臺指選擇權波動度估計及評價實證分析

臺指選擇權波動度估計及評價實證分析

程言信1 郭蘋慧2

摘要

本研究考慮BS 模型並分別使用歷史波動度模型(HV)、指數加權移動平均模型 (EWMA)和 GARCH 模型來估計選擇權的波動度，探討改善波動度的估計是否可以更合 理的解釋傳統BS 選擇權的評價模型，結果發現下列三點, 一、採用最佳化的修正的EWMA 模型在三類波動度估計模型中最能貼近實際的選 擇權市價。二、GARCH 波動度估計模型在較長的時間下使用 GARCH(0,4)比以往使用 GARCH (1,1)計算選擇權波動度所估計出的選擇權較接近市價。三、GARCH 模型和 HV 模型所得的結果則差異不大。 最後比較不同模型中估計波動所得到的預測價格誤差分析，若採用不同的誤差準則 結果亦會有部分的差異。 關鍵詞：選擇權、波動度、EWMA 模型、GARCH 模型。 1 _{國立高雄應用科技大學金融系暨金融資訊研究所助理教授} 2 _{台証綜合證券 風險管理室專員}

第一節、緒論

在國外選擇權的發展已經是一項成熟 的衍生性金融商品，且交易種類繁多標的 資產包含股票、指數、公債、利率、外幣 等商品。而在台灣，自期交所2001 年 12 月推出以來交易量從2002 年平均每日 6300 多口到 2006 年 39 萬口(圖 1)，隨著 選擇權交易量的增加，選擇權評價以及風 險的控管也顯得相當重要。 選擇權交易量 96,929,940 80,096,506 43,824,511 21,720,083 1,566,446 390,847 324,277 175,298 87,229 6,316 0 20,000,000 40,000,000 60,000,000 80,000,000 100,000,000 120,000,000 年交易量 0 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000 350,000 400,000 450,000 平均日交易量 年 1,566,446 21,720,083 43,824,511 80,096,506 96,929,940 日平均 6,316 87,229 175,298 324,277 390,847 2002 2003 2004 2005 2006 圖1：選擇權交易量表(資料來源：台灣期交所) 1973 年 Black 和 Scholes 推導出選擇 權評價公式(簡稱 BS 模型)之後，BS 模型 普遍被用來計算選擇權的價格，不過在BS 模型中假設標的資產波動為常數，在實際 使用選擇權市價帶入 BS 模型計算隱含波 動度的結果發現，波動度為常數的假設並 不成立，且隱含波動度會隨著價內外程度 (Moneyness)及履約價格變動而呈現微笑 波 動 度(Volatility smile) 的 情 況 ， 並 在 Mandelbrot(1963)和 Fama(1965)均指出報 酬率具有波動度群聚(volatility clustering) 和厚尾(Fat-tail)的現象，因此如何正確估 計選擇權波動度遂成為選擇權評價的重 要因素。 此外衍生性金融商品皆具有高槓桿高 風險的特性，如果操作不當非常容易造成 巨大的虧損，近年來國際間因衍生性金融 商品操作不當而產生嚴重虧損的例子時 有 所 聞 ， 例 如 1994 年 美 國 加 州 橘 郡 (Orange county)事件、1995 年英國霸菱 (Barings)銀行事件，都造成嚴重的損失， 因此如何建立良好的風險控管系統以及 有效的揭露風險狀況，已成為重要的問 題，然而許多實務市場中風險管理的失效

除了來自於人為因素及管理不當外，模型 分析不當所衍生之風險更是層出不窮，而 其中實際應用面臨的問題是如何得到較 適當的波動度估計。 本研究使用文獻及實務上常用的歷 史波動度模型(HV)、指數加權移動平均模 型(EWMA)和 GARCH 模型來估計選擇權 的波動度，並帶入 BS 模型計算選擇權價 格，探討修正指數波動度的估計是否可以 更合理的解釋選擇權的市價，觀察選擇權 評價模型波動度假設不同，是否可以增加 選擇權價格的解釋能力。 本文第一節為緒論，說明本研究的研 究動機目的以及研究架構。第二節為文獻 探討，針對以往選擇權波動度模型相關研 究進行彙整比較。第三節為研究方法，第 四節為不同波動度估計實證結果及相關 迴歸分析，最後一部份為結論。

第二節、文獻回顧

Bluhm and Yu (2001)使用德國1988 年1月4日到1999年6月30日間DAX指數資 料共2876個日資料，其中1988年1月4日到 1996年6月28日設定為樣本內，1996年7月 1日到1999年6月30日設定為樣本外，使用 7種波動度估計模型包含歷史平均、指數 加 權 移 動 平 均 、 ARCH(1.3) 、 GJR-GARCH(1,3) 、 EGARCH(2,1) 、 GARCH-M(1,3)和SV模型對選擇權作評價 及風險值的估計，結果發現整體而言沒有 哪一種模型有絕對的優勢，SV模型對選擇 權未來波動度估計表現最好；風險值估計 方面ARCH類的模型整體估計排名較好， 歷史平均模型表現較差，指數加權移動平 均(EWMA)在估計VaR的排名較好。

Ercan, Aslibayer and Robert (2006)，

使用 15 個國家包含比利時、加拿大、丹

麥、芬蘭、德國、香港、義大利、日本、 馬來西亞、荷蘭、菲律賓、新加波、泰國、 英國和美國，11 種模型有 random walk, 歷 史 平 均 、 移 動 平 均 、 權 重 移 動 平 均 、 EWMA、Exponential smoothing model、迴 歸模型、ARCH、GARCH、GJR-GARCH、 EGARCH 使用 1987 年 12 月到 1997 年 12 月間 10 年的資料，對選擇權的波動度進 行估計，並使用對稱和非對稱的誤差統計 量作評比。結果顯示在對稱誤差的統計量 方面指數加權移動平均(EWMA)衡量的效 果最好，但在不對稱的誤差衡量方面則較 建議以ARCH 類的模型為主，尤其在是在 風險管理衡量風險值時，波動度的衡量最 適合使用低估比重較大的 MME(U)來衡 量。

第三節、研究方法

對於選擇權波動度的估計本本研究 使用傳統 BS 模型當做選擇權理論價格，

搭配不同的波動度估計模型所估計出的 波動度預測值，求出各選擇權契約理論價 格和市價的誤差，最後針對不同誤差準則 分析模型的精確程度。 在研究方法第一個部份介紹本研究 所採用選擇權評價與各種波動度估計模 型的介紹，第二部份說明本研究所使用的 誤差比較準則，第三部份則是迴歸分析， 主要分析影響模型誤差的因素。 一、 選擇權評價與各種波動度估計模型 的介紹 (一)Black-Scholes 模型(BS 模型) BS 評價模型如下： ) ( ) (d₁ Ke d₂ S C_BS = _tΦ − −rTΦ (1) ) ( ) ( d₂ S d₁ Ke P_BS = −rTΦ − − _tΦ − (2) 其中： T T r K S d t σ σ ) 5 . 0 ( ) / ln( 2 1 + + = (3) T d d₂ = ₁ −σ CBS：BS 模型下的買權價格 PBS：BS 模型下的賣權價格 St ：時間 t 的標的資產價格 K ：選擇權履約價格 σ：標的資產波動度(年) T ：選擇權的到期期間(年) r ：無風險利率(年) Φ：標準常態的累積機率分配 ( 二 ) 歷 史 波 動 度 模 型 (Historical Volatility Model，HV) 歷史波動度模型為一般最為大眾所 知的波動度估計方法，其利用簡單的加權 移動平均的方式來計算歷史股價報酬率 的標準差。理論上觀察期的長度越長，股 價報酬率的標準差應該越精確，但是期數 過長容易包含太多過時資訊，對於未來標

準差的估計幫助不大。觀察期數 t 的大小 一般實證研究建議介於 60 天到 180 天之 間較佳，也就是說移動窗口(window length) 為 60 天到 180 之間，因此本研究將移動 窗口設為60 天，計算估計日前 60 天標的 指 數 日 報 酬 的 標 準 差 ， 並 且 參 考 Hull (2006)的結論將σˆt乘上 T (T 為一年的交 易天數，一般實證上將T 設為 248 個交易 日)轉換成年化的標準差，歷史波動度模型 可表示成(4)式：

(

)

∑

= − − − = n i t i t HV t u u n 1 2 1 1 σ) (4) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = −1 ln t t t S S u

∑

= − = n i t t u n u 1 1 1 其中： t σˆ ：第t 期標的指數報酬率的標準差。 t u ：第 t 期標的指數報酬率。 t u ：ut在移動窗口期間的平均。 St：標的資產第t 期價格。 ( 三 ) 指 數 加 權 移 動 平 均 模 型 (Exponential Weighted Moving Average，EWMA) 歷史波動模型是將過去觀察期間每 一 筆 標 的 指 數 報 酬 率 的 權 重 都 設 為 相 同，不過一般實際的情況卻是，前期越靠 近估計日的波動度，其對當期的波動度影 響越大，距估計日越遠的波動度影響越 小，因此1995 年 J.P Morgan 提出指數加 權移動平均法(EWMA)來估計波動度，指 數加權移動平均法(EWMA)可以表示成(5) 式： t EWMA t EWMA t λσ λ σ σ) = ) ₋₁ +(1− ) (5) 其中： t σ ：為移動窗口的報酬率標準差。 在上述的式子中λ 其代表權重，λ 越 小表示近期的資料所賦予的權重較大，J.P Morgan 曾建議在估計指數報酬率的波動 性時，若是日資料可將λ 權重設為 0.94，

若是月資料則可設為0.97。而在本研究中 λ 的設定採用每期都進行最佳化的過程， 重新設定λ 值。 Bollerslev(1986)所提出的 GARCH 模 型 ， 可 以 描 述 指 數 波 動 高 峽 峰 和 厚 尾 (fat-tail)，且可反映當期變異數和前幾期變 異數或是誤差項的關係，GARCH(p,q)模型 的條件變異數方程式可表示成： (四) GARCH 波動度模型 ) , 0 ( ~ 2 t t t N u Ω σ ε_t =u_t −u_t 2 2 1 1 2 2 1 1 2 _{... ...} p t p t q t q t t =ω+α ε − + +α ε − +βσ − + +β σ − σ (6) 其中 t u ：第 t 期標的資產報酬率。 t u ：在移動窗口期間的平均。 εt：第t 期報酬率的殘差項。 在 本 研 究 中 仿 造Ercan (2006) 的 作 法，直接將移動窗口內標的資產報酬率進 行GARCH模型的配適。因此第t期資產酬 率的波動度可表示成(6)式，以往文獻中大 多把GARCH的落後次數設定成(1,1)，不過 本文經過多次的前測3發現在本研究的樣 本期間下，使用GARCH(0,4)估計下一期的 波動度，帶入BS方程式所得到選擇權理論 價 格 和 實 際 市 價 間 的 誤 差 最 小 ， GARCH(0,4)即是ARC (4)表示本期的波 動度會受前期報酬率殘差項的影響。 察日前60 天的移動平均，估計步驟為： 1. 使用第 t-60 期到第 t 期標的資產 報酬率的資料，帶入GARCH(0,4) 的模型中。求出參數的估計值並 且用來預測第t+1 期的的波動度。 2. 刪去第 t-60 期指數報酬率的資料 且加上 t+1 期的資料，並將所得 到的參數估計值用來預測第 t+2 期的波動度。 H 3. 重複上述的步驟計算出每一期的 波動度，且將不同的選擇權資料 帶入 BS 模型計算選擇權的理論 價值，並計算選擇權理論和市價 間的估計誤差。 確定模型的落後階次後，接著進行模 型參數的估計，本研究使用移動窗口滾動 (Rolling)的方法(圖 2)計算，使用回溯至觀 3_{本研究在樣本期間使用 GARCH(0,1)、} GARCH(0,2)、GARCH(0,3)…GARCH(5,5)分別估計標 的資產波動度計算選擇權價格，結果發現在 GARCH(0,4)下所計算的選擇權價格誤差最小。

第一筆觀察值： 樣本外期間 第 t-60 期 第 t 期 第 t+1 期(觀察期) 第二筆觀察值： 樣本外期間 第 t-59 期 第 t+1 期 第 t+2 期(觀察期) 第三筆觀察值： 樣本外期間 第 t-58 期 第 t+2 期 第 t+3 期(觀察期) 圖2：樣本期間移動法之圖示 在GARCH 波動度模型的計算中，本 研 究 使 用 Matlab 財務工具箱(Financial Tools)中的 ugarch.m 和 ugarchpred.m 兩個 內建的程式來計算，將移動窗口的樣本帶 入ugarch.m 中計算參數估計值，接著將參 數估計值帶入ugarchpred.m 中往前預測下 一個觀察日的波動度，再乘上 248 轉換 成年化波動度。選擇權Black-Scholes 模型 的計算則是使用 Matlab 財務工具箱中的 blsprice.m 帶入標的資產價格、履約價、無 風險利率、到期日(年)和波動度計算出買 賣權的價格。

二、價格誤差的比較準則

(一) 平均絕對誤差(Mean Absolute Error，MAE) 在價格誤差的比較準則方面，本研究 參考多篇先進的研究包含Alfred et.al(2002)、Sofiane(2005)等人的研究，最 後採用三種價格誤差來計算三個模型在 不同的價內外程度，以及不同的到期日共 18 種情況，比較理論價格和市場價格間的 差異。 平均絕對誤差(MAE)是最常見的誤 差衡量指標，可衡量模型理論價和市價間 差異的幅度，一般而言誤差衡量指標取絕 對值或是平方主要是為了消除加總時正 負抵銷的效果，以正確衡量價格差異的幅 度；當MAE 越小時表示模型的估計效果 越好。MAE 的計算公式如下：

∑

− = C C n MAE mkt ˆ 1 (7) mkt C ：選擇權市場價格。 Cˆ ：選擇權估計價格 (二) 相對價格誤差(Relative Price Error，RPE) MAE 只考慮到理論價與市價間的絕 對誤差，不過並未考慮到當選擇權價格越 低，其絕對誤差也有可能較小，選擇權價 格越高絕對誤差比較大，但是考量到相對 誤差時，卻是有可能發生絕對誤差小但相 對誤差大的情況，因此應加入價格的因素 做為衡量會比較洽當，不過如同前面所 述，當選擇權價格極小時，當我們加入價 格的因素會使得衡量結果變的很大，所以 仍須配合MAE 的結果相互對照。考慮價 格因素的衡量方法在文獻上有RPE 和 MAPE 兩種方法，本研究在後面的實證中 均有計算，不過因為MAPE 所得到的結果 和MAE 非常相似，故最後只有報導 RPE 的實證結果。

∑

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mkt mkt C C n RPE 1 -Cˆ (8)

∑

= mkt mkt C C C n MAPE ˆ -1 (9)

(三) 價格誤差(Price Error，PE) 最後我們選擇價格誤差(PE)當做價 格衡量的指標，雖然PE 並未對理論價和 市價間差異的幅度取絕對值或是平方去 除正負抵銷的因素，不過正因為如此我們 可以從衡量的結果中看出模型對於選擇 權價格傾向高估或是低估，如果所得到的 結果為正表示低估，為負表示高估，當PE 值越接近0 代表著模型的估計效果越好。 PE 的計算公式如下：

(

)

∑

= C C n PE 1 _mkt - ˆ (10)

三、 迴歸分析

在迴歸分析的部份主要分析影響模 型誤差的因素有哪些，綜合以往的文獻本 研究採用選擇權價內外程度(S/K);S 為標 的資產價格，K 選擇權履約價)、無風險利 率(r)、選擇權到期日(T)和各模型所估計的 波動度(σ)當作迴歸方程式的解釋變數；被 解釋變數則是使用MAE 和 PE 兩個誤差衡 量標準。迴歸模型設計如下： ε σ β β β β β + × + × + × + × + = _{0 1} (S/K) ₂ r ₃ T ₄ Error (11) 其中： S：標的資產價格。 K：選擇權履約價。 r ：無風險利率。 T：選擇權到期日。 σ： 選擇權波度動。 H0：β1=β2=β3=β4=0 (迴歸式對誤差沒有解釋能力) (12) H1：βi不全為0 (迴歸式對誤差有解釋能力) i=1,2,3,4 上述迴歸方程式，我們使用F 檢定， 檢定迴歸式對估計誤差(MAE，PE)是否有 解釋能力，若F 值顯著異於零(或是 p-value 小 於 臨 界 值) 則 拒 絕 (12) 式 的 虛 無 假 設 (H0)，表示迴歸式對誤差有解釋能力；接 著 再 探 討 各 個 解 釋 變 數 對 於 估 計 誤 差 (MAE，PE)是否有解釋能力，檢定 4 個估 計參數是否顯著異於零，若是顯著異於

零，拒絕(12)式的虛無假設(H0)代表解釋變 數對誤差會有影響。我們用此方法了解影 響各模型估計誤差的因素為何。

第四節、實證結果

一、資料說明 本研究在估計選擇權價格波動度的 部分使用標的股價指數報酬率變化當作 選擇權的波動度，我們使用台灣證券交易 所 發 行 量 加 權 股 價 指 數 (TSEC Capitalization Weighted Stock Index ， TAIEX)每日的收盤價格，資料期間為 2001 年1 月 2 日到 2006 年 7 月 31 日共 1379 個交易日的收盤價格，表 3 為樣本期間 TAIEX 的敘述統計量。 表3：指數日報酬率敘述統計量 台灣 TAIEX 指數報酬率(2001/01/02 到 2006/07/31) 個數 1378 L_B Q(6) 7.9592 (0.24110) 平均數 0.000195 L_B Q(12) 12.1034 (0.43740) 變異數 0.000223 L_B Q2 (6) 128.7065 (0.0000)* 最大值 0.056126 L_B Q2(12) 219.1075 (0.0000)* 最小值 -0.06912 MIN -4.64497 偏態 0.00322 Q1 -2.55032 峰態 4.685014 Q99 2.724577 J_B 163.0240 (0.0000)* MAX 3.747924 ADF -35.1485 (0.0000)* 說明： 1. J_B 為 Jarque-Bera 檢定統計量，檢定分配是否為常態分配，在常態分配的虛無假設下，為自 由度為2 的卡方分配。 2. ADF 的單跟檢定主要檢定數列是否為恆定，其由具截距項及趨勢落後項為 5 的迴歸模型中計 算而得。 3. L_B Q(n)及 L_B Q2_{(n)為 Ljung_Box 統計量分別檢定報酬率及其平方項是否具有序列相關，n} 表示相距的期數(虛無假設為沒有自我相關)。 4. Max、Min 分別表示報酬率標準化後的最大和最小值；Q1、Q99 為標準化報酬率的 1、99 百 分位數，標準常態分配的1、99 百分位數分別為-2.3263 和 2.3263。 5. 小括弧()中為 P_value，*表示在 5%的顯著水準下為顯著。 由圖4 指數日報酬時間趨勢圖可以 看出，在資料期間指數報酬具有序列相關 以及群聚的現象。對照表3 敘述統計量的 部份發現在Ljung_Box Q2_{統計量的部份} 拒絕虛無假設顯示序列平方項存在自我 相關。在J_B 統計量的部份也是拒絕常態 分配的虛無假設，對照偏態及峰態系數， 在常態分配下偏態及峰態系數分別為0 和 3，偏態和峰態係數可以看出指數報酬存 在些許的峰態現象。最後ADF 恆定性檢

定在5%的顯著水準下拒絕存在單根的虛 無假設，顯示報酬率的數列具恆定性，也 由於指數存在上述的性質，所以我們可以 使用GARCH 模型來對指數報酬率進行配 適。 圖4：指數日報酬時間趨勢圖 因為市場接近到期日，選擇權持有人 會面臨沖銷的壓力，且市場變動快速，容 易造成價格不合理的現象，故為避免此類 選擇權對實証結果造成的偏誤，將此類選 擇權予以刪除。 選 擇 權 的 資 料 則 是 採 用 臺 灣 期 貨 交 易 所，台指選擇權(TXO)，其為歐式選擇權， 資料包含：交易日期、到期月份、履約價、 選擇權型態和市場價格，共計 1135 個交 易日資料期間為2002 年 1 月 2 日到 2006 年 7 月 31 日。而且因為以往的研究，對 選擇權評價的實証條件有許多的限制，所 以刪除不符合實證條件的選擇權。本研究 篩選條件如下： 1. 距到期日未滿五日的選擇權 2. 收盤價、成交價和成交量等於 0 的選 擇權 當收盤價、成交價和成交量等於 0 的 選擇權，表示當天沒有交易，若以其收盤 價來和理論價格比較，較不具備公信力，

因此須將此類資料剔除。 3. 波動度不合理的選擇權 計算隱含波動率時，可能出現估計的 選權市場價格低於波動性為0 所估計的理 論價格，在這樣的情況，便無法利用計算 此選擇權的隱含波動度且價格也偏離太 嚴重，所以應該予以刪除。 經過上述篩選之後我們得到選擇權 資料77,532 筆資料，其中包含買權 37,195 筆資料，賣權40,337 筆資料。為了解到期 日對估計的影響程度，將選擇權依距離到 期日的期間區分為小於30 天，30 到 60 天 和 60 天 以 上 而 且 將 買 權 資 料 依 Sofiane(2005)實證研究的分類將選擇權依 到期日和價內外程度(Moneyness)分類如 表 5 ， 依 價 內 外 程 度 區 分 為 深 度 價 外 (deep-out-of-the money,S/K<0.94) 、 價 外 (out-of-the-money, 0.94≦S/K<0.97)、價平 (at-the-money, 0.97≦S/K<1 或 1≦S/K<1.03) 、 價 內 (in-the-money, 1.03≦S/K<1.06) 和 深 價 內 (deep-in-the-money, S/K≧1.06)，觀察不同 的到期日或是價內外程度(Moneyness)估 計誤差是否會有所差異。而賣權則是相 反 ， 深 價 外 為 S/K≧1.06 ， 深 價 內 S/K<0.94，其中 S 為標的資產價格，K 為 履約價。 表5：價內外程度(Moneyness)分類表 買權 距到期期間(日) 賣權 距到期期間(日) 價內外(S/K) /到期日 <=30 30~60 >60 價內外(S/K) /到期日 <=30 30~60 >60 <0.94 深度價外 <0.94 深度價內 0.94~0.97 價外 0.94~0.97 價內 0.97~1.00 價平 0.97~1.00 價平 1.00~1.03 價平 1.00~1.03 價平 1.03~1.06 價內 1.03~1.06 價外 >=1.06 深度價內 >=1.06 深度價外 說明：S 為標的資產價格、K 為履約價格

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The Empirical Analysis of Volatility Estimate and

Valuation on TAIEX Options

Cheng Yen-Shin* Kuo Ping-Huei**

ABSTRACT

In this paper, we take advantage of Historical Volatility model(HV model), Exponential Weighted Moving Average(EWMA model) and Generalized Auto Regression Conditional Heteroskedastic(GARCH model) to estimate volatility of option and the estimated values are incorporated into the BS option pricing model to calculate TXO theoretical prices. We find the factors affect option pricing would be effect pricing error, and we improve the option pricing model by using the proper estimation.

Comparing with volatility models the performance under the BS option pricing model, First, EWMA model was closest the realized option price and the result of HV and GARCH model was no notable.Second, the volatility estimate of GARCH(0,4) model would be better pricing than GARCH(1,1) as usual using in the literature.Third, the difference of empirical result for GARCH and HV mdoel are not clear.

Key words：Options, Volatility, GARCH, EWMA

* Assistant Professor, Institute of Financial and Information, National Kaohsiung University of Applied Sciences