以LMI 方式設計離散時間無限維系統之控制器

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

以 LMI 方式設計離散時間無限維系統之控制器

Contr oller Design for Discr ete-Time Infinite Dimensional Systems

Using the LMI Appr oach

計畫編號：NSC 88-2213-E-002-089

執行期限：87 年 8 月 1 日至 88 年 7 月 31 日

主持人：馮蟻剛 臺灣大學電機系

一、中文摘要 在本計畫中討論無限維參數系統在邊 界控制下的強健穩定性問題。對於控制訊 號由邊界進入之無限維系統，提出一個處 理其強健穩定性的分析方式。 此一分析方式首先將邊界控制問題轉 換成一個在內插空間上的歌西問題，使得 一般狀態空間的分析方式得以引入。 對於幾類具有特殊形式的無限維參數 系統，本計畫亦提出了較容易的計算方 式，並給予一個例子以說明所推導理論的 計算方式。 關鍵詞：無限維參數系統，邊界控制，強 健穩定性 Abstr act

In this report, we consider the stability robustness problem for infinite dimensional systems with boundary control inputs.

We first translate the problem into a standard Cauchy problem in certain interpolation space. In such an interpolation space, the boundary control robustness problem can be represented as a standard Cauchy problem with zero boundary conditions, therefore some standard stability robustness analysis methods can be modified to find the robustness bounds..

For certain types of infinite dimensional systems, a practical computation method is

developed so that numerical results are easier to obtain.

Keywor ds: infinite dimensional systems,

boundary control problem, stability robustness 二、緣由與目的 關於無限維參數系統的研究，有相當多 的研究方向是受有限維系統中的結果所啟 發。在半群理論(Semi-group Theory)的發 展下，的確看到無限維參數系統有許多性 質是與有限維系統的表現相當接近[5,8]。 但探究由偏微分方程所描述的無限維系 統，則可看出邊界值問題是常微分與偏微 分方程所描述系統間的最大差異。 在由偏微分方程所描述的系統中，外界 的能量交換通常是在邊界上進行，也因 此，邊界控制問題一直是在實際物理及工 程應用上所必須面對的問題。 在[7]的研究中，曾經討論了特定無限 維參數系統的強健穩定性問題，但所討論 的系統侷限在沒有邊界控制的情況下，也 因此並無法解決控制信號需由邊界進入的 情況。 關於無限維參數系統的邊界值問題，文 獻上可看到由 Lion[6]等人在 60 年代中所 提 出 關 於 跡 (Trace) 及 跡 算 子 (Trace Operator)的處理方式，詳細討論並引入了 內插空間(Interpolation Space)以解決此種 邊界值的問題。 在本篇報告中，我們參考由 Amann[2] 等關於邊界問題的處理模式，巧妙的將邊

2 界值問題轉換為在內插空間上不具邊界輸 入的問題模式。這種問題形式則可直接應 用 於 在 [7] 所 導 出 關 於 強 健 穩 定 性 的 結 果，而直接處理具有邊界控制項的強健穩 定性問題。 三、研究方法與成果 　　 令 Z 為一希伯特空間(Hilbert Space)， Z Z A D A0 : ( 0)⊂ → 為一定義在 Z 上的無 界算子(Unbounded Operator)，D(A0)在 Z 中 為 稠 密 (Dense) ， 且 為 閉 算 子 (Close Operator) 。 由 A 產 生 出 的 線 性 半 群₀ (C Semigroup)為₀ T₀(t)。考慮如下之系統        = = = + = 0 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z t Cz t y t g Ez t Bu t z A t z dt d (1) 其 中 B∈L(U,Z),C∈L(Z,Y) 為 有 界 算 子 (Bounded Operator) ， E 為 邊 界 算 子 (Boundary Operator)。u(t)及g(t)為控制輸 入訊號，y(t)為輸出訊號。並假設(1)所描 述 的 系 統 為 指 數 穩 定 (Exponentially Stable)。定義A 的相對有界算子(Relative₀ Bounded Operators)J(A₀)為 J(A₀)={A|D(A₀)⊂ D(A), Az ≤α A₀z +β z } 考慮擾動算子 A_i ∈J(A₀),i =1,...,N₀,及以 下的受擾動系統:         = = = + + =

∑

− 0 1 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 z z t Cz t y t g Ez t Bu t z A k A t z dt d N i i i (2) 令u(t)=0,g(t)=kN₀+1y(t)，即只考慮由邊 界所提供的輸出回受控制，整理得如下之 包含擾動項之輸出迴授控制系統：        = ⋅ = + = + −

∑

0 1 1 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 z z t Cz k t Ez t z A k A t z dt d N N i i i (3) 注意在ki =0,i =1,...,N₀ +1下，由(3)所描述 的系統為指數穩定。 令

[

]

T N k k k= 1,..., ₀+1 ，考慮由(3)所描述 的系統，則一邊界強健穩定性問題即是找 到 k 的一個上界 k 使得當 k <k時由(3)所 描述的系統仍是指數穩定。 在[7]中曾經討論了在沒有邊界輸入之 下的強健穩定性問題，而在具有邊界控制 項下，我們引入在內插空間(Interpolation Space)下的表達式，以處理邊界控制問題。 定義 1 若X⊂Y, X, 為 Hilbert 空Y 間 ， A:X→Y為 正 定 自 伴 算 子 (Positive and Self-Adjoint Operator) ， 對 任 意

1 0≤θ ≤ ， 定 義 X 與 Y 之 間 的 內 差 空 間 為： ) ( ] , [X Y_1−θ =D Aθ (4) 在內差空間的定義下，我們可由A 建₀ 構出一組內插空間A0,_s。首先，對於整數 0 ≥ s 定義 ( ( ₀), ) s s s D A H = • ，而對於s<0 定 義 H_s 為 ( ( ₀), ) s s A D • 所 完 備 化 (Completion)之空間。接著，對於s≥0令 s A0, 為A 在0 H 下的實現(Realization) ，而s 0 < s 時 則 為 A 在₀ H 的 閉 延 拓 (Closed_s Extension) 。 再 令 H_α =[H_s,H_s+1]_α−s, Z s s s<α < +1, ∈ ，及A0,_α為 A0,s在H 下α 的實現s<α <s+1,s∈Z。在此程序下，我 們 有 了 一 組 由 A 所 建 構 出 的 函 數 空 間0 } ), , {(Hα A0,α α∈ℜ，且每一A 產生一線性0,α 半群 A t e t T α α( ) 0, , 0 = 。 有 了 這 組 由 A 所 產 生 的 函 數 空 間₀ } ), , {(Hα A0,α α∈ℜ ，令ρ(A0)為A 之預解0 集(Resolvent Set)，我們引入系統(3)在內插 空間中的表達式。

3 定理 2[2] 給定一σ∈ρ(A₀)，則存在 一β∈(0,1)及一線性算子R ，使得由(3)所_β 描述的系統與下述之系統       = − + + = − + − − −

∑

0 1 , 0 1 1 1 , 1 , 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 z z z C R A I k t z A k A t z dt d N N i i i β β β β β σ (5) 在由H_β−1所決定的測試函數(Test Function) 下其弱解(Weak Solution)是一致的。 以下的引理是敘述主要結果所必須 的： 引理 3 (σI−A0,_β−1)R_βC_β為一A0,β−1之 相 對 有 界 算 子 ， 即 (σI −A_0,β−1)R_βC_β ∈ ) (A_0,β−1 J ， 且 其 相 對 有 界 係 數 (Relative Bounded Coefficient) 為 β β β α = R C , β β β σ β = ⋅ R C 。 下面的定理是主要的結果: 定 理 4 若 由 (5) 所 描 述 的 系 統 在 0 = i k 時為指數穩定，且為正規算子，亦即 有 µ,ϖ >0 使 得 _{T t e} ϖt β β−1 ₋₁ ≤µ − , 0 ( ) 。 令 zdt T T z P ₀ 0, 1 * 1 , 0 1 , 0 − ∞ − − =

∫

β β β ，且令 1 1 1 , 0 * 1 , 1 , 1 , 0 1 , ) ( inf − − − − − − = + = β β β β β A A P z z P k i i z i 1 1 2 1 1 (2(1 ) ) 0 0 0 − + + + = + _N + _N N r k β ϖ µ α 其中 1 1 , 0 1 , 0 − − ₋ = A _β P _{β β} r ，令 1/2 1 1 2 ) ( 0 − + = −

∑

= N k i k k 則當 k <k，由(3)所描述的系統仍為指數 穩定。 定理 4 所描述的為一般性的結果，此 結果在實際的計算上不太方便，故而對較 特殊的A 我們給出下面的結果：₀ 系 理 5 若 A_0,β−1 為 自 伴 算 子 (Self Adjoint)，且對每一個擾動A_i,β−1其相對有 界係數α , 均為已知，則_i β_i 1 ) ( + − ≥ β ϖ µ αi i k , i=1,...,N0 +1 若對所有的擾動的相對有界係數皆是 已知，則類理 5 的結果提供了一個相當簡 單估計強健穩定範圍的方式。下面是一個 說明的例子。 範例 6 考慮如下的熱傳導方程式：            =         =           ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

∫

0 2 1 1 2 2 ) 0 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 , ( ) 0 , ( ) , ( ) 1 ( ) , ( z z dx z t z x g dx z t z x g k t t z t t z x t z x x t t z (6) 很容易可以檢查當k1 =0時此系統為指數 穩定。給出相對應之算子： ) 1 ( ₂ 2 0 − ∂ ∂ = x A           ∂ ∂ ∂ ∂ = ) 1 , ( ) 0 , ( t t z t t z Ez ,         =

∫

∫

g x z t z dx dx z t z x g Cz ) , ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 選 擇σ =0∈ρ(A0)， 4 3 2 1 < <β ， 並 選 取 2 1,g g 使得 C _β =1，則有 β β R k1 ≥ 1 故當 1 1 k k < 由 (6) 所 描 述 的 系 統 仍 為 指 數 穩 定。 四、結論與討論 在本報告中提出了一個處理包含邊界 迴授控制無限維參數系統的強健性問題分 析處理方式。對特定形式的系統及擾動亦 給出一較為簡易的計算方式。報告中並包 含一個範例作為說明。

4 五、計畫成果自評 本計畫雖以離散時間無限維系統做為 開始之研究對象，但在研究過程中，發現 無限維參數系統之邊界控制問題十分特 別，且具有其理論重要性，因而轉移研究 目標。在新的研究目標中，我們發展出一 套新的理論，使邊界控制之處理方式更為 系統化。此部分結果目前正投稿國際期刊 中。 六、參考文獻

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