國小五年級「線對稱圖形」單元教材與電腦化適性診斷測驗

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(12) II.

(13) Mathematical Teaching Materials and Computerized Adaptive Diagnostic Testing for Line Symmetrical Graphics of the Fifth Grade Abstract The goals of this research are to edit the materials, take the structure of knowledge as foundation, including teaching materials, media and remedial teaching, and work up the Computerized Adaptive Diagnostic Testing combined with Bayesian networks.To assess the effectiveness of system and materials, subjects were divided into two groups to carry out teaching experiments.One group of subjects use teaching materials and remedial teaching produced by researchers, another use existing textbooks and remedies.By comparison and analysis, some findings are outlined as follows_ 1. The diagnostic test takes knowledge structure as foundation, line symmetrical graphics as content for teaching.A total of three, is a copy of title, each have 27 questions.Test reliability is .831.Item difficulty indexs are between 45uv92u. Item discrimination indexs are all in .47 above. The diagnostic test has good quality. 2. Experimental group students using teaching materials produced by researchers have better average grades in pre-test than control group using textbooks significantly ( 88.38º84.10).It shows that this teaching materials is more valuable than existing textbooks. 3. Experimental group students using remedial teaching produced by researchers have better average grades in post-test than control group whose teachers use their own methods remediation significantly( 93.02º86.15).It shows that this remedial teaching is valuable for remedy. 4.The rate of saving items by Bayesian networks computerized adaptive testing(BNAT) is about 47% and prediction accuracy can reach over 93%. 5.With regard to the effect of BNAT,the average prediction accuracy of the error patten and sub-skills is above 94%.. Keywords: Line Symmetrical Graphics, Bayesian networks, computerized adaptive Diagnostic test,knowledge structure `. III.

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(19) 第一章. 緒論. 常見的教學方式，是不管學生的學習程度如何，每個學生的學習內容、學習進度都一樣，無法做到因材施教。然而，在少子化的現代社會中，學生在學習上的個別差異已逐漸受到重視，老師如何在有效的教學後，利用資訊科技，以最短時間、最有效的方式，個別化的診斷出學生的學習問題，再針對學習困難的地方進行補救教學，將是本研究欲達成的目標。本章分為四節，第一節、研究動機，第二節、研究目的，第三節、名詞解釋，第四節、研究範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 一般的教師在數學教完一個段落後，通常會以紙筆評量的方式瞭解學生的學習狀況，而且常見的方式是每個學生都寫同樣的考卷，若是測驗一整個單元，題目動輒二、三十題，時間一到便全部交卷。然而每個學生的學習程度不同，有些人很快就寫完了，只能等待全班完成後批改討論，白白讓時間流逝;有些人需要多一點時間思考，無法在老師給定的時間內完成，因此沒有寫完的題目就被當作是錯誤的，學生可能因此失去信心而自我放棄。有時一個段落所涵蓋的概念較多時，老師就必須出更多的題目，然而小學生的專注時間不長，到後來常會因為疲累而亂猜，如此便無法測出學生真正的能力。而且老師往往只看到學生的成績表現，卻不知道學生的錯誤概念為何，常常會有學生學會了一題，類似題卻還是錯誤的情形發生，只好給學生大量的題目當功課，反覆訓練的成果，學生終於「記」下來了，卻也很快忘記了，一教再教、一做再做，不止累壞了學生，老師自己也累壞了！這是臺灣的學生學習數學的現象，也是一個很大的問題。. 1.

(20) 此外，學習測驗結束後，即使老師有時間為學生進行補救教學，但大部分的補救教學方式都是針對不會的題目再講解一次，但學生通常是學會了「這一題」，而不是學會了這個「概念」！現在的教學仍是以口述傳授為主，缺乏活潑有趣的互動學習，學生上課的精神無法集中，不但會錯過老師講的重點，即使有不懂的地方也無法重新再聽一次，因為臺灣的學生大多數是不會舉手請老師再覆述的，而且學生亦缺乏課後的再學習。因此資訊融入教學早已是趨勢。現行的數學教科書，大部分都是在一個單元下，編列了數個小主題，每個小主題中呈現幾個常見的問題，最後是一個綜合性的練習題。大部分的老師都會直接以題目的方式來教導學生，因此，上課往往會以解題為主。有不少老師反應，這樣的編製結構較為鬆散，課程難易度較無次序性，學生較難有系統性的學習，對於學習的知識也沒有明確的概念，常常上完一個單元之後，對於學到的內容都只有模糊的概念。老師們亦反應，出版商提供的教師手冊較複雜厚重，不易使用。本研究除了欲編製以知識結構為基礎的教學教材，將單元內容分析成多個概念，並將概念間的關連性建構出來，讓學生學得更有系統、觀念更清楚。另外還編列教師使用的教學手冊，引導式的編排方式讓老師更容易上手。並製作教學媒體，讓老師在上課時輔以教學，吸引學生的注意力，讓學生回家後還能再複習。在評量方面則發展電腦化適性診斷測驗，來解決目前作數學評量時會遇到的問題。郭伯臣與曾彥鈞（2007）所開發之以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗（Bayesian Network based Adaptive Test，簡稱 BNAT），根據文獻，不但能縮短測驗時間，並有效節省測驗題數，學生在作答後能立即得到分數及在班上的百分等級，也能讓老師了解學生的錯誤概念而進行補救教學。因此研究者欲採用此測驗平台，以五年級數學「線對稱圖形」單元為例，設計適用於此系統的測驗，與編制以知識結構為基礎的教學教材與補救教材，提供教師教學「線對稱圖形」單元時使用。. 2.

(21) 第二節. 研究目的. 基於上述動機，本研究目的如下：壹、編製「線對稱圖形」單元之以知識結構為基礎之教材，包括教學教材、教學媒體與補救教材及電腦化適性診斷測驗。貳、比較本研究所開發之教學教材與現有教科書的教學成效。叁、探討電腦化適性診斷測驗之省題率和預測精準度。肆、探討貝氏網路的推論在適性選題與完整作答下的一致性。伍、比較本研究所開發之補救教材與以現有教材進行補救之成效。. 第三節. 名詞解釋. 壹、知識結構知識結構是將所有概念以網路聯結的結構方式表徵，將學生的知識概念分為上下位關係，下位概念是上位概念的基礎，先學下位概念再學上位概念，我們便可由此了解，學生某個概念不清楚可能是它的下位概念沒有學好，在補救教學時便從它的下位概念來補救。同時也可以節省測驗題數，若學生答對上位試題，那麼下位試題我們將視同答對，便可以省略不做，學生就可以有更多的時間進一步做補救教學或進階學習。. 貳、專家知識結構由一群學科專家，依據學理以及教學的經驗，將數學某一單元中，學生應具備的知識概念分析出來，每一個概念就是一個節點，將每一個節點的上. 3.

(22) 下位關係排列出來成一結構關係，就成了專家知識結構。專家知識結構主要運用在教材編製與測驗編製上。. 叁、學生知識結構利用專家知識結構，編製一份紙筆測驗，對學生作施測後，得到學生的作答反應。透過 OT 軟體（郭伯臣、田聖才，1995），分析學生的測驗資料後，就可以得到學生實際上對這些概念認知的上下位關係，即為學生知識結構。學生知識結構主要提供電腦化適性測驗選題的依據。. 肆、補救教學結構補救教學結構是以學生知識結構為基礎，再參照專家知識結構，經由學科專家共同討論修正後繪製而成。主要是提供老師進行補救教學時，先後補救順序的依據。. 伍、子技能子技能是學生學習「線對稱圖形」單元時，所應學到的基本能力。而本研究中的子技能，是以能力指標「5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。」為依據，由教授及學科專家共同分析，訂定出 16 個學生在學完此單元後，應具備的能力。. 第四節研究範圍與限制. 4.

(23) 壹、研究範圍本研究之內容範圍是以九年一貫數學能力指標「5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。」之相關單元「線對稱圖形」為限，從中分析出 16 個子技能與 23 個錯誤類型，以建立專家知識結構。. 貳、研究限制一、抽樣的限制本研究礙於時間、人力的不足，加上試卷印製與尋求協助施測班級需要較多經費，因此紙筆測驗預試僅於台中市、南投縣與彰化縣等三個縣市，有效樣本 312 人，若由此來推論學生知識結構之代表性會受到限制。而進行實驗時，為方便實驗班級之教師討論與交流，因此所選擇的六個實驗班級皆來自研究者所任教的學校，正式施測對象 191 人，所以研究的結果不宜做過度的推論。. 二、研究對象的限制本研究是要比較自編的教學教材與現有教科書的教學成效，及自編補救教材與教師自行使用的補救方式之補救成效，因此要在受試者未學過線對稱圖形單元且六個班級程度差異不大的情況下進行實驗，結果才能較為準確。. 三、測驗題型的限制為配合電腦化適性測驗系統的需求，測驗的題型為選擇題，因此評量功能會受到選擇題型的限制而無法測出學生的部分能力，亦較難避免猜測所造成的測量誤差。. 5.

(24) 6.

(25) 第二章文獻探討在相關文獻部分，本研究針對「線對稱圖形教材分析」、「貝氏網路」、「電腦化適性測驗」三個部分來探討。. 第一節. 線對稱圖形教材分析. 壹、「線對稱」在不同課程標準下的編排一、「線對稱圖形」在民國八十二年教育部頒布的課程標準（國立編譯館，1993）中，屬於數學科之「圖形與空間」教材內的「平面圖形」部份，其教材網要如下：表2-1-1 「平面圖形」之教材綱要年級. 教材內容. 一年級. 1.複製實物的面，分辨出類似三角形、四邊形及圓等圖形板的圖形 2.利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形 3.從實物中，分辨出類似長方體、圓柱體、球體、角錐等模型的形體，並觀察實物的面，分辨平面與非平面，進而認識三角形、四邊形與圓形. 二年級. 1.利用圖形板，拼排圖形，數出各圖形的數量 2.利用各種積木，堆積造形並數出各積木的數量 3.利用不同的數量，全等的圖形板，比較圖形的大小 4.透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象 5.利用以公分為刻度單位的直尺，畫出指定長度的線段. 7.

(26) 三年級. 1.透過製作的活動，了解三角形、四邊形的構成要素：角、邊、頂點及其個數 2.做出或畫出滿足部分條件（指定一邊或二邊的長度、周長或一些頂點）的三角形或四邊形 3.角的初步概念 4.透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角 5.利用直角，了解長方形、正方形、直角三角形的特性. 四年級. 1.使用量角器量角度及畫角 2.由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名 3.透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並作圖 4.由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形 5.透過直角認識直線的垂直與平行. 五年級. 1.透過圖形的疊合，認識全等的多邊形 2.透過實測活動，認識圓周率. 六年級. 1.透過操作活動，認識線對稱圖形 2.透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係註：灰底部分為學習線對稱圖形的先備知識. 二、九年一貫課程暫行網要（教育部，2001）中有關線對稱之分段能力指標及其闡釋：表2-1-2 線對稱之分段能力指標及其闡釋能力指標. 分段能力指標內容能辦認平面圖形上的線對稱關係。. S-2-7. 例： (1)教師提供平面對稱圖形(如：品….)，供學生觀察並發表心得。 (2)能對單一圖形以具體方式辨認其左右圖形是否完全疊合。. 8.

(27) S-3-8. 能瞭解平面圖形線對稱的意義。例：能透過格子點的引導辨識平面對稱圖形。能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。. S-4-6. 例：利用「對稱軸垂直且平分連接對稱點的直線」之性質檢驗平面上兩全等圖形間的直線是否為對稱軸。. 三、九年一貫課程網要（教育部，2003）中有關線對稱之分段能力指標及分年細目與詮釋： 1.分段能力指標 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 2.分年細目與詮釋表2-1-3 線對稱之分年細目與詮釋能力指標. 分年細目. 分年細目內容詮釋. 能認識線對 (1)能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找. 5-S-04. 稱，並理解簡. 出該圖形的對稱軸(可能不只一條)。理解哪些常. 單平面圖形. 見平面圖形具有線對稱的性質。. 的線對稱性 (2)知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並質。. 知道對稱軸兩側圖形全等(不需要證明)。 (3)知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。. 能理解平面圖形線對稱 8-S-10. 的意義. (1)以生活中的平面圖形為例，來理解單一圖形透過格子點作出線對稱的鏡射圖形。 (2)認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。 (3)兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。 (4)透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。. 9.

(28) 貳、「線對稱圖形」單元之教材地位 ◎第九冊 1.察覺鉛垂直線和水平直線互相垂直。 2.辨認比較正方形、長方形、梯形、平行四邊形的邊與角的性質。. ◎第九冊 1.三角形的內角和是180 度。 2.利用三角形內角和，解決多邊形的內角和問題。. ◎ 第十冊線對稱圖形 1.線對稱圖形的意義。 2.判斷線對稱圖形並找出對稱軸。 3.認識對稱點、對稱邊、對稱角。 4.知道對稱軸兩側圖形全等。 5.知道對稱邊相等、對稱角相等。 6.畫出線對稱圖形的另一半。. ◎ 第十二冊 1.依組成要素間的關係，比較兩圖形的異同，認識相似的圖形。 2.從相似圖形中，對應邊的比例關係，認識放大圖和縮圖。 3.藉由放大圖和縮圖的寬之比值，認識比例尺。 4.藉由縮圖和比例尺，估算實際長度。. 圖 2-1-1 南一版「線對稱圖形」單元之教材地位圖. 叁、線對稱圖形的定義、作圖與學習步驟一、線對稱圖形的定義線對稱圖形是一種較特殊的幾何圖形，人們常利用其結構的對稱性較有效地製作物件或圖案。線對稱圖形的定義，可就以下觀點說明： (一)日本數學教育協會（1987）與矢野健太郎（1990）的線對稱定義： 1.一平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180°後，完全重合，稱之。 2.兩平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180°後，其中一個與另一個完全. 10.

(29) 重合，稱之。 (二) 依民國八十二年國民小學數學科實驗課程教師手冊所指的定義（國民學校教師研習會，1998）： 1.操作型定義：一個平面上的圖形，如果可以找到一條直線，使兩側圖形全等，並沿著這條直線將此圖形對摺後，全等的兩半可以完全疊合，則此圖形稱為線對稱圖形。 2.幾何上的意義：一圖形若可找到一直線將其平分成兩半，使在其中一半內的任何點，都可在另一半找到一對應點，使得兩點連線恰被平分此圖形的直線垂直平分，則此圖形為一線對稱圖形。而線對稱圖形中，將圖形平分成可重合的兩半之直線，稱為對稱軸。. 二、線對稱圖形的作圖（吳和順，2007）線對稱圖形的作圖教學通常可以下列幾種方法完成：（一）剪圖法：將一張紙對摺，在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下（使透過兩半），然後展開，則可得一個線對稱圖形。（二）描繪法：利用雙面複寫紙或單面複寫紙皆可以畫出線對稱圖形。將一張白紙對摺，將複寫紙插入對摺紙之中間，使可透色的面和白紙之兩個內面接觸，然後在對摺紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圖形，畫好之後，將複寫紙取出，展開白紙，複寫紙透色的面即出現所要的對稱圖形。（三）利用對稱軸垂直平分對稱點的連結之特性：在白紙上畫出一條直線當做對稱軸（如圖 2-1-2 之（1）），接著於對稱軸的. 11.

(30) 一邊畫出線對稱圖形的一半（如圖 2-1-2 之（2）），定出一些關鍵點（如圖 2-1-2 之（3）中的 A、B、C），從 A 點畫一條和對稱軸垂直的直線，並在直線上取一點 D，使其到對稱軸之距離等於 A 點到對稱軸的距離，以同樣的方法找出 E、F 點。將 D、E、F 點連接起來，即得到一個線對稱圖形（如圖 2-1-2 中之（4））。. 圖 2-1-2 利用對稱軸垂直平分對稱點連結畫對稱圖形之步驟. 在國小是藉由對摺活動來引導學童線對稱的概念，後續再利用「對稱軸垂直平分對稱點的連結」之特性來完成一個線對稱圖形，不過國小階段的學童對於垂直且平分的概念仍屬萌芽階段，因此在繪製線對稱圖形時，會輔以格線來引導其方向及位置，以降低困難度。線對稱圖形中對稱軸一側的圖形皆能在另一側找到對應圖形，而軸線兩邊的對稱點之連線要能被對稱軸垂直平分。就好像將鏡子放在對稱軸的線上，圖形上的每一個點都可在鏡子所呈現的鏡像（mirror image）中找到相對應（map）的點。因此，我們可以翻轉的動作形式以及鏡射成像的物理現象加以說明並表示線對稱圖形的關係。(陳莉萍，2002). 三、線對稱圖形的學習步驟（引自黃雅琪，2007）對一個平面圖形而言，若能在此圖形上找到一條直線，沿此直線將圖形對摺，圖形上所有線條都能重合時，則稱此圖形為「線對稱圖形」。這項分年細. 12.

(31) 目內容透過摺紙疊合的操作、觀察的方式來進行學習，其學習步驟如下：（一）透過將兩圖形疊合的方式，認識全等圖形。（二）透過摺紙疊合、鏡射的方式，體驗線對稱圖形的現象，認識線對稱圖形及對稱軸。（三）透過摺紙疊合進行線對稱圖形的觀察，理解線對稱圖形的性質。 1.沿著對稱軸對摺，互相疊合的點稱為對稱點；互相疊合的邊稱為對稱邊，互相疊合的角稱為對稱角。 2.透過測量的方式，發現線對稱圖形的對稱邊等長、對稱角一樣大。（四）能繪製線對稱圖形。. 肆、線對稱概念相關研究國內外有很多針對線對稱概念的相關研究，將其整理如下表：表 2-1-4 線對稱概念之相關研究研究者. 研究發現. Hanfman(1934). 學生不易識別鏡像映射後的幾何圖像. Goldmeier(1937)；. 1.對稱型式是學童最基本的幾何型式，尤其是對稱軸為水平. Fitts,Weinstein, Rapoport, &Anderson(1956). 和垂直的對稱型式。 2.學童認知鉛直對稱軸之對稱圖像優於水平對稱軸之對稱圖像。. Levy&Ridderherim. 12 歲以下的學童無足夠利用對稱概念的能力，但隨年齡之增. (1958). 加，此種概念能力則有增加的趨勢. Genkins(1974). 可以盡早在幼稚園時期，指導學童利用摺紙方式來分辨兩邊對稱之圖形和非對稱之圖形，如此能提供學童學習興趣和熟悉各種不規則圖形. 13.

(32) 英國 CSMS. 學生在學習線對稱圖形時，有四項因素造成學生學習上的困. (1974-1979). 難度： 1. 對稱軸的傾斜程度：對學童而言，若對稱軸為鉛垂或水平方向較為容易，而傾斜的對稱軸較為困難。 2. 是否有格子：學生在繪製線對稱圖形時，若有格子引導其距離或方向，則困難度會降低。 3. 圖形之複雜度：單獨點的對稱較為容易，當圖形愈複雜，孩子愈難正確繪製或作答。 4. 圖形之傾斜度：若圖形的擺放是正的，學生在判別時會比較容易，若是傾斜的圖形，則會提高困難度。. Kuchemenn(1981). 完整的線對稱概念應包含下列成份： 1.給定物與對稱軸，會畫出物的對稱圖形。 2.給定兩物，能判斷是否存在對稱軸。 3.能完整的說明經過對稱後，物與其對稱圖形的特性。 4.能將物與對稱軸儲存於腦中，進行抽象的變換操作。 5.有逆變換的觀念。. Bidwell,Woodward, & Buckner(1987). 1.藉由調整鏡面與桌面之夾角的角度，自0°→180°，我們可以讓學生發現：線對稱圖形的另一半與原半邊圖形可以0° 至180°的方式進行「空中翻轉」以獲得。 2.藉由鏡中的成像，我們可以透過視覺上的觀察，檢驗某幾何圖形是否為線對稱圖形。. Joan（2001）. 線對稱圖形的種類可分成許多種： 1.兩側對稱（bilateral symmetry）又叫做鏡對稱（mirror symmetry），是指一個完整圖形的兩半，彼此互為鏡像時則稱之。 2.手狀對稱（chiral symmetry）是發生在同時有兩個物件時，. 14.

(33) 單獨的物件本身並不需要具有對稱的性質，只要此兩物件呈現如同右手與左手般的成對狀即可。 3.幾何對稱（geometric symmetry）只會發生在當圖形是正多邊形與正多面形（regular polygons and polyhedrons）時。 4.反覆對稱（repetitive symmetry）發生在將某一圖形以相同方式進行重複的操弄，此方式可以是反射、旋轉或平移，所組成的整個平面的對稱圖形。魏金財（1990）. 1. 點、線對稱概念學習者的心理歷程包括了察覺對稱的特性、發現對稱圖形的關係、建構對稱的規則和應用對稱規則等四個歷程。 2. 在課程設計上，點、線對稱概念的前期概念分散於小學數學科五年級前各個單元中，而點、線對稱的上層概念則為國中階段的圖形與空間的整合概念。 3. 大部分的兒童能用一般的語言說出對稱的特性，但要兒童用數學的語言去描述對稱概念或要求兒童畫出正確的對稱圖形，就不是一件容易的事。. 劉湘川、劉好、許天 1. 中年級學童具有辨別『點對稱』特徵，仍需借助圖卡操作維（1994）. 判斷，多數學童將具有辨別『點對稱』圖形視為『線對稱』圖形，而呈現所謂二元逆轉現象。 2. 學童的對稱概念發展方面，愈高年級發展的愈完整，但是在小學中年級之幾何概念發展層次，多數已達到 Van Hiele 第 0 層次視覺期〈識別〉，有一些達到第 1 層次分析期，接近第 2 層次關係期者僅為少數。. 劉湘川、劉好（1994） 1. 對稱圖形的辨別中，學童普遍清楚左右對稱現象，上下對稱的特性次之，對稱軸為傾斜之現象則較不熟悉。 2. 在鏡射概念方面，發現學童對鏡映像的前後、左右關係不. 15.

(34) 甚了解，經給予實際鏡子操作後，始較能體會鏡映現象。 3. 二年級學童比一年級學童概念清楚，顯示二年級學童比一年級多一年的學習，在這方面的能力較為成熟。陳莉萍（2002）. 1.當對稱軸傾斜30°、45°、60°時，學童在解題上容易發生困難。 2.除了平面圖形外，線對稱關係也可以在三維空間中展現，未來可進行立體線對稱關係的探究。 3.比較單一線對稱圖形與兩個圖形合併成線對稱圖形的解題差異。 4.未在釘點上製圖，容易造成學童的解題失敗。. 左台益和陳天宏. 1. 學生對於線對稱的心智圖像主要是以生活經驗的印象為. （2002）. 主，對於線對稱概念的操作性質則以摺紙為主，鏡面反射則較少，可能與小學學習對稱的經驗有關。 2. 國中生線對稱概念心像的典範現象為鉛垂線方向，至於其比例依年級的高低順序愈來愈高，是因為高年級學生的錯誤率降低，更可看出對稱軸方向幾乎都是鉛垂或水平方向。. 邱俊宏（2004）. 運用電腦輔助教學來學習「線對稱圖形」的國小六年級學童，其數學學習成就上的表現較傳統教學來得好，且接受電腦輔助教學的男學童在數學學習保留方面較一般教學法的男學童高. 16.

(35) 肆、「線對稱圖形」之錯誤類型一、線對稱圖形之錯誤類型相關研究 Ashlock(1990),和Brown & Burton(1978)曾在其研究中指出:分析學生錯誤類型的過程對於老師及學生是有幫助的。教師愈瞭解學生的錯誤類型及想法，則愈能掌握學生的數學學習問題，且更能根據問題提供有效的教學，以減少學生的學習困擾。（陳卿斌，2005）. 表2-1-5 線對稱圖形之錯誤類型相關研究陳天宏. 造成學童錯誤概念的因素. （2003）. 1.類似概念線對稱概念與點對稱概念類似，學童容易誤以為兩種圖形是相同的，概念的相似形容易造成混淆。 2.平行影響學童常容易把線對稱概念與平行性質連結在一起而造成迷思。 3.部分子概念影響整體概念學童常在判斷線對稱圖形時，只考慮了部分屬性，而因忽略其他屬性而造成迷思。. 朱莉文. 1.不清楚線對稱的意義. （2005）. 2.對角頂點的連線誤判成是對稱軸 3.認為能將圖形分成兩個看起來一樣的線就是對稱軸，誤認為折起來會重疊 4.憑直覺，對平行四邊形、等腰梯形觀察欠仔細 5.認為形狀一樣、相似或擺的方位感覺一樣就是全等 6.對全等的意思混淆不清，以直覺判斷 7.不知道對稱軸、對應邊、對應角的意義. 17.

(36) 余婷筠. 1.不易掌握什麼是旋轉 180 度。. （2005）. 2.無法掌握旋轉 180 度後的情形是如何。 3.知道是轉 180 度，但忽略了需大小相同才能完全重合。 4.在線對稱上沒有注意圖形並沒有完全一樣。 5.在線對稱上可能覺得圖案都一樣就忽略大小的差距，或是只注意大小卻忽略圖案並不完全一樣。 6.看見線對稱圖形不知道如何找對稱軸或是找錯對稱軸。. 二、本研究線對稱圖形之錯誤類型與相關研究對照表本研究根據上面的文獻資料，找出了幾點相關的錯誤類型，而其它的錯誤類型，則是研究者在進行子技能與錯誤類型的分析之前，先出一份線對稱圖形單元的錯誤類型輔助檢測試卷，試卷所包含的試題相當廣泛，題型大多數是填充題、計算題、問答題與作圖題，請 35 位已經學過線對稱圖形單元的學生進行測驗，為的是要從學生的作答過程中得到學生的思考模式，進而了解學生會犯什麼樣的錯誤類型。在學生作答完後，蒐集所有答錯的題目，並訪問學生的想法，將學生的錯誤概念一一記錄下來後，訂出 23 個錯誤類型，作為本研究中編製測驗題選項的依據。. 表 2-1-6 錯誤類型與相關研究對照表代號. 錯誤類型（操作型定義）. 相關研究與實例說明. B1. 無法判斷出正確的對稱軸. 余婷筠（2005）. B2. 以為全等即為線對稱圖形. 余婷筠（2005）. B3. 忽略顏色亦是判斷對稱圖形的特性之一. 陳天宏（2003）. B4. 無法找出全部的對稱軸. 余婷筠（2005）. B5. 不懂線對稱圖形的定義. 朱莉文（2005）. 18.

(37) B6. 把看不到的一面當作是空白. B7. 忽略對稱軸兩邊圖形要大小相等. 余婷筠（2005）. B8. 不懂對稱角、對稱邊、對稱點的定義. 朱莉文（2005）. B9. 以為部分對稱即可為線對稱圖形. 陳天宏（2003）. B10. 以為中心為圓形即有無限多條對稱軸. B11. 對稱軸只考慮單一方向（水平或垂直）. B12. 忽略圖形在格子中的位置. B13. 不懂對稱軸垂直平分連接對稱點的線段. 陳天宏（2003）. B14. 圖形判斷錯誤. 朱莉文（2005）. B15. 直接以題目中的數字當作答案. B16. 直接以題目中的數字任意計算. B17. 沒有除以 2. 19. 陳天宏（2003）. 朱莉文（2005）.

(38) B18. 計算周長時，邊數數錯. B19 誤將對稱軸的兩端點疊合（與正確折法垂直）. B20. 對稱點的位置錯誤. B21. 對稱邊的位置錯誤. B22. 對稱角的位置錯誤. B23. 對稱軸重複數了 2 次. 第二節. 朱莉文（2005）. 貝氏網路. 壹、貝氏網路的簡介貝氏網路是一個應用十分廣泛的工具，特別是人工智慧系統、電腦化科學、. 20.

(39) 決策學、工程學(蘇俊和，2002)。因為貝氏網路是以非循環有向圖 (Directed AcyclicGraph, DAG)為基礎，應用其變數之間的因果關係，與其相互影響的機率，所以，貝氏網路也叫做貝氏信念網路(Bayesian belief networks)、信念網路(Belief networks)、因果關係網路(Casual networks)、機率網路(Probabilisticnetworks)或是知識地圖(Knowledge map)。貝氏網路(Bayesian network)是一種機率性專家系統 (廖嘉雄，1999)，利用圖形來表現的模式，如圖2-2-1，圖形包含節點(node)與有方向性的連結(link)，連結之間的有無表示節點之間的關係為條件相依或條件獨立的情形，沒有連結表示兩節點是條件獨立。如節點A與節點B，兩者之間並沒有連線，表示節點A並不會影響節點B的發生。圖中有一個箭頭從節點A 指到節點C，表示節點A“引發＂節點C，那麼節點A就稱為為父節點（Parent node），節點C稱為子節點（Child node），A、C 二節點之間有因果關係。而在本研究中，節點是代表技能、錯誤類型以及試題。. 圖2-2-1 貝氏網路基本型態. 使用貝氏網路，可以在不確定的條件下進行推理，結合直覺跟經驗上的優勢，用數學的模式呈現，並且可以用一致的角度，判斷初始機率影響不確定性的推論，例如：Xenos 用貝氏網路來預測及評價學生的行為表現。他在遠距教學的模式下，基於過去學生的經驗，用貝氏網路建構大學電腦課程的學生行為模式，利用這個模式，可以預測學生的未來行為，幫助教師在教育程序上做決策，也能. 21.

(40) 評估學生現行的狀況，讓教師及時識別學生的錯誤，以及不好的學習，適時的提出糾正，掌握學生的情況（黃河銓、謝錦泉，2006）。貝氏網路具有學習的能力，因此網路內各變數的事前機率可以主觀的設定，藉由使用者提供之證據逐步修正各變數的相關機率值，直到各變數之機率值達一穩定狀態 (潘俊帆，2001) 。所以它可以預測可能的結果並做出適當的決策。若將貝氏網路應用至考試中，更能以最少的題目達到測試某考生真實程度的目的。. 貝氏網路是根據貝氏定理所建立的，而貝氏定理則是西元1763年在貝士 (Thomas Bayes，十八世紀英國牧師)的遺著中所發現的。貝氏定理（Bayes theorem）是機率論中的一個結果，它跟隨機變數的條件機率以及邊緣機率分佈有關。在有些關於機率的解說中，貝氏定理能夠告知我們如何利用新證據修改已有的看法。通常，事件A在事件B發生的條件下的機率，與事件B在事件A的條件下的機率是不一樣的；然而，這兩者是有確定的關係,貝氏定理就是這種關係的陳述。它的數學式為：. P(A|B)=. P(A∩B) P(A)⋅P(B|A) = P(B) P(B). 條件機率P(B|A)表示給予A的條件之下，B發生的機率。機率P(A)和機率P(B)表示 A和B各自發生的機率。P(B|A)，P(A)和P(B)在研究中是先用訓練的資料求得（楊智為，2007）。因此，若已知貝氏結構圖中某觀測節點之先驗機率值，則可依貝氏定理推論出其他所要觀察節點的條件機率值，同時可產生P(A|B)的機率表，此條件機率表即為貝氏網路推論的基礎（李俊儀，2004），以下舉例說明。. 22.

(41) 範例一﹕ 以圖2-2-2 兩個節點的貝氏網路結構圖為例，可以算出全部節點的聯合機率 P(A,B)，將條件機率P(B|A)乘上P(A)得到，根據貝氏定理，可以推論求條件機率 P(A|B)，例如變數A和變數B的狀態符合ai及bj，其機率為P(A=ai|B=bj)，即： P(A|B) =. P(B|A)‧P(A) P(B). A. =. P(A , B) P(B). B. 圖2-2-2 兩個節點貝氏網路結構圖. 在多節點的貝氏網路中，令T=(Y1,Y2,Y3,...,Yn ) 為所有變數的範圍，其聯合機率P(Y1,Y2,Y3,...,Yn ) 為P(T)，若在T中條件獨立依然成立，那麼P(T)便可以從貝氏網路的條件機率中被明確的算出來，那麼聯合機率分佈P(T)即為所有的條件機率的乘積，其數學式子如下(Jensen, 2001)： P(T)= P(Y1,Y2,Y3,...,Yn ) n. = ∏ P(Yi | Y1,Y2,Y3,...,Yn-1) i =1 n. = ∏ P(Yi | pa(Yi)) i =1. 其中，P(Yi | Y1,Y2,Y3,...,Yn-1)= P(Yi | pa(Yi)). 在此pa (Yi )為Yi的父節點。. 範例二﹕ 學者Pearl(1988) 將貝氏網路中，變數之間的影響用因果關係來表示。當變數A確定有影響變數B的因果關係時，從A到B將產生一個相依的連結邊。如圖. 23.

(42) 2-2-3是一個多節點貝氏網路結構圖，節點A是節點B的父節點，節點B是節點A 的子節點，而條件機率是P（B|A）。節點B和節點C是節點D的父節點，條件機率是P（D| B,C）。則此貝氏網路全部節點的聯合機率則為 P（A,B,C,D）＝P（A）P（B|A）P（C）P（D|B,C）. A C. B. D 圖 2-2-3 多節點貝氏網路結構圖. 因此，若已知觀測節點D的機率值，就可依貝氏定理，求其他節點發生的條件機率，如下： P(A,B,C|D)=. P(A,B,C,D) P(D). 貳、貝氏網路建立的步驟總結以上的觀念，要建立貝氏網路來作推論，必須取得研究資料樣本後，先根據資料及學科專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路結構模型，再根據資料來進行推論。建立模型的過程分成以下三個步驟：（李俊儀，2004）. (一) 對問題中，設定所有可觀測和未觀測對象的聯合機率分布，以及先驗機率，這模型中節點的連結，要符合該領域資料群體特性及專業知識。 (二) 以觀測到的資料當證據計算和解釋後驗分布，再以觀測的資料當證據，求出網路中，所感興趣的未. 24.

(43) 觀測節點之條件機率。 (三) 評估後驗機率的正確率將模型填入這些資料適合嗎？這後驗機率對建立模型中所要知道的節點推論是否正確？. 根據以上三個步驟的檢視後，建立一個完整的貝氏網路模型，將可根據此貝氏網路模型來進行推論。. 叁、貝氏網路在教育上的應用貝氏網路是近年來在一些專業領域上相當熱門的判斷方法，目前被廣泛且熱門的應用於生物科技、搜尋引擎等專業領域中，其推論之正確率成效顯著，極受好評。就其應用的領域特性和教育領域中學習錯誤類型的診斷，有異曲同工之處，都包含了不確定性的因素成分以及變項多的特性，所以將貝氏網路應用於教育測驗上應是有其可行性。由於數學是一門結構性較強的知識，先前許多研究已顯示貝氏網路在數學教育領域中的錯誤診斷上是具有其成效性，並也累積了豐富的研究成果。茲將與貝氏網路應用於教育之相關研究整理如表2-2-1 ：. 表2-2-1 貝氏網路在教育測驗上之應用研究整理研究者. 研究題目. 研究內容. 莊惠萍、貝氏網路在數學領探討以國小五年級「立方公尺與體積」單元為林立敏、域「數與量」主題測例，以「立方公尺與體積概念錯誤類型」為診郭伯臣、驗之應用 -- 以國小斷單位，嘗試採用機率推論為基礎的貝氏網路陳世銘. 五年級學童「立方公作為分析工具，應用於診斷學生錯誤類型的可. (2005). 尺與體積」單元為例行性。. 25.

(44) 李俊儀. 以貝氏網路為基礎探討以國小四年級數學科「面積」單元為例，. （2005）的電腦化適性測驗利用試題證據訓練貝氏網路，比較不同選題策選題策略-以國小數略，建構試題結構，提供電腦化適性測驗時，學科診斷測驗為例. 選題的依據。. 蘇文君、貝氏網路在數學領探討以國小五年級「等值分數」單元為例，以汪端正、域「數與量」主題測「等值分數錯誤類型、子概念」為診斷單位，郭伯臣. 驗之應用- 以國小五採用貝氏網路作為分析工具，並嘗試以「子概. （2006）年級「等值分數」單念間具有上下位關係的元為例. 貝氏網路架構」進行診斷，看看是否比過去相關研究所採用的分析模式，在辨識子概念與錯誤類型的有無上，能達到更正確的結果，以期提供教師另一種較之過去更精準的測驗分析方法。. 施淑娟應用貝氏網路認知以貝氏網路的方法論著手，發展學生模式與證 (2006). 診斷模式進行國小據模式，建立一個以貝氏網路為基礎的錯誤類五年級小數單元學型與子技能認知診斷模式，並以國小五年級數習診斷之研究. 學學習領域中「小數」單元作為特定應用領域，而後評估此貝氏網路認知診斷模式應用於實際數學學習診斷的有效性。. 黃雅鳳. 以貝氏網路為基礎以國小六年級數學領域之五個能力指標為例，. （2006）之能力指標測驗編探討以證據為中心的評量架構並結合貝氏網路製及補救教學動畫推論工具的評量診斷模式，嘗試建置一套方便製作 – 以六年級數有效的診斷系統。學領域之「分數小數」相關指標為例林垣圻. 以貝氏網路為基礎以國小四年級數學科「面積」單元為例，利用. 26.

(45) （2006）的適性測驗電腦化試題證據訓練貝氏網路，選用AO演算法來作為的可行性評估-以國選題策略，建構試題結構，以建立實體的電腦小數學科診斷測驗線上診斷系統，來分析了解。收集學生實際在為例. 線上作答的情況，以貝式網路作為分析的工具，討論其正確率，作為實體線上診斷是否可行的參考。. 吳仁奇. 以貝氏網路為基礎以貝氏網路作為分析工具，探討應用貝氏網路. （2006）之能力指標測驗編於診斷學生錯誤類型的可行性，同時將子技能製及補救教學動畫納入分析，探討哪些子技能會影響到這些錯誤製作－以五年級數類型的產生，並發展一套以九年一貫課程五年學領域分數相關指級數學領域能力指標為基礎的智慧型線上測驗標為例. 及補救教學系統，讓學生透過網際網路參加測驗並立即得知自己的測驗結果、作答情形以及是否出現錯誤類型的診斷報告，並根據錯誤類型的分布狀況，進行線上適性化補救教學。. 楊智為. 以 SVM 結合多重貝欲使用SVM應用於多重貝氏網路所獲得的辨識. （2007）氏網路在教育測驗資訊來探究辨識率是否能得到提升的效果。結上的應用. 果顯示，以後驗機率值輸入SVM分類器的方法最佳，能有效的結合多重貝氏網路，提升辨識率。. 楊裕貿、語文領域數位個別研發結合試題順序理論與貝氏網路之國民小學何名倫、指導模式之研發 — 本國語文「議論文」電腦化適性診斷測驗與數楊淑菁、以「議論文」為例. 位個別指導教材整合之教學模式。. 趙日彰（2008）. 27.

(46) 經由上述研究結果顯示，透過貝氏網路提供圖形化的結構及強而有力的機率推理模式，能幫助教學者分析出學生的錯誤概念，有效診斷出學生學習數學單元或能力指標之錯誤類型及能力學習成果，提供具體有效的診斷訊息與回饋。且在前述研究中有多位研究者發現，該研究中之診斷結果能進一步轉化為進行教學修正與補救教學的依據，研究結果亦可作為後續建立貝氏網路的電腦化認知診斷系統之重要基礎。. 28.

(47) 第三節電腦化適性測驗. 一般的適性測驗可以分為以試題反應理論(Item Response Theorem; IRT)為主的結構，以及利用知識或試題結構為主的電腦適性測驗兩種，說明如下(何政翰，2004)：. 壹、以試題反應理論為主的電腦化適性測驗以試題反應理論為主的電腦化適應測驗，是根據考生先前的表現情形，來決定下一階段將呈現給受試者作答的試題，而且這樣的試題是能對考生能力的估計精確性提供最大訊息量。透過這樣的機制，使得測驗的長度可以縮短，也不會犧牲測量精確性。換言之對於高能力的受試者無需提供較為容易的試題作答，對於低能力的受試者，也不會有試題難度太高而造成心理上的打擊，因為這些試題是相對於他們的能力水準來選取的。因此就電腦化適性測驗來說，不僅可以做到精確估計考生能力來進行「因材施測」，更可節省許多施測時間和成本。 (Hambleton & Swaminathan, 1985)。. 貳、以知識或試題結構為主的電腦化適性測驗 Chang et al(1998)曾經以直流電路為例，設計診斷錯誤概念的測驗系統，並做為教師補救教學的參考，如下圖2-3-1，假設有一份試卷，每題的選項除正確選項之外，其餘選項皆被設計成與某一種錯誤概念有關，某生作答第2題時，若選擇2a選項即可判斷學生可能擁有某一錯誤概念且與第8題有關，故必須再進行第8題的測驗。若學生選擇選項8a，便可判斷該生有錯誤概念M1；若學生選擇選項8b，便可判斷該生有錯誤概念M2；同理，若該生選擇選項8c，便可判斷該生有錯誤概念M3，如果學生在第二題中選擇的是選項2b，則可對應到錯誤概念M3，. 29.

(48) 唯有選擇2c 時才能確定學生沒有M1至M4這四種錯誤概念。. 第2題. 選項8a. 選項2a. 選項2b. 第8題. 錯誤概念M4. 選項8b. 選項2c. 正確選項. 選項8c. 錯誤概念M1 錯誤概念M2. 錯誤概念M3. 圖2-3-1 試題結構為主的電腦化適性測驗流程. 此研究之優缺點如下：優點： 1. 根據受試者作答之題型來決定下一題題目，以達適性化測驗之效果。 2. 依據受試者作答之選項、答案來推論受試者之錯誤類型，可精確診斷出每一位受試者之錯誤類型，以達個人化適性測驗需求。. 儘管優點是很明顯的，不過我們也發現幾個問題，例如： 1.當試題為選擇題或可猜測性時，不易診斷受試者的錯誤概念。 2.出題的困難度高，出題時需考慮答案與錯誤概念之間的關係，最好由該領域的學者或資深教師來完成出題。 3.無法確定所有適性測驗路徑皆可診斷所有錯誤概念。. 30.

(49) 本研究旨在編製一套涵蓋教學、測驗與補救的教材與測驗系統，也就是學生做完電腦適性測驗之後，老師必須得到該生的錯誤概念，以便進行補救教學，因此本研究選擇發展以知識或試題結構為主的電腦化適性測驗。. 叁、以知識結構為基礎之電腦化適性測驗選題策略在郭伯臣（2003）國科會補助研究計畫「國小數學科電腦化適性診斷測驗 (I)(II)(III)」研究中指出，學生知識結構較適合用於描述學生學習後之狀況，因此可作為適性測驗進行時如何選擇「最佳下一題」的依據，且能藉此節省大量試題、節省測驗時間，並精確診斷出學生的錯誤概念（曾彥鈞，劉育隆，郭伯臣，2006）。而在郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎(2005)的研究中比較「順序理論」(ordering theory, OT)、「試題關聯結構分析法」(item relationship structure analysis,IRS)及 Diagnosys三種估計試題結構的方法後發現，使用OT結構之適性測驗選題策略，所需訓練樣本較少且可節省較多施測題數（郭伯臣，2003），優於IRS與Diagnosys，所以本研究採用「順序理論」來進行試題結構分析，並作為電腦適性診斷測驗選題策略的依據。其原理如下：. A B D. E. C F. G. H. I. 圖2-3-2 以知識結構為基礎的適性測驗選題策略示意圖. 以圖2-3-2例，從B指向A是表示A為B的上位試題，B為A的下位試題，若某生. 31.

(50) 答對試題A，表示以下的B到I試題都會答對。若試題A是答錯的，則必須再往下施測試題B、C。若試題B答對、試題C答錯，則只需再施測試題G、H、I，比較紙筆測驗必須將試題A到I全部作答，此適性測驗可節省試題D、E、F這3題。. 肆、適性測驗題庫的建置陳怡如、吳慧珉、黃碧雲（2004）在其研究中，建立出一套編製適性測驗題庫的方式，希望作為日後發展電腦化適性診斷測驗的基礎，為了將試題電腦化，試題的題型為選擇題。其方法為：一、編製紙筆預試測驗（一）編製知識結構的原則以單元教材中所呈現的課程內容及概念教學的順序作為分析的主體（蘇文君，2008），分析出重要的解題概念，按照學習的先後次序給予階層性的排列，並以連結線表示概念間的關係，建立出該單元的知識結構。編製知識結構的原則如下： 1.每一個節點代表的是單一概念。此處的概念不同於九年一貫的能力指標，而是將指標分成幾個大概念，再將每一個大概念細分成一些小概念，一個節點只能用到一個概念。例如：「能了解對稱點、對稱邊、對稱角的定義」，這樣就包含了三個概念，不能放在同一個節點，而是要分成「能了解對稱點的定義」、「能了解對稱邊的定義」、「能了解對稱角的定義」三個節點。 2.每一個節點都可以出題。列出的每個節點都是設計試題的依據，若無法以選擇題方式呈現，如：「畫出線對稱圖形的另一半」為作圖題，不列入節點。 3.學會上位節點便可推論受試者學會下位節點。. 32.

(51) 如：「辨別線對稱圖形」為「了解線對稱圖形的定義」之上位節點，因此若受試者能辨別線對稱圖形，就能推論其已學會線對稱圖形的定義。 4.同層節點難度可能不一。例如：「利用刻度找出線對稱圖形的另一半」與「從一半的線對稱圖形辨別完整圖形」屬於同一層的節點，但其所包含的概念難度不一定一樣。 5.要注意文字題與非文字題的不同。非文字題是指沒有文字描述生活情境的計算題，文字題則是有加入生活情境的應用題，它們具有難度上的差異，並可能具有上下位關係。 6.當無法明確界定節點間次序性時，宜定義為無次序性。雖然有些節點所包含的概念是有相關性的，但無法明確說其有上下位關係，便應定義為無上下位關係。. （二）知識結構檢核表其用途是在初步選定能代表節點的概念後，再進一步評估節點的內容及次序性是否適切：. 表2-3-1 知識結構檢核表項目. 檢核內容. 是. 一. 每個節點是否都是代表單一概念？. 二. 每一個節點是否都可以出題？. 三. 節點間的次序性是否都明確合理？. 四. 節點的設定是否將數字大小列入考量？. 五. 節點的設定是否考量到文字題與非文字題的不同？. 六. 節點的敘述是否清楚明確？. 33. 否.

(52) 七. 節點的設定是否符合教學目標？. （三）命題程序單元的知識結構建立了以後，便可依下列的命題程序進行命題： 1.依據知識結構，再參考課程資料命題，每一個試題都只針對一個節點出題。 2.依照知識結構和課程資料選定合適的試題結構類型，設計出適當的題幹。為了將試題數位化，試題形式以選擇題為主。 3.依據題幹內容，設計正確選項及誘答選項，而誘答選項是以第一節中所探討的錯誤類型為依據。 4.完成試題後，由領域專家、學者進行校對，檢驗試題的設計是否符合節點的內容，並驗算正確選項的合理性。. 二、進行預試並蒐集學生作答反應。. 三、分析學生的資料，以OT軟體建立學生的知識結構，並分析試題的難度、鑑別度及信、效度，以作為修題的依據。. 四、建立貝氏網路結構，將正式的題本數位化後，題庫的建置便完成。. 34.

(53) 第三章. 研究方法. 本研究主要在編制以知識結構為基礎的教學教材與補救教材，及建立結合貝氏網路的適性診斷測驗系統，以「線對稱圖形」單元為例，根據九年一貫能力指標，建立此單元的專家知識結構及貝氏網路結構，再由學生的作答反應進行學生試題結構分析，以順序理論建立學生知識結構。研究中以知識結構結合貝氏網路，求出貝氏網路的最佳辨識率，以了解學生在學習「線對稱圖形」時可能會產生的錯誤類型，並利用貝氏機率統計方法進行資料的分析，並以學生知識結構來建立補救教學系統並驗證其成效。. 本章共分成六個部分:一、研究流程；二、研究對象；三、研究工具；四、實驗設計；五、資料收集與分析。. 第一節研究流程本研究是利用知識結構分析法，以九年一貫能力指標「5-S-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。」為依據，分析學生必須具備的概念，也就是子技能，將這些概念結構化後，編製一份紙筆預試測驗，經一群學者與領域專家共同檢討、修正後，便進行預試。從學生的作答反應得到學生的知識結構，並透過資料的分析結果修正不當的試題，而得到正式的題本，並從正式題本中再編製兩份複本題，並以此建立電腦化適性診斷測驗題庫。同時開發以知識結構為基礎的教學教材、輔助媒體及補救教材，便可進行實驗，來驗證所編製的教學教材與補救教材之成效、評估電腦化適性診斷測驗系統之辨識率、省題率與精準度。最後依分析的資料撰寫研究結果。本研究流程如圖3-1-1：. 35.

(54) 蒐集文獻，分析能力指標「5-s-04」，訂出此能力指標下的子技能與錯誤類型。. 建立專家知識結構編製預試試題. 編製教學教材及媒體. 建立貝氏網路. 進行紙筆預試. 作答資料分析. 修正試題. 建立學生知識結構. 編製複本題建立補救教學結構數位化試題. 編製補救教學教材. 進行實驗. 分析結果. 撰寫研究報告. 圖 3-1-1 研究流程圖. 36. 建立電腦化適性診斷測驗.

(55) 本研究依據上述研究流程進行實驗設計，為了順利達成本研究的目的，提出下列研究方法:. 壹、「線對稱圖形」單元之子技能與錯誤類型從文獻中分析五年級數學「線對稱圖形」單元之能力指標（5-S-04）之內涵，訂出本單元之子技能。其代號對應表如表 3-1-1。從文獻中及實際測驗後得到學生對線對稱容易產生的錯誤概念，其與子技能的對應表如表 3-1-2。而錯誤類型是編製試題選項的依據，因此列出其與試題的對應表如表 3-1-3。. 表 3-1-1 子技能代號對應表代號. 子技能（skill）內容. S1. 瞭解線對稱圖形的定義. S2. 辨別線對稱圖形. S3. 辨別對稱軸. S4. 瞭解對稱點的定義. S5. 瞭解對稱邊的定義. S6. 瞭解對稱角的定義. S7. 知道對稱軸兩側圖形全等. S8. 利用刻度找出線對稱圖形的另一半. S9. 從一半的線對稱圖形辨別完整圖形. S10. 找出有幾條對稱軸. S11. 找出對稱點. S12. 知道線對稱圖形中，對稱軸垂直平分連接對稱點的線段. S13. 找出對稱邊. S14. 對稱邊的計算. 37.

(56) S15. 找出對稱角. S16. 對稱角的計算. 表 3-1-2 錯誤類型與子技能的對應表代號. 錯誤類型（Bug）. 對應的子技能（Skill）. B1. 無法判斷出正確的對稱軸. S3、S9. B2. 以為全等即為線對稱圖形. S2、S8. B3. 忽略顏色亦是判斷對稱圖形的特性之一. S3. B4. 無法找出全部的對稱軸. S10、S8. B5. 不懂線對稱圖形的定義. S1. B6. 把看不到的一面當作是空白. S9. B7. 忽略對稱軸兩邊圖形要大小相等. S7. B8. 不懂對稱角、對稱邊、對稱點的定義. S4、S5、S6. B9. 以為部分對稱即可為線對稱圖形. S2. B10. 以為中心為圓形即有無限多條對稱軸. S10. B11. 對稱軸只考慮單一方向（水平或垂直）. S2、S10. B12. 忽略圖形在格子中的位置. S8. B13. 不懂對稱軸垂直平分連接對稱點的線段. S12. B14. 圖形判斷錯誤. S8、 S9. B15. 直接以題目中的數字當作答案. S14、S16. B16. 直接以題目中的數字任意計算. S14、S16. B17. 沒有除以 2. S14、S16. B18. 邊數錯誤. S14. B19 誤將對稱軸的兩端點疊合（與正確折法垂直） B20. 對稱點的位置錯誤. 38. S11、S13、S15 S9、S11.

(57) B21. 對稱邊的位置錯誤. S13. B22. 對稱角的位置錯誤. S15. B23. 對稱軸重複數了 2 次. S10. 表 3-1-3 錯誤類型與試題的對應表代號. 錯誤類型（Bug）. 對應的試題（Item）. B1. 無法判斷出正確的對稱軸. I3、I9. B2. 以為全等即為線對稱圖形. I2、I8、I19. B3. 忽略顏色亦是判斷對稱圖形的特性之一. I18. B4. 無法找出全部的對稱軸. I10、I21. B5. 不懂線對稱圖形的定義. I1. B6. 把看不到的一面當作是空白. I9. B7. 忽略對稱軸兩邊圖形要大小相等. I7. B8. 不懂對稱角、對稱邊、對稱點的定義. I4、I5、I6. B9. 以為部分對稱即可為線對稱圖形. I17. B10. 以為中心為圓形即有無限多條對稱軸. I10、I21. B11. 對稱軸只考慮單一方向（水平或垂直）. I2、I17、I21. B12. 忽略圖形在格子中的位置. I8、I19. B13. 不懂對稱軸垂直平分連接對稱點的線段. I12、I23. B14. 圖形判斷錯誤. I8、I19、I20. B15. 直接以題目中的數字當作答案. I14、I16、I27. B16. 直接以題目中的數字任意計算. I14、I16、I25、I27. B17. 沒有除以 2. I14、I27. B18. 邊數錯誤. I25. B19 誤將對稱軸的兩端點疊合（與正確折法垂直）. 39. I11、I13、I15.

(58) B20. 對稱點的位置錯誤. I9、I11、I22. B21. 對稱邊的位置錯誤. I13、I24. B22. 對稱角的位置錯誤. I15、I26. B23. 對稱軸重複數了 2 次. I10. 貳、編製教學教材與補救教材教學教材的編製，是以專家知識結構中的子技能節點順序，編寫教學用的紙本教材，包含教師用的「教師教學手冊」與學生使用的「學生單元講義」，及另外還有輔助教學的媒體，以Microsoft Power Point 軟體編製。再以專家知識結構為基礎，融合學生知識結構，成一補救教學結構，如附錄三，再依補救教學結構編製補救教學教材，以利老師指導及學生學習。. 叄、依錯誤類型及專家知識結構編製測驗試題依據上述之錯誤類型及專家知識結構（如附錄一）中的子技能節點編製紙筆測驗，根據命題卡(如表3-1-4)來編製試題，命題卡中包含要達成的子技能、試題題幹及四個選項，其中除了正確選項，其他三個選項都會對應一個錯誤類型，若學生選擇錯誤選項，則對應的錯誤概念就是補救教學的依據。編製一道試題後，接著會再編製兩道複本題，用以比較學生在做完補救教學後，成績是否達到顯著性的進步，以驗證補救教學教材的成效。而複本題的錯誤概念必須與正本題一致。表中呈現的子技能：「找出有幾條對稱軸」，共出了兩題正本題、四題複本題，因為該子技能搭配了四種錯誤類型，而一道題目最多呈現三種錯誤類型，因此必須出兩道題目來涵蓋這四種錯誤類型，再加上該子技能是本單元的重要概念，可以出2～3道題目來測驗學生。. 40.

(59) 表3-1-4 命題卡編號 (S10) 找出有幾條對稱軸（） 1. 下圖是一個線對稱圖形，請問它總共有幾條對稱軸？. 題目. c 4 選項反應類型. d 8. 選項 1 （B4）無法找. e 16. f 無限多. 選項 2. 選項 3. ◎. 選項 4. （B23）對稱軸重複（B10）以為中心為. 出全部的對稱. 數了 2 次. 軸. 圓形即有無限多條對稱軸. （） 101. 下圖是一個線對稱圖形，請問它總共有幾條對稱軸？. 題目. c 3 選項反應類型題目. d 6. 選項 1 （B4）無法找. e 12. f 無限多. 選項 2. 選項 3. ◎. 選項 4. （B23）對稱軸重複（B10）以為中心為. 出全部的對稱. 數了 2 次. 軸. 圓形即有無限多條對稱軸. （） 102. 下圖是一個線對稱圖形，請問它總共有幾條對稱軸？. 41.

(60) c 2 選項反應類型. d 4. e 8 f 無限多. 選項 1. 選項 2. （B4）無法找出全. ◎. 部的對稱軸. 選項 3. 選項 4. （B23）對稱軸. （B10）以為中心. 重複數了 2 次. 為圓形即有無限多條對稱軸. （） 2. 下圖是一個線對稱圖形，它有幾條對稱軸？. 題目. c 1 選項反應類型. d 3. 選項 1. e 5 f 無限多選項 2. 選項 3. 選項 4. （B11）對稱軸只考（B4）無法找出 ◎. （B10）以為中心. 慮單一方向（水平. 為圓形即有無限. 全部的對稱軸. 或垂直）. 多條對稱軸. （） 201.下圖是一個線對稱圖形，它有幾條對稱軸？. 題目. c 1 選項. 選項 1. d 3. e 5 f 無限多選項 2. 類型（B11）對稱軸只考（B4）無法找出 ◎. 42. 選項 3. 選項 4 （B10）以為中心.

(61) 慮單一方向（水平全部的對稱軸. 為圓形即有無限. 或垂直）. 多條對稱軸. （） 202. 下圖是一個線對稱圖形，它有幾條對稱軸？. 題目. c 1 選項. 選項 1. d 3. e 5 f 無限多選項 2. （B11）對稱軸只考（B4）無法找出 ◎ 類型慮單一方向（水平全部的對稱軸或垂直）. 選項 3. 選項 4 （B10）以為中心為圓形即有無限多條對稱軸. 本研究共建立 16 個學生應具備的子技能成為專家知識結構的節點，每個節點編製 1～3 道試題，共 27 題。經學者專家審查後，組成試卷以進行紙筆預試。. 43.

(62) 肆、建置貝氏網路架構圖，找出最佳的分類決斷值依據能力指標、子技能、錯誤類型及試題間的關聯性，建置本研究所欲探討的貝氏網路架構圖(附錄四)，以下摘錄貝氏網路圖的部分(圖3-1-2)提出說明如下:. 試題. 錯誤類. 子技能. Item1 B01 無法判斷出正確的對稱軸. Item3. B02 以為全等即為線對稱圖形. Item8. B03 忽略顏色亦是判斷. Item17 Item18 Item19 Item21. S1 瞭解線對稱圖形的定義. 對稱圖形的特性之一 S2 辨別線對稱圖形 B05 不懂線對稱圖形的定義 B09 以為部分對稱即可為線對稱圖形. S3 辨別對稱軸. B11 對稱軸只考慮單一方向（水平或垂直）. 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。. 5-s-04. Item2. Item9. 能力指標. 圖3-1-2 貝氏網路結構圖（擷取部分）. 左方為試題編號，接著依序分別為錯誤類型編號及說明、子技能編號及說明以及能力指標編號及說明，圖中黑色單箭頭實線部份代表兩者之間有所關聯，如錯誤類型B01，與試題3、試題9間以黑色單箭頭實線連結來表示關聯性。再將貝氏網路架構圖中，各節點間的連結情形，資料輸入MATLAB7.0中，給予不同的分類決斷值，產生對應的正確辨識率結果，以利後續對貝氏網路最佳辨識率所在的分類決斷值資料進行分析與判斷。. 44.

(63) 伍、建置貝氏網路電腦化適性診斷測驗系統在做完紙筆預試之後，依學生的作答反應，研究者與領域專家共同對預試資料進行人工分析，判斷學生錯誤類型、子技能及能力指標之真正有無情形，稱為「真值」，以此建立貝氏網路圖，再利用Microsoft Excel軟體，依貝氏網路圖建立 dag矩陣，如此完成訓練貝氏網路所需的資料，將試題數位化後，上傳至郭伯臣與曾彥鈞所架設之BNAT系統，如此便可讓受試者在網路上作自我能力的檢測。. 陸、補救教學結構之建立為了針對學生不足之處進行補救教學，以學生知識結構為基礎再融合專家知識結構的邏輯，發展出適合進行補救教學之結構，能夠比專家認定的結構更貼近學生實際學習後的結果，也更能有系統的進行補救教學（郭伯臣，2006）。所以經編製知識結構經驗豐富的國小教師進行學生與專家的結構整合，以建構出最適合教學的模組，本研究中的補救教學結構（如附錄三）之建立即以學生知識結構（如附錄二）為主，再參酌專家知識結構（如附錄一），並將相關的節點放在一起成一個補救節點。其建置的過程分析如下：結構分析：一、「S1 與 S2」分別是「了解線對稱圖型的定義」、「辨別線對稱圖形」，兩個節點在教學時通常都會一起教，如果學生需補救線對稱圖形的定義，則講解定義完後會舉例並請學生辨別哪些是線對稱圖形；相反的，如果要補救辨別線對稱圖形，也一定要先說明線對稱圖形的定義，因此將兩個節點合併為一個補救節點。二、「S4、S5 與 S6」三個節點分別是對稱點、對稱邊、對稱角的定義，在同一個題目中同時補救會達到更好的效果，因此將三個節點合併為一個補救節點。三、「S11、S13 與 S15」三個節點分別是找出對稱點、對稱邊、對稱角，為方便. 45.

(64) 老師進行教學，可以在同一個圖形上講解，因此將三個節點合併為一個補救節點。四、「S8 與 S9」分別是「利用刻度找出線對稱圖形的另一半」、「從一半的線對稱圖形辨別完整圖形」，兩個節點有連慣性，性質也相近，因此可合併為一個補救節點，學生學習會更有整體性。五、「S14與S16」是「對稱邊的計算」與「對稱角的計算」，兩個節點可以在同一個題目中同時補救，因此合併為一個補救節點。. 第二節研究對象. 本研究含試題預試及正式施測兩個階段，選取的研究對象說明如下：. 壹、預試對象（試題預試階段）預試對象採立意取樣，為訓練貝氏網路，需要較大量的樣本數，因此，選擇十個已經教完「線對稱圖形」單元的班級，皆為六年級學生，包括台中市四個班、南投縣五個班及彰化市一個班，共 320 位受試者，扣除掉未完整作答的學生後，有效樣本為 312 人。. 貳、教學實驗對象（正式施測階段）實驗對象採立意取樣，以研究者任教的五年級 10 個班中，選取 6 個班級，其中 3 個班級作為實驗組，共 96 位學生；另外 3 個班作為對照組，共 95 位學生。對照組使用的教材版本是南一版。. 46.

(65) 第三節研究工具. 本研究所需的研究工具為自編的國小五年級「線對稱圖形」單元之診斷測驗、OT 軟體、相關的統計軟體及 BNAT 適性化診斷測驗系統，將各個項目說明如下：. 壹、OT 軟體 OT 軟體（郭伯臣、田聖才，1995）在本研究中是要找出學生的知識結構，瞭解學生子技能學習的上下位關係。其應用竹谷誠的試題關連結構分析法（IRS）及 Airasian & Bart 的順序理論（OT）所發展出來，利用二元資料分析出學生的試題順序結構圖（如附錄五），再由研究者轉成學生知識結構圖（如附錄二），作為適性測驗的選題策略。. 貳、MATLAB 7.1 版 MATLAB 是一種數值分析模擬軟體。郭伯臣、謝典佑（2007）利用 MATLAB 軟體開發貝氏網路測驗分析軟體 Test Analysis Software based on Bayesian Network(TASBN)，作為分析貝氏網路資料的工具，本研究即採用 TASBN，輸入受試者之能力指標、子技能、錯誤類型、試題等資料，來計算貝氏網路的辨識率。. 叁、BNAT 適性診斷測驗暨學習系統本研究利用郭伯臣、曾彥鈞所開發之貝氏網路線上測驗平台，進行電腦適性診斷測驗。依據貝氏網路為推論引擎來進行電腦診斷測驗和補救教學實驗，並結合 OT 順序理論將試題依上下位關係排列，具備立即的診斷能力（謝典佑，2006）。. 47.

(66) 肆、SPSS 中文視窗版以此軟體分析實驗設計中，不同組別的前、後測表現，實驗組的前、後測差異水準及測驗試題的信度等，以瞭解自編的教材、測驗系統與補救教學是否都能達到預期的效果。. 第四節實驗設計. 本研究是要建立「線對稱圖形」的適性診斷測驗系統與搭配此系統的教學教材與補救教材，為驗證其成效，採準實驗設計，以團班教學進行教學實驗。選擇南投縣某國小五年級六個班級為研究對象，指派 3 個班級為實驗組，使用研究者編製的教學教材與補救教材；3 個班級為對照組，使用現有的教科書，而補救教學則採一般的補救方式。兩組在實驗中的安排如表 3-4-1：. 表 3-4-1 教學實驗分配表流程項目. 實驗組（96 人）. 對照組（95 人）. 起點能力. 線上診斷測驗（一節課）. 線上診斷測驗（一節課）. 教學實施. 使用自編教學教材（五節課）. 使用現行教學教材（五節課）. 前. 線上診斷測驗（一節課）. 線上診斷測驗（一節課）. 補救教學. 使用自編補救教材（一節課）. 使用現行教材補救教學（一節課）. 後. 線上診斷測驗（一節課）. 線上診斷測驗（一節課）. 測. 測. 而實驗的進行流程如圖 3-4-1。. 48.

(67) 實驗組. 對照組起點測驗. 使用自編教學教材. 使用現有教科書. 教學後進行 BNAT 線上施測（前測）. 使用現有教材補救. 使用自編補救教學教材. 進行 BNAT 線上施測（後測）. 資料分析圖 3-4-1 實驗流程圖六個班級皆做了三次的線上診斷測驗，這三次測驗所使用的題目與時間對照表，如表 3-4-2：表 3-4-2 測驗與題目對照表題目. 測驗時間. 起點測驗. 卷一. 40 分鐘. 前. 測. 卷二. 40 分鐘. 後. 測. 卷三. 40 分鐘. 49.

(68) 其中卷一、卷二與卷三是研究者依據預試資料的分析結果修正後的正式題本，將試題數位化後上傳至 BNAT 適性診斷測驗系統，學生再依照測驗的要求選擇試卷，而三份試題皆為複本題，每位學生在實驗後系統都會記錄 3 個測驗成績。. 關於實驗流程，詳細說明如下：. 壹、起點測驗：兩組皆在正式教學前實施「起點行為」測驗，目的是要瞭解各班學生在一開始的程度上是否有顯著性差異。雖然此時學生尚未學習「線對稱圖形」單元，只能以一些模糊概念來作答，但因此更能確立兩組學生在進行正式教學前的起點能力是否有顯著差異。. 貳、單元教學：實驗組使用研究者編製的教學教材及 PPT 教學媒體，對照組則使用現有教科書、習作及教具。教學時間同樣是五節課，一節課 40 分鐘。. 叁、前測：實驗組與對照組的學生在單元教學完畢後，利用一節課的時間進行第二次的線上診斷測驗，稱為「前測」，目的是要了解學生在進行正式教學後的測驗成績，與教學前的成績之差異。. 肆、補救教學：利用一節課的時間，實驗組使用研究者編製的補救教學教材，依補救教學結構，由系統提供的錯誤率統計表中，從全班錯誤率較高的節點，依據補救教學結構，. 50.