Unit20 圓形
能力指標：◎ （S－4－14）能理解直線與圓及兩圓的關係。 ◎ （S－4－14）能理解圓的相關性質。 ◎ （S－4－14）能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。 能力一：點、直線與圓的關係 一、點與圓的關係 在平面上一點 P 與圓 O 的位置關係： 二、直線與圓 在平面上直線 L 與圓 O 的關係： 三、切線的性質： （一）過一圓直徑端點的垂線為此圓之切線.。 （二）圓心到切線的距離等於圓的半徑。 Try！Try！ 迷思概念的澄清！ （閱讀本章之前，請先測試一下你的觀念對不對！） （○）1.當兩圓外離時公切線總數有 4 條。 Teacher says：內公切線與外公切線各 2 條，共 4 條。 （╳）2.切線與圓的交點稱為接點且必與圓心共線。 Teacher says：切線與圓的交點稱為切點。 （╳）3.圓內的弦心距愈長，代表弦愈長。 Teacher says：弦心距與弦成反比。（三）圓心與切點的連線必垂直過此切點的切線。 四、弦的性質： 1.垂直於弦的直徑必平分此弦。 2.弦的垂直平分線必通過圓心。 3.圓心與弦的中心連線，必垂直此弦。 五、弦心距的性質：（弦與圓心的距離稱為弦心距） （一）OM 為弦AB的弦心距 OM 垂直平分AB。 （二）同圓或等同圓：1. 等弦⎯→對 等弦心距； 2. 大弦⎯→對 小弦心距； 3. 小弦⎯→對 大弦心距。 （如右圖），AB＞CD OM ＜ON） 六、兩圓的位置關係，連心長和半徑的關係與公切線數： 設圓O 與圓1 O 的半徑各為2 ( ) r、1 r2 r1 ＞r2 ，連心長為O O 。 1 2 兩圓關係 連心線長 外公切線數 內公切線數 公切線總數 外離 1 2 1 2 O O＞r +r 2 2 4 外切 1 2 1 2 O O = + r r 2 1 3 相交於兩點 1 2 O O1 2 1 2 r－ ＜r ＜r +r 2 0 2 內切 1 2 1 2 O O = － r r 1 0 1 內離 1 2 1 2 O O＜ －r r 0 0 0 1.外公切線段長PQ＝ O O1 22－（r－r）。1 2 2（口訣：外＝ 心 －差 ） 2 2 2.內公切線段長AB＝ O O1 22－（r＋r）。1 2 2（口訣：內＝ 心 －和 ） 2 2 3.若兩圓外切，則其外公切線段長為2 r r 。 1 2 七、切線長性質： 如圖㈠，PA、PB分別切圓 O 於 A、B，則：
1.PA PB＝ 。 2.∠APO＝∠BPO 3.∠AOB＋∠APB＝180°。 八、圓與比例線段 （一）原內冪性質：AE×BE＝CE×DE （二）圓外冪性質：AD× AE＝AB×AC （三）切割性質： AB ×AC＝AT （ AT 為切線） 2 （四）外接圓直徑性質：AD× AH＝AB×AC 師說一：【點、直線與圓的位置關係】 設圓 O 直徑為 10，圓心為（1，－2），點 P 之座標為（6，1），點 Q 座標為（5， 1），試判斷 P、Q 兩點與圓 O 的位置關係。 Sol）1.根據距離公式OP＝（ － ）＋（－ ＋ ）＝6 1 2 1 2 2 26 直徑＝10 ∴半徑＝5，而 26 ＞5 ∴P 點在原 O 外 2.同理OQ＝（ － ）＋（ ＋ ）＝5 1 2 1 2 2 25 5＝ ＝半徑 ∴點 Q 在圓 O 上 演練一 設圓 O 之半徑為 26 ，圓心為（2，3），直線 L 之方程式為 y＝2，則直線 L 與圓 O 之位置關係如 何？ Sol）過圓心 O 作直線 L 之垂直線，設垂足為 P，則 P 點之座標（2，2）圓心 O 到直線 L 的距離， 即為OP之長 ∴ OP 3＝ －（－ ）＝2 5 OP 5∵ ＝ ＜ 26＝半徑 ∴直線 L 與圓 O 相交於兩點，為圓 O 之一條割線 師說二：【弦心距】 如右圖，已知AB是圓 O 的直徑，弦CD交AB於 P，若AP＝2，BP＝12，CP＝4， PD＝6 CD 求 的弦心距。
Sol）1.連接 OD ，作OM CD⊥ 2. AB ＝2＋12＝14 OD 1 14 7 2 ＝ ＝ 3.CD 4 6 10 DM 1 10 5 2 ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ 4.直角VOMD中，∠OMD＝90° ∴ 2 2 2 2 CD的弦心距OM＝ OD－DM＝ 7－ ＝5 24 2 6＝ 演練二 如右圖，AB為兩同心圓中大圓的弦，CD為小圓的弦，若AB＝16 公分，CD＝8 公分， OM AB ⊥ ，則綠色區域的面積為多少平方公分？ Sol）連接OA OC 、 ，則綠色區域的面積＝OA2－OC2＝ （ OA2－OC2） 2 2 2 2 2 2 AM OM CM OM 8 4 48 ＝ 〔（ ＋ ）－（ ＋ ）〕＝ （ － ）＝ （平方公分） Ans： 48平方公分 師說三：【兩圓位置關係】 如右圖，設圓O1與圓O2之公弦為AB，若兩圓的半徑分別為 20cm、13cm，AB ＝24cm， 求連心線段O O 之長。 1 2 Sol）∵O O 垂直平分 AB 於 M ∴1 2 AM 1AB 2 ＝ ＝12 又O A 20 O A 13 O M1 ＝ ， 2 ＝ ∴ 1 ＝ 202－122＝16 O M2 ＝ 132－122＝5 故O O1 2＝ ＋ ＝ （cm） 16 5 21 Ans：21cm 演練三 如右圖，O O、1 2和O3分別是兩兩相互外切的三圓的圓心，已知 1 2 O O＝ 公分，5 O O2 3＝ 公分， 4
3 1 O O＝ 公分 ，求此三圓的半徑？ 3 Sol）1.設圓O1半徑為 公分，圓r1 O2半徑為 公分，圓 半徑為 公分 r2 O3 r3 2.連接O O 、1 2 O O 、2 3 O O 必分別過切點 3 1 ∴ 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 5 1 4 2 3 3 r r O O r r O O r r O O + = = → + = = → + = = → （ ） （ ） （ ） 把（1）＋（2）＋（3）得 2（r1＋ ＋ ）＝12 r2 r3 ∴r1＋ ＋ ＝6 → （4） r2 r3 把（4）－（1）得r3＝ ，把（ ）－（ ）得 ＝ ，把（ ）－（ ）得 ＝ 1 4 2 r1 2 4 3 r2 3 Ans：圓O 半徑為 2 公分，圓1 O 半徑為 3 公分，圓2 O 半徑為 1 公分 3 師說四【圓與切線關係】 如右圖，△ABC 中，∠C＝ 90 °，AC＝b，BC＝a，O 在AB上，圓 O 與AC、BC 分別切於 D、E，r 為圓 O 的半徑，試求 r＝？（以 a、b 表示） Sol）連接OC、OD、OE，則 OD AC OE BC⊥ ， ⊥ ∵△ABC 面積＝AOC 面積＋△BOC 面積，即1
2ab＝ 1 2br＋ 1 2ar，ab＝r（a＋b） ab ∴r＝ a+b 演練四 如右圖，圓O 與圓1 O 為兩輪子，此兩輪用一皮帶牽連，若圓2 O 半徑為 20 公分，1 圓O 半徑為 5 公分，2 O O ＝30 公分，求皮帶的長度。 1 2 Sol）1. 連接O O 、1 2 O A 、1 O C 、1 O B 、2 O D ，2 AB//CD O O1 22 2 1 2 ＝ －（r－r） 2 20 5 15 3 2 = 30 －（ － ）＝ （公分） 2. 過O 作2 O E O A 1 1 O E 20 5 15 O O1 1 2 30 O E1 1O O1 2 2 ⊥ ，則 ＝ － ＝ ∵ ＝ ∴ ＝ 故∠AO1O ＝60°∴∠A2 O C ＝120°1 ∠BO C ＝120° 2 ∴ ¼AFC 2 20 240 80 360 3 oo ＝ ＝ （公分）， ¼BGD 2 5 120 10 360 3 oo ＝ ＝ （公分） 【同步評量 1】
（ C ）1.已知兩等圓的半徑為 6 公分，若兩圓的外公切線長 13 公分，則兩圓的位置關係為何？ （A）內切 （B）外切 （C）外離 （D）相交兩點 Sol）∵兩等圓的外公切線長＝連心線長∴連心線長 13＞6＋6 ∴兩圓外離 （ A ）2.有大小兩圓，其面積比為 16：25，兩圓外切時，連心線長 18 公分，則兩圓內切時，其 連心長是多少公分？ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 Sol）面積比為 16：25半徑比為 4：5 ∴設兩圓半徑為 4x、5x 4x＋5x＝18，x＝2兩圓半徑為 8、10，故內切時連心線長＝10－8＝2（公分） （ B ）3. AB切圓 O 於 B，AO交圓 O 於 C，AB＝12，OC＝5，求AC之長？ （A）5 （B）8 （C）13 （D）15 Sol）（1）連接OB ∵AB為切線 ∴OB⊥AB （2）∵AB＝12，OB＝OC＝5 ∴OA＝ 122＋ ＝ 52 13 （3）∴AC＝OA－OC＝13－5＝8 （ C ）4.如右圖，直線 L 交兩同心圓於 A、C、D、B 四點，若AB的弦 心距是 5 公分，AB＝16 公分，CD＝12 公分，兩圓所圍成的 環形區域面積＝？ A 26 B 27 C 28 D 29 （ ） （ ） （ ） （ ） （公分） Sol）OM 5＝ 公分， ＝ 公分， ＝ 公分 AM 8 CM 6 OA2＝AM2＋OM2＝ ＋ ＝ ，而64 25 89 OC2＝CM2＋OM2＝36＋25＝61 環形區域面積＝g OA2－g OC2＝ （ OA2－OC2）＝ （ － ）＝ 89 61 28 （平方公分） （ B ）5.已知 P 為圓 O 內部一點，且OP＝5，而過 P 點的諸弦中，最長的弦 其長度為 26 公分，則最短的弦其長度為多少公分？
（A）20 （B）24 （C）25 （D）26 Sol）最長的弦就是直徑∴r 1 26 13 OA AP 132 52 12 2 ＝ ＝ 連接 ， ＝ － ＝ ∴AB＝2×12＝24（公分） 能力二：圓與三角形與四邊形的關係 一、△的外心性質與外接圓：心 （一）△的外心到三頂點等距離，且為 外接圓的圓 （二）若 O 為△ABC 的外心，則： 1.當∠A＜90°時，∠BOC＝2∠A。 2.當∠A＝90°時，∠BOC＝180°。 3.當∠A＞90°時，∠BOC＝360°－2∠A。 （三）若 O 為正△ABC 的外心，則∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120° 二、△的內心性質與內切圓： （一）△的內心到三邊等距離，且為△內切圓的圓心。 （二）若 I 為△ABC 的內心，則∠BIC＝90°＋1 2∠A。 （三）若△ABC 的周長為 S，I 為內心，r 為內切圓半徑，則： 1. △AIB：△BIC：△BIC＝AB：BC：CA。 2. △ABC＝1 2sr。 （四）在直角 ABC 中，∠C＝90°，則其 1.內切圓半徑 r＝ AC BC AB 2 2 兩股和－斜邊長 （ ＋ ）－ ＝ 。 2.外接圓半徑 R＝1 2 AB ＝ 1 2斜邊長。 三、圓內接四邊形性質： 如圖㈡，四邊形 ABCD 的圓內接四邊形，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADC＝ 180°，∠B＝∠CDF。 ※ 正方形、長方形和等腰梯形皆有一外接圓。 四、如圖㈢，四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切，AB ＋CD ＝AD＋BC。 ※ 正方形、菱形和鳶形皆有一內切圓。 師說五【圓與三角形的關係】 設等腰三角形底邊長 12，一腰長 10，求其內切圓半徑與外接圓半徑。 Sol）如右圖， ABC 周長＝12＋10×2＝32
高AD＝ 102－ ＝ 62 8
演練五
如右圖， ABC 為直角三角形，∠C＝90°， ABC 的三邊切圓於 E、F、G，若圓 O
的半徑為 5，OA ＝13，求BE長。 Sol）連接 OF OG、 則OFCG是正方形CF CG OG 5＝ ＝ ＝ ， 2 2 2 2 2 AE 13 5 12 AG BE x BF AB AC BC 又 ＝ － ＝ ＝ ，設 ＝ ＝ ∵ ＝ ＋ 師說六【圓與四邊形的關係】 如右圖，ABCD 是圓 O 的外切四邊形，若 ABCD 的面積是 15，則圓 O 的半徑是 多少？ Sol）關鍵：圓外切四邊形，兩組對邊長的和相等 （1）∵ABCD 是圓 O 的外切四邊形 ∴AB CD BC AD 10＋ ＝ ＋ ＝ （2）△AOD＋△AOB＋△BOC＋△COD＝四邊形 ABCD 面積 設圓半徑為 r 1 AD AB BC CD 15 2 1 20 15 2 10 15 1.5... r r r （ ＋ ＋ ＋ ） r＝ ＝ ＝ ， ＝ 答 演練六 如右圖，梯形 ABCD 外切於圓 O，且AB CD AD 3 BC 5＝ ， ＝ ， ＝ ，求圓 O 面積及斜線 部分面積。 Sol）1. ∵AD BC AB CD ＋ ＝ ＋ ，又AB CD＝ ∴3 5＋ ＝2AB 2CD ＝ AB CD 4＝ ＝ 2. 作高AE BC DF BC⊥ ， ⊥ ∴BE CF 5 3 1 2 － ＝ ＝ ＝ ∴ 2 2 15 AE 4 1 15 O 2 ＝ － ＝ 圓 的半徑＝
3. 故圓 O 的面積＝ 15 2 15 2 4 （ ）＝ （平方單位） 4. 斜線部分面積＝梯形 ABCD 面積－圓 O 面積＝1 3 5 15 15 4 15 15 2 4 4 （ ＋ ） － ＝ － （平方單 位） 【同步評量 2】 （ B ）1.如右圖，COED 為矩形，CD 4 DE 3＝ ， ＝ ，求圓 O 的周長＝？ A 5 （ ） B 10（ ） （ ）C 15 （ ）D 20 Sol）連接OD OE CD 4 OD， ＝ ＝ ， ＝ 42＋ ＝ ∴圓 的周長＝32 5 O 2 5 ＝10 （ D ）2.等腰梯形 ABCD 外切於圓 O，其中 AD // BC ，已知一腰AB 8＝ 公分，則其中線長為多少 公分？ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8（公分） Sol）BC AD ＋ ＝AB CD 8 8 16＋ ＝ ＋ ＝ 中線長＝1 BC AD 1 16 8 2（ ＋ ）＝2 ＝ （ C ）3.如圖（十七）， AC BC AC 6 BC 8⊥ ， ＝ ， ＝ ，半圓 之圓心在O BC上 ，半圓與 AB AC、 分別相切， 則斜線部分之面積為多少平方單位呢？ 7 A 24 2 （ ） － B 12 9 2 （ ） － C 24 9 2 （ ） － D 12 7 2 （ ） － （平方單位） Sol）（1）由AC 6 BC 8 AB 10＝ ， ＝ ， ＝ （2）設半圓的半徑為 r，則 ABC 面積＝1 2 ＝ （平方單位） 6 8 24 又△ABC＝△AOC＋△AOB 即 24＝1 6 1 10 2 r 2 r 24＝3r＋5r，8r＝24r ∴r＝3 （3）斜線部分的面積＝（ ABC 面積）－（半圓面積） ＝24 1 2 9 3 24 2 2 － ＝ － （平方單位） （ D ）4.右圖圓外切四邊形 ABCD 中，若 AB 7 CD 10＝ ， ＝ ，則AD BC＋ ＝？
（A）7 （B）10 （C）15 （D）17 Sol）∵圓外切四邊形中AD BC CD AB 10 7 17＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ A ）5.如右圖，在圓 O 中，AB、AC是兩條弦， OM AB M⊥ 於 ，ON AC N⊥ 於 。若BC 10＝ ，求MN＝？ （A）5 （B）4 （C） 6 （D）3.5 Sol）∵OM AB⊥ ，ON AC⊥ ∴M、N 是AB、AC的中點 ∴MN//BC MN 1BC 1 10 5 2 2 ， ＝ ＝ ＝
實力檢測
【基本觀念題】 （ A ）1.兩圓內切，其半徑比為 3：4，連心長為 14，則較大之圓的半徑為何？ （A）52 （B）46 （C）8 （D）6 Sol）設兩圓的半徑分別為 3r、4r ∴4r－3r＝14 ∴r＝14 ∴大圓的半徑＝4×14＝56 （ B ）2 設圓 O 半徑為. 23 ，圓心 O 座標為（－2，3），直線 L 方程式為 y＝－1，則下列敘述何 者正確？ （A）L 為圓 O 的切線 （B）L 為圓 O 的割線 （C）L 與不相交 （D）依題意無法確定 L 與圓 O 的位置關係 Sol）圓心 O 到 L 的距離＝ 3－（－ ）＝ ，而半徑1 4 23 4＞ ∴L 為圓 O 的割線。 （ A ）3.兩圓共有四條公切線，如果半徑分別為 11 公分、K 公分，連心長 18 公分，則 K 的範圍 為何？ （A）0＜K＜7 （B）11＜K＜18 （C）6＜K＜12 （D）0＜K＜5 Sol）兩圓共有四條公切線∴兩圓外離∴連心長 18＞11＋K∴K＜7，又 K＞0∴0＜K＜7 （ D ）4.有兩個同心圓，已知大圓的半徑為 10 公分，且小圓面積為大圓面積的一半，若大圓的 弦AB與小圓相切，則AB的長為？ A 13 （ ） B 12（ ） C 10 3（ ） （ ）D 10 2公分Sol）設小圓的半徑為 r 公分∵小圓面積為大圓面積的一半 ∴小圓面積＝1 2 2 10 50 2（ ）＝ ＝ r ∴ 2 2 2 r＝50 AM∴ ＝ 10－r ＝ 100 50－ ＝ 50 5 2 ＝ （公分）。 AB 2 5 2 10 2 ∴ ＝ ＝ （公分） （ A ）5.已知圓 O 的半徑為 10，且圓心位於直角座標平面上的原點上，則此圓與下列哪一條直線 僅有一交點？
（A）x＝10 （B）y＝20 （C）x＋y＝10 （D）x－y＋10＝0
（ C ）6.如圖，AB切圓 O 於 B，AO交圓 O 於 C，若AB＝24，AC＝18，則圓 O 之面積為何？ A 81 B 64 C 49 D 25 （ ） （ ） （ ） （ ） Sol）設圓 O 的半徑為 r∴（ ＋r）＝18 2 r2+242， 324 36+ r+r2 =r2+576， 36r=252，r=7 2 O 7 49 ∴圓 面積＝ ＝ （ D ）7.如右圖， AB BC AB BC⊥ 且 、 為圓 之切線， 、 為切點。 O D E AB 6＝ ， BC 8＝ ，則圓 O 之半 徑為多少？ （A）4 （B）5 （C） 48 5 （D） 24 7 Sol）連OD、OEOD⊥AB，OE⊥BC OE，OD＝OE又△AOB＋△BOC ＝△ABC 1 1 1 24 6 8 6 8 6 8r 48 r 2 r 2 r 2 r 7 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＝ （ C ）8.雖然髮禁解除了，但某國中仍有髮型規定，下圖為男生的髮型圖示，在（甲）圖中 1 AB BC AB BC AB 3BC 2 ＝ ，（乙）圖中 ＝ ，（丙）圖中 ＝ ，哪一種髮型頭髮部分（斜線） 的面積最大？ （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）都一樣大 Sol）（丙）圖中的△ABC 面積最小。 （ C ）9.有一正方形 ABCD，若邊長AB＝8 則此正方形的內切圓面積＝？
（A）36π （B）24π （C）16π （D）9π Sol） 8 2 42 16 2 （ ）＝ ＝ （平方單位） （ C ）10.如圖㈤，圓 O 與 x 軸相切於（1，0）交 y 軸於 A 0 4（ ，＋ 15）， （ ，－B 0 4 15） ，則圓 O 之面積為？ （A）14π （B）15π （C）16π （D）17π Sol）AB之終點座標為（0，4）∴圓心 O 之座標為（1，4）又切點為（1，0） r 4 16 半徑 ＝ ∴圓面積為 【溫故歷屆基測試題】 （ A ）1.如右圖，AP切圓 O 於 P 點，AP＝4、AO＝4 2 ，求灰色部分的 面積？【91 基測二】 （A）8－2π （B）8－4π （C）16－2π （D）16－4π Sol）（1）連接 2 2 OPOP AP ⊥ OP＝（4 2）－ ＝4 16 4＝ ∴ AOP 為 45°、45°、90°的三角形 （2）灰色面積＝ AOP－扇形 POQ＝4 4 4 4 45 8 2 2 360 － ＝ － （ D ）2.如圖，直線 L 與OA垂直，垂足為 A，OA＝10。現以 O 為圓心，r 為半徑 作一圓，請問當 r 為下列哪一個值時，可使 L 為此圓的割線？ （A）5 （B）8 （C）10 （D）13 【91 基測二】 Sol）r＞10 ∴取 r＝13 （ A ）3.如圖，圓的圓心為圓點 O，半徑為 a；A、F 兩點在 x 軸上，直線AB方程式 為 s＋y＝b，且 b＞a。若AB與圓 O 交於 C、D 兩點，且CF OA CE OB ⊥ ， ⊥ 。 矩形 OFCE 中，對角線 EF＝？【94 基測一】 （A）a （B）b （C） a＋b 2 （D） 2 2 a 2 b + Sol）關鍵：矩形兩對角線等長 ∵OFCE 是矩形∴EF=OC a＝
（ D ）4.將一條繩子緊緊圈住三個伍元硬幣，如右圖所示。若伍元硬幣的半徑是 1 公分，則圈住這三個硬幣的繩子長度是多少公分？【92 基測一】 （A）9 （B）12 （C）π＋6 （D）2π＋6 Sol）繩子可區分為三個圓心角為 120°的弧與三條連心線（如右圖） 繩子常＝2 1 120 3 (1 1) 3 2 6 360 + + = + （公分） （ D ）5.如圖㈧，有一圓及長方形 ABCD，其中 A、B、C、D 四點皆為原上且BC＞ CD。今分別以BC、CD為邊長作甲、乙兩正方形。若圓半徑為 1.5 公分， 則甲、乙面積和為多少平方公分？【95 基測一】 （A）4.5 （B）6 （C）7.5 （D）9 Sol）∵∠BCD＝90°， BD 為直徑，甲、乙面積和＝BC2＋CD2＝BD2＝（1.5 2 ）＝ 2 9 （ C ）6.若平面上O 即圓1 O 的半徑各為 2 公分及 4 公分，且2 O O ＝7 公分，則下列哪一個圖可1 2 以表示圓O1與圓O2的位置關係？【90 基測一】 Sol）O O ＞1 2 r1＋r27＞2＋4外離 （ C ）7.如圖㈦，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，若三直線 AB、AC、BC、分別與圓 O 切於 D、E、F 三點，則BE＝？【95 基測一】 （A）6 （B）25 3 （C） 45 （D） 72
Sol）∵AB AC BCsuuur suur suuuuuuuuuuuuu、 、 均為切線∴ur BD BF CF CE AD AE＝ ， ＝ ， ＝ 設BD BF =x＝ CF CE 5＝ ＝ －x， ＝AD AE
3＋x＝4＋（5－x），2x＝9－3＝6，x＝3， 2 2
AE= ， ＝ ＋ ＝6 BE 3 6 45
（ C ）8.如圖， BD為圓 的直徑，弦O AC為過圓心 O，則下列哪一個敘述是正確的？【93 基測一】
（A）O 是 PCD 的外心 （B）O 是 APC 的外心 （C）O 是 ACD 的外心 （D）O 是 BCD 的外心
（ D ）9.如圖，圖上三弦AB CD EF、 、 ，欲在圓內找一點，使其到三弦的距離相等。下列四種作法， 哪一種最正確？【92 基測二】 （A）作AB中垂線與CD中垂線的交點 （B）作∠FAB 角平分線與∠ABC 角平分線的交點 （C）取AB、CD、EF三邊終點 M、N、L，作MN中垂線與ML中垂線的交點 （D）分別延長AB與CD交於 P，分別延長AB與EF交於 Q，作∠P 角平分線與∠Q 角平 分線的交點 Sol）（1）欲作點到AB EF、 等距離，則該點在∠Q 的角平分線上 （2）同理，欲作點到AB CD、 等距離，則該點在∠P 角平分線上 （ B ）10.圖為一拱橋的側面圖，其拱下緣呈一弧形，若洞頂 為橋洞的最高點，且如當洞頂至水面距離為 90 公 分時，量得洞內水面寬為 240 公分。後因久旱不雨， 水面位置下降，使得拱橋下緣呈半圓，這時，橋洞 內的水面寬度變為多少公分？【91 基測一】 （A）240 （B）250 （C）260 （D）270 Sol）設半圓之半徑＝r， 2 2 2 BO 90 OAB 120 90 125 125 2 250 r V ＝r－ ， 中， r ＝ ＋（r－ ） ＝ ， 水面寬＝ ＝ 【模擬基測試題】 （ D ）1.若兩圓的半徑分別為 m、n（m＞n），d 為連心線長，且 2 2 2 m +d －n =2md，則兩圓位置 關係為何？ Sol）∵m2+d2－n2 =2md∴ 2 2 2 m－2md+d－n =0 (m－d)2－n2 = 0 (m－d+n)(m－ －d n)=0 ∴m－d+ =n 0或 － －m d n=0 ∴m+ =n d或 －m n=d ∴兩圓外切或內切 （ A ）2.如圖，圓O O、1 2相交於 A、B 兩點，過 B 點作一平行於連心線O O 的1 2
直線，分別交於 C、D，若O O ＝16，則1 2 CD＝？（A）32（B）36（C）48（D）64 Sol）∵AM＝BM AM O O1 2 1 16 CD 32 2 AB CD CD ∴ ＝ ＝ ＝ 設 （ C ）3.有大小兩圓，小圓面積是大圓面積的 9％，兩圓內切時，連心線長 7 公分，則兩圓外切 時，連心線長？ （A）12 （B）14 （C）13 （D）15 Sol）面積比＝半徑平方比 2 9 r 9 r 3 9 r 100 r 10 小 小 大 大 ∴ ＝ ％＝ ∴ ＝ 3 10 r小＝ 公分，大＝ 公分r ∵兩圓內切∴連心線長＝10r－3r＝7r＝7 ∴r＝1 ∴r小＝ 公分，大＝ 公分3 r 10 ∴兩圓外切時之連心線長＝3＋10＝13（公分） （ D ）4.如圖，圓O 的半徑為 6，圓1 O 半徑為 3， 2 O O ＝16，則公切線長 AB ＝？ 1 2 （A） 241 （B） 243 （C）7 5 （D） 247 Sol）AB＝ O O1 2－（r－r）1 2 = 162－(6－3)= 247 （ A ）5.如圖。若KQ 12= ，圓 的半徑為 ，圓O1 8 O 半徑為 3，則連心線2 O O ＝？ 1 2 （A）13 （B）12 （C）10 （D）9 Sol）O O1 2＝ KQ2＋（r－r）＝1 2 2 122＋（ － ）8 3 ＝13 （ D ）6.圓中所有「長度為半徑的6 5倍」的弦，其中形成另一個圓，則此圓面積為原來大圓面積 的幾倍？ 1 4 9 16 A B C D 4 9 25 25 （ ）（ ）（ ） （ ） Sol）設圓的半徑OA AB 6 AM 3 5 5 r ＝ ∴ ＝ r∴ ＝ r 2 3 2 16 2 4 OM ( ) 5 25 5 r − r = r = r ∴此圓半徑 ＝ （ B ）7.兩圓半徑分別為 a、b（a＞b），連心線長為 c，若 2 2 2 a −b + −c 2ac＜0，則此兩圓關係為 何？ （A）相切 （B）相交於兩點 （C）不相交 （D）無法判斷
Sol）∵ 2 2 2
a −b + −c 2ac＜0∴ 2 2
a−c −b 0(a-c+b)(a-c-b) 0
（ ） ＜ ＜
∵三角形的任兩邊長和＞另一邊長 ∴a+b-c＞ ，且a-c-b＜ ∴a＋b＞c∴兩圓相交於兩點 0 0
（ C ）8.有厚度相同的 A、B、C、D 四種硬幣，直徑分別為 5 公分、4 公分、3 公分、 2 公分，欲投入一個撲滿中，結果 A 種硬幣無法投入，如右圖，已知該硬幣 圓心距離撲滿入口 2 公分，試問哪幾種硬幣可以投入該撲滿？ （A）只有 B、C （B）只有 D、B （C）只有 C、D （D）只有 D ∵ 2 2 PA 5 2 25 PM＝ ＝ ， ＝ 2.5 -2＝1.5 PQ 1.5 2 3， ＝ ＝ ∴撲滿入口長度 PQ 3＝ （公分）故 C、D 硬幣可以投入撲滿。 （ B ）9.如右圖，長方形 ABCD 在圓 O 內，且CD 2 AC 5＝ ， ＝ ，則圓 O 的半徑為多 少？ （A）3 （B）5 （C）7 （D）6 Sol）OB AC 5＝ ＝ （ A ）10.座標平面上，設直線 L 通過 A（3，0），B（0，4）兩點，有一半徑為 r 的圓 O，其圓心是原點。已知直線 L 和圓 O 相切，求 r＝？ （A）2.4 （B）2.5 （C）3 （D）3.2 Sol）作OC AB OA 3 OB 4⊥ ∵ ＝ ， ＝ ∠AOB 90＝ o∴AB＝ OA2＋OB2＝ 32＋ ＝ 42 5 OC 5 3 4 ABO OC 2.4 2.4 2 2 r V 面積＝ ＝ ∵ ＝ ∴ ＝ 【進階演練題】 （ B ）1.如右圖，將半徑為 2 的半圓 AB 分成 6 等分設等分點依序為P P P P P， ， ， ， ，則五個弦長的1 2 3 4 5 平方和AP12＋AP22＋AP32＋AP42＋AP52＝？ （A）20 （B）40 （C）60 （D）70 Sol）P P P P P， ， ， ， ，把半圓分成 6 等分1 2 3 4 5 AP5＝BP AP1 ， ＝4 BP2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 3 AP AP AP AP 4 16 AP AP AP AP 4 16 AP AO OP 4 4 8 ＋ ＝＋ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ∴AP12＋AP22＋AP32＋AP42＋AP52＝16＋16＋8＝40
（ D ）2.如右圖的四個外切等圓中，若不相切兩圓的最短距離 d 都是 10 公分，則圓的半徑 r＝？ A 3-3 2 B 3 3 2 C 5-5 2 D 5 5 2 （ ） （ ）＋ （ ） （ ）＋ （公分） Sol）設圓的半徑為 r，則 ABCV 中AB BC 2 AC 2＝ ＝ r ， ＝ ＋ ，∠ ＝r 10 B 90o ∴ 2 2 2 2 2 2 2 =(2 )r +(2 ) 4r r +40r+100=4r +4r （ r+10） ， 2 4r 40r 2 0r ∴ － －100=0，r －1 －25=0 10 100 4 1 25 10 200 10 10 2 5 5 2 5 5 2 0 2 2 2 r ＋ ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ （ － ＜ 不合） 5 5 2 ∴r＝ ＋ （公分） （ D ）3.有大小兩圓，外切時的連心線長是內切時的 2 倍，則此兩圓的面積比為何？ （A）2：1 （B）3：1 （C）4：1 （D）9：1 Sol）設兩圓外切、內切時連心線長分別為 2x、x，兩圓的半徑分別為 a、b，a＞b 則 a+b=2x ， a－b=x 解連 立方程式得a=3x ，b=1x 2 2 兩圓的面積比等於 : 4 1: 9 :1 9 4 3 2 1 2 = = ( x) ( x) 2 2 （ B ）4.如圖㈠， AB 8＝ 公分， ＝ 公分，且CD 6 OM ABON CD⊥ ， ⊥ ，若OM 3＝ 公分 ON ，則 ＝？ （A）3 公分 （B）4 公分 （C）5 公分 （D）6 公分 Sol） OM AB AM BM 1AB 4 2 ∵ ⊥ ∴ ＝ ＝ ＝ ∵ON CD CN DN 1CD 3 OM 3 2 ⊥ ＝ ＝ ＝ ，又 ＝ 2 2 2 2 OA OM AM 9 16 25 OD OA 5 OC 得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ 2 2 2 2 2 OC＝ON＋CN 25 ON， ＝ ＋9ON＝ ∴16 ON 4＝ （ C ）5.相交兩圓的半徑分別是 7 1－ 和 7 1＋ ，連心線的長是 d，則 d 可取的整數有幾個？ （A）1 個 （B）2 個 （C）3 個 （D）4 個 Sol）∵（ ＋ ）－（ － ）＜d＜（ ＋ ）－（ － ） 7 1 7 1 7 1 7 1 2 2 7 3 4 5 ＜d＜ ∵為整數∴d＝ 、 、 （ C ）6.若兩圓的半徑分別為 R、r（R＞r），d 為連心線的長，且 2 2 2 R −d −r =2Rd，則兩圓位置為
（A）外切 （B）內切 （C）內切或外切 （D）外離或內離 Sol） 2 2 2 2 2 R −2Rd＋d −r =0，（R−d）−r＝ ，（0 R− +d r）(R− −d r)=0 ∴d＝R＋r（外切）或 d＝R−r （ A ）7.如右圖，圓 O 交 PQR 於 A、B、C、D、E、F，若圓 O 的半徑為 5 公分， PQ 13= 公分， ＝ 公分， ＝ 公分， ＝QR 14 RP 15 AB CD EF 6＝ ＝ 公分，則VPQR面積＝？ （A）84 （B）74 （C）64 （D）54（平方公分）
Sol）QAB 、 CD 、 EF弦心距＝ 52－ ＝32 4 VPQR＝VPOQ＋VQOR＋VROP
1 1 1 13 4 14 4 15 4 26 28 30 84 2 2 2 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （平方公分） （ D ）8.如下圖， AD 、 AE 、 BC分別切圓於 、 、 ，若切線D E F AD 、 AE之長均為 8 公分，則 ΔABC 之週長為？ （A）13 （B）14 （C）15 （D）16 公分 Sol）QBF BD CF CE＝ ， ＝ VABC之周長＝ ＋AB BC AC AB BF CF AC＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝AB BD CE AC AD AE＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝8＋8＝16（公分） （ D ）9.一正三角形的邊長為 6 公分，今有一銅板，半徑為 1 公分，在三角形外，緊沿周界移動 一周，則其所經過區域面積為？ A 18 （ ）（ ＋ ）平方公分 （ ）（ ＋ ）平方公分B 18 4 C 36 （ ）（ ＋ ）平方公分 （ ）（ ＋ ）平方公分D 36 4 Sol）所求面積（如右圖） ＝3 個矩形面積＋3 個扇形面積 ＝ 2 120 3 6 2 3 2 360 （ ）＋ （ ） ＝36 4＋ （平方公分） （ B ）10.如右圖，圓 A 與兩軸交於（0，0）、（12，0）、（0，8）三點，則圓心 A 點的座標為何？ （A）（4，4） （B）（6，4） （C）（4，6） （D）（6，6） Sol） 0 12 6 0 8 4 6 4 2 2 x= + = ，y= + = A（，）
