行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
重調和方程之裂縫問題
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2115-M-110-007- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學應用數學系(所) 計畫主持人： 呂宗澤 計畫參與人員： 許仲華、吳東諺、陳建亨、羅章源、陳政裕等 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 92 年 12 月 31 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
重調和方程之裂縫問題
Crack Problem of Biharmonic Equation
計畫編號：NSC 91-2115-M-110-007
執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：呂宗澤 中山大學應數系
Email: [email protected]
計畫參與人員：許仲華、吳東諺、陳建亨、
羅章源、陳政裕等(中山大學應數所)
一、中英文摘要 彈性薄板的裂縫問題可以寫成具奇異 性的重調和方程，此類問題在工程實用上 非常的重要。因為它是四階的偏微分方 程，其解又有奇異性，計算上要比求一般 的二階拉普拉斯方程困難的多。 Schiff、Fishelov 及 Whiteman 曾提出了 一個重調和方程的裂縫模型，本計畫希望 使用邊界近似法重算此問題，得出其最高 精度解，以及算出它在各種長方形區域之 下的解，用來比較不同區域其斷裂強度的 大小。另一方面我們也希望能改良已知的 重調和裂縫問題，得到一個最佳的數學模 型，以供未來的數值方法測試使用。 關鍵詞：重調和方程、裂縫、奇異性、邊 界近似法 AbstractA thin elastic plate with interior crack can be modeled as a biharmonic boundary value problem with singularity. Such problem is very important in engineering and in practice. Since it is a 4-th order partial differential equation and its solution has singularity, to compute its solution is much more difficult than the usual Laplace
equation.
Schiff, Fishelov and Whiteman had proposed a biharmonic boundary value problem with crack. In this project we will use the boundary approximation method to compute its solution with the highest accuracy. We also like to solve the problem under various rectangular domains and to see how their stress intensity factors change accordingly. On the other hand, we plan to improve all existing cracked biharmonic problems to get some better models mathematically. These models will be very useful for future testing of numerical methods.
Keywords: biharmonic equation, crack, singularity, boundary approximation method 二、緣由與目的 具奇異性的橢圓邊值問題中，Motz 問 題為其一典型的代表方程，許多數值專家 都拿它來測試其算法之優劣。我們利用李 子才書[1, 2]以及 Whiteman, Papamichael etc.[3,4]之技巧，發展出最佳算法做高精度 計算，得出了其全世界最準之級數解，總 誤差可達 O(10-100)，第一項係數有 15999 位準確，最末項也有 123 位有效數字。詳
細說明請參考網址 http://www.math.nsysu.edu.tw/scicomp/ttlu/co mputing.html。 其部份結果已列入發表文章[5]中，另有多 篇文章[6,7,8]正在投稿中。而樑柱的裂縫 問題則是另一個數值上常用之測試模型 [9~12] ， 我 們 同樣使用高精度重算此問 題 ， 使 其 極 準 解 與 理 論 解 誤 差 也 達 到 O(10-100)，其部份結果已併入[8]文投稿中。 在工程上更有興趣的是彈性薄板的裂 縫問題，這個問題寫成數學模型就是四階 的重調和方程邊值問題，物理上的裂縫就 給它的解帶來了奇異性。計算此類的問題 當然要比二階的Motz 問題更加困難，但在 實用上卻更具應用價值。 Schiff 等人在[13]中曾提出了一個重調 和方程的裂縫模型，並使用有限元的方法 計算出它的數值解。根據我們過去研究的 心得，計算這類問題最佳的方法乃是邊界 近 似 法 ， 因 此 本 計 畫 將 使 用 此 算 法 在 Mathematica 系統下求出 Schiff 模型的極高 精度數值解。因為此問題並無理論解，此 精準解就可當成理論解，供後人的數值方 法檢驗誤差之用。 Schiff 等人的模型是一個兩邊長分別 為 2a 與 2b 的長方形薄板，當 a 和 b 變動 時此薄板就對應出不同的形狀。我們希望 也能算出在不同形狀下此重調和裂縫問題 的解，並分析出其斷裂強度和形狀的關 係，這在工程上是非常重要的。 關 於 重 調 和方程方面的研究已不太 多，再加上裂縫的奇異問題文獻更少，我 們計畫去搜集所有相關的邊值問題。此外 我 們 在 重 調 和 方 程 方 面 已 有 一 些 成 果 [14]，李子才老師過去也試了一些模型，對 這些詳加研究後，我們企圖尋找更佳的數 學模型，成為重調和裂縫的經典問題，將 來可提供數值方法測試比較使用。 三、結果與討論 Schiff 等人的裂縫模型是定義在長方 形區域Ω~ ={(x,y)||x|≤a |,y|≤b}上的重調 和邊值問題 ≤ ≤ − = = ≤ ≤ − = − = − ≤ ≤ − = − = ≤ ≤ − + + λ = ± ≤ ≤ − λ = ≤ ≤ − λ = Ω = ∆ 0 0 ) 0 , ( ) 0 , ( 0 ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( ) 2 2 ( ) , ( 2 ) , ( 2 ) , ( ~ in 0 2 2 2 2 x a x u x u b y b y a u y a u a x a b x u b x u a x a a ax x b a u b y b a y a u b y b a y a u u y x y x 其中a, b和λ是參數。因為此問題對x軸對 稱，我們只要研究上半矩形的解就可以 了。再經過簡單的線性轉換，我們可將它 簡化成在Ω={(x,'y')| x'≤1, 0≤y'≤τ}上的 邊值問題 ≤ < = = < ≤ − = = τ ≤ < = − = − ≤ ≤ − = τ ≤ ≤ − + = τ τ ≤ < = τ ≤ < = Ω = ∆ 1 ' 0 0 ) 0 ,' ( ) 0 ,' ( 0 ' 1 0 ) 0 ,' ( ) 0 ,' ( ' 0 0 ) ' , 1 ( ) ' , 1 ( 1 ' 1 0 ) ,' ( 1 ' 1 ) 1 ' ( 2 1 ) ,' ( ' 0 2 ) ' , 1 ( ' 0 2 ) ' , 1 ( in 0 ) ' ,' ( ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 x x v x v x x v x v y y v y v x x v x x x v y y v y y v y x v y y y y y x y x 其中 a b = τ 。 給定不同的τ值，我們使用邊界近似法 來求出它不同的數值解。這方法是先找到 滿足∆2 =0 u 與x軸上邊界條件的函數當成 基底，則前裂縫問題之解就型如 ), , ( 1 ) , ( 1 ) , ( ∑∞ θ = + θ ∑ ∞ = φ = θ r n n f n c r n n n d r v 其中 ο ] ) 1 cos( ) 1 [cos( ) , ( ], ) 2 1 cos( ) ( ) 2 3 [cos( ) , ( ) 1 ( 2 1 2 3 ) ( 21 θ + − θ − = θ θ + + − − θ − = θ φ + + n n r r f n n n n r r n n n n 數值上我們只算有限項 ), , ( 1 ) , ( 1 ) , ( ~ ∑ θ = + θ ∑ = φ = θ L r n cn fn r L n dn n r v 求其係數使得v~在其他三邊上的邊界條件 誤差
, ] ) | ~ ( ) 0 | ~ [( } ) 0 | ~ ( ] ) 1 ( 2 1 | ~ {[ ] ) 2 | ~ ( ) 2 | ~ [( ) ~ ( 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 0 2 1 dy v v dx v x v dy v v v I x x x y y y x x x
∫
∫
∫
τ − = − = − =τ =τ = τ = ω + − + − ω + + − + − ω + − = 最小，其中ω 為權常數。 我們在Mathematica系統上寫程式，使 用它可做高精度計算的優點，得出(a, b,λ) 為(1,1,1)及(1,0.4,0.7)時的高精度數值解。 詳細結果將置於考網址 http://www.math.nsysu.edu.tw/scicomp/ttlu/co mputing.html。 在工程上的斷裂強度可以用級數φi的 第一個係數d 表示出來，即1 2 dπ 1。我們 針對不同的長方形區域，在不同τ之下比較 1 d ，發現斷裂強度k與λ,a,τ的關係如下：( )
τ π λ = ag k 2 ， 其 中 g( )
τ 的 圖 形 為 因此當薄板形狀固定時，斷裂強度與所受 之力λ成正比。當λ及薄板兩邊長比 a b = τ 固定時，不同之邊長 a 對應出相似但大小 不同的長方形，此時之斷裂強度與 a 之平 方根成正比。當長方形之一邊長 a 及 λ 固 定時，斷裂強度是邊長比τ之遞減函數，即 τ愈大時k愈小。在最後一種情形下，τ很 小時k可以非常之大，而τ很大時k會趨近 一常數2 2πaλ。 我們的邊界近似法是一種特殊的譜方 法，因此一般都有指數收斂的性質。但是 當 我 們 計 算 Schiff 等 人 的 模 型(
λ,a,b) (
= 1,0.4,0.7)
時，卻發現只得到多項 式的收歛：|v−v~| = I( )
v~ ≈8.94L−4.17 B ，其 為在(
±0.4,0.7)
兩點上，其解有非常弱的奇 異性，我們並未將此考慮入數值解中，因 此無法達到指數收斂的效果。根據Babuska 及 Guo 的 理 論 ， 可 算 出 此 奇 異 性 為 ) ( 3 2 3 r O 。我們也畫出了數值解的各個四階 偏導數圖形，可觀察到它們在此二角點， 陡升或劇降的特性，驗證了此二弱奇異的 存在。 在研究的過程中，我們也發現基底函 數的一些特性，例如 1 ) 2 1 ( − φ− = φ ∂ ∂ i i i x , ∂ = −1 ∂ i i if f x 。 使用這些性質，可以大大簡化程式。另一 個 驚 人 的 結 果 是 fi 竟 然 是 多 項 式 ，( )
2 1 2 2 ] 2 1 [ 0 2 1 1 2 ) , ( =− − − − + + =∑
i k i k k k i x y k i y x f ， 因此它的各階偏導數都可輕易算出。很自 然地可以用 fi造出許多模型問題：即已知 長方形上的重調和方程之解為 fi，配備適 當的邊界條件，所組成的邊值問題就是一 個測試模型，計算出之數值解很容易和理 論解 fi比較而得知誤差。當i大時，fi之振 動性高，計算上就較難；因此我們有一系 列由簡到繁的模型問題。注意到由 fi造出 的模型，其解皆是解析的；若需要奇異問 題，可用另一基底φi來造邊值問題，則得 出之模型其解在原點均有奇異性。這些都 可成為此類問題的典型代表，以供數值方 法測試比較之用。 四、計畫成果自評 本計畫雖然頗難，但我們仍完成了絕 大部份：包括給定不同τ 值下的數值解， 極高精度的解，以及τ 值變動下d 的比較1 等，另外也造出了一些類似的重調和裂縫 模型，可以提供數值方法來測試比較之使 用。唯一未做出的是其符號數值解，即將τ 當 成 參 數 ， 在 Mathematica 上 算 出 係數 ) (τ d 與c (τ)的函數或冪級數解。這與問題本身的漸近展開式有密切的關係，而這 方面並非主持人之專長。 本計畫的主要內容為研究生許仲華的 碩士論文[15]第二章，其一些結果[16]已被 接受，其他部份正在改寫中，近日將在期 刊上陸續發表。我們的高精度解能提供將 來數值方法測試之用，並提出了許多新的 相關模型，因此實用價值極高。 參與本計畫的研究生助理，學習到許 多偏微分方程及數值解法，而且得到如何 做研究的經驗，包括 CD 上搜集資料、程 式計算、定理證明及使用文書處理軟體等。 五、參考文獻
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[7] Z. C. Li and T. T. Lu, Very High Accurate
Solutions of Motz’s Problem, Part II: The Boundary Approximation Method, preprint. [8] T. T. Lu, H. Y. Hu and Z. C. Li, Highly Accurate
Solutions of Motz's and the Cracked Beam Problems, submitted.
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An Efficient Finite Element Method for Testing Singularities in Laplace’s Equation, J. Comp. Phys. 96 (1991): 391-410.
[12] N. M. Wigley, An Efficient Method for Subtracting off Singularities at Corners for Laplace’s Equation, J. Comp. Phys. 78 (1988): 369-377.
[13] B. Schiff, D. Fishelov and J. R. Whiteman, Determination of a stress intensity factor using local mesh refinement, in The Mathematics of Finite Elements and Applications III, pp. 55-64, Eds. by J. R. Whiteman, Academic Press, London, 1979.
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[15] Chung-Hua Hsu, Analytic Solutions for Boundany Layer and Biharmonic Boundany Value Problems, Master Thesis, National Sun Yat-sen University, 2002.
[16] Z. C. Li, T. T. Lu and H.Y. Hu, The Collocation Trefftz Method for Biharmonic Equations with Crack Singularity, Engineering Analysis with Boundany Elements, to appear.
