區域降雨序列推估模式之發展與應用

國

立

交

通

大

學

土木工程學系

碩

士

論

文

區域降雨序列推估模式之發展與應用

Development and Application of Regional Hyetograph Estimation Model

研 究 生：吳歆淳

指導教授：楊錦釧 博士

指導教授：

吳祥禎 博士

區域降雨序列推估模式之發展與應用

Development and Application of Regional Hyetograph

Estimation Model

研 究 生 ：吳歆淳 Student: Hsin-Chun Wu

指導教授 ：楊錦釧 Advisor: Jinn-Chuang Yang

吳祥禎 Shiang-Jen Wu

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis Submitted to Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Civil Engineering

June 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

I

區域降雨序列推估模式之發展與應用

研究生:吳歆淳 指導教授: 楊錦釧

吳祥禎

國立交通大學土木工程研究所碩士班

摘要

過去區域降雨量推估之相關研究常將降雨之時間與空間特性分

開各別討論，例如:降雨總量採用徐昇式面積權重法，而降雨在時間

之分佈(即雨型)則採用單站資料配合同位序平均法，或降雨強度設計

作為全流域之代表雨型，上述作法往往忽略降雨在時間上相關性，故

所推得降雨特性其合理性及準確性有待商榷。因此，本研究主要發展

一套可整合降雨在時間與空間特性之區域降雨序列推估模式，用以推

估未設雨量測站或雨量紀錄短缺地區之降雨資料，期望可有效地增加

原有實測降雨資料之可用性。

本研究發展之區域降雨序列推估模式架構係以

11 種理論空間-時

間半變異數模式(Spatial-temporal semi-variogram models)為基礎，依目

標函數選取其中最佳半變異數模式應用外，亦採用為減少選取不正確

的 半 變 異 數 模 式 所 引 起 不 確 定 性 所 發 展 而 成 之 權 重 半 變 異 模 式

(Weighted semi-variogram model)，並配合克利金系統方程式(Kriging

system equations) ，推估未設測站之總雨量及雨型，再將其組合成降

雨組體圖。

本研究主要以石門水庫集水區內

16 個雨量站所測得之 25 場颱風

事件為應用案例，並採用交叉驗證法，以實際降雨事件作為模式之驗

證。模式驗證的重點在於測試權重半變異數模式及最佳半變異數模式

II

與試驗半變異數模式，在降雨事件空間與時間分佈條件下，對未知點

位降雨特性推估之差異性。除了驗證權重與最佳之空間-時間半變異

數外，本研究亦評估當用於區域水文量推估之距離倒數法與上述兩種

空間-時間半變異數於降雨總量、雨型及降雨組體圖推估之差異性。

由模式建立及驗證結果可知，權重半變異數模式在總降雨量推估

優於最佳半變異數模式及距離倒數法，且雨型無因次降雨比率之推估

也比距離倒數法之推估結果來穩定性及可靠度較好。此外，由權重半

變異數模式所得之總降雨量與雨型無因次降雨比率所合成之降雨組

體圖之可靠度及準確性，亦比最佳半變異數模式及距離倒數法高。因

此，本研究所發展以空間-時間權重半變異數模式為基礎之區域降雨

序列推估模式，應可適用於未設測站降雨序列之推估。

關鍵字:積合模式、半變異數模式

III

Abstract

In the past, the spatial and temporal characteristics of rainfall are

investigated individually for the estimation of rainfall. For illustration, the

rainfall depth is calculated by using Thession method, and the typical

time distribution of rainfall for a watershed, called storm pattern, is

estimated by using the identical ranking method or

intensity-duration-frequency method with rainfall data at a single gage.

However, due to lack of the temporal correlation of rainfall, the above

methods probably estimate inaccurate and unreliable rainfall events.

Therefore, this study develops the regional model, which takes in account

the spatial and temporal characteristic of rainfall, to estimate rainfall

hyetograph for the area, lack of rain-gauge or shortage of rainfall record.

It is expected to enhance the applicability of rainfall information.

The proposed model is based on eleven spatio-temporal

semi-variogram models and the Kriging system equation. In this study,

two types of semi-variogram models are used, and they the best-fit model

and weighted model. The best-fit model is determined by using the

objective function resulting from the calibration of model parameters.

The weighted model is developed for reducing the uncertainty of

selecting improper best-fit model resulting from the rainfall data. It is

incorporated with eleven theoretical semi-variogram models using the

weights, defined as the inverse value of objective function

The 25 typhoon events recorded at sixteen rainfall gauges in Shinmen

reservoir watershed are adopted for the model development and

verification. The model validation is performed for two tasks by using the

IV

cross-validation with the observed rainfall events. The first task is to

compare estimated rainfall characteristics at ungauged area by the best-fit

and weighted semi-variogram models. The other task is to compare the

estimated rainfall depth, storm pattern and hyetograph by the proposed

model and inverse distance method.

In view of results of model verifications, the estimated rainfall depth

by the proposed model with the weighted semi-variogram model is more

accurate those by the inverse method and the proposed model with the

best-fit semi-variogram model. For the estimation of storm pattern, the

proposed model with the weighted semi-variogram model is superior to

other two models. Based on the above result, the estimated hyetograph

composed of the rainfall depth and storm pattern by the proposed model

with the weighted semi-variogram model is more accurate and reliable

than those by the inverse model and the proposed model with the best-fit

semi-variogram model. As a result, it can be concluded that the proposed

model with the weighted semi-variogram model is appropriate to the

estimation of rainfall hyetograph at the ungauged area.

V

誌謝

研究所兩年的時間，看著即將付梓的論文，心中充滿著無限的感

激，這段時間的學習過程將成為人生中最重要的回憶。承蒙恩師楊錦

釧教授的細心指導與諄諄教誨，在此致上衷心感謝，吳祥禎博士於研

究期間對於拙者在觀念上的指導、論文架構的匡正及其對於學術研究

積極的態度，深表感謝與佩服。於研究期間，湯有光教授的教導與寶

貴建議，讓學生獲益良多。於論文審查期間，感謝口試委員虞國興教

授、徐年盛教授、張胤隆博士的悉心指正與寶貴意見，使本論文更加

完善，在此深致感謝之意。

在學期間，感謝東霖學長、德勇學長、夢祺學長、胤隆學長、昇

學學長、曉萍學姐、世偉學長、環宇學長、珊瑜學姐、浩榮學長、弘

恩學長、仲達學長、欣瑜學姐、建華學長、歆婷學姐、鏡如學姐、仙

蕓學姐，於各方面的指導與協助。感謝同寢室友王琳、

JOY 張陪伴拙

者給予生活上及精神上的支持。感謝同窗好友振家、全鎰、俊宏、宇

翔、柏傑、冠曄在此研究相處的兩年，帶來許多歡笑的時光，亦感謝

學弟妹琦雯、群玲、仁猷、昀軒的幫忙。

最後，感謝父親、母親、大姐、二姐、三姐、小鐵熊、小白漆、

小粉圓、大大，在我多年求學的過程中，扮演著不可或缺的角色，謹

以此論文獻予你們並分享我的喜悅。

VI

目 錄

摘要 --- I

Abstract --- III

目 錄 --- VI

表目錄 --- IX

圖目錄 --- XVII

符號表 --- XXX

第一章、緒論 --- 1

1.1 研究動機 --- 1

1.2 文獻回顧 --- 2

1.3 研究目的與內容 --- 6

1.4 論文架構 --- 6

第二章、理論基礎 --- 7

2.1 區域化理論之簡介 --- 7

2.2 空間-時間半變異數 --- 9

2.2.1 半變異數基本定義 --- 9

2.2.2 半變異數特性 --- 10

2.3 試驗半變異數圖(Experimental Semi-variogram Diagram) ---- 11

2.4 理論半變異數模式（Theoretical Semi-Variogram Models） - 12

2.5 空間-時間半變異數模式 --- 13

2.5.1 模式簡介 --- 13

2.5.2 積合模式基本理論 --- 13

2.6 克利金推估方法 --- 15

2.6.1 克利金特性 --- 15

2.6.2 克利金系統方程式 --- 16

VII

第三章 區域降雨序列推估模式之發展 --- 21

3.1 模式基本概念 --- 21

3.2 降雨特性之分析 --- 22

3.3 空間-時間半變異數模式參數之率定 --- 24

3.3.1 最佳半變異數模式 --- 24

3.3.2 權重半變異數模式 --- 24

3.4 克利金權重之推估 --- 26

3.4.1 應用於空間半變異數 --- 26

3.4.2 應用於時間半變異數 --- 27

3.4.3 應用於空間-時間半變異數 --- 27

3.5 總降雨量與雨型無因次降雨比率之推估 --- 28

3.6 降雨組體圖之合成 --- 29

第四章 案例應用及驗證分析 --- 33

4.1 降雨資料之選取 --- 33

4.1.1 石門水庫集水區概況 --- 33

4.1.2 雨量站資料整理 --- 33

4.2 模式之建立 --- 34

4.2.1 容忍角之決定 --- 35

4.2.2 參數最佳值之推估 --- 36

4.2.3 最佳半變異數模式之決定 --- 36

4.2.4 權重半變異數模式之建立 --- 36

4.3 模式驗證 --- 37

4.3.1 固定測站數 --- 38

4.3.2 不固定測站 --- 44

第五章 結論與建議 --- 197

VIII

5.1 結論 --- 197

5.2 建議 --- 198

參考文獻 --- 199

IX

表目錄

表

2.1 理論半變異數模式分類表 ... 19

表

4.1 石門水庫 16 個雨量測站位置座標 ... 47

表

4.2 1998~208 年颱風事件 ... 48

表

4.3 四種方向數目之角度範圍 ... 49

表

4.4(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點) ... 50

表

4.4a(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

1) ... 51

表

4.4b(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

2) ... 52

表

4.4c(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

3) ... 53

表

4.5(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點) ... 54

表

4.5a(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

1) ... 55

表

4.5b(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

2) ... 56

表

4.5c(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續

3) ... 57

表

4.6(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點) ... 58

表

4.6a(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

1) ... 59

表

4.6b(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

X

2) ... 60

表

4.6c(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

3) ... 61

表

4.7(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點) ... 62

表

4.7a(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

1) ... 63

表

4.7b(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

2) ... 64

表

4.7c(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續

3) ... 65

表

4.8(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點) ... 66

表

4.8a(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

1) ... 67

表

4.8b(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

2) ... 68

表

4.8c(空間-90~0 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

3) ... 69

表

4.9(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點) ... 70

表

4.9a(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

1) ... 71

表

4.9b(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

2) ... 72

表

4.9c(空間 0~90 度)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續

3) ... 73

表

4.10 (時間)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點) ... 74

XI

表

4.10a(時間)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續 1) ... 75

表

4.10b(時間)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續 2) ... 76

表

4.10c(時間)各理論半異數模式率定成果表(6 個率定點)(續 3) ... 77

表

4.11 (時間)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點) ... 78

表

4.11a(時間)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續 1) ... 79

表

4.11b(時間)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續 2) ... 80

表

4.11c(時間)各理論半異數模式率定成果表(9 個率定點)(續 3) ... 81

表

4.12 (時間)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點) ... 82

表

4.12a(時間)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續 1) .... 83

表

4.12b(時間)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續 2) .... 84

表

4.12c(時間)各理論半異數模式率定成果表(12 個率定點)(續 3) .... 85

表

4.13(空間-90~0 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(6

個率定點) ... 86

表

4.14(空間 0~90 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(6

個率定點) ... 87

表

4.15(空間-90~0 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(9

個率定點) ... 88

表

4.16(空間 0~90 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(9

個率定點) ... 89

XII

表

4.17(空間-90~0 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(12

個率定點) ... 90

表

4.18(空間 0~90 度)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(12

個率定點) ... 91

表

4.19(時間)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(6 個率定點)

... 92

表

4.20(時間)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(9 個率定點)

... 93

表

4.21(時間)25 場颱風事件之最佳半變異數模式之成果表(12 個率定

點) ... 94

表

4.22 (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定點)

... 95

表

4.22a (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定

點)(續 1) ... 96

表

4.23(空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定點)

... 97

表

4.23a (空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定

點)(續 1) ... 98

表

4.24 (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定點)

... 99

表

4.24a (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定

點)(續 1) ... 100

XIII

表

4.25(空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定點)

... 101

表

4.25a (空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定

點)(續 1) ... 102

表

4.26 (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定

點) ... 103

表

4.26a (空間-90~0 度)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定

點)(續 1) ... 104

表

4.27(空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定點)

... 105

表

4.27a (空間 0~90 度)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定

點)(續 1) ... 106

表

4.28 (時間)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定點) ... 107

表

4.28a (時間)各理論半異數模式權重因子成果表(6 個率定點)(續 1)

... 108

表

4.29(時間)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定點) ... 109

表

4.29a (時間)各理論半異數模式權重因子成果表(9 個率定點)(續 1)

... 110

表

4.30(時間)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定點) ... 111

表

4.30a (時間)各理論半異數模式權重因子成果表(12 個率定點)(續 1)

... 112

表

4.31 各半變異數模式於 25 場颱風事件之總降雨量推估值的均方誤

XIV

差(MSE)平均值(4 個驗證點) ... 113

表

4.32 各半變異數模式於 25 場颱風事件之總降雨量推估值的均方誤

差(MSE)平均值(7 個驗證點) ... 114

表

4.33 各半變異數模式於 25 場颱風事件之降雨量推估值的均方誤差

(MSE)平均值(10 個驗證點) ... 115

表

4.34 各半變異數模式總降雨量均方誤差(MSE)平均值之統計特性

表(6 個率定點) ... 116

表

4.35 各半變異數模式總降雨量均方誤差(MSE)平均值之統計特性

表(9 個率定點) ... 116

表

4.36 各半變異數模式總降雨量均方誤差(MSE)平均值之統計特性

表(12 個率定點) ... 117

表

4.37 各半變異數模式於 25 場颱風事件之無因次雨型推估值的均方

誤差(MSE)平均值(4 個驗證點) ... 118

表

4.38 各半變異數模式於 25 場颱風事件之無因次雨型推估值的均方

誤差(MSE)平均值(7 個驗證點) ... 119

表

4.39 各半變異數模式於 25 場颱風事件之無因次雨型推估值的均方

誤差(MSE)平均值(10 個驗證點) ... 120

表

4.4 各半變異數模式無因次降雨比率均方誤差(MSE)平均值之統計

特性表(6 個率定點) ... 121

XV

表

4.41 各半變異數模式無因次降雨比率均方誤差(MSE)平均值之統

計特性表(9 個率定點) ... 121

表

4.42 各半變異數模式無因次降雨比率均方誤差(MSE)平均值之統

計特性表(12 個率定點) ... 122

表

4.43 各半變異數模式降雨組體圖均方誤差(MSE)平均值之統計特

性表(6 個率定點) ... 123

表

4.44 各半變異數模式降雨組體圖均方誤差(MSE)平均值之統計特

性表(9 個率定點) ... 123

表

4.45 各半變異數模式降雨組體圖均方(MSE)之統計特性表(12 個率

定點) ... 124

表

4.46 各半變異數模式於 25 場颱風事之總降雨推估值的均方誤差

(MSE)平均值(不固定測站) ... 125

表

4.47 各半變異數模式總降雨量均方誤差(MSE)平均值之統計特性

表(不固定測站) ... 126

表

4.48 各半變異數模式於 25 場颱風事件之無因次雨型推估值的均方

誤差(MSE)平均值(不固定測站) ... 127

表

4.49 各半變異數模式無因次雨型均方誤差(MSE)平均值之統計特

性表(不固定測站) ... 128

表

4.50 各半變異數模式於 25 場颱風事件之降雨組體圖推估值的均方

XVI

誤差(MSE)平均值(不固定測站) ... 129

表

4.51 各半變異數模式降雨組體圖均方誤差(MSE)平均值之統計特

XVII

圖目錄

圖

2.1 半變異數與共變異數示意圖 ... 20 

圖

2.2 半變異數圖 ... 20 

圖

2.3 容忍角與區段距離圖(Deutsch and Journel,1992) ... 20 

圖

3.1 模式架構圖 ... 30 

圖

3.2 降雨事件之無因次化 ... 30 

圖

3.3 空間克利金系統方程式示意圖 ... 31 

圖

3.4 時間克利金系統方程式示意圖 ... 31 

圖

3.5 空間與時間克利金系統方程式示意圖 ... 31 

圖

3.6 降雨組體圖之合成 ... 32 

圖

4.1 石門水庫集水區各測站位置圖 ... 131 

圖

4.2 石門水庫集水區 6 個率定點雨量站位置圖 ... 132 

圖

4.3 石門水庫集水區 9 個率定點雨量站位置圖 ... 133 

圖

4.4 石門水庫集水區 12 個率定點雨量站位置圖 ... 134 

圖

4.5(-90~-45 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 135 

圖

4.6(-45~0 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較圖

... 135 

圖

4.7( 0~45 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較圖

... 136 

XVIII

圖

4.8(45-90 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較圖

... 136 

圖

4.9(-90~-30 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 137 

圖

4.10(-30~30 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 137 

圖

4.11(30~90 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 138 

圖

4.12(-90~0 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 138 

圖

4.13(0~90 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 139 

圖

4.14(-90~90 度)11 個理論變半異數模式與試驗半變異數模式之比較

圖 ... 139 

圖

4.15 奧托颱風(1998)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 140 

圖

4.16

德颱風(2000)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 140 

圖

4.17 潭美颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 140 

XIX

圖

4.18 桃芝颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 141 

圖

4.19 納莉颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 141 

圖

4.20 利奇馬颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 141 

圖

4.21 娜克莉颱風(2002)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 142 

圖

4.22 敏督利颱風(2004)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 142 

圖

4.23 艾利颱風(2004)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 142 

圖

4.24 2004 年納坦颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 143 

圖

4.25 2005 年海棠颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 143 

圖

4.26 2005 年馬莎颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 143 

圖

4.27 珊瑚颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

XX

證點) ... 144 

圖

4.28 卡努颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 144 

圖

4.29 丹瑞颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 144 

圖

4.30 龍王颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 145 

圖

4.31 珍珠颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 145 

圖

4.32 艾維尼颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 145 

圖

4.33 碧利斯颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 146 

圖

4.34 凱米颱風 2006 各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 146 

圖

4.35 桑美颱風 2(006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 146 

圖

4.36 寶發颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗

證點) ... 147 

XXI

圖

4.37 珊珊颱(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個驗證

點) ... 147 

圖

4.38 2008 年鳳凰颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4 個

驗證點) ... 147 

圖

4.39 2008 年辛樂克颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(4

個驗證點) ... 148 

圖

4.40 1998 年奧托颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 148 

圖

4.41 2000 年啟德颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 148 

圖

4.42 2001 年潭美颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 149 

圖

4.43 2001 年桃芝颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 149 

圖

4.44 2001 年納莉颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 149 

圖

4.45 2001 年利奇馬颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7

個驗證點) ... 150 

圖

4.46 2002 年娜克莉颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7

XXII

個驗證點) ... 150 

圖

4.47 2004 年敏督利颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7

個驗證點) ... 150 

圖

4.48 2004 年艾利颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 151 

圖

4.49 2004 年納坦颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 151 

圖

4.50 2005 年海棠颱風各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 151 

圖

4.51 馬莎颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 152 

圖

4.52 珊瑚颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 152 

圖

4.53 卡努颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 152 

圖

4.54 丹瑞颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 153 

圖

4.55 龍王颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 153 

XXIII

圖

4.56 珍珠颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 153 

圖

4.57 艾維尼颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 154 

圖

4.58 碧利斯颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 154 

圖

4.59 凱米颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 154 

圖

4.60 桑美颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 155 

圖

4.61 寶發颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 155 

圖

4.62 珊珊颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 155 

圖

4.63 鳳凰颱風(2008)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個驗

證點) ... 156 

圖

4.6 辛樂克颱風(2008)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(7 個

驗證點) ... 156 

圖

4.6 奧托颱風(1998)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個驗

XXIV

證點) ... 156 

圖

4.6

德颱風(2000)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個驗

證點) ... 157 

圖

4.67 潭美颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 157 

圖

4.686 桃芝颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 157 

圖

4.69 納莉颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 158 

圖

4.70 利奇馬颱風(2001)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 158 

圖

4.71 娜克莉颱風( 2002)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 158 

圖

4.72 敏督利颱風(2004)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 159 

圖

4.73 艾利颱風(2004)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 159 

圖

4.74 納莉颱風(2004)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 159 

XXV

圖

4.75 海棠颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 160 

圖

4.76 馬莎颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 160 

圖

4.77 珊瑚颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 160 

圖

4.78 卡努颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 161 

圖

4.79 丹瑞颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 161 

圖

4.80 龍王颱風(2005)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 161 

圖

4.81 珍珠颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 162 

圖

4.82 艾維尼颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 162 

圖

4.83 碧利斯颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 162 

圖

4.84 凱米颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

XXVI

驗證點) ... 163 

圖

4.85 桑美颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 163 

圖

4.86 寶發颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 163 

圖

4.87 珊珊颱風(2006)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 164 

圖

4.88 鳳凰颱風(2008)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10 個

驗證點) ... 164 

圖

4.89 辛樂克颱風(2008)各半變異數模式總降雨量推估值比較圖(10

個驗證點) ... 164 

圖

4.90 1998 年奧托颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 165 

圖

4.91 2000 年 德颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 166 

圖

4.92 2001 年潭美颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 167 

圖

4.93 2001 年桃芝颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 168 

圖

4.94 2001 年納莉颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 169 

圖

4.95 2001 年利奇馬颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 170 

圖

4.96 2002 年娜克莉颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 171 

圖

4.97 2004 年敏督利颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 172 

XXVII

圖

4.98 2004 年艾利颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 173 

圖

4.99 2004 年納坦颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 174 

圖

4.100 2005 年海棠颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 175 

圖

4.101 2005 年馬莎颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 176 

圖

4.102 2005 年珊瑚颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 177 

圖

4.103 2005 年卡努颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 178 

圖

4.104 2005 年丹瑞颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 179 

圖

4.105 2005 年龍王颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 180 

圖

4.106 2006 年珍珠颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 181 

圖

4.107 2006 年艾維尼颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 182 

圖

4.108 2006 年碧利斯颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 183 

圖

4.109 2006 年凱米颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 184 

圖

4.110 2006 年桑美颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 185 

圖

4.111 2006 年寶發颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 186 

圖

4.112 2006 年珊珊颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 187 

圖

4.113 2008 年鳳凰颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 188 

圖

4.114 2008 年辛樂克颱風總降雨推估值之分佈圖 ... 189 

圖

4.115 各場事件於推估總降雨量之均方根誤差(MSE)平均值圖(4 個

驗證點) ... 190 

XXVIII

圖

4.116 各場事件於推估總降雨量之均方根誤差(MSE)平均值圖(7 個

驗證點) ... 190 

圖

4.117 各場事件於推估總降雨量之均方誤差(MSE)平均值圖(10 個驗

證點) ... 190 

圖

4.118 三種驗證點數於 25 場颱風事件總降雨量之均方根誤差(MSE)

平均值圖 ... 191 

圖

4.119 2005 年龍王颱風各半變異數模式雨型無因次降雨比率推估

值比較圖(4 個驗證點) ... 191 

圖

4.120 2005 年龍王颱風各半變異數模式雨型無因次降雨比率推估

值比較圖(4 個驗證點) ... 191 

圖

4.121 2005 年龍王颱風各半變異數模式雨型無因次降雨比率推估

值比較圖(4 個驗證點) ... 192 

圖

4.122 2005 年龍王颱風各半變異數模式雨型無因次降雨比率推估

值比較圖(4 個驗證點) ... 192 

圖

4.123 各場事件於推估雨型無因次降雨比率之均方根誤差(MSE)圖

(4 個驗證點) ... 192 

圖

4.124 各場事件於推估雨型無因次降雨比率之均方根誤差(MSE)圖

(7 個驗證點) ... 193 

圖

4.125 各場事件於推估雨型無因次降雨比率之均方根誤差(MSE)圖

XXIX

(10 個驗證點) ... 193 

圖

4.126 2004 年艾利颱風各半變異數模式降雨組體圖推估值比較圖(4

個驗證點) ... 193 

圖

4.127 2004 年艾利颱風各半變異數模式降雨組體圖推估值比較圖(4

個驗證點) ... 194 

圖

4.128 2004 年艾利颱風各半變異數模式降雨組體圖推估值比較圖(4

個驗證點) ... 194 

圖

4.129 2004 年艾利颱風各半變異數模式降雨組體圖推估值比較圖(4

個驗證點) ... 194 

圖

4.130 三種驗證點數於 25 場颱風事件降雨組體圖之均方根誤差

(MSE)平均值圖 ... 195 

圖

4.131 各場事件於推估總降雨量之均方根誤差(MSE)圖(不固定測站)

... 195 

圖

4.132 各場事件於推估無因次雨型之均方根誤差(MSE)平均值平均

值圖(不固定測站) ... 195 

圖

4.133 各場事件於推估總降雨量之均方根誤差(MSE)平均值平均值

圖(不固定測站) ... 196 

XXX

符號表

a=主軸方向

θ=最大搜尋距離，稱之容忍角

sill=臨界變異元

C

0

=碎塊效應

γ(h,t)=半變異函數(Semivariogram)

Cov=共變異數(Covariance)

Var=變異函數(Variance)

W=權重因子

E=期望值

h=相對距離

MSE=均方誤差

Z(x,t)=任一位置 x、時間 t 之隨機變數

μ=平均值

σ

2

=變異數

λ=權重因子

ν=拉格蘭茲乘常數

ε:=誤差項

OBS=觀測值

1

第一章、緒論

1.1 研究動機

台灣地區四面環海又位於西太平洋北回歸線上之區域，屬於亞熱

帶海島型氣候，年平均降雨量

2500mm，每到七月至十月為颱風侵襲

帶來豐沛的雨量也隨之而來的天然災害，因此降雨量之量的多寡以及

時間上分布上對於水資源調配、防洪工程、水資源開發規劃及管理影

響很大，所以降雨資料的正確性相當重要，若規劃地區所應用之資料

代表性不足或不恰當，則相關之水文規劃容易產生錯誤，而造成依其

規劃結果所設計之水利建造可能存在防洪功能不足之風險。

任何洪水預報系統模式模擬都需要用到降雨資料，台灣地區的降

雨資料主要由地面雨量筒所收集之資料，但由於地面雨量筒為點估計

降雨量，對於大面積區域範圍不能準確推估真實降雨量分佈，因此需

要考慮到空間之降雨總量，其原理利用雨量站利用一面積權重或以內

插方式求得各格網點降雨量。目前對於空間降雨量推估方法，有算術

平均法

(Arithmetical Averaging Method)、徐昇式多邊形法(Thiessen

Polygons Method) 、 高 度 平 衡 多 邊 形 法 (Height-balance Polygons

method)、等雨量線法(Isohyetal Method)(王與易，1979；Chow 等，1988)

及克利金方法(Kriging Method)但上述此方法均受選用雨量站位置影

響，若雨量站位置選擇不當則會降低空間降雨量推估之準確性。

一般而言，各降雨事件由不同之降雨延時、雨量、雨型及事件間

隔時間所組成，因此降雨事件發生次數(Number of Rainstorm)、降雨

延時(Storm Duration)、雨量(Rainfall Depth)、雨型(Storm Pattern)及事

件間隔時間(Inter-event Time)為組成降雨序列之基本元素，稱之為降

雨特性，上述降雨特性基本上可分為空間(降雨量、降雨延時)及時間

(雨型、間隔時間)兩類特性。對於過去區域降雨量推估之相關研究常

2

將降雨之時間與空間特性分開各別討論，例如:降雨總量採用徐昇式

面積權重法，而降雨在時間之分佈(即雨型)則採用單站資料配合同位

序平均法，或降雨強度設計作為全流域之代表雨型。上述作法往往忽

略降雨在時間上相關性，故所推得降雨特性其合理性及準確性有待商

榷。因此，如何整合降雨在時間與空間之特性下，有效地增加原有實

測降雨資料之可用性，並提高相關水文水理分析結果之準確性及可靠

度，實為水資源調配、防洪工程安全設計重要課題之一。

1.2 文獻回顧

1.地理統計之發展

法國數學地質學家馬特隆(G.Matheron)研究南非礦冶工程師克利

金(Krige, D.G.)等人之實際探礦資料於 1962 年提出地質統計學，其後

Matheron(1963)提出區域化變數為基礎，探討自然資源在空間上分佈

之相關性並且運用在勘察或是推估自然資源上，此理論經過

30 餘年

之研究不僅實際應用於礦冶之自然資源探測工作，還廣泛應用在各學

門中，如環境汙染擴散、降雨分佈、地下水等有關空間變量分佈之分

析及實際應用。本研究主要針對地理統計方法應用於降雨量之推估，

其相關文獻作一說明。

邱清安、林博雄(2004)以 219 個氣溫站及 877 個雨量站資料做為

克利金法的空間推估分析之點狀氣候資料，結合數值高程模型(DEM)，

重新檢視台灣地區氣溫與降水氣候值之空間分布，並與農業試驗所

PRISM 推估結果比較，經交叉驗證之誤差均方根比較各種不同推估

方法後，以先將資料對數轉換後再進行一般克利金推估之結果最佳。

孫志鴻、張智昌(2006)以整合氣象雷達與即時降雨資料於颱風降

雨推估之研究，利用氣象局

QPESUMS 雷達觀測系統之雷達估計雨量

(時間解析度約 10 分鐘)進行雨量特性分析，整合地面雨量站觀測再

3

透過數值與統計分析方法得到代表性的定量降雨估計資訊，其中地面

降雨的分佈，藉由克利金方法內插方式求得。從案例研究成果發現，

克利金方法在插值校正上的表現較準確，且在局部大雨區域或周圍雨

量站較少時，其降雨量估計亦較其他雨量站客觀分析法為佳。

陳文福、王仲豪、曹舜評、梁隆鑫(2006)以集水區降雨量空間變

異性探討-以南勢溪為例，應用克利金法於集水區 1 小時最大颱風降

雨量之空間內插分析，並繪製等雨量線分布圖，建立集水區

1 小時最

大颱風降雨面積遞減因子曲線，得到集水區颱風降雨量在空間分佈之

狀況。研究結果顯示為南勢溪流域之

1 小時最大颱風降雨中心位於福

山雨量站，且降雨量之分佈呈現自西北向東南遞減趨勢。

2. 空間-時間半變異數模式公式演變

已有相當多關於時間與空間的區域化模式發展出來，而這些模

式基本上依其共變異數公式上可分為空間-時間分開的共變異數模式

(Separable Space-Time Covariance model)與空間-時間不分開的共變異

數模式 (Non-Separable Space-Time Covariance model)此兩種形式的

空間-時間模式。

(1)時間-空間分開共變異數模式

主要含積模式(The Product Model)、線性模式(The Linear Model)

及距離模式(The Metric Model)，茲將各模式簡介如下，

積模式(The Product model)(Rodriguez-Iturbe and Meija, 1974；De

Cesare et al.,1997)，此模式為一簡單的方法是將時間與空間分開當成

各自獨立的變數，則計算是把時間與空間的共變異數相乘形成為時空

共變異數，Posa(1993)運用此時空共變異數並假設一時間的獨立影響

範圍，因此使時空的共變異數改寫成與時空的半變異函數之關係式；

線性模式(The Linear Model)(Rouhani and Hall,1989)在計算上是將時

4

間與空間共變異數相加，在此模式中時空的資料結構形成的共變異數

矩陣為奇異矩陣(Myers and Journel,1990；Rouhani and Myers,1990)，

表示共變異函數僅符合半正定條件但是不滿足理想預測；空間-時間

模式提供一機率架構來進行分析及繪圖實際觀測點之時空現象，但有

效又實際空間-時間模式並計算其參數，此作法相當困難，因此，提

出距離模式(The Metric Model) (Dimitrakopoulos and Luo, 1994)主要

在共變異數公式中，將時空共變異數假設其空間與時間共變異數分別

各有一參數範圍，例如:Snepvanger et al.(2003)應用空間-時間距離模

式於荷蘭一

0.36 公頃(ha)草原之克利金土壤水分含量。

(2)時間-空間不分開共變異數模式

不分離模式(The Non-separable Model，Cressie and Huang,1999)又

稱為

Cressie-Huang Model，此模式在計算上是將時空定常性共變異函

數合起來討論，並且利用

Bochner’s 所提出的理論為基礎，選定一合

適的光譜密度(Spectral Concentration)結合而成時空共變異數公式；

The Product-sum Covariance Model 由 De Cesare,Myers, and Posa(2001)

提出將兩個簡單模式(The Product Model and Nested Model)延伸成為

一種模式稱為積合模式(The Product-sum Covariance Model)(Myers

and Posa,2001)，積合模式為一空間-時間不分開共變異數模式，此模

式結合積模式(product model)及考慮總合(sum)空間共變異數(或是空

間半變異函數)、時間共變異數(或是時間半變異函數)的概念，使用積

合模式解決許多計算上的問題。例如僅使用積模式時，空間、時間共

變異數透過計算得到時空的共變異數無法轉化成時空的半變異函數。

此外，若單使用合模式處理計算時，則總合(sum)空間共變異(或是空

間半變異函數)及時間共變異數(或是時間半變異函數)不符合半正定

條件。

5

3.空間-時間半變異數模式應用

Bastin et. Al.(1984)探討降雨量之半變異數模式，在不同降雨量與

不同季節條件下之變化狀況，研究結果發現半變異數值在不同條件會

產生不同特性，故利用克利金推估法推估降雨量時，對於半變異數模

式之選擇應該考慮降雨量與季節，此兩項重要影響因子。

易任、葉惠中(1991)探討中部地區年降雨量之空間分布，以記錄

年限

34 年之年降雨量數列為變量，利用主成分分析及群集分析探討

空間分佈及群集特性，訂出中部地區之豐雨區、中間區、少雨區，發

現玉山與阿里山一帶屬於中部地區之豐雨區，而西部沿海地區則為中

部地區之少雨區。朱會義、賈紹鳳(2004)降雨信息空間插值的不確定

性分析，根據

58 個雨量站 1990 年的降雨觀測數據，採用反距離權重

法、克利金法、趨勢面法等插值方法，分析站點數量變化、時間尺度

變化、插值方法的差異對降雨數據空間差值結果的影響，剖析降雨插

值中的不確定性。結果發現插值站點數量越大，區域降雨插值的不確

定性越小，且尺度

50m~1000m 間變化對降雨插值的不確定性影響性

相當微小。此外，對應於時間尺度由年、月、日的變化，降雨插值的

不確定性隨時間尺度的減小而顯著增大。此研究並評估不同空間插值

方法影響到降雨空間差值的不確定性之差異，發現距離倒數法及克利

金法精度相對較高，特別是克利金法，但仔細分析各測站點的插值誤

差，發現克利金精度高並非對於每個測站點的插值精度都高。鄭士仁

等(2005)以區域化變數理論應用於降雨之時間與空間特性之研究，研

究中採用半變異圖與交叉半變異圖，藉由無因次半變異圖與區塊克利

金法快速推估逐時平均雨量，研究結果顯示，對於雨量測站之推估平

均雨量及測站遺漏時，提出一有效估計方法於以推估其遺漏值，適用

性與精確性合乎要求。

6

1.3 研究目的與內容

本文主要目的為發展一套區域降雨序列推估機制，應用於未設

測站地區之降雨組體圖的建立，以解決降雨資料不足。其研究內容為

首先蒐集具有足夠雨量紀錄年限之雨量站並從中擷取降雨事件，且根

據降雨資料之降雨特性，配合空間與時間相關文獻選定空間與時間的

積-合半變異數模式(The Product-sum Semi-variogram Model)，及利用

克利金推估法的理論，整合成一區域化降雨序列推估機制，並將其應

用於研究區域石門水庫集水區，且採用交叉驗證方法(Cross-validation

Method)，驗證本研究所發展之區域降雨序列推估模式應用於未設站

之降雨組體圖推估之適用性與準確性。

1.4 論文架構

第一章緒論包含文獻回顧、研究動機、目的及方法；第二章研

究理論，介紹本研究所使用的理論基礎；第三章區域降雨序列推估模

式之發展，介紹區域降雨序列推估模式之建置過程；第四章為模式應

用於實際案例之驗證與比較；第五章結論與建議，根據第四章模式驗

證結果，提出結論並提出建議對未來相關研究之方向；參考文獻。

7

第二章、理論基礎

本章主要介紹所發展區域降雨序列機制之過程，主要以所需應

用之區域化理論，包括半變異數之定義、理論半變異數模式、空間與

時間半變異數模式及克利金權重之推估等方法。並將上述方法之理論

說明如下。

2.1 區域化理論之簡介

在自然現象中如能以特定統計空間與時間分佈結構，稱之為區

域化(regionalized)。若ƒ(x,t)定義為位置 x、時間 t 之隨機量測值，則

ƒ(x,t)稱之為區域化變數(regionalized variable)。區域化變數具有兩種

特性:(1)點與點間呈現不規則變化，因此視為隨機變數；(2)用某種統

計結構代表其平均結構(Journel 與 Huijbregts,1978)。一般來說，區域

化變數ƒ(x,t)為位置 x、時間 t 之隨機量測值無法真正得知，但可由觀

測平均值替代之，在統計學上常使用共變異數(Covariance)或變異函

數(Semivariogram)來描述隨機函數在空間、時間分佈之結構特性。共

變異函數描述空間上兩點之物理量相關性，其定義如下:

' ' ' C [ ( ), ( )]ov z x z x =E z x E z x[( ( )- [ ( )])( ( )- [ ( )])]z x E z x

(2.1)

其中

Cov 為協方差，

_{( ), ( )}' z x z x

分別為兩相異位置點，

x x, '

與為隨機函

數，E 為期望值。變異函數則為兩點隨機函數差值的變異數，表示如

下:

' ' 2 ' 2 [ ( ) ( )] [( ( ) ( )) ] [ ( ( ) ( ))] Var z x −z x =E z x −z x − E z x −z x

(2.2)

式中

Var 為變異數(Variance)。

區域化變數可分為定常性(Stationarity)與非定常性(Nonstionarity)，

定常性是指在區域內的隨機變數其統計特性相似且不會隨時間與空

間之不同而改變，反之則為非定常性；區域化變數理論之基本假設如

下:

8

1.二階定常性假設(2nd order stationary hypothesis):

此假設為在區域內隨機變數滿足二階的統計特性定常之要求，即

表示數學期望值及共變異數存在且定常，如下表示

(1) 在 不 同 位 置 及 不 同 時 間 之 隨 機 變 數 的 期 望 值 為 一 定 值 :

[( ( , )] . E z x t = =μ const

(2.3)

其中µ為平均值。

(2)不同位置及不同時間的隨機變數之變異數為一定值:

2 [ ( , )] . Var z x t =σ =const

(2.4)

(3)在空間-時間中任何兩個位置及任兩個時間點的隨機變數 Z(x,t)與

Z(x+h

s

,t+h

t

)之共變異函數(Covariance)只與兩點之相對距離及時間差

有關，與其個別所在位置與時間點無關，如下式表示

{

}

[ ( , ), ( _s, _t)] [ ( , ) ][ ( _s, _t) ] ( , )_{s t} Cov z x t z x h t+ +h =E z x t −μ z x h t+ +h −μ =C h h

(2.5)

2.本質假設(Intrinsic Hypothesis)

在定常性假設中變異函數(Variogram)必須存在，且變異函數應為

有限值，但實際上許多物理現象並不滿足其假設，故提出本質假設，

即表示不同位置的隨機變數之差亦為一隨機變數，且期望值與變異數

只和隨機變數間之距離有關，與位置無關。當符合以下條件即滿足本

質假設:

(1)空間-時間中任意兩個位置及任意兩個時間點之隨機變數，其差值

的 期 望 值 為 兩 個 點 間 的 函 數 ， 如 下 式 表 示

:

[ ( _s, _t) ( , )] ( , )_{s t} E z x+h t+h −z x t =m h h

(2.6)

其中

E 表示為期望值；m 表示為任一常數值；

z x t( , )

、

z x h t( + _s, +h_t)

表

任一位置

x、任一時間 t 與距離 h

s

、h

t

之隨機變數。

(2)空間-時間中任意兩個位置、時間點之隨機變數

z x t( , )

與

z x( +h t_s, +h_t)

9

的變異函數，和所在位置無關，等於兩倍的半變異元函數，如下式表

示:

[ ( _s, _t) ( , )] 2 ( , )_{s t} Var z x h t+ +h −z x t = γ h h

(2.7)

其 中

γ( , )h h_{s t}

為 空 間 與 時 間 半 變 異 函 數

(semi-variogram) ；

z x t( , )

、

( _s, _t) z x+h t+h

表任一位置

x 及任一時間 t 與距離 h

s

、h

t

之隨機變數。

由上述說明二階定常性假設與本質假設中發現，二階定常性假設

之要求較嚴格，隨機函數之平均值須為一已知之定值且其變方必須存

在，並且在二階定常性假設成立下可推得之關係，如下式所示，

( , )h h_{s t} C(0,0) C h h( , )_{s t} γ = −

(2.8)

若一隨機函數滿足定常性假設其必符合本質假設，但反之並不成立。

2.2 空間-時間半變異數

2.2.1 半變異數基本定義

由本質假設中

(2.7)式可知，兩不同位置點隨機變數 Z(x,t)、

Z(x+h

s

,t+h

t

)之變異數與其相對距離之半變異數關係，如下所示:

, ( ( , ) ( , )) ( , ) 2 s t s t s t Var z x h t h z x t h h γ = + + −

{

}

2 [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 2 s t s t E z x h t+ +h −z x t −E z x h t+ +h −z x t =

{

}

2 [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 2 s t s t E z x h t+ +h −z x t −E z x h t+ +h −z x t =

(2.9)

其中

Z(x,t)為位置點 x、時間點為 t 時刻之隨機變數；Z(x+h

s

,t+h

t

)為位

置點

x+h

s

、時間點為

t+h

t

時刻之隨機變數。

若(2.6)式m h , h

0則表示

E z x h t[ ( + _s, +h_t)−z x t( , )] 0=

，則半變異

數可表示為:

{

}

2 , [ ( , ) ( , )] ( , ) 2 s t s t s t E z x h t h z x t h h γ = + + −

(2.10)

10

2.2.2 半變異數特性

將半變異數之相關特性說明如下，

1.條件正定(Positive Definiteness Condition)

為了使半變異函數為有效函數，因此在(2.5)式中的共變異數C 必

須 滿 足 條 件 正 定

(Positive Definiteness Condition)

1 1 ( , ) 0 n n i j st i j i j i j a a C s s t t = = − − ≥

∑∑

(2.11)

其中(s

i

,t

i

)、(s

j

,t

j

)

∈ ×D T

及

aij∈R i, =1,...n

；(s

i

,t

i

)、(s

j

,t

j

)為兩個隨機變

數之位置點、時間點；D、T 為一隨機空間及隨機時間，包含隨機空

間及時間則表示為

R；a

i

、a

j

為隨機空間、時間之係數值。

2.半變異數與共變異數之關係

由(2.4)式

_{[ ( , )]} 2 _. Var z x t =σ =const

，改寫成

2 [ ( , )] [ ( _s, _t)] Var z x t =Var z x h t+ +h =σ

再將(2.5)式

Cov z x t z x[ ( , ), ( +h t_s, +h_t)]

{

[ ( , ) ][ ( _s, _t) ]

}

( , )_{s t} E z x t −μ z x h t+ +h −μ =Cov h h

，改寫成

_{( , )}

{

_{[ ( , ) ( , )} 2_]

}

s t s t Cov h h =E z x t ×z x+h t+h −μ

再根據(2.10)式，則可推得半變異函數與共變異數之間的關係如

下式:

{

}

2 , [ ( , ) ( , )] ( , ) 2 s t s t s t E z x h t h z x t h h γ = + + − 2 2 [ ( , ) ] [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ] 2 s t s t E z x+h t+h −E z x+h t+h ×z x t +E z x t = 2 2 [ ( , ) ] [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ] 2 s t s t E z x+h t+h −E z x+h t+h ×z x t +E z x t = 2 2 2 2 2 [ ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] 2 s t s t E z x+h t+h −μ −E z x+h t+h ×z x t −μ +E z x t −μ = 2 [ ( , ) ] [ ( , )] ( , ) 2 s t s t Var z x h t h Var z x t Cov h h + + − = −

11 2 _{( , )} z Cov h hs t σ = −

即可得到

2 , ( , ) s t z Cov h hs t γ =σ −

(2.12)

3.半變異數圖之特性

由半變異數基本定義如(2.10)公式中可知，當相對距離(h

s

=0)及相

對時間差(h

t

=0)等於零時，其半變異數也等於零，表示半變異數此函

數在圖形座標上是由原點開始，依其相對距離及相對時間差的關係中

加以延伸，表示成半變異數圖(如圖 2.1)，圖形也代表著函數的連續

性，並將其特性說明如下，

(1)碎塊效應(Nuggest Effect)

在理論上在相對距離(h

s

=0)及相對時間差(h

t

=0)時，則半變異函數

,=0 s t γ

，但是在實際應用上卻並非如此，由於量測誤差或是非常短的

距離時所測量的量測值

Z(x,t)其產生相當大的變異，使得半變異函數

在極小的距離內無法表現其變化特性，而使起始值並非從零開始，如

圖(2.2)表示之。

(2)臨界變異元值(Sill)

在理論上當兩點間之相對距離及相對時間差越大時，則相互影響

的關係越小而半變異函數其值越大，由圖

2.2 觀察到，當相對距離及

相對時間差達到某一特定值則其相對應的半變異函數趨近於一臨界

值，此臨界值稱之臨界變異元。

(3)影響範圍(Influence Range)

影響範圍表示同一空間、時間裡各變量間相互影響的最大距離，

此一距離內個變數存在著特定之空間、時間的相依特性，如圖

2.2 所

示，當半變異函數達到臨界變異元值時，其所對應之相對距離及相對

時間差稱之為影響範圍。

12

一般而言，理論半變異數圖通常為未知，須由實際觀測資料所得

之半變異數圖稱之為試驗半變異數模式，由於觀測資料本身所具有之

隨機性(randomness)，所得之試驗半變異數圖會呈現不規則之現象，

因此在實際資料處理時，在空間與時間上可由同一範圍內之兩點(x

i

,t)

與

(x

i

+h

s

,t+h

t

) 組 成

z x t( , )i

和

z x( i+h ts, +ht)

配 對 計 算

[

]

2 E (z x_i+h t_s, +h_t)−z x t( , )_i

，其配點方式如圖

2.3 所示，圖中 a 為主軸方

向，d 為最大搜尋距離，θ 為容忍角(Tolerate Angle)，凡落在 h-ε 與

h+ε(灰色區域內)皆視為與 z(x

i

,t)距離為 h 的資料點，資料點透過下式

計算，

( , ) * 2 , , 1 1 ( ) [ ( , ) ( , )] 2 ( , ) s t h h s t s t i i s t i s t h z x t z x h t h n h h γ = =

∑

− + +

(2.13)

其中

z x t( , )_i

:位於 x

i

點及時間

t 時之觀測值；

z x( i+h ts, +ht)

:位於

xi+hs

點

及時間在

t+h_t

時之觀測值；

n(h

_s

,h

_t

)配對數=n(h

_s

)+n(h

_s

)×n(h

_t

)。在空間上

不同位置具有方向性，因此設定容忍角的範圍，分別計算某範圍區間

之空間之試驗半變異數

( ) * 2 1 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 ( ) s n h s s i i s i s h z x z x h n h γ = =

∑

− +

(2.14)

其中

z(x):位於 x 點之觀測值；

z x( _i+h_s)

:位於

x_i+h_s

點時之觀測值；

n(h

s

)

配對數。若只考量時間上之半變異數關係，則可採用下式

( ) * 2 1 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 ( ) t n h t t t i t h z t z t h n h γ = =

∑

− +

(2.15)

其中

Z(t):在時間 t 時之觀測值；Z(t+h

t

): 在時間 t+h

t

時之觀測值；

n(h

t

)

配對數。

2.4 理論半變異數模式（Theoretical Semi-Variogram Models）

上一節所介紹的試驗半變異數圖為數個不連續點所連接而成的，

在實際應用上無法直接利用克利金推估方法，所以需要一套連續性的

13

模式配套完成後才可以實際應用。此連續的模式稱之為理論半變異數

模式，本研究將使用常見的

11 種理論半變異數模式，彙整如表 2.1

所示。

2.5 空間-時間半變異數模式

2.5.1 模式簡介

在模擬空間-時間之間的相關性時有兩個主要困難點，第一點是

如何確定此模擬出的模式為一有效的模式(Chrisktakos,1984)，第二點

是如何讓數據與模式符合；本研究所選定的空間-時間模式是由 De

Cesare et al.(1997)提出一空間-時間的積模式(product model)並且加以

延伸成為一空間-時間的積合模式(product-sum model)(De Cesare et

al.,2001)，整體來說，積合模式提供一新的類別模式，能夠全方面的

考慮到空間、時間的參數並且在計算上較簡單，再搭配上述介紹的試

驗半變異數模式以及理論半變異數模式，就可以形成空間與時間的半

變異模式。

2.5.2 積合模式基本理論

:

1.空間、時間共變異數基本定義:

, ( , ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) s t s t s s t t s s t t C h h =k C h C h +k C h +k C h (2.15)

其中

C_{s t,}( , )h h_{s t}

距離差為

h

s

、時間差為

h

t

之共變異數；

C hs( )s

距離差為

h

s

之共變異數；

C ht( )t

時間差為

h

t

之共變異數；k

1

、k

2

、k

3

為係數值。

2 .空間、時間半變異數與共變異數關係:

令 h

s

=0、h

t

=0 時，則(2.15)式改寫成

, (0,0) 1 (0) (0) 2 (0) 3 (0) s t s t s t C =k C C +k C +k C

(2.16)

又由(2.8)式

γs t,( , )h hs t =Cs t, (0,0)−Cs t, ( , )h hs t ( ) (0) ( ) s hs Cs C hs s γ = −

(2.17)