101指考數乙-非選

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101 學年度指定科目考試數學乙非選擇題參考答案

數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請詳見本中心將於 8 月 15 日出刊的《選才電子報》。 101 學年度指定科目考試數學乙各大題的參考答案說明如下：

第一題

1. 說明f x( )在區間 1   中的最大、最小值發生在端點。 x 1 【解法一】將 f x( )配方得 2 2 ( ) 2 ( 1) ( ) f x ax  ax b a x  b a ，故知( 1, ba)為函數圖形y f x( )的頂點；因此 f x( )在區間 1   中的最大、最小值發生在x 1 1   x 或 1 時。【解法二】將 f x( )微分得 f x( )2ax2a2 (a x1)，故 f(1)=0，得知 f x( )在x 1時有極值，因此二次函數 f x( )在x 1時有最大（或最小）值；從而知 f x( )在區間

  

1 x

1

的另一端點x1時有最小（或最大)值。 2. 接著依a 的正負分別討論： (1)當a0時： f x( )的函數值在區間 1   隨x 1 x值增加而增大，可知最小值發生在x  處，而最大值發生在1 x1處。由題意可列式得 3 2 7 b a a a b         ，解得( , )a b (1, 4)。 (2)當a0時： ( )f x 的函數值在區間   隨1 x 1 x值增加而減少，可知最大值發生在x 1處，而最小值發生在x1處。由題意可列式得 7 2 3 b a a a b         ，解得( , )a b  ( 1,6)。註：必須先說明 f x( )在區間 1   中的最大、最小值發生在端點，否則將被x 1 扣分。

(2)

第二

第(1 第(2 1.求 2.求 3.說

二題

1)題 設每趟貨車 20x      2)題 求出頂點或畫由(1)之聯此可行解求出目標函數由「甲商品數為 ( ,f x 說明在x60 【解法一將四點由表中 (60, 40) 得最大【解法二畫出正所圍區車運送甲商 , 0 100 10 160 x y x y x y      畫出可行解聯立不等式可解區域為凸四數品每箱的利 ) 1200 y x 0,y40可一】點分別代入目 ( , ( , x y f x 完全正確的 ) 處。因此應利潤為 112 】正確的可行解域）。由於 商品 x 箱、乙 0 00 ，其中

x

解區域可繪出可行四邊形，其利潤為 1200 1000  y 。 可得最大利潤目標函數 (f ) (0, 0) , ) 0 y y 的四個函數應讓每趟貨 2000 元。解區域（標示 ( , ) 12 f x y 2 乙商品 y 箱

,

x y

為非負整行解區域如下其頂點為(0, 0 0 元，乙商品潤 ( , ) 120x y  (80, 0) (6 96000 1 數值，比較其貨車運送甲商示邊界、頂 200x1000 。由題意可整數。下圖的灰色 0)、(80, 0) 品每箱的利 0x1000y 60, 40) (0, 12000 10 其大小可知商品 60 箱點 (0, 0)、( 0 y 所定直線 可列不等式色區域（含邊、(60, 40) 利潤為 1000 ，可得： ,100) 0000 知利潤最大值、乙商品 4 (80, 0)、(60 線之斜率為式組為邊界）：、(0, 100)。 0 元」得目標值發生於 40 箱，此時 0, 40)、(0, 1 為 6 5  ，當直標函時可 100) 直線

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註： 1200x 介於 1 1. 若以頂點進而比較 2. 若以平行所定直線 1000  yk 1與 2 之間點法解題（解較其大小才能行線法解題線之斜率 6 5  在可行解區間，故得知在解法一），必能得到結論（解法二）， 6 5介於1與 3 區域掃動時在x60,y 必須列出目標，任何計算錯必須標示出與2之間，才時，因目標函 40  時，可標函數在四個錯誤（即使不出正確的可行才能得知最大函數所定直可得最大利個頂點的完全不影響答案行解區域，並大值發生在頂直線之斜率 利潤 112000 全正確函數值案）均將被扣並說明目標函頂點 (60, 40) 6 5  元。值，分。函數 ) 。