Python Programming in Finance

Python Programming in Finance

Zheng-Liang Lu (Arthur)

CSIE @ NTU

Zheng-Liang Lu

Pricing Theory

2

Lecture 6

Zheng-Liang Lu

套利利：在沒有承擔風 險的前提下，可以賺

取超額報酬。

3

Zheng-Liang Lu

風險趨避者

4

Zheng-Liang Lu

定價的精神就是 無套利利原則。

5

Zheng-Liang Lu

無風險資產只能賺取 無風險利利率的報酬。

6

Zheng-Liang Lu

天下沒有⽩白吃的午餐

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Zheng-Liang Lu

8 買權

股票

Zheng-Liang Lu

9

Zheng-Liang Lu

10

做空這個組合

可以套利利的情況 1

Zheng-Liang Lu

11

做多這個組合

可以套利利的情況 2

Zheng-Liang Lu

12

Zheng-Liang Lu

無套利利

↕

存在⼀一組合法的機率 ( 風險中立的機率測度，

即 Q-measure) ₁₃

第⼀一定理理

Zheng-Liang Lu

為什什麼要談定價？

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Zheng-Liang Lu

避險

15

Zheng-Liang Lu

避險 = 複製

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Zheng-Liang Lu

完全市場

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Zheng-Liang Lu

任何商品都可以被複製 的市場即完全市場。

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Zheng-Liang Lu

完全市場

↕

存在唯⼀一合法的機率

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第⼆二定理理

Zheng-Liang Lu

Binomial Option Pricing Model

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Zheng-Liang Lu

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⼀一期模型

Zheng-Liang Lu

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三期模型

Zheng-Liang Lu

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Zheng-Liang Lu

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C = e ^−rT E ^ℚ [(S ^T − X) ⁺ ]

Zheng-Liang Lu

C = e ^−rT E ^ℚ [(S ^T − X) ⁺ ]

25 折現因⼦子 風險中立測度

報酬函數 期望值

到期⽇日的標的物價格

履約價

買權價格

Zheng-Liang Lu

但， 是個隨機變數！ S _t

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Zheng-Liang Lu

未來來的價格是不確定的(?)

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Zheng-Liang Lu

隨機過程

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Zheng-Liang Lu

布朗運動

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Wiki

Zheng-Liang Lu

Wiener Process

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Zheng-Liang Lu

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Zheng-Liang Lu

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Zheng-Liang Lu

隨機微分⽅方程式

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Zheng-Liang Lu

34

Zheng-Liang Lu

35

Zheng-Liang Lu

36

Zheng-Liang Lu

Black, Scholes, and Merton

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Zheng-Liang Lu

假設報酬率是布朗運動

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Zheng-Liang Lu

dS _t

S _t = μdt + σdW _t

39 報酬率

期望報酬率

市場波動率

不確定性的來來源

Zheng-Liang Lu

S _T = S ₀ e ^{(μ− σ2 2 )T+σW T}

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By Ito’s lemma,

Zheng-Liang Lu

41

假設r = 0.1, v = 0.3, s0 = 160，模擬30個平⾏行行宇宙的價格路路徑：

Zheng-Liang Lu

42

在第250⽇日時，股價的機率分佈 (五千個平⾏行行宇宙)：

價格的分佈很類似常態，精確的說為⼀一個對數常態分配 (log-normal)。

Zheng-Liang Lu

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C = e ^−rT E ^ℚ [(S ^T − X) ⁺ ]

根據定價公式

我們可以透過蒙地卡羅法模擬價格路路徑，

進⽽而計算出該選擇權的價格！

Zheng-Liang Lu

C(S ₀ , T) = S ₀ N(d ₁ ) − Xe ^−rT N(d ₂ )

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with

d ₁ = ln( ^S _X ^T ) + (r + ^σ ₂ ² )T

σ T , d ₂ = d ₁ − σ T

歐式買權封閉解

Wiki

Zheng-Liang Lu

均值回歸

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Zheng-Liang Lu

波動率微笑曲線

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Zheng-Liang Lu

47

Zheng-Liang Lu

隨機波動率模型

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Zheng-Liang Lu

⿊黑天鵝事件

49

https://www.moneydj.com/KMDJ/Wiki/WikiViewer.aspx?

KeyID=43c13f1c-68b9-45e8-b4e1-ed6a255cb6fe

Zheng-Liang Lu

Jump Model

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Zheng-Liang Lu

模型校準

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Zheng-Liang Lu

隱含波動率

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Zheng-Liang Lu

C = f(S ₀ , X, T, r, σ)

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不可直接觀測

Zheng-Liang Lu

⽜牛頓法

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數值⽅方法