先架設了世界上第一套紅寶石連續波雷射 [reference]。1963 年，Gures 和 Mueller 利用鎖模機制產生脈衝雷射後[reference]， 並且於接下的三十年，各種不同種類的雷射透過鎖模技術達成超短脈衝研究陸續 地發展。於 Fig1-2 顯示各種不同雷射種類及其脈衝寬度的演進發展的過程。透 過 Fig 1-2，相異雷射透過壓縮技術或是鎖模技術[2]後，脈衝寬度急速變窄，脈 衝速度也因此變得更快。即使至今，世界上仍有許多尖端研究室投入了大量的心 血在超快雷射的領域並且使用許多方式來產生飛秒(femto-second)級脈衝寬度的 超快雷射。雖然有許多不同雷射系統都具備產生兆赫波之需求，但經由鈦藍寶石 (Ti：Sapphire)所產生的超短脈衝雷射是目前最容易架設之系統，加上操作容易的 2

優點，所以於本論文的實驗之光源架設主要採用此套系統。在我們實驗室，利用 鈦藍寶石雷射經克爾效應(Kerr Lens Mode Lock)產生脈衝寬度為 100 飛秒的超快 雷射系統，然後將如此龐大之瞬間能量雷射脈衝射至光導天線[3,4]，大量的載子 被激發後，受到外加電場加速而輻射出兆赫頻率的電磁波。

Fig1-2：各種不同雷射與其脈衝寬度的演進史。其中橫軸為年代，縱軸為脈衝寬度，單位為秒(s)

另一方面，在偵測兆赫波的技術上，主要為利用光導天線或是帕克爾效應(Pocket Effect)的電光取樣技術[8](EO sampling technique)兩種的方式偵測兆赫波輻射。這 兩種不同的偵測技術目前都被廣泛的使用，且具備良好的訊噪比(SNR)的優點。 然而，由於許多晶體的聲子(phonon)吸收頻率位於兆赫波的區段，帕克爾效應電 光取樣技術並不適用於我們的偵測架構系統，故我們使用光導天線接收兆赫波輻 射。

結合上述偵測技術及科學家藉由可見光的泵-探技術(pump-probe technique)之想 法將其應用到兆赫波的量測，進而發展出「兆赫波時域光譜技術」(Terahertz Time Domain Spectroscopy technique)[9,10]。稱其為「時域」光譜技術的原因在於兆赫 波脈衝與近紅外光的脈衝寬度相差將近 100 倍，利用光導天線或是電光取樣技 術，可以因此達成兆赫波的同調量測(coherence detection)。舉例來說，在可見光 與近紅外光之光源，電場的振盪頻率位在 1014 ~1015赫茲的範圍，一般偵測儀器 的反應速率沒有辦法量測到如此快速的變動量，所以我們只能得到光源的平均強 度(Intensity)。然而，同調量測是一種可以偵測到電場(electric field)變化之量測技 術。經由偵測兆赫波電場的變化，我們可以因此同時得到電場的振幅和相位兩項 資訊，透過這兩項資訊，我們不需使用克拉瑪-克朗尼關係式(Kramers-Kronig relations)便可得到待測物質的折射率和吸收係數。 由於「兆赫波時域光譜技術」具備如此優異的能力，目前有許多團隊利用此技術 研究物質的特性[11,12]。除此之外，對於半導體的載子動力學之研究也由傳統的 可見光泵-探技術改變成「光激發-兆赫波探測時域解析光譜法」(optical pump-THz probe Time Domain Spectroscopy )的新型泵-探技術[13]。在 2007 年，張系成教授 團隊透過「光激發-兆赫波探測時域解析光譜法」，直接觀測到表面電漿態的形成 [14]。

1.2 表面電漿

「光子晶體(photonic crystals)」為一種折射率在空間上具週期性的變化的人工材

質。最早在 1887 年由瑞利(Lord Rayleigh)所提出，其研究為一維週期性光子晶體 的特性。而後，光子晶體的相關研究如雨後春筍般並且數量非常龐大的研究文章 被發表。在兆赫波問世後，由於此波段之研究正處於新興階段，故兆赫波段的微 結構裝置也開始受到大家的注目[15,16,17]。西元 1998 年，Ebbesen 團隊研究二 維次波長金屬孔洞陣列時，發現了此結構具備異常的穿透特性(Extraordinary Transmission)[18]。Ebbesen 發現當可見光通過次波長結構的二維金屬孔洞陣列 後，在某些特定波長其穿透率甚至超過「1」(將穿透率經開口率歸一化)。而 Ebbesen 團隊也發現在旋轉金屬孔洞陣列後，穿透率特性與光子晶體般具有能帶 結構(band structure)。自此之後，科學家投入大量的心力研究此現象的物理機制。 雖然直到目前為止，其物理機制還是不太明確，也沒有適用的數學模型可以良好 解釋此現象，不過大部份的研究結果認為這異常的穿透現象主要來自於表面電漿 子 (Surface Plasmon Polaritons)與透過周期性結構的入射光相耦合後[19]所造成 的。

Fig1-3：(a)電磁波與金屬表面電子共振形成表面電漿子之示意圖；(b)電磁波遠離金屬界面時，電 場快速的衰減，為一種瞬逝波型態存在 表面電漿子效應是一個非常有趣(???)的現象，自從 1968 年，便已經有成果發表 在國際期刊。根據馬克士威爾方程式(Maxwell`s Equations)，當電磁波入射至金 屬與介電質界面時，電磁波會與金屬表面電子耦合形成表面波的行進模態(參考 Fig1-3)。當電場與金屬表面電子耦合後，表面電漿態電磁波在界面處具有非常強 的電場，因此對於金屬界面的介質變化非常靈敏。圖 1-3(a) 顯示電磁波與金屬 表面電子耦合示意圖，而 Fig1-3(b)則為此一電磁耦合波之磁場波縱向之分部，於 介電材質與金屬裡皆為一種瞬逝波(evanescent wave)，電磁波離界面越遠能量則以 指數型態快速衰減。因為上述一些特性，目前具有許多相關的應用： 生醫量測：因為表面電漿子對於鄰近介質的變化非常靈敏，目前在生物醫學 上利用「表面電漿共振」(Surface Plasmon Resonance)[20]效應可以即時監控 化學或生物反應的特性。 顯影技術：利用表面電漿態的特性，可以具備超解析光點(Super-Resolution) 的能力。而超解析光點的能力除了在顯影技術[21]具有非常好的應用性，還 可以使用在光碟讀寫頭上，利用其突破繞射極限的特性提高光碟片儲存資訊 的能力。 非線性光學：由於表面電漿態在界面具有很強的電場，故可以利用此特性產 生非線性光學過程的研究。像是二倍頻(Second Harmonic Generation)，表面

增強拉曼散射(Surface enhanced Raman Scattering)，甚至最近有人利用飛秒 脈衝雷射入射在一維的週期金屬陣列經過光整流效應產生兆赫波[22]。 除了上述幾項應用，表面電漿效應還有許多發展潛力，如增強太陽能電池的吸收 效率[23]及發光二極體之(LEDs)發光效率[24]，甚至可以利用此效應做為癌症治 療的媒介[25]。當然目前還沒有一個適用的數學模型可以良好的解釋其物理現象 也使得表面電漿效應的研究仍然持續的發展中。 在兆赫波光源問世之前，便有許多研究金屬表面電子與可見光波段電磁波的藕合 機制[26,27]。不過在那個時代，因為製程技術的限制，所以只能量測反射光的特 性。直到近代，製程技術的突飛猛進，Ebbesen 團隊首先量測穿透光的特性。之 後，研究電磁波與金屬表面電子耦合後其穿透光特性的文章也開始大量的發表 [28-36]。最近，因為兆赫波的研究受到大家的注目，且兆赫波的波長非常長(相 比於可見光)，所以在製程技術要達到次波長結構的孔洞陣列是非常容易的，於 是有許多人投入這方面的研究[37-44]。但是在兆赫波段下，金屬特性接近完美導 體，所以有許多現象與可見光波段的結果具有明顯的差異。而這金屬特性的不同 使得表面電漿子效應在兆赫波段下變得更錯綜複雜。目前有許多在兆赫波段下的 相關文章，其穿透率特性的解釋是利用表面電漿理論。不同於可見光，金屬的介 電係數非常大，對於表面電漿態之耦合效率也不比可見光波段。也為了這個目 的，我們冀望在兆赫波段下，可以客觀的區別表面電漿子效應在不同條件下對於 穿透率影響的程度及以表面電漿態和波導共振態的耦合效應。除此之外，目前並 7

沒有太多於此波段的應用元件，像是兆赫波濾波器(filter) [45]的缺點其穿透率較 差。現在我們可以利用金屬孔洞陣列，有效的製做良好的濾波器，對於我們設計 的頻率，其穿透率甚至可以達到近乎 100%；而欲消除的頻率，穿透率也可以低 於 10%。雖然此濾波器的頻寬(bandwidth)較窄，但是反過來利用此特性，可以藉 由此元件達成似單頻(quasi-frequency)的兆赫波。 1.3 論文概要 全書總共分為五個章節，除了於此章的摘要與簡介部份，第二章將會介紹簡述整 個實驗內容所需之理論，包括兆赫波的產生與偵測技術，及孔洞陣列的物理圖 像。第三章介紹此篇論文實驗所使用的系統架構，包含超快雷射系統和兆赫波時 域光譜系統。第四章則展示利用上章所用之架構量測不同孔洞金屬片的穿透特性 結果並且分析，其中量測樣品有不同孔洞形狀及晶格結構之陣列與單一孔洞。最 後，第五章總結上述的內容和實驗的結論，以及提供未來繼續深入的研究之方向。 8

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第二章 理論

在此章節中，我們將會分為三個段落： (1) 兆赫波的輻射及接收機制，(2) 金屬 孔洞陣列的物理機制及(3) 「有限時域差分法」之電磁場模擬系統。首先於 2-1.1 簡單地利用電衝模型(Current-surge model)介紹的兆赫波的輻射機制，且於 2-1.2 簡述量測兆赫波之量測技術-時域光譜技術。於 2-2 敘述金屬孔洞陣列的物理模 型之穿透機制，其中包括於 2-2.1 介紹特徵模態延展數值演算法(Eigenmode expansion method)來解釋於單一孔洞結構的金屬孔洞中所造成之局部波導共振 (Localized waveguide resonance)之穿透的特性、2-2.2 弗洛凱定理(Floquet theory) 以理解孔洞陣列周期性結構的穿透率特性、2-2.3 孔洞陣列針對於不同晶格週期 性結構之穿透率的公式及 2-2.4 表面電漿子的基本理論及其數學模型。最後，2-3 會簡短的介紹我們的數值模擬程式「有限時域差分法」以模擬電磁波之孔洞穿透 率.。 2-1 兆赫波的輻射及接收機制 最近，相關於兆赫波脈衝的研究蓬勃發展，透過超短脈衝雷射，可以很輕易地產 生皮秒級脈衝寬度的兆赫波脈衝。目前為止，兩種產生兆赫波的方法較為人熟 知：第一是將超短脈衝雷射入射至非線性晶體經光整流效應(optical rectification) 產生兆赫波輻射，利用這種方法所產生的兆赫波通常其頻寬較大且具有較高的能 量。第二種是將超快雷射入射至半導體表面，經由激發的電子-電洞對產生兆赫 波輻射。於下小節我們會著重於利用電衝模型(current-surge model)簡述第二種的 9

兆赫波的輻射機制。而於 2-1.2 則會介紹接收兆赫波之量測技術-時域光譜技術。 2-1.1：光導天線(photoconductive antenna)產生兆赫波 當超短脈衝雷射入射至光導天線，會激發電子-電洞對，而此電子-電洞對經由外 加偏壓加速後，產生表面電流，時變的表面電流會經由天線輻射出兆赫波。透過 電衝模型(current-surge model)[1] ，我們接下來解釋上述的物理機制。 電衝模型(current-surge model)： 當脈衝雷射做為激發光源入射至半導體，其表面因為雷射的激發會產生時變載子

(

x,y,z,t

)

ρ 、電流Jr

(

x,y,z,t

)

、電場和磁場。 根據馬克士威爾方程式(Maxwell`s Equations)， t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r (Eq.2-1.1) ε ρ = ⋅ ∇ Er (Eq.2-1.2) t D J H ∂ ∂ + = × ∇ r r r (Eq.2-1.3) 0 = ⋅ ∇ Br (Eq.2-1.4) A Br =∇⋅ r (Eq.2-1.5) 將(Eq.2-1.5)代入(Eq.2-1.1)

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − × ∇ = × ∇ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = × ∇ t A A t t B E r r r r 故可得 _⎟⎟=0 ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + × ∇ t A E r r (Eq.2-1.6) 根據向量恆等式，我們可以改寫電位 V 為 10

t A E V ∂ ∂ + = ∇ − r r (Eq.2-1.7) 再將(Eq.2-1.7)代入(Eq.2-1.3)，我們可以得到 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = × ∇ t E J B r r r _{μ ε} (Eq.2-1.8) 接下來，再將(Eq.2-1.7)代入(Eq.2-1.8)，得

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ − ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = × ∇ × ∇ t A V t J t E J A r r r r r _{μ ε μ ε} 經整理： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⋅ ∇ ∇ + − = ∂ ∂ − ∇ t V A J t A A με μr r με r r 2 2 2 (Eq.2-1.9) 同理，將(Eq.2-1.9)和(Eq.2-1.5)代入(Eq.2-1.1)，可得

( )

_{∇⋅ =−ε}ρ ∂ ∂ + ∇ A t V r 2 (Eq.2-1.10) 根據羅倫茲規範(Lorentz gauge)，我們得知 0 = ∂ ∂ + ⋅ ∇ V t Ar με (Eq.2-1.11) 將(Eq.2-1.11)代入(Eq.2-1.9)和(Eq.2-1.10)，我們可得兩個普瓦松方程式(Poisson`s Equations)： J t A A με =−μ ∂ ∂ − ∇2 2₂ r r (Eq.2-1.12) ε ρ με =− ∂ ∂ + ∇2 2₂ t V V (Eq.2-1.13) 藉由(Eq.2-1.12)和(Eq.2-1.13)，我們得到經由半導體表面輻射之電場的時變方程 式。 當半導體表面受到超短脈衝激發後，會產生時變的載子和電流。根據(Eq.2-1.3) 11

和向量恆等式∇⋅

(

∇×Ar

)

=0，其中 Ar為任意向量，我們可以得到

(

)

=0 ∂ ∂ + ⋅ ∇ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⋅ ∇ = × ∇ ⋅ ∇ t J t D J H r ρ r r r (Eq.2-1.14) 實際上，電流只存在於半導體的表面，故∇ J⋅ r=0。根據(Eq.2-1.14)顯示得到載 子的密度並不會隨著時間而變動。換句話說，因為超短脈衝所激發的載子和電流 並不會對電場有貢獻。也因為如此，根據(Eq.2-1.7)我們可以斷定兆赫波是來自於 時變的向量磁位。故我們假設

( )

( )

t t A t E_rad ∂ ∂ − = r r (Eq.2-1.15) 根據格林函數法(Green Functions method)解波方程式(wave equations)[2]

(

r t f t c 4 , 1 2 2 2 2 _{=− ⋅} r ∂ Ψ ∂ − Ψ ∇ π

)

)

(Eq.2-1.16) 其中 為源的分佈函數，Ψ為場的分佈函數。經由格林函數法，可以解得場 分佈函數為

(

r t f r, dV r r c r r t r f

∫

_{− ′} ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′ − ′ = Ψ _{r r} r r r , (Eq.2-1.17) 我們將(Eq.2-1.17)之式子以此類推代入至(Eq.2-1.12)，可以得到 a d r r c r r t r J c A s ′ ′ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′ − ′ =

_∫

_{r r} r r r r r , 4 1 2 0 πε (Eq.2-1.18) 再將(Eq.2-1.18)代入(Eq.2-1.15)，我們得到

( )

da r r c r r t r J t c t r E s rad ₋ ′ ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′ − ′ ∂ ∂ − =

_∫

_{r r} r r r r r r , 4 1 , ₂ 0 πε (Eq.2-1.19) 12

其中J_s為光導天線表面受光激發之電流，而r′為源座標系，r為場座標系。考慮 遠場的效應，則 r r r a r r r r a r r r r r ⎟≈ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ′ − ≈ ′ + ′ ⋅ − = ′ − _r r r r r r r r 1 2 1 ₂ 2 (Eq.2-1.20) 接下來，我們假設光導天線的電極受到超短脈衝激發時，在空間上的表面電流為 常數。將(Eq2-1.21)代入(Eq.2-1.19)，我們可得

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + + ⋅ − = c r t J dt d z y x A c t r Erad s r r r r 2 2 2 2 0 4 1 , πε (Eq.2-1.21) 其中，A為光導天線照光的區域。接下來，我們再假設我們所量測兆赫波的偵測 器是置放於 z 軸上，則x= y=0，且 c z t t′→ − 。

( )

J

( )

t t d d z A c t r Erad =− ⋅ ⋅ _′ s ′ r r r 2 0 4 1 , πε (Eq.2-1.22) 為了方便，我們再將t′→t。參考[3]，可得

( )

( )

1 1 0 + + = n t E t J s b s s σ η σ r r (Eq.2-1.23)

其中η₀為自由空間之本質阻抗(intrinsic impedance of the free space)， 為光導天 線在兆赫波段的折射率， n

( )

t s σ 為光導天線的表面導電率，Er_b為外加偏壓的電場 大小。根據[4]，可得

( ) (

)

_∫

_−∞

( ) ( )

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − ′ ′ ′ ′ − = t car opt s t t t I t t m t d R e t τ ω σ 1 , exp h (Eq.2-1.24) 其中e為電荷量，R為光導天線於超短脈衝波段的反射率，_{h 激發光的光子能}ω 量，m

(

t,t′

)

為載子在時間 t 的遷移率(mobility)，而且載子是在時間 受到脈衝激t′ 13

發產生。τ_car為受激發載子的生命期(carrier lifetime)。為了簡化，我們假設載子 遷移率為常數m

( )

t,t′ =m，也因為這個假設，我們也不需要考慮

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− − ′ car t t τ exp 。 現在再次假設激發光在時域上的波形變化為高斯(Gaussian)脈衝 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − = 0exp _τ22 t I Iopt (Eq.2-1.25) 將上述假設代入(Eq.2-1.24)，我們可得

( ) (

)

_∫

_{−∞ ⎟⎟} ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ − = t s t m t d I R e t ₂ 2 0 exp 1 τ ω σ h (Eq.2-1.26) 綜合(Eq.2-1.22)、(Eq.2-1.23)和(Eq.2-1.26)，我們可以得到Erad的數學表示 ( ) ( ) ( )

( )

2 2 0 0 2 2 0 2 0 1 1 1 1 4 − ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + − + × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫

τ_τ ω η τ ω πε t b rad _n x dx m I R e t m I R e z A c E t r E , exp exp h h r r (Eq.2-1.27) 現在，我們假設激發光的光通量(light fluence)為 A E I dt t I Fopt ⎟⎟ = ≡ opt ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − =

∫

∞ ∞ − τ2 π 0τ 2 0exp (Eq.2-1.28) 其中E_opt為偵測器上所量到激發光之平均能量，而A為激發光之光束大小(beam size)。為了在計算上簡化式的表示，我們再假設兩個參數

(

)

π ω πε c z_h m R Ae B 2 0 4 1− = (單位：m2s/J) (Eq.2-1.29)

(

)

(

)

ω π η h 1 1 0 + − = n m R e D (單位：m2/J) (Eq.2-1.30) 現在再將(Eq.2-1.29)和(Eq2-1.30)代入(Eq.2-1.27)，我們可以得到簡化後之Erad 14

( )

( )

2 2 2 2 exp 1 exp , − ∞ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ⋅ −} ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =

∫

τ_τ τ τ t opt opt b rad DF x dx t F E B t r Er r r (Eq.2-1.31) 根據上述的理論，我們可以了解如何結合超快雷射與光導天線產生兆赫波。接下 來，我們將會介紹如何利用光導天線和超快雷射達成同調偵測。 2-1.2 兆赫波時域光譜技術(THz-TDS) 當光導天線受到超短脈衝激發時，其導電率σ_d是隨著時間而變化的。而同一時 間，兆赫波的電場會加速載子產生電流。現在，我們假設經由時間 後兆赫波抵 達偵測端的光導天線，而我們在電腦上看到的電流實際是經由巻積(convolution) 效應所得到的訊號 p t

( )

t E

( )

t

(

t t

)

dt j _{d p} t rad p p ′ − ′ ⋅ ′ =

∫

∞ σ (Eq.2-1.32) 現在，我們假設偵測端的光導天線其導電率對時間的變化為 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ≤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− ′− ′ > = − ′ t t t t t t d p d p d p 0 p t if ) ( exp t if 0 ) ( τ τ σ σ (Eq.2-1.33) 其中σ₀為超短脈衝入射至偵測器瞬間的最大導電率。我們假設兆赫波的脈衝寬 度小於 1 皮秒(ps)，而通常經由超短脈衝入射至光導天線所產生的載子，其生命 期τ_d較長，於是我們可以假設當tp ≤t′的條件時，指數項約略為 1，故 15

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ≤ ′ > = − ′ t t t t d p d p 0 p t if t if 0 ) ( τ σ σ (Eq.2-1.34) 現在再將(Eq.2-1.34)代入(Eq.2-1.32)，可得

( )

t E

( )

t dt j p t rad d p =

∫

′ ′ ∞ τ σ₀ (Eq.2-1.35) 根據(Eq.2-1.31)，我們可以很容易的發現 在時間上為對稱函數，故可以改寫 為 rad E

( )

t dt E j _rad d ′ ′ =

∫

∞ ∞ − τ σ 2 0 (Eq.2-1.36) 將(Eq.2-1.31)代入上式，我們可以得到電流對時間的關係為

( )

x dx dt DF t F BE j t opt opt b d ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ −} × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − − =

∫

∫

′ ∞ − ∞ ∞ − τ τ τ τ σ 2 2 2 0 exp 1 exp 2 (Eq.2-1.37) 其中

( )

opt t opt DF t d dx x DF t π τ π τ τ + = ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ −} × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ −

_∫

∫

−′∞ ∞ ∞ − exp 1 exp ₁ 2 2 2 ，而上述的推導並 沒有考慮到兆赫波在輻射和接受時，會經過介質(substrate)。當兆赫波在經過介 質時，會因為菲涅耳損失(Fresnel loss)而使得量測到的訊號比理論推導還要小。 現在，我們考慮菲涅耳損失造成的影響，並且將(Eq.2-1.37)簡化後，可得 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = s s b F F F F CE j 1 0 σ (Eq.2-1.38) 其中 16

(

)

(

R

)

m e n Fs − + = 1 1 0 η ω h _(Eq.2-1.39) d z c n A C τ η πε 0 2 0 4 = (Eq.2-1.40) 綜合上述的內容，我們可以了解兆赫波的產生機制與如何結合超快雷射與光導天 線達成同調量測。

2-2 金屬孔洞陣列(Metallic Hole Arrays)

在 1998 年，Ebbesen 團隊首先量測次波長結構金屬孔洞陣列之穿透率，並發現 在某些特定的頻率具有異常的穿透峰值，而這異常的穿透現象目前大部分的研究 認為主因電磁波與金屬表面電子(Surface Plasmon Polaritons)耦合共振後所造成 的，其中包括了電磁波於孔洞中的傳遞共振以及與表面電漿透過周期性結構的共 振與耦合。因此，於此節首先簡介表面電漿子的物理特性，接著建立理論模型來 解釋此周期性孔洞的穿透特性，其中包括理想金屬孔洞之波導模態分析、透過單 孔孔洞的模型來探討波導共振理論(Localized Waveguide Resonance)[5]、周期性結 構所造成之繞射的特性[6]及弗洛凱理論(Floquet Theory)[7] 及使用特徵模展開 法(Eigen-Mode Expansion Method)來解釋周期性金屬孔洞陣列之穿透現象。

2-2.1 表面電漿子(Surface Plasmon Polaritons)

現在我們考慮平行極化(p-wave)入射至金屬表面(如圖 Fig2-1)，其中電場方向垂

直 軸，y z =0的位置定義為金屬與介電質的界面。其中，金屬的介電常數ε ＜ 0。 2

z

x

k

_x1

k

_x2

k

_z1

k

_z2 (Dielectric Material) (Metal) 1

( )

ε

2

( )

ε

Fig2-1：平行極化波於介電質與金屬中k分量之示意圖，其中z＜0處為金屬，z＞0為介電質 現在我們假設在 z ＞ 0 ，其電場 ₁與磁場 ₁分別為

)]

)]

E H

(

[

i k x k z t H H _{y x} + _z − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _{1 1 1} ω 1 exp 0 0 r ... (Eq. 2-2. 1)

(

[

i k x k z t E E E _{x z} z x ⋅ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _{1 1} ω 1 1 1 0 exp r ... (Eq. 2-2. 2) 而在 z ＜ 0 處，則電場E₂與磁場H₂分別為

(

[

i k x k z t H H _{y x} − _z − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _{2 2 2} ω 2 exp 0 0 r

_)]

... (Eq. 2-2. 3) 18

(

[

i k x k z t E E E _{x z} z x ⋅ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _{2 2} ω 2 2 2 0 exp r

_)]

... (Eq. 2-2. 4) 切線電場和切線磁場在界面處需連續，故在z =0處，必需滿足 2 1 x x E E = ，Hy1 =Hy2，ε1Ez1 =ε2Ez2_{... (Eq. 2-2. 5)} 利用 t E c H ∂ ∂ = × ∇ r r 1 ε ，我們可以得到 1 1 1 1 y x z E c H k =ωε ... (Eq. 2-2. 6) 2 2 2 2 y x z E c H k =−ωε ... (Eq. 2-2. 7)

將(Eq. 2-2. 6)與(Eq. 2-2. 7)相加，再利用(Eq. 2-2. 5)，我們可以得到

0 1 1 2 1 0 2 1 2 2 1 1 ⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − y y y y z z H H D H H k k t ε ε ... (Eq. 2-2. 8) 為了得到有意義的解，則需滿足det

[ ]

D0 =0 t ，故我們得到 0 2 2 1 1 0 = + = ε ε z z k k Dt ... (Eq. 2-2. 9) 接著再利用 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + c k k_{x zi} ε_i ω ，可解得 2 1 2 1 ε ε ε ε ω + = c kx ... (Eq. 2-2. 10) 2 , 1 2 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = k i c kzi i x ω ε ... (Eq. 2-2. 11) 19

由於金屬的介電係數ε ＜ 0 ，我們可以知道2 2 1 2 1 ε ε ε ε ω + = c kx ＞ ε1 ω c 。Fig2-2 顯 示電磁波於空氣及與空氣與金屬所產生之表面電漿子模太之色散曲線。如圖 Fig2-2 所顯示表面電漿子模態的色散曲線永遠比正常電磁波的色散曲線大，故我 們用電磁波入射至金屬表面時，因為動量不匹配，無法使電磁波與金屬表面電子 耦合產生表面電漿子。 Fig2-2：表面電漿子模態 (實線)與真空中電磁波之色散曲線(虛線) 為了激發表面電漿模態，目前比較常用的方式有兩種，一種為稜鏡耦合法(Prism Coupler)，而另一種即是光柵耦合(Grating Coupler)法。光柵耦合法是利用陣列周 期性結構，提供額外的k 空間動量，使得入射電磁波透過周期性結構而與表面電_x 漿模態滿足動量守恆之定理，達成相位匹配(Phase Matching)。故當kr_sp =kr_x +nGr 時，電磁波便可以激發出表面電漿模態，其中kr_x為電磁波傳播常數在x方向的分 量(參考 Fig2-1)，而Gr 為陣列結構的倒晶格動量。 20

假設介電質的介電常數為ε_d、金屬的介電常數為ε_m =ε_mr +iε_mi、且表面電子態 的 傳 播 常 數 (Propagation Constant) 為 ksp =kspr +ikspi 。 將εm =εmr +iεmi代 入

(Eq.2-2.10) ，表面電漿子的傳播常數為 ( )

(

) (

)

sp mi d mr d mi mr mr d mi mr mi d mr d spr n c c k ω ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ω + + + + + + ₌ + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .... (Eq. 2-2. 12) ( ) 2

₍

2 2

_{) (}

2 2

₎

2 2 2 2 2 _{mr mi d mr mr mi d mr d mi} mi d mi d mr d spr c k ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ω + + + + + + + + = ... (Eq. 2-2. 13) 在兆赫波的區段中， ε_mi>ε 且_mr ε_mr ,ε_mi〉〉ε_d。故將(Eq.2-2.12)及(Eq.2-2.13)簡化 後，表面電漿子的傳播常數的實部及虛部部分的表達分別為 d sp spr c n c k =ω ≅ω ε ...(Eq. 2-2. 14) mi d spi c k ε ε ω 2 3 = ...(Eq. 2-2. 15) 假設電磁波為垂直入射於介面， kx =0 r 。為了滿足相位匹配(Phase Matching)的 條件，於透過不同的周期性結構將電磁波耦合至表面電漿模態的頻率分別為 (1)晶格結構為四角晶格 d j i a c f ε 2 2 0 + = ...(Eq. 2-2. 16) (2)晶格結構為六角晶格 21

d j ij i a c f ε 2 2 0 3 2 + + = ...(Eq. 2-2. 17) 2-2.2 圓形及方形孔洞波導特性 參考 Fig2-3，考慮圓形孔洞波導，被完全導體所包圍，經由漢姆荷茲方程式 (Helmholtz`s Equations)[8]我們可以獲得其波導之各個模態之場效分布方程式 Fig2-3：圓形波導管示意圖 0 2 2 + = ∇ Er k Er ... (Eq. 2-2. 18) 0 2 2 + = ∇ Hr k Hr ... (Eq. 2-2. 19) 對 於 TE 波 而 言 ， 於 傳 輸 方 向 z 沒 有 電 場 分 量 值 ， 所 以 。 假 設 且代入(Eq2-2.19)，可以獲得其各個模態之特徵方程式 為 0 = z E

(

)

( )

z z z r z H r e H ,φ, = 0 ,φ ⋅ −γ⋅

( ) ( )

hr nφ J C H_z0 = _n ⋅ _n cos ... (Eq. 2-2. 20)

( ) (

φ

)

β n hr J C h j H_r0 =− _n⋅ _n′ cos ... (Eq. 2-2. 21)

( ) (

φ

)

β φ C J hr n r h jn H0 = _{2 n} ⋅ _n sin ... (Eq. 2-2. 22) 22

( ) ( )

φ ωμ n hr J C r h jn E_r0 = _{2 n}⋅ _n sin ... (Eq. 2-2. 23)

( ) ( )

φ ωμ φ C J hr n h j E0 = _n⋅ _n′ cos ... (Eq. 2-2. 24) 0 0 = z E ... (Eq. 2-2. 25) 其 中C_n為 常 數 ，γ = jβ ，β 為 傳 播 常 數 (propagation constant) ， 為 波 數 (wavenumber)，且 則定義為 。為了滿足邊界條件(即電場於完全導 體值為 0) ，圓形波導的最低模態的截止值為 k h h2 =γ2 +k2

( )

a h _TE 1.841 11 = ... (Eq. 2-2. 26) 其中 為圓形孔洞的半徑。令a d =2a，由(Eq.2-2.26)，此圓形波導的截止頻率為

( )

( )

d c a h f_{c TE} TE ⋅ = = = π με με π 1.841 293 . 0 2 11 11 ... (Eq. 2-2. 27) 現在考慮矩形孔洞(參考 Fig2-4)的情形。與圓形孔洞相似，在考慮 TE 模態的情 況下 Fig2-4：矩形波導示意圖 23

令E_z =0，H_z

(

x,y,z

)

=H_z0

( )

x,y ⋅e−γ⋅z代入(Eq2-2.19)，可得特徵模態分佈為

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = y b n x a m H b n h j y x

E_x0 , ωμ₂ π ₀cos π sin π ... (Eq. 2-2. 28)

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = y b n x a m H a m h j y x

E_y0 , ωμ₂ π ₀sin π cos π ... (Eq. 2-2. 29)

0 0 = z E ... (Eq. 2-2. 30)

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = y b n x a m H a m h y x

H_x0 , γ₂ π ₀sin π cos π ... (Eq. 2-2. 31)

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = y b n x a m H b n h y x

H_y0 , γ₂ π ₀cos π sin π ... (Eq. 2-2. 32)

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = y b n x a m H y x

H_z0 , ₀cos π cos π ... (Eq. 2-2. 33)

矩形孔洞的最低傳播模態為TE₁₀(假設 ＞ )且其截止頻率為 a b

( )

a c a f_{c TE} 2 2 1 10 = με = ... (Eq. 2-2. 34)

2-2.3 局部波導共振(Localized Waveguide Resonance)

現在我們考慮電磁波於單孔矩形金屬波導片之電磁場分布，其中此孔洞之邊長和 厚度都在次波長的範圍。於上述之波導特性得知，當金屬厚度為無限長時，對於 頻率低於截止頻率的電磁波無法在金屬波導中傳遞能量。然而，當金屬厚度為次 波長的厚度時且輻射模態的消減常數遠大於金屬厚度時，在低於截止頻率的電磁 波能可穿透此單一孔洞裡並且在瀕於截止頻率具有極高穿透率特性[5]，此現象 稱為局部波導共振，而這些特性則可透過特徵模展開法來分析此結構系統現象。 24

Fig2-5：矩形金屬單一孔洞示意圖 如圖 Fig2-5 顯示單一矩形孔洞的長寬分別為 ， ；此金屬片的厚度為 ，且 假設電磁波的偏振方向在 y a a_x h x 方向。將金屬孔洞區分成三個區域，並且在各自區域 的磁場為

( )

( )

∫

∞

( )

[

(

)

]

∞ − + − + =H r dk k ik x k y k z r

HI_y inc_y ρ exp _{x y z ... (Eq. 2-2. 35)}

( )

∑

∞

[

(

)

(

)

]

( )

= − + = 0 m m m m m m II y r A i z B i z x y H exp β exp β φ , ... (Eq. 2-2. 36)

( )

∫

∞

( )

[

(

)

]

∞ − + + = dk k ik x k y k z r

H_yIII τ exp _{x y z ... (Eq. 2-2. 37)}

其中ρ

( )

k 為反射的磁場，而τ

( )

k 為出射的磁場；H_yI

( )

r _，H_yII

( )

r _{， 分別} 表示為 I，II，III 區磁場。透過電磁波在界面處的邊界條件並假設只有最低模態 允許傳遞於孔洞裡，我們可以解得此金屬孔洞之穿透率為

( )

r H_yIII 25

{ }

2 2 2 1 00 00

1

j h h j

e

r

t

e

t

T

β β −

−

=

Re

... (Eq. 2-2. 38) 其中 00 00 00 00

β

β

+ − = G G r _， 00 00 00 1 2 β β + = G t _， 00 00 00 2 2 β + = G G t _。其中G 00為最低模態 與平面波耦合之係數且β00為孔洞裡最低模態之傳輸速度。 Eq.2-2.40 顯示出類似於 Fabry-Perot 共振腔裡的穿透係數公式，因此波導共振態 實際上是來自於電磁波在次波長結構的矩形孔洞由於最低模態與平面波形的截 面 分 布 的 不 相 同 所 產 生 之 反 射 係 數 並 且 於 金 屬 片 孔 洞 中 來 回 傳 遞 產 生 Fabry-Perot 共振之效應。於 Fig2-6 顯示不同長寬比的矩形孔洞的穿透率與頻率 之變化，橫軸為除上截止頻率的歸一化頻率且縱軸則除上孔洞的開口率歸一化之 穿透率值(在計算其穿透率時，我們固定孔洞面積)。於圖中可以很明顯的觀察到 當長寬比變大時，最大之穿透率也跟著變大，而且其共振峰值約略位在截止頻率 的左方，即小於截止頻率。這顯現即使只有輻射模態存在於孔洞之中，仍可藉由 局部波導共振之現象獲得較高之穿透。 26

Fig2-6：單一矩形孔洞之長寬比對穿透率作圖 2-2.4 弗洛凱定理(Floquet Theory) 弗洛凱定理 (Floquet Theory)： 在週期介質中，對任一傳播模態，其電場與磁場的任一分量都具有 的形式，其中 是一個空間週期函數，而k是一 個波向量。也就是說， ( ) u ( ) exp(i ) ψ_k r = _k r k⋅r u_k( )r =u_k(r+R) ψk是週期函數uk再乘以一個相位因子exp(ik r⋅ )。 在此小節，我們先介紹傅立葉定理，接著經由傅立葉定理導引出弗洛凱模型，並 且提出兩者的差異性。傅立葉展開在數學上和物理上是個非常有用的工具，週期 性函數可藉由傅立葉函數來表達。然而，當若函數的振幅週期與相位週期不同 時，我們無法利用傅立葉函數來表達以獲得解析解，可是，經由弗洛凱定理，我 們可以簡易的表達出此函數之周期性特質。 27

假設函數g

( )

x 為週期函數, 以 f(x)為基底函數且 a 為其週期。

( )

_∑

∞

(

)

−∞ = − = n na x f x g ... (Eq. 2-2. 39) 利用傅立葉展開，我們可以得到於kx空間之係數值 ( )

_∫

( ) ( )

_{∑ ∫}

( ) ( ) ( )

_∑

∞ ( −∞ = ∞ −∞ = ∞ ∞ − ∞ ∞ − = − = = n x x n x x x g x jk xdx f x na jk xdx f k jnka k g exp ~ exp 2 1 exp 2 1 ~ π π )... (Eq. 2-2. 40) 再利用恆等式

(

)

_∑

∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = n x n x a n k a a jnk 2π δ 2 π exp ... (Eq. 2-2. 41) 將(Eq.2-2.41)和(Eq.2-2.42)代入(Eq.2-2.43)，我們可以得到

( )

( )

_∑

∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = a n k k f a x g 2π ~ _x δ _x 2 π ~ _{... (Eq. 2-2. 42)} Fig2-7：(a) f

( )

x 經傅立葉轉換在k空間的頻譜分佈且(b)為g

( )

x 經傅立葉轉換在 空間的頻譜 分佈 k 圖Fig2-7(a)為基底函數 f

( )

x 經傅立葉轉換後之k_{x空間之頻譜分布，而(b)為周期性} 函數g

( )

x 經傅立葉轉換在kx空間的頻譜。我們可以於圖上看出g~

( )

kx 與 其包 絡面(envelope)是相同的，然而由於g(x)是以f(x)為基底、a為週期之函數，因此其

( )

kx f ~ 28

(

kx g~

)

則為在~f

(

k_x

)

上以取樣頻率 2π/a來獲得，如(Eq.2-2.44)所顯示。 Fig2-8：h

( )

x 之振幅與相位對x作圖 現在假設一個週期函數 ，其相位隨著週期改變將有額外的偏移量，如圖 Fig2-8 所顯示

( )

x h

( )

_∑

∞

(

) (

)

−∞ = − − = n jn na x f x h exp ϕ ... (Eq. 2-2. 43) 將h

( )

x 做傅立葉轉換，我們可得

( )

∑

(

) (

_∫

) (

)

( )

∑

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} = − − = a a n k k f a dx x jk na x f jn k h _x ϕ _x π _x δ _x π ϕ π 2 2 2 1 ~ exp exp ~ . (Eq. 2-2. 44) 比較(Eq.2-2.42)和(Eq.2-2.44)，我們知道h~

( )

k_x 在 空間的分佈比k g~

( )

x 多了一個位 移量，而此位移量與相位ϕ 和週期相關。從 Fig2-7 我們可以更容易的觀察到兩 者之間的差異 29

Fig2-9：(a)圖為g

( )

x 經傅立葉轉換在k空間的頻譜分佈 (b)圖為h

( )

x 經傅立葉轉換在k空間的頻譜分佈 2-2.5 金屬孔洞陣列之穿透 由於孔洞陣列為周期性之結構，故根據弗洛凱定理，電磁場於此材料的分佈可以 用週期波來表達, 即 。因此，利用特徵模展開法我們表達於 入射區域、金屬片及接收區域之電磁場分布。假設週期結構如 Fig. 2-10 所顯示， 因此於均勻介質之平面，電磁波可由平面波來展開，其第 pq 級之波函數為 ( ) u ( ) exp(i ) ψ_k r = _k r k⋅r pq ψ

(

)

[

ju_pqx v_pqy _pqz

]

pq γ ψ = exp− + + ...(Eq. 2-2. 45) x pq d p k

u = sinθcosφ+ 2π⋅ ... (Eq. 2-2. 46)

α π π φ θ tan 2 2 sin sin x y pq d p d q k u = + ⋅ − ⋅ ... (Eq. 2-2. 47) 其中p, q=0, ±1, ±2,_L, ±∞，而d_x，dy和α Fig2-10 所示，θ、φ則為入射光之 角度。 而於行進方向 z 之傳播常數為 2 2 pq pq = k −t γ for k2＞ 2 ...(Eq. 2-2. 48) pq t 2 2 pq t k j − − = for k2＜ 2 ...(Eq. 2-2. 49) pq t 其中 2 2 2 pq pq pq u v t = + Fig2-10：孔洞陣列之幾何結構示意圖 由(Eq.2-2.50)及(Eq.2-2.51)，若 2＞ ，傳播常數 k 2 pq t γpq為實數，故ψpq為平面波， 可於平面中傳遞而能量不消減。反之，則γ_pq為虛數，則此波則隨著行進 z 增長 而能量消減，則為消散波(evanescent wave)。而空氣中之電磁場可將其分成 TE 和 TM 兩個互相正交的模態 31

pq pq pq pq pq y x TE pq y t u x t v d d ⎟ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Φr 1 ) ) for TE 電磁場 ... (Eq. 2-2. 50) pq pq pq pq pq y x TM pq y t v x t u d d ⎟ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = Φr 1 ) ) for TM 電磁場 ... (Eq. 2-2. 51) 假設有一平面波入射至金屬孔洞陣列，則於入射區域之電磁場可為

∑∑∑

∑

= = Φ + Φ = p q r pqr pqr r r r t A R E 2 1 2 1 00 00 r r r ... (Eq. 2-2. 52) 其於第 pq 電場與不同偏振方向 r 之反射率為R_pqr，r=1 為 TE 場及 r=2 為 TM 場。 於金屬孔洞陣列中其場可分成兩區域: (1)於洞中，電磁場可由存在於孔洞裡的各 個模態來組合而成及(2)於洞外，假設為完全導體，其電磁場值為 0。所以，其場 表達為

∑∑∑

= ∞ = ∞ = Ψ 2 1 1 1 r m n mnr mnr F 於接收區域之電磁場則可以表達為

∑∑∑

= Φ p q r pqr pqr B 2 1 r 並且令反射率為Rpqr，穿透率為Bpqr。考慮電磁波的切線分量Et r 與 要滿足邊 界條件，我們可得到 t Hr

∑∑∑

∑∑∑

∑

= = = Φ = Φ + Φ = p q r pqr pqr p q r pqr pqr r r r t A R B E 2 1 2 1 2 1 00 00 r r r r ... (Eq.2-2.24a) 0 = t

Er over the conductor in a unit cell ... (Eq.2-2.24b)

經由一連串的推導(參考[9]，[10])，我們可得

( )

[

A B l

]

j

[

A B

( )

l

]

j T ⋅ + − − ⋅ + − = β β 1 coth 1 tanh 1 1 ... (Eq.2-2.25) 其中，對於六角晶格之圓形孔洞陣列而言 2 1 2 2 2 1 2 3 4 3 4 1 3 4 12 3 841 . 1 4 1 3 4 1 3 4 12 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = d a d a J d d a d a J d A π π λ π π λ _(Eq.2-2.26a) 1 293 . 0 33 . 0 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a a d B λ (Eq.2-2.26b) 1 293 . 0 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = d λ λ π β (Eq.2-2.26c) 而對於四方晶格之圓形孔洞陣列而言 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 8 2 2 1 8 841 . 1 2 2 1 2 2 1 2 8 841 . 1 2 1 2 1 8 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ′ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a d a d J d a d a d J d d a d a J d d a d a J d A π π λ π π λ π π λ π π λ Eq.2-2.27a) 1 293 . 0 2 . 1 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a a d B λ π (Eq.2-2.27b) 1 293 . 0 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = d λ λ π β (Eq.2-2.27c) 33