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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
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利用斜向入射之各向異性介質平板以達成極化轉換之研究
利用斜向入射之各向異性介質平板以達成極化轉換之研究
利用斜向入射之各向異性介質平板以達成極化轉換之研究
利用斜向入射之各向異性介質平板以達成極化轉換之研究(2/2)
A Study of Oblique Incidence to Anisotropic Slabs for
Polarization Transformations
計畫編號：NSC 90-2213-E-110-019
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持人：林根煌 國立中山大學電機工程學系
一、中文摘要 一、中文摘要一、中文摘要 一、中文摘要 本計畫主要是探討平面波斜向入射到各向異 性介質平板的問題及其在極化上的應用。對於單 軸各向異性介質，在文章中討論了光軸在不同方 向時對電磁波的影響，及斜向入射時的一些性質 。分別討論電磁波從各向同性介質入射到各向異 性介質及從各向異性介質入射到各向同性介質的 情況，本文中已推導出完整的公式，並分別討論 一些特例如全穿透、全反射的現象。對於各向異 性介質在極化轉換的應用上，斜向入射確實可以 達到極化轉換目的，吾人針對線性極化—圓形極 化為例子作探討。在極化轉換達到所要求的同時 ，也要求高穿透率。最後將以兩個數值的例子， 來驗證可以同時達到極化轉換和高穿透率，其中 一個例子，其透射效益可以達到全穿透，這是因 為斜向入射有全穿透的布魯斯特角(Brewster angle) ，再配合適當的阻抗選擇，就可以達到全穿透。 關鍵詞： 關鍵詞：關鍵詞： 關鍵詞：各向異性介質，斜向入射、極化轉換 AbstractThis project mainly concerns with the problems of oblique incidence to anisotropic slabs. In this project we study the influence of the direction of the optical axial on electromagnetic waves, properties of oblique incidence and its applications for a uniaxial anisotropic medium. The complete formulas of EM waves propagating from isotropic media into anisotropic media and from anisotropic into isotropic have been derived. The formulas of internal reflection and total transmission have also been obtained for three special cases. It is known that the polarization transformation can be obtained for oblique incidence in the case of anisotropic media. Using the LP to CP transformation as an example, we show that both of the polarization transformation and high transmission efficiency can be satisfied at the same time. One of the special cases can achieve total transmission, corresponding to a transform efficiency of 100%. Finally, two numerical examples are used to verify the theory.
Keywords: Anisotropic Media, Oblique Incidence,
Polarization Transformation 二、緣由與目的緣由與目的緣由與目的 緣由與目的 本計畫主要目的是探討電磁波斜向入射到單 軸各向異性介質時，極化轉換的可能性。在第一 年的研究成果中，吾人確知電磁波斜向入射到各 向異性介質平板，也存在有類似簡單介質的全反 射與全穿透現象，同時也可以作應用於極化轉換 。 在第二年的計畫中，吾人更進一步的探討單 軸各向異性介質的光軸和傳播方向的關係，還有 當光軸方向改變時，它對電磁波斜向入射特性的 影響，包括完整的反射係數，穿透係數公式及全 反射、全穿透等現象是否還是存在，及其在極化 轉換上的應用。若要探討任意極化波斜向入射到 介質平板並轉換出任意極化波，相當複雜，所以 吾人探討線性極化波對圓形極化波的轉換，除了 在實際上有較高的應用性久，亦不失探討斜向入 射問題的意義。在第三部份將先討論單軸各向異 性介質光軸的方向和特徵波的關係。在第四部份 將呈現電磁波從各向同性介質波斜向入射到各向 異性介質及從各向異性介質波斜向入射到各向同 性介質的特性及完整的公式。第五部份以單軸各 向異性介質作極化轉換器，將線性極化波轉換為 圓形極化波，並提供一個設計方法，使得極化轉 換器能有高透射效益，甚至是全穿透。第六部份 是以一個數值的例子來驗證第五部份，最後，將 作結論和討論。 三、單軸各向異性介質的光軸與 三、單軸各向異性介質的光軸與三、單軸各向異性介質的光軸與 三、單軸各向異性介質的光軸與特徵波特徵波特徵波特徵波 各 向 異 性 介 質 的 結 構 關 係 式 通 常 表 示 成 (1) [Kong, 1986] ， D E B H ε µ = = ! ! i ! ! i (1) 其中ε 為介電係數，µ為導磁係數皆是張量(tensor) 。此時，電場E!不再和電通密度D! 平行，磁場H! 亦不再和磁通密度B!平行。再者，介電係數和導 磁係數可以同時是張量，也可能只是其中一個為 張量，另一個為常數。在日常生活中，水晶即是 一種較常見的各向異性介質，其介電係數可以表 示成一個3 3× 的矩陣。吾人可以選擇座標系使得 該矩陣呈現對角線矩陣，表示成(2)，該座標系則
稱為主軸座標系。 0 0 0 0 0 0 x y z ε ε ε (2) 式(2)中，如果εx=εy =εz，則是一般的各向 同性介質，若是其中的兩個係數相等則稱為單軸 各向異性介質(uniaxial anisotropic medium)，若三 個 皆 不 相 等 ， 即 是 雙 軸 各 向 異 性 介 質(biaxial anisotropic medium)。 考 慮 一 個 無 限 且 無 損 [Lindell et al., 1994] 的單軸各向異性介質，其光軸 設為與 z 軸方向平行，則介電係數表示成(3)，且 假設該介質的導磁係數µ為常數。考慮一個平面 電磁波在該介質中傳播，其行進方向在 xz 平面上 和 z 軸夾一θ角，吾人可由解馬克斯威爾方程式得 到兩個波數不同的線性極化特徵波(4)和(5)，分別 為 異 常 波(extraordinary wave)和 正 常 波(ordinary wave ) [Kong, 1986] [Lindell and Viitanen, 1993] 。 異常波的電場方向平躺於傳播方向和光軸所形成 的平面，此時電場和電通密度不平行且不再和傳 播方向垂直，但電通密度和傳播方向仍是垂直。 正常波的電場方向則和該平面垂直且和傳播方向 垂直。若εz =εx，則異常波(4)可以簡化為(5)，即 是一般的各向同性介質。 0 0 0 0 0 0 x x z ε ε ε (3)
(
)
2 2 2 2 cos sin x z e z x k ω µε ε ε θ ε θ = + (異常波) (4) 2 2 o x k =ω µε (正常波) (5) 若該單軸各向異性介質的光軸不再與 z 軸平 行，而是在 xz 平面上和 z 軸夾θopi角，則其介電係 數矩陣表示成(6)，其特徵波中正常波的波數依然 不變和(5)一樣，但是異常波需要被修正為(7)，由 此吾人也可知異常波波數只與傳播方向和光軸之 間夾角有關。當θ =opi 0時，會使得(7)簡化成(4)， 即是光軸在 z 軸的情況。 ( ) ( ) 2 2 2 2cos sin 0 cos sin
0 0
cos sin 0 sin cos
x opi z opi z x opi opi
x
z x opi opi x opi z opi
ε θ ε θ ε ε θ θ ε ε ε ε θ θ ε θ ε θ + − = − + (6)
(
)
2 2 2 2 cos ( ) sin ( ) x z e z opi x opi k ω µε ε ε θ θ ε θ θ = − + − (7) 另外，還有一個特例是光軸不在 xz 平面上的 情況，當光軸和y軸平行吾人同樣可以得到兩個 特徵波，其中平行極化波的波數(5)，垂直極化波 的波數(8)，可以看出這兩個波數和入射角無關， 是因為此時光軸和xz平面垂直，此特例中，異常 波和正常波一樣電場方向和傳播方向垂直。 2 2 e z k =ω µε (8) 四、斜向入射的特性 四、斜向入射的特性四、斜向入射的特性 四、斜向入射的特性 如圖一，平面電磁波從各向同性介質入射到 各向異性介質或從各向異性介質入射到各向同性 介質皆會有兩個折射角，這是因為各向異性介質 有兩個不同的特徵波所致。吾人將分別討論這兩 種電磁波入射情況等特性。 Z X medium 1 medium 2 1,1 ε µ ε µ2,2 incident wave optical axis reflect wave i θ r θ θt1 2 t θ Z X medium 1 medium 2 2, 2 ε µ 1,1 ε µ incident wave optical axis reflect wave i θ r θ θt1 2 t θ 圖一：斜向入射電磁波方向示意圖 (一) 電磁波從各向同性介質波斜向入射到各向異 性介質 在此，吾人將分別討論介質二的光軸在xz平 面上和 z 軸夾一θopi角，及其特例光軸在 z 軸、光 軸在x軸及光軸在y軸等情況的一些特性。如一 般分析相同，先將電磁波分為平行極化和垂直極 化，再分別探討電磁波斜向入射時的特性，為了 簡化計算的複雜度但又不失其物理意義，吾人假 設介質為非磁性材料µ1=µ2 =µ0。 首先，討論介質二的光軸在xz平面上和 z 軸 夾一θopi角，吾人可以經由解馬克斯威爾方程式和 邊界條件得到反射係數(9)(11)及透射係數(10)(12) 。其中，在入射波為平行極化的情況下，在介質 二中為異常波，其電場方向和傳播方向不垂直， 使得x方向的分量和 z 方向的分量對入射波的比值 不同，因此透射係數不再適用電場比值，而改採 用電通密度的比值。其中k
為特徵波的波數，θ 為傳播方向和 z 軸的夾角，下標i和 t 分別代表入 射波及透射波。 1. 垂直極化 (TE wave) cos cos cos cos i i t t i i t t k k k k θ θ θ θ ⊥ − Γ = + (9) 2 cos cos cos i i i i t t k k k θ τ⊥= θ + θ (10) 其中ki =ω µ ε0 1，k 等於(5)之t k 。 o 2. 平行極化 (TM wave) 2 2 33 11 33 2 2 33 11 33cos ( cos sin ) sin
cos 2 cos cos sin
sin cos ( cos sin )
cos 2 cos cos sin
t i t t a i t i t a t i t t a i t i t t i t a t i t t k k k k k k k k θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ ε θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ + − − + Γ = + + + + # (11) 2 11 33 2 2 1 33 11 33 2 cos
sin cos ( cos sin )
cos 2 cos cos sin
a i i a i t i t t i t a t i t t k k k k k ε ε ε θ τ ε ε θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ − = + + + + # (12)
3 其中ki =ω µ ε0 1，k 等於(7)之t k ，e
2 2
11 xcos opi zsin opi
ε =ε θ +ε θ
，
2 2
33 xsin opi zcos opi
ε =ε θ +ε θ
，
(
)
cos sin a z x opi opi ε = ε ε− θ θ 。 接 著 討 論 當 光 軸 和 z 軸 平 行 的 情 形 ， 將 0 opi θ = 代入(9~12)，吾人可以得到反射係數及透 射係數，然後可以得到臨界角(13)(14)及平行極化 的布魯斯特角(15)。 1. 垂直極化 (TE wave) 1 1 sin x c ε θ ε − ⊥= (13) 2. 平行極化 (TM wave) 1 1 sin z c ε θ#= − ε (14)(
1)
2 2 1 sin B z x z x ε ε ε θ ε ε ε − = − # (15) 光軸和 x 軸平行的情形，即是θopi =π 2代入 (9~12)，吾人同樣可以得到反射係數及透射係數， 然後可再求得臨界角(13)及平行極化的布魯斯特角 (16)。在這個特例中，不論是垂直極化或平行極化 ，其臨界角相同。(
1)
2 2 1 sin B x z x z ε ε ε θ ε ε ε − = − # (16) 當光軸與 y 軸平行時，吾人推導出它的反射係 數(17)(20)和透射係數(18)(21)，吾人可以發現這兩 個公式和各向同性介質入射到各向同性介質一樣 ，這是因為光軸夾角和傳波方向一直是垂直，使 得異常波的波數變成一個常數之故。同時也得到 臨界角(19)(22)和布魯斯特角(23)。 1. 垂直極化 (TE wave) cos cos cos cos i i t t i i t t k k k k θ θ θ θ ⊥ − Γ = + (17) 2 cos cos cos i i i i t t k k k θ τ θ θ ⊥= + (18) 1 1 sin z c ε θ ε − ⊥= (19) 其中ki =ω µ ε0 1，k 等於(8)之t k 。 e 2. 平行極化 (TM wave) cos cos cos cos i t t i i t t i k k k k θ θ θ θ − Γ = + # (20) 2 cos cos cos i i i t t i k k k θ τ θ θ = + # (21) 1 1 sin x c ε θ ε − = # (22) 2 1 sin B x x ε θ ε ε = + (23) 其中ki =ω µ ε0 1，k 等於(5)之t k 。 o (二) 電磁波從各向異性介質波斜向入射到各向同 性介質 在此吾人先討論各向異性介質的光軸在 xz 平 面上情況，然後再討論其光軸在 z 軸、光軸在 x 軸 及光軸在 y 軸時，三種特例，同樣的吾人分成垂 直極化波和平行極化波來討論斜向入射的特性。 當介質一的光軸在 xz 平面和 z 軸夾一個θopi，同樣 可以經由解馬克斯威爾方程式和邊界條件得到的 反射係數(24)(26)，透射係數(25)(27)。 1. 垂直極化 (TE wave) cos cos cos cos i i t t i i t t k k k k θ θ θ θ ⊥ − Γ = + (24) 2 cos cos cos i i i i t t k k k θ τ θ θ ⊥= + (25) 其中k 等於(5)之i k ，o kt =ω µ ε0 1。 2. 平行極化 (TM wave) 2 2 33 11 33 2 2 33 33 11cos ( cos sin ) sin
cos 2 cos cos sin
cos cos ( cos sin )
sin 2 cos cos sin
i t i i a t i t i a i t i i t i i t i i a t i a i t i i k k k k k k k k θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ ε θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ + − − + Γ = + + − − # (26)
]
2 2 2 11 33 3 33 2 2 2 2 11 33 33 33 11sin cos 2 sin cos
cos 2
cos cos ( cos sin )
sin 2 cos cos sin
i i i i a i i i i a t i i t i i a t i a i t i i k k k k k k k ε ε θ θ ε θ θ ε θ ε τ ε ε ε ε θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ θ θ − + = − + + − − # (27) 其中k 等於(7)之i k ，e kt =ω µ ε0 1 ， 2 2
11 xcos opi zsin opi
ε =ε θ +ε θ
，
2 2
33 xsin opi zcos opi
ε =ε θ +ε θ
，
(
)
cos sin a z x opi opi ε = ε ε− θ θ 。 當介質一的光軸和 z 軸平行，將θ =opi 0代入 (24~27)式中可得到其反射係數，透射係數。然後 可得到臨界角(28)、(29)及布魯斯特角(30)。 1. 垂直極化 (TE wave) 1 2 sin c x ε θ ε − ⊥= (28) 2. 平行極化 (TM wave)1 2 2 sin ( ) z c x z z x ε ε θ ε ε ε ε ε − = + − # (29) 2 2 2 2 2 ( ) tan ( ) z x B x z ε ε ε ε θ ε ε ε − = − # (30) 若當介質一的光軸和 x 軸平行，則將θopi =π 2 代入(17~20)式中可得到其反射係數，透射係數。 然後可得到垂直極化的臨界角(28)，同光軸在 z 軸 的情況。同時，也可得到平行極化的臨界角(31)及 布魯斯特角(32)。 1 2 2 sin ( ) x c x z x z ε ε θ ε ε ε ε ε − = + − # (31) 2 2 2 2 2 ( ) tan ( ) x z B z x ε ε ε ε θ ε ε ε − = − # (32) 當光軸與 y 軸平行時，吾人推導出它的反射係 數(33)(36)和透射係數(34)(37)，同時也得到臨界角 (35)(38)和布魯斯特角(39)。 1. 垂直極化 (TE wave) cos cos cos cos i i t t i i t t k k k k θ θ θ θ ⊥ − Γ = + (33) 2 cos cos cos i i i i t t k k k θ τ θ θ ⊥= + (34) 1 2 sin c z ε θ ε − ⊥= (35) 其中kt =ω µ ε0 2 ，k 等於(8)之i k 。 e 2. 平行極化 (TM wave) cos cos cos cos i t t i i t t i k k k k θ θ θ θ − Γ = + # (36) 2 cos cos cos i i i t t i k k k θ τ θ θ = + # (37) 1 2 sin c x ε θ#= − ε (38) 2 2 2 sin B x ε θ ε ε = + (39) 其中kt =ω µ ε0 2 ，k 等於(5)之i k 。 o 由(一)與(二)的探討，可以看出在垂直極化波 的反射係數及透射係數與電磁波在兩個各向同性 介質中斜向傳播一樣，這是因為各向異性介質中 ，和垂直極化波相關的介電係數是一個常數，猶 如 各 向 同 性 介 質 一 般 。 另 外 ， 只 有 當 1 x, 1 z ε >ε ε >ε 或ε1<ε εx, 1<εz成立時，布魯斯特 角才存在。但是當光軸和 y 軸平行時，布魯斯特 角的存在並沒有條件限制。另外，當入射波為垂 直極化時，不論光軸平行於 x 軸或 z 軸，其布魯斯 特角皆不存在，這是因為吾人假設為非磁性材料 的緣故。 五、 五、五、 五、極化轉換及透射效益極化轉換及透射效益極化轉換及透射效益極化轉換及透射效益 在此將討論各向異性介質來作電磁波的極化 轉換器。考慮一個無限大且無損的單軸各向異性 介質平板，有一平面波以入射角為θi，斜向入射 到該平板，如圖二所示。當電磁波入射到介質二 時，會有兩個折射波朝不同方向前進，因為所經 路徑的距離不同及波數的不同，將會造成兩個特 徵波在第三層透射時的相位角不同。另外，由史 奈爾定律(Snell’s law)可以知道θ θi = 31=θ32，因此 該平面波將在第二、三層的交界合成然後朝同一 方向前進。在此將以線性極化與圓形極化之間的 轉換為例子，且同時要求達到電磁波的高穿透率 。 Z X incident direction 0 d i θ 1, 1 ε µ ε µ2, 2 ε µ1, 1 31 θ to θ te θ 32 θ
medium 1 medium 2 medium 3
圖二、 平面波通過各向異性介質平板之路徑示意圖 吾人將分別討論光軸和 z 軸平行及光軸和 y 軸平行兩個情況。首先，考慮平行極化波，選擇 入射角為布魯斯特角，如此便不會有反射波。對 於垂直極化波，在光軸和 x 軸平行的情況下，因 為εx和ε1若相等，則布魯斯特角會不存在，所以 須選擇εx和ε1，越接近越好，如此對該極化波而 言，可以使得其反射波很小，如此便可以得到高 穿透率的極化轉換器，但是在光軸和 y 軸平行的 情況下，布魯斯特角的存在沒有條件限制，所以 選擇εz =ε1，如此垂直極化波也不會有反射波。 對於一個波的極化狀態可以藉由極化比來表示 [Yen et al., 1999] ，極化比R 的定義(40)，其中z 軸方向為傳播方向。在(40)中，當δ =0時為線性 極化，當δ = ±π 2且R =1時為圓形極化。 y j x E R e E δ ≡ (40) 假設一個線性極化波以布魯斯特角斜向入射 到該平板，可以得到第三層透射波的兩個特徵波 相角差為(41)。因此，要得到一個圓形極化的穿透 波，可以透過厚度的調整使得相角差δ = ±π 2， 且因為選擇入射角為布魯斯特角所以平行極化為 全穿透，又因為選擇εx接近ε1，對於垂直極化波 的反射波很微小，可以忽略，所以 R $ ，在另一1 個情況垂直極化波沒有反射波，所以 R =1。 cos cos o e to te k k d δ θ θ = − (41) 其中 k 是波數，θt表折射角，下標 e ， o 代表 正常波及異常波。
5 六、數值例子 六、數值例子六、數值例子 六、數值例子 這裡吾人將以各向異性介質的光軸和 z 軸平 行及光軸和 y 軸平行，兩個不同的例子來作驗證 ，並討論它們的透射效益。吾人希望得到線性極 化入射波經過各向異性介質平板後分別轉換為右 旋極化及左旋極化的透射波，如圖二所示。假設 介質一及介質三皆為空氣，介質二為單軸各向異 性介質。 首先，考慮各向異性介質的光軸和 z 軸平行 (θ =opi 0)，導磁係數為µ0，介電係數的εz =2ε0 ，工作頻率為 3GHz。另外，為了使垂直極化波反 射率很小，吾人選擇介電係數εx=1.1ε0。當平面 波從介質一入射到介質二，將數值代入(15)可得到 布魯斯特角θ =B 24.09 % # ，再由史奈爾定律(Snell’s law)得到平行極化波的折射角θ =te 22.12 %。同時， 亦可求得垂直極化波的折射角θ =to 22.91 %。又為 了 要 得 到 右 旋 圓 形 極 化 透 射 波 ， 選 擇 相 角 差 2 δ = −π 代入(41)，可以得到厚度d =0.0816m。 另外，平行極化的折射角θte，此角亦為平面波從 介質二到介質三的布魯斯特角。由圖三與圖四亦 可以看出兩介質間的布魯斯特角互為折射角與入 射角。圖三是平面波從各向同性介質斜向入射到 各向異性介質的反射係數對應於入射角的關係圖 ，圖四是各向異性介質入射到各向同性介質的反 射係數圖。 第二個例子是假設光軸和 y 軸平行，導磁係 數為µ0，介電係數εx=5ε0，εz =ε0，工作頻率 為 3GHz。如此，垂直極化波就如同在同一介質中 傳播，可以全穿透。對於平行極化波，由(23)可以 得到布魯斯特角θ =B 65.91 % # ，再由史奈爾定律求 得介質一和介質二之間的折射角θ =to 24.09 %。此 折射角亦同時為介質二和介質三的布魯斯特角， 由(39)可證明，因此，介質二到介質三亦不會有反 射波。因為要求透射波的極化狀態為左旋圓形極 化，所以相角差為δ π= 2，可由(41)求得所需的 厚度d =0.0057m。 七、結論與討論 七、結論與討論七、結論與討論 七、結論與討論 本文探討了各向異性介質的光軸位置對特徵 波的影響，包含光軸在 xz 平面、光軸在 x 軸以、 光軸在 z 軸及光軸在 y 軸等不同情況，並得到相 對應的公式。已知各向異性介質存在兩個不同的 特徵波，吾人發現異常波的波數和光軸及傳播方 向之間的夾角有關。吾人也推導出平面波在各向 同性介質及各向異性介質之間斜向入射的透射係 數及反射係數，且推導出光軸在 z 軸、 x 軸及 y 軸 三個特例的臨界角及布魯斯特角的完整公式。吾 人亦探討利用各向異性介質達到線性極化轉換成 圓形極化的目的，並探討光軸在 z 軸及光軸在 y 軸的透射效益，最佳的情況可以使的入射波全穿 透。最後以兩個數值例子來驗證，第一個是光軸 在 z 軸的情況，可以使線性極化入射波轉換為右 旋極化穿透波，且達到高穿透率，第二個是光軸 在 y 軸的情況，這個例子中，可以同時達到線性 極化波轉換為左旋極化波和入射電磁波完全穿透 的效果。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 | Γ | θ reflection Γ(θ) TE TM 圖三、 平面波從各向同性介質斜向入射到各向異 性介質的反射係數與入射角關係圖 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 | Γ | θ reflection Γ(θ) TE TM 圖四、 平面波從各向異性介質斜向入射到各向同 性介質的反射係數與入射角關係圖 八、成果自評 八、成果自評八、成果自評 八、成果自評 在本計畫的第二年度中，吾人探討了單軸各 向異性介質光軸的位置對其特徵波的影響，同時 也推導出電磁波，從各向同性介質入射到各向異 性介質及從各向異性介質入射到各向性同介質的 反射係數、透射係數、臨界角及布魯斯特角的完 整公式。然後，也探討了單軸各向異性介質在極 化轉換上的應用，更提供一些方法不但達到極化 轉換的目的，更是達到高透射效率甚至是全穿透 。就整體而言，這些成果已經達到本計畫要求的 95%相符。就其在極化轉換上的應用，吾人提供一 個製造高穿透效率的極化轉換器方法。這些成果 可以發表在相關的會議或期刊。 九、參考文獻 九、參考文獻九、參考文獻 九、參考文獻
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