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Unit 20 圓形

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Academic year: 2021

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(1)

Unit20 圓形

能力指標:◎ (S-4-14)能理解直線與圓及兩圓的關係。 ◎ (S-4-14)能理解圓的相關性質。 ◎ (S-4-14)能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。 能力一:點、直線與圓的關係 一、點與圓的關係 在平面上一點 P 與圓 O 的位置關係: 二、直線與圓 在平面上直線 L 與圓 O 的關係: 三、切線的性質: (一)過一圓直徑端點的垂線為此圓之切線.。 (二)圓心到切線的距離等於圓的半徑。 Try!Try! 迷思概念的澄清! (閱讀本章之前,請先測試一下你的觀念對不對!) (○)1.當兩圓外離時公切線總數有 4 條。 Teacher says:內公切線與外公切線各 2 條,共 4 條。 (╳)2.切線與圓的交點稱為接點且必與圓心共線。 Teacher says:切線與圓的交點稱為切點。 (╳)3.圓內的弦心距愈長,代表弦愈長。 Teacher says:弦心距與弦成反比。

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(三)圓心與切點的連線必垂直過此切點的切線。 四、弦的性質: 1.垂直於弦的直徑必平分此弦。 2.弦的垂直平分線必通過圓心。 3.圓心與弦的中心連線,必垂直此弦。 五、弦心距的性質:(弦與圓心的距離稱為弦心距) (一)OM 為弦AB的弦心距 OM 垂直平分AB。 (二)同圓或等同圓:1. 等弦⎯→對 等弦心距; 2. 大弦⎯→對 小弦心距; 3. 小弦⎯→對 大弦心距。 (如右圖),ABCD  OMON) 六、兩圓的位置關係,連心長和半徑的關係與公切線數: 設圓O 與圓1 O 的半徑各為2 ( ) r1 r2 r1r2 ,連心長為O O 。 1 2 兩圓關係 連心線長 外公切線數 內公切線數 公切線總數 外離 1 2 1 2 O O>r +r 2 2 4 外切 1 2 1 2 O O = + r r 2 1 3 相交於兩點 1 2 O O1 2 1 2 r- <rr +r 2 0 2 內切 1 2 1 2 O O = - r r 1 0 1 內離 1 2 1 2 O O< -r r 0 0 0 1.外公切線段長PQ= O O1 22-(r-r)。1 2 2(口訣:外= 心 -差 ) 2 2 2.內公切線段長AB= O O1 22-(r+r)。1 2 2(口訣:內= 心 -和 ) 2 2 3.若兩圓外切,則其外公切線段長為2 r r 。 1 2 七、切線長性質: 如圖㈠,PAPB分別切圓 O 於 A、B,則:

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1.PA PB= 。 2.∠APO=∠BPO 3.∠AOB+∠APB=180°。 八、圓與比例線段 (一)原內冪性質:AE×BECE×DE (二)圓外冪性質:AD× AEAB×AC (三)切割性質: AB ×AC=AT ( AT 為切線) 2 (四)外接圓直徑性質:AD× AHAB×AC 師說一:【點、直線與圓的位置關係】 設圓 O 直徑為 10,圓心為(1,-2),點 P 之座標為(6,1),點 Q 座標為(5, 1),試判斷 P、Q 兩點與圓 O 的位置關係。 Sol)1.根據距離公式OP=( - )+(- + )=6 1 2 1 2 2 26 直徑=10 ∴半徑=5,而 26 >5 ∴P 點在原 O 外 2.同理OQ=( - )+( + )=5 1 2 1 2 2 25 5= =半徑 ∴點 Q 在圓 O 上 演練一 設圓 O 之半徑為 26 ,圓心為(2,3),直線 L 之方程式為 y=2,則直線 L 與圓 O 之位置關係如 何? Sol)過圓心 O 作直線 L 之垂直線,設垂足為 P,則 P 點之座標(2,2)圓心 O 到直線 L 的距離, 即為OP之長 ∴ OP 3= -(- )=2 5 OP 5∵ = < 26=半徑 ∴直線 L 與圓 O 相交於兩點,為圓 O 之一條割線 師說二:【弦心距】 如右圖,已知AB是圓 O 的直徑,弦CDAB於 P,若AP=2,BP=12,CP=4, PD=6 CD 求 的弦心距。

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Sol)1.連接 OD ,作OM CD⊥ 2. AB =2+12=14 OD 1 14 7 2  =  = 3.CD 4 6 10 DM 1 10 5 2   = + = = = 4.直角VOMD中,∠OMD=90° ∴ 2 2 2 2 CD的弦心距OM= OD-DM= 7- =5 24 2 6= 演練二 如右圖,AB為兩同心圓中大圓的弦,CD為小圓的弦,若AB=16 公分,CD=8 公分, OM AB ⊥ ,則綠色區域的面積為多少平方公分? Sol)連接OA OC 、 ,則綠色區域的面積=OA2-OC2= ( OA2-OC2) 2 2 2 2 2 2 AM OM CM OM 8 4 48    = 〔( + )-( + )〕= ( - )= (平方公分) Ans: 48平方公分 師說三:【兩圓位置關係】 如右圖,設圓O1與圓O2之公弦為AB,若兩圓的半徑分別為 20cm、13cm,AB =24cm, 求連心線段O O 之長。 1 2 Sol)∵O O 垂直平分 AB 於 M ∴1 2 AM 1AB 2 = =12 又O A 20 O A 13 O M1 = , 2 = ∴ 1 = 202-122=16 O M2 = 132-122=5 故O O1 2= + = (cm) 16 5 21 Ans:21cm 演練三 如右圖,O O、1 2和O3分別是兩兩相互外切的三圓的圓心,已知 1 2 O O= 公分,5 O O2 3= 公分, 4

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3 1 O O= 公分 ,求此三圓的半徑? 3 Sol)1.設圓O1半徑為 公分,圓r1 O2半徑為 公分,圓 半徑為 公分 r2 O3 r3 2.連接O O 、1 2 O O 、2 3 O O 必分別過切點 3 1 ∴ 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 5 1 4 2 3 3 r r O O r r O O r r O O  + = = →  + = = →   + = = →  ( ) ( ) ( ) 把(1)+(2)+(3)得 2(r1+ + )=12 r2 r3r1+ + =6 → (4) r2 r3 把(4)-(1)得r3= ,把( )-( )得 = ,把( )-( )得 = 1 4 2 r1 2 4 3 r2 3 Ans:圓O 半徑為 2 公分,圓1 O 半徑為 3 公分,圓2 O 半徑為 1 公分 3 師說四【圓與切線關係】 如右圖,△ABC 中,∠C= 90 °,AC=b,BC=a,O 在AB上,圓 O 與AC、BC 分別切於 D、E,r 為圓 O 的半徑,試求 r=?(以 a、b 表示) Sol)連接OC、OD、OE,則 OD AC OE BC⊥ , ⊥ ∵△ABC 面積=AOC 面積+△BOC 面積,即1

2ab= 1 2br+ 1 2ar,ab=r(a+b) ab ∴r= a+b 演練四 如右圖,圓O 與圓1 O 為兩輪子,此兩輪用一皮帶牽連,若圓2 O 半徑為 20 公分,1 圓O 半徑為 5 公分,2 O O =30 公分,求皮帶的長度。 1 2 Sol)1. 連接O O 、1 2 O A 、1 O C 、1 O B 、2 O D ,2 AB//CD O O1 22 2 1 2 = -(r-r) 2 20 5 15 3 2 = 30 -( - )= (公分) 2. 過O 作2 O E O A 1 1 O E 20 5 15 O O1 1 2 30 O E1 1O O1 2 2 ⊥ ,則 = - = ∵ = ∴ = 故∠AO1O =60°∴∠A2 O C =120°1∠BO C =120° 2 ∴ ¼AFC 2 20 240 80 360 3   oo  = = (公分), ¼BGD 2 5 120 10 360 3   oo  = = (公分) 【同步評量 1】

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( C )1.已知兩等圓的半徑為 6 公分,若兩圓的外公切線長 13 公分,則兩圓的位置關係為何? (A)內切 (B)外切 (C)外離 (D)相交兩點 Sol)∵兩等圓的外公切線長=連心線長∴連心線長 13>6+6 ∴兩圓外離 ( A )2.有大小兩圓,其面積比為 16:25,兩圓外切時,連心線長 18 公分,則兩圓內切時,其 連心長是多少公分? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 Sol)面積比為 16:25半徑比為 4:5 ∴設兩圓半徑為 4x、5x 4x+5x=18,x=2兩圓半徑為 8、10,故內切時連心線長=10-8=2(公分) ( B )3. AB切圓 O 於 B,AO交圓 O 於 C,AB=12,OC=5,求AC之長? (A)5 (B)8 (C)13 (D)15 Sol)(1)連接OB ∵AB為切線 ∴OB⊥AB (2)∵AB=12,OB=OC=5 ∴OA= 122+ = 52 13 (3)∴AC=OA-OC=13-5=8 ( C )4.如右圖,直線 L 交兩同心圓於 A、C、D、B 四點,若AB的弦 心距是 5 公分,AB=16 公分,CD=12 公分,兩圓所圍成的 環形區域面積=? A 26  B 27  C 28  D 29 ( ) ( ) ( ) ( ) (公分) Sol)OM 5= 公分, = 公分, = 公分 AM 8 CM 6 OA2=AM2+OM2= + = ,而64 25 89 OC2=CM2+OM2=36+25=61 環形區域面積=g OA2-g OC2= ( OA2-OC2)= ( - )= 89 61 28 (平方公分) ( B )5.已知 P 為圓 O 內部一點,且OP=5,而過 P 點的諸弦中,最長的弦 其長度為 26 公分,則最短的弦其長度為多少公分?

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(A)20 (B)24 (C)25 (D)26 Sol)最長的弦就是直徑∴r 1 26 13 OA AP 132 52 12 2 = = 連接 , = - = ∴AB=2×12=24(公分) 能力二:圓與三角形與四邊形的關係 一、△的外心性質與外接圓:心 (一)△的外心到三頂點等距離,且為 外接圓的圓 (二)若 O 為△ABC 的外心,則: 1.當∠A<90°時,∠BOC=2∠A。 2.當∠A=90°時,∠BOC=180°。 3.當∠A>90°時,∠BOC=360°-2∠A。 (三)若 O 為正△ABC 的外心,則∠AOB=∠BOC=∠COA=120° 二、△的內心性質與內切圓: (一)△的內心到三邊等距離,且為△內切圓的圓心。 (二)若 I 為△ABC 的內心,則∠BIC=90°+1 2∠A。 (三)若△ABC 的周長為 S,I 為內心,r 為內切圓半徑,則: 1. △AIB:△BIC:△BIC=AB:BC:CA。 2. △ABC=1 2sr。 (四)在直角 ABC 中,∠C=90°,則其 1.內切圓半徑 r= AC BC AB 2 2 兩股和-斜邊長 ( + )- = 。 2.外接圓半徑 R=1 2 AB = 1 2斜邊長。 三、圓內接四邊形性質: 如圖㈡,四邊形 ABCD 的圓內接四邊形,∠A+∠C=180°,∠B+∠ADC= 180°,∠B=∠CDF。 ※ 正方形、長方形和等腰梯形皆有一外接圓。 四、如圖㈢,四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切,AB +CD =AD+BC。 ※ 正方形、菱形和鳶形皆有一內切圓。 師說五【圓與三角形的關係】 設等腰三角形底邊長 12,一腰長 10,求其內切圓半徑與外接圓半徑。 Sol)如右圖, ABC 周長=12+10×2=32

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高AD= 102- = 62 8

演練五

如右圖, ABC 為直角三角形,∠C=90°,  ABC 的三邊切圓於 E、F、G,若圓 O

的半徑為 5,OA =13,求BE長。 Sol)連接 OF OG、 則OFCG是正方形CF CG OG 5= = = , 2 2 2 2 2 AE 13 5 12 AG BE x BF AB AC BC 又 = - = = ,設 = = ∵ = + 師說六【圓與四邊形的關係】 如右圖,ABCD 是圓 O 的外切四邊形,若 ABCD 的面積是 15,則圓 O 的半徑是 多少? Sol)關鍵:圓外切四邊形,兩組對邊長的和相等 (1)∵ABCD 是圓 O 的外切四邊形 ∴AB CD BC AD 10+ = + = (2)△AOD+△AOB+△BOC+△COD=四邊形 ABCD 面積 設圓半徑為 r 1 AD AB BC CD 15 2 1 20 15 2 10 15 1.5... r r r    ( + + + ) r= = = , = 答 演練六 如右圖,梯形 ABCD 外切於圓 O,且AB CD AD 3 BC 5= , = , = ,求圓 O 面積及斜線 部分面積。 Sol)1. ∵AD BC AB CD + = + ,又AB CD= ∴3 5+ =2AB 2CD = AB CD 4= = 2. 作高AE BC DF BC⊥ , ⊥ ∴BE CF 5 3 1 2 - = = = ∴ 2 2 15 AE 4 1 15 O 2  = - = 圓 的半徑=

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3. 故圓 O 的面積= 15 2 15 2 4 ( )= (平方單位) 4. 斜線部分面積=梯形 ABCD 面積-圓 O 面積=1 3 5 15 15 4 15 15 2 4 4   ( + ) - = - (平方單 位) 【同步評量 2】 ( B )1.如右圖,COED 為矩形,CD 4 DE 3= , = ,求圓 O 的周長=? A 5 ( ) B 10( )  ( )C 15 ( )D 20 Sol)連接OD OE CD 4 OD, = = , = 42+ = ∴圓 的周長=32 5 O 2 5 =10 ( D )2.等腰梯形 ABCD 外切於圓 O,其中 AD // BC ,已知一腰AB 8= 公分,則其中線長為多少 公分? (A)2 (B)4 (C)6 (D)8(公分) Sol)BC AD + =AB CD 8 8 16+ = + = 中線長=1 BC AD 1 16 8 2( + )=2 = ( C )3.如圖(十七), AC BC AC 6 BC 8⊥ , = , = ,半圓 之圓心在O BC上 ,半圓與 AB AC、 分別相切, 則斜線部分之面積為多少平方單位呢? 7 A 24 2 ( ) - B 12 9 2 ( ) - C 24 9 2 ( ) - D 12 7 2 ( ) - (平方單位) Sol)(1)由AC 6 BC 8 AB 10= , = , = (2)設半圓的半徑為 r,則 ABC 面積=1 2   = (平方單位) 6 8 24 又△ABC=△AOC+△AOB 即 24=1 6 1 10 2     r 2 r 24=3r+5r,8r=24r ∴r=3 (3)斜線部分的面積=( ABC 面積)-(半圓面積) =24 1 2 9 3 24 2  2 - = - (平方單位) ( D )4.右圖圓外切四邊形 ABCD 中,若 AB 7 CD 10= , = ,則AD BC+ =?

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(A)7 (B)10 (C)15 (D)17 Sol)∵圓外切四邊形中AD BC CD AB 10 7 17+ = + = + = ( A )5.如右圖,在圓 O 中,AB、AC是兩條弦, OM AB M⊥ 於 ,ON AC N⊥ 於 。若BC 10= ,求MN=? (A)5 (B)4 (C) 6 (D)3.5 Sol)∵OM AB⊥ ,ON AC⊥ ∴M、N 是AB、AC的中點 ∴MN//BC MN 1BC 1 10 5 2 2 , = = =

實力檢測

【基本觀念題】 ( A )1.兩圓內切,其半徑比為 3:4,連心長為 14,則較大之圓的半徑為何? (A)52 (B)46 (C)8 (D)6 Sol)設兩圓的半徑分別為 3r、4r ∴4r-3r=14 ∴r=14 ∴大圓的半徑=4×14=56 ( B )2 設圓 O 半徑為. 23 ,圓心 O 座標為(-2,3),直線 L 方程式為 y=-1,則下列敘述何 者正確? (A)L 為圓 O 的切線 (B)L 為圓 O 的割線 (C)L 與不相交 (D)依題意無法確定 L 與圓 O 的位置關係 Sol)圓心 O 到 L 的距離= 3-(- )= ,而半徑1 4 23 4> ∴L 為圓 O 的割線。 ( A )3.兩圓共有四條公切線,如果半徑分別為 11 公分、K 公分,連心長 18 公分,則 K 的範圍 為何? (A)0<K<7 (B)11<K<18 (C)6<K<12 (D)0<K<5 Sol)兩圓共有四條公切線∴兩圓外離∴連心長 18>11+K∴K<7,又 K>0∴0<K<7 ( D )4.有兩個同心圓,已知大圓的半徑為 10 公分,且小圓面積為大圓面積的一半,若大圓的 弦AB與小圓相切,則AB的長為? A 13 ( ) B 12( ) C 10 3( ) ( )D 10 2公分

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Sol)設小圓的半徑為 r 公分∵小圓面積為大圓面積的一半 ∴小圓面積=1 2 2 10 50 2( )=  = r ∴ 2 2 2 r=50 AM∴ = 10-r = 100 50- = 50 5 2 = (公分)。 AB 2 5 2 10 2 ∴ = = (公分) ( A )5.已知圓 O 的半徑為 10,且圓心位於直角座標平面上的原點上,則此圓與下列哪一條直線 僅有一交點?

(A)x=10 (B)y=20 (C)x+y=10 (D)x-y+10=0

( C )6.如圖,AB切圓 O 於 B,AO交圓 O 於 C,若AB=24,AC=18,則圓 O 之面積為何? A 81 B 64 C 49 D 25 ( ) ( ) ( ) ( ) Sol)設圓 O 的半徑為 r∴( +r)=18 2 r2+242, 324 36+ r+r2 =r2+576, 36r=252,r=7 2 O 7 49 ∴圓 面積= = ( D )7.如右圖, AB BC AB BC⊥ 且 、 為圓 之切線, 、 為切點。 O D E AB 6= , BC 8= ,則圓 O 之半 徑為多少? (A)4 (B)5 (C) 48 5 (D) 24 7 Sol)連OD、OEOD⊥AB,OE⊥BC OE,OD=OE又△AOB+△BOC =△ABC 1 1 1 24 6 8 6 8 6 8r 48 r 2 r 2 r 2 r 7    +   =   , + = , = ( C )8.雖然髮禁解除了,但某國中仍有髮型規定,下圖為男生的髮型圖示,在(甲)圖中 1 AB BC AB BC AB 3BC 2 = ,(乙)圖中 = ,(丙)圖中 = ,哪一種髮型頭髮部分(斜線) 的面積最大? (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)都一樣大 Sol)(丙)圖中的△ABC 面積最小。 ( C )9.有一正方形 ABCD,若邊長AB=8 則此正方形的內切圓面積=?

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(A)36π (B)24π (C)16π (D)9π Sol) 8 2 42 16 2 ( )= =  (平方單位) ( C )10.如圖㈤,圓 O 與 x 軸相切於(1,0)交 y 軸於 A 0 4( ,+ 15), ( ,-B 0 4 15) ,則圓 O 之面積為? (A)14π (B)15π (C)16π (D)17π Sol)AB之終點座標為(0,4)∴圓心 O 之座標為(1,4)又切點為(1,0) r 4 16  半徑 = ∴圓面積為 【溫故歷屆基測試題】 ( A )1.如右圖,AP切圓 O 於 P 點,AP=4、AO=4 2 ,求灰色部分的 面積?【91 基測二】 (A)8-2π (B)8-4π (C)16-2π (D)16-4π Sol)(1)連接 2 2 OPOP AP ⊥ OP=(4 2)- =4 16 4= ∴ AOP 為 45°、45°、90°的三角形 (2)灰色面積= AOP-扇形 POQ=4 4 4 4 45 8 2 2  360      - = - ( D )2.如圖,直線 L 與OA垂直,垂足為 A,OA=10。現以 O 為圓心,r 為半徑 作一圓,請問當 r 為下列哪一個值時,可使 L 為此圓的割線? (A)5 (B)8 (C)10 (D)13 【91 基測二】 Sol)r>10 ∴取 r=13 ( A )3.如圖,圓的圓心為圓點 O,半徑為 a;A、F 兩點在 x 軸上,直線AB方程式 為 s+y=b,且 b>a。若AB與圓 O 交於 C、D 兩點,且CF OA CE OB ⊥ , ⊥ 。 矩形 OFCE 中,對角線 EF=?【94 基測一】 (A)a (B)b (C) a+b 2 (D) 2 2 a 2 b + Sol)關鍵:矩形兩對角線等長 ∵OFCE 是矩形∴EF=OC a

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( D )4.將一條繩子緊緊圈住三個伍元硬幣,如右圖所示。若伍元硬幣的半徑是 1 公分,則圈住這三個硬幣的繩子長度是多少公分?【92 基測一】 (A)9 (B)12 (C)π+6 (D)2π+6 Sol)繩子可區分為三個圓心角為 120°的弧與三條連心線(如右圖) 繩子常=2 1 120 3 (1 1) 3 2 6 360       + +  = + (公分) ( D )5.如圖㈧,有一圓及長方形 ABCD,其中 A、B、C、D 四點皆為原上且BC> CD。今分別以BC、CD為邊長作甲、乙兩正方形。若圓半徑為 1.5 公分, 則甲、乙面積和為多少平方公分?【95 基測一】 (A)4.5 (B)6 (C)7.5 (D)9 Sol)∵∠BCD=90°, BD 為直徑,甲、乙面積和=BC2+CD2=BD2=(1.5 2 )= 2 9 ( C )6.若平面上O 即圓1 O 的半徑各為 2 公分及 4 公分,且2 O O =7 公分,則下列哪一個圖可1 2 以表示圓O1與圓O2的位置關係?【90 基測一】 Sol)O O >1 2 r1+r27>2+4外離 ( C )7.如圖㈦,△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,若三直線 AB、AC、BC、分別與圓 O 切於 D、E、F 三點,則BE=?【95 基測一】 (A)6 (B)25 3 (C) 45 (D) 72

Sol)∵AB AC BCsuuur suur suuuuuuuuuuuuu、 、 均為切線∴ur BD BF CF CE AD AE= , = , = 設BD BF =x= CF CE 5= = -x, =AD AE

3+x=4+(5-x),2x=9-3=6,x=3, 2 2

AE= , = + =6 BE 3 6 45

( C )8.如圖, BD為圓 的直徑,弦O AC為過圓心 O,則下列哪一個敘述是正確的?【93 基測一】

(A)O 是 PCD 的外心 (B)O 是  APC 的外心 (C)O 是 ACD 的外心 (D)O 是  BCD 的外心

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( D )9.如圖,圖上三弦AB CD EF、 、 ,欲在圓內找一點,使其到三弦的距離相等。下列四種作法, 哪一種最正確?【92 基測二】 (A)作AB中垂線與CD中垂線的交點 (B)作∠FAB 角平分線與∠ABC 角平分線的交點 (C)取AB、CD、EF三邊終點 M、N、L,作MN中垂線與ML中垂線的交點 (D)分別延長AB與CD交於 P,分別延長AB與EF交於 Q,作∠P 角平分線與∠Q 角平 分線的交點 Sol)(1)欲作點到AB EF、 等距離,則該點在∠Q 的角平分線上 (2)同理,欲作點到AB CD、 等距離,則該點在∠P 角平分線上 ( B )10.圖為一拱橋的側面圖,其拱下緣呈一弧形,若洞頂 為橋洞的最高點,且如當洞頂至水面距離為 90 公 分時,量得洞內水面寬為 240 公分。後因久旱不雨, 水面位置下降,使得拱橋下緣呈半圓,這時,橋洞 內的水面寬度變為多少公分?【91 基測一】 (A)240 (B)250 (C)260 (D)270 Sol)設半圓之半徑=r, 2 2 2 BO 90 OAB 120 90 125 125 2 250 r  V =r- , 中, r = +(r- ) = , 水面寬= = 【模擬基測試題】 ( D )1.若兩圓的半徑分別為 m、n(m>n),d 為連心線長,且 2 2 2 m +dn =2md,則兩圓位置 關係為何? Sol)∵m2+d2-n2 =2md∴ 2 2 2 m-2md+dn =0 (m-d)2-n2 = 0 (m-d+n)(m- -d n)=0 ∴m-d+ =n 0或 - -m d n=0 ∴m+ =n d或 -m n=d ∴兩圓外切或內切 ( A )2.如圖,圓O O、1 2相交於 A、B 兩點,過 B 點作一平行於連心線O O 的1 2

(15)

直線,分別交於 C、D,若O O =16,則1 2 CD=?(A)32(B)36(C)48(D)64 Sol)∵AM=BM AM O O1 2 1 16 CD 32 2 AB CD  CD ∴ = = = 設 ( C )3.有大小兩圓,小圓面積是大圓面積的 9%,兩圓內切時,連心線長 7 公分,則兩圓外切 時,連心線長? (A)12 (B)14 (C)13 (D)15 Sol)面積比=半徑平方比 2 9 r 9 r 3 9 r 100 r 10 小 小 大 大 ∴ = %= ∴ = 3 10 r小= 公分,大= 公分r ∵兩圓內切∴連心線長=10r-3r=7r=7 ∴r=1 ∴r小= 公分,大= 公分3 r 10 ∴兩圓外切時之連心線長=3+10=13(公分) ( D )4.如圖,圓O 的半徑為 6,圓1 O 半徑為 3, 2 O O =16,則公切線長 AB =? 1 2 (A) 241 (B) 243 (C)7 5 (D) 247 Sol)AB= O O1 2-(r-r)1 2 = 162-(6-3)= 247 ( A )5.如圖。若KQ 12= ,圓 的半徑為 ,圓O1 8 O 半徑為 3,則連心線2 O O =? 1 2 (A)13 (B)12 (C)10 (D)9 Sol)O O1 2= KQ2+(r-r)=1 2 2 122+( - )8 3 =13 ( D )6.圓中所有「長度為半徑的6 5倍」的弦,其中形成另一個圓,則此圓面積為原來大圓面積 的幾倍? 1 4 9 16 A B C D 4 9 25 25 ( )( )( ) ( ) Sol)設圓的半徑OA AB 6 AM 3 5 5 r = ∴ = r∴ = r 2 3 2 16 2 4 OM ( ) 5 25 5 rr = r = r ∴此圓半徑 = ( B )7.兩圓半徑分別為 a、b(a>b),連心線長為 c,若 2 2 2 a −b + −c 2ac<0,則此兩圓關係為 何? (A)相切 (B)相交於兩點 (C)不相交 (D)無法判斷

(16)

Sol)∵ 2 2 2

a −b + −c 2ac<0∴ 2 2

a−cb 0(a-c+b)(a-c-b) 0

( ) < <

∵三角形的任兩邊長和>另一邊長 ∴a+b-c> ,且a-c-b< ∴a+b>c∴兩圓相交於兩點 0 0

( C )8.有厚度相同的 A、B、C、D 四種硬幣,直徑分別為 5 公分、4 公分、3 公分、 2 公分,欲投入一個撲滿中,結果 A 種硬幣無法投入,如右圖,已知該硬幣 圓心距離撲滿入口 2 公分,試問哪幾種硬幣可以投入該撲滿? (A)只有 B、C (B)只有 D、B (C)只有 C、D (D)只有 D ∵ 2 2 PA 5 2 25 PM=  = , = 2.5 -2=1.5 PQ 1.5 2 3, =  = ∴撲滿入口長度 PQ 3= (公分)故 C、D 硬幣可以投入撲滿。 ( B )9.如右圖,長方形 ABCD 在圓 O 內,且CD 2 AC 5= , = ,則圓 O 的半徑為多 少? (A)3 (B)5 (C)7 (D)6 Sol)OB AC 5= = ( A )10.座標平面上,設直線 L 通過 A(3,0),B(0,4)兩點,有一半徑為 r 的圓 O,其圓心是原點。已知直線 L 和圓 O 相切,求 r=? (A)2.4 (B)2.5 (C)3 (D)3.2 Sol)作OC AB OA 3 OB 4⊥ ∵ = , = ∠AOB 90= o∴AB= OA2+OB2= 32+ = 42 5 OC 5 3 4 ABO OC 2.4 2.4 2 2 r   V 面積= = ∵ = ∴ = 【進階演練題】 ( B )1.如右圖,將半徑為 2 的半圓 AB 分成 6 等分設等分點依序為P P P P P, , , , ,則五個弦長的1 2 3 4 5 平方和AP12+AP22+AP32+AP42+AP52=? (A)20 (B)40 (C)60 (D)70 Sol)P P P P P, , , , ,把半圓分成 6 等分1 2 3 4 5 AP5=BP AP1 , =4 BP2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 3 AP AP AP AP 4 16 AP AP AP AP 4 16 AP AO OP 4 4 8       + =+ + = = + = + = = = + = + = ∴AP12+AP22+AP32+AP42+AP52=16+16+8=40

(17)

( D )2.如右圖的四個外切等圓中,若不相切兩圓的最短距離 d 都是 10 公分,則圓的半徑 r=? A 3-3 2 B 3 3 2 C 5-5 2 D 5 5 2 ( ) ( )+ ( ) ( )+ (公分) Sol)設圓的半徑為 r,則 ABCV 中AB BC 2 AC 2= = r , = + ,∠ =r 10 B 90o ∴ 2 2 2 2 2 2 2 =(2 )r +(2 ) 4r r +40r+100=4r +4r ( r+10) , 2 4r 40r 2 0r ∴ - -100=0,r -1 -25=0 10 100 4 1 25 10 200 10 10 2 5 5 2 5 5 2 0 2 2 2 r  +      ∴ = = = = ( - < 不合) 5 5 2 ∴r= + (公分) ( D )3.有大小兩圓,外切時的連心線長是內切時的 2 倍,則此兩圓的面積比為何? (A)2:1 (B)3:1 (C)4:1 (D)9:1 Sol)設兩圓外切、內切時連心線長分別為 2x、x,兩圓的半徑分別為 a、b,a>b 則  a+b=2x , a-b=x 解連 立方程式得a=3x ,b=1x 2 2 兩圓的面積比等於 : 4 1: 9 :1 9 4  3 2  1 2 = = ( x) ( x) 2 2 ( B )4.如圖㈠, AB 8= 公分, = 公分,且CD 6 OM ABON CD⊥ , ⊥ ,若OM 3= 公分 ON ,則 =? (A)3 公分 (B)4 公分 (C)5 公分 (D)6 公分 Sol) OM AB AM BM 1AB 4 2 ∵ ⊥ ∴ = = = ∵ON CD CN DN 1CD 3 OM 3 2  ⊥ = = = ,又 = 2 2 2 2 OA OM AM 9 16 25 OD OA 5 OC 得 = + = + = = = = 2 2 2 2 2 OC=ON+CN 25 ON, = +9ON= ∴16 ON 4= ( C )5.相交兩圓的半徑分別是 7 1- 和 7 1+ ,連心線的長是 d,則 d 可取的整數有幾個? (A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 Sol)∵( + )-( - )<d<( + )-( - ) 7 1 7 1 7 1 7 1 2 2 7 3 4 5  <d< ∵為整數∴d= 、 、 ( C )6.若兩圓的半徑分別為 R、r(R>r),d 為連心線的長,且 2 2 2 R −dr =2Rd,則兩圓位置為

(18)

(A)外切 (B)內切 (C)內切或外切 (D)外離或內離 Sol) 2 2 2 2 2 R −2Rddr =0,(R−d)−r= ,(0 R− +d r)(R− −d r)=0 ∴d=R+r(外切)或 d=R−r ( A )7.如右圖,圓 O 交 PQR 於 A、B、C、D、E、F,若圓 O 的半徑為 5 公分, PQ 13= 公分, = 公分, = 公分, =QR 14 RP 15 AB CD EF 6= = 公分,則VPQR面積=? (A)84 (B)74 (C)64 (D)54(平方公分)

Sol)QABCDEF弦心距= 52- =32 4 VPQR=VPOQ+VQOR+VROP

1 1 1 13 4 14 4 15 4 26 28 30 84 2  2  2  = + + = + + = (平方公分) ( D )8.如下圖, AD 、 AE 、 BC分別切圓於 、 、 ,若切線D E F AD 、 AE之長均為 8 公分,則 ΔABC 之週長為? (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 公分 Sol)QBF BD CF CE= , = VABC之周長= +AB BC AC AB BF CF AC+ = + + + =AB BD CE AC AD AE+ + + = + =8+8=16(公分) ( D )9.一正三角形的邊長為 6 公分,今有一銅板,半徑為 1 公分,在三角形外,緊沿周界移動 一周,則其所經過區域面積為? A 18  ( )( + )平方公分 ( )( + )平方公分B 18 4 C 36  ( )( + )平方公分 ( )( + )平方公分D 36 4 Sol)所求面積(如右圖) =3 個矩形面積+3 個扇形面積 = 2 120 3 6 2 3 2 360   ( )+ (   ) =36 4+ (平方公分) ( B )10.如右圖,圓 A 與兩軸交於(0,0)、(12,0)(0,8)三點,則圓心 A 點的座標為何? (A)(4,4) (B)(6,4) (C)(4,6) (D)(6,6) Sol) 0 12 6 0 8 4 6 4 2 2 x= + = ,y= + = A(,)

參考文獻

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