國立交通大學
土木工程學系
碩 士 論 文
簡諧點荷重之基盤反應
Response of Half-Space Medium due to Harmonic Point Load
研 究 生：方彥鈞
指導教授：劉俊秀 教授
簡諧點荷重之基盤反應
Response of Half-Space Medium due to Harmonic Point Load
研 究 生：方彥鈞 Student：Yen-Jhun Fang
指導教授：劉俊秀 Advisor：Gin-Show Liou
國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
A ThesisSubmitted to Department of Civil Engineering College of Engineering
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Civil Engineering
November 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
i
簡諧點荷重之基盤反應
學生：方彥鈞
指導教授：劉俊秀
國立交通大學土木工程學系
中文摘要
本研究主要之目的為探討環境外力對於台灣光子源屏蔽隧道區所產生之波 傳振動問題。 本論文為採用有限元素法套裝軟體 ABAQUS，以三維模型進行頻率域分析。 首先須驗證 ABAQUS 軟體分析波傳問題之精確性，接著再以收斂性分析之結果 建立實際案例模型，針對簡諧點荷重作用下的強迫振動進行數值模擬。 最後，在實際案例分析中，將分為三個主題來探討，第一個主題為對於無開 挖之土壤，有無放置屏蔽隧道區之比較，結果顯示有放置屏蔽隧道區之位移反應 會較小；第二個主題為對於全開挖之土壤，有無放置屏蔽隧道區之比較，結果顯 示有放置屏蔽隧道區之位移反應會較小；第三個主題為對於放置屏蔽隧道區之 後，土壤有無開挖之比較，結果顯示全開挖之土壤其位移反應會較小。 而在實際案例 2 分析中，對於半開挖之土壤，有無放置加速器環館之比較， 結果顯示在鉛垂向振動所產生之位移，其測點 A 之 Ur會變小， Uz為變大，而測 點 B 之位移則皆為變小；在水平向振動所產生之位移，不論是在測點 A 還是測 點 B，其Ur皆會變小，Uz則會有兩種情況，在低頻時變小，高頻時變大。 關鍵詞：ABAQUS、彈性波傳理論、有限元素法ii
Response of Half-Space Medium due to Harmonic Point Load
Student：Yen-Jhun Fang Advisors：Dr.Gin-Show Liou
Institute of Civil Engineering
College of Engineering
National Chiao Tung University
ABSTRACT
The main goal of this research lies on analyzing wave propagation problem at the storage ring tunnel of Taiwan Photon Source.
The finite element program ABAQUS is selected for analysis. First, we set up an ideal model and analyzed it to obtain numerical solutions by changing element sizes and domain sizes. Then we compared the numerical solutions with the theoretical solutions in order to examine the accuracy and convergence of the program. After that, we discussed how to select proper parameters to model the real situations. And then, wave propagation in half-space medium caused by harmonic point load is analyzed.
In these analysis, the results for the case without tunnel will be compared with that with tunnel, and the results without excavation will be compared with that with excavation. By the comparisons, one can observe that the vibrations, for the case with tunnel and the vibrations for the case with excavation are smaller.
iii
誌謝
在研究所修業期間，承蒙恩師 劉俊秀教授於研究及學業上悉心指導與教 誨，師恩浩瀚，永誌於心。同時也感謝 鄭復平教授以及 黃炯憲教授在百忙之中 撥冗擔任口試委員，於口試期間詳細審閱及斧正，賜與寶貴意見，使得論文倍臻 完善，謹此表達誠摯之謝意。 在論文研究期間，承蒙王俊超學長與郭恆志學長照顧與協助，在數值程式部 分要特別感謝已經畢業的孫紀戌學長提供我許多相關知識，還要感謝學弟兼朋友 的碩亨、翊文、耕白、騏瑋、子堯、秉洋、哲維、正鼎、佳皓以及佳哲等，為我 的生活增添不少的樂趣。因為有你們的扶持與鼓勵，我才能順利拿到碩士學位， 感謝上天賜給我這麼多人生的良伴，讓我一路走來倍感溫馨。 最後要感謝我的家人，感謝爸爸、媽媽在經濟、生活上的全力支持，使我可 以無憂無慮的專心為學業而衝刺，謹將本論文獻給我摯愛的家人。iv
目錄
中文摘要 ... i ABSTRACT ... ii 誌謝 ... iii 目錄 ... iv 表次 ... vii 圖次 ... viii 第一章 緒論 ... 1 1.1 研究背景... 1 1.2 研究目的與方法 ... 2 1.3 研究內容... 2 第二章 彈性波傳理論 ... 3 2.1 彈性波傳簡介 ... 3 2.2 彈性波傳控制方程式 ... 3 2.2.1 壓力波 ... 6 2.2.2 剪力波 ... 7 2.2.3 雷利波 ... 8 2.2.4 波速比較 ... 11 第三章 數值模擬分析 ... 13 3.1 分析軟體簡介 ... 13 3.2 基本模型... 14 3.2.1 材料參數與土壤阻尼 ... 14 3.2.2 分析模式與施力方式 ... 16 3.2.3 採用元素與邊界條件 ... 16 3.3 簡諧外力作用於剛性基礎上（半徑 12.5m） ... 16 3.3.1 收斂性探討 ... 17v 3.3.2 網域範圍探討 ... 17 3.3.3 元素大小探討 ... 19 3.4 簡諧外力作用於剛性基礎上（半徑 25m） ... 21 3.4.1 分析結果與探討 ... 21 3.5 簡諧外力作用於半無限域上 ... 22 3.5.1 分析結果與探討 ... 23 3.6 所需電腦資源 ... 24 3.7 模型驗證 ... 25 3.8 小結 ... 26 第四章 案例分析 ... 28 4.1 基本模型 ... 28 4.2 土壤無開挖之分析 ... 29 4.2.1 分析結果與探討 ... 29 4.3 土壤全開挖之分析 ... 31 4.3.1 分析結果與探討 ... 32 4.4 綜合分析 ... 34 4.4.1 分析結果與探討 ... 34 4.5 小結 ... 36 第五章 案例分析 2 ... 39 5.1 基本模型 ... 39 5.2 收斂性分析 ... 40 5.2.1 分析結果與探討 ... 40 5.3 土壤半開挖之分析 ... 42 5.3.1 分析結果與探討 ... 43 5.4 小結 ... 44 第六章 結論與建議 ... 46 6.1 結論 ... 46
vi
6.2 建議... 47
vii
表次
Table 3.1 ABAQUS 單位表格[11] ... 50 Table 3.2 最佳模型大小/元素尺寸 ... 50 Table 3.3 各模型元素與節點數目 ... 51 Table 3.4 各模型所需之運算時間 ... 52 Table 5.1 土壤半開挖之收斂性分析（鉛垂力-測點 A） ... 53 Table 5.2 土壤半開挖之收斂性分析（鉛垂力-測點 B） ... 53 Table 5.3 土壤半開挖之收斂性分析（水平力-測點 A） ... 54 Table 5.4 土壤半開挖之收斂性分析（水平力-測點 B） ... 54 Table 5.5 土壤半開挖之分析（鉛垂力-測點 A） ... 55 Table 5.6 土壤半開挖之分析（鉛垂力-測點 B） ... 55 Table 5.7 土壤半開挖之分析（水平力-測點 A） ... 56 Table 5.8 土壤半開挖之分析（水平力-測點 B） ... 56viii
圖次
Fig. 2.1 壓力波波傳遞方向與介質振動方向的示意圖[13] ... 57 Fig. 2.2 剪力波波傳遞方向與介質振動方向的示意圖[13] ... 57 Fig. 2.3 雷利波波傳遞方向與介質振動方向的示意圖[13] ... 57 Fig. 2.4 元素表面應力分佈圖[6] ... 58 Fig. 2.5 半無限域表面平面波傳遞於 X-Z 平面[6] ... 58 Fig. 2.6 P、S、R 波波速比較圖[6] ... 59 Fig. 2.7 半無限域表面三種波傳攜帶能量百分比[7] ... 59 Fig. 3.1 三維實體元素 15-node[14] ... 60 Fig. 3.2 三維實體元素 20-node[14] ... 60 Fig. 3.3 三維無限元素 12-node[14] ... 61 Fig. 3.4 實體元素的命名及其代表的意義[14] ... 61 Fig. 3.5 ABAQUS 四分之一模型示意圖 ... 62 Fig. 3.6 圓柱座標系統示意圖 ... 62 Fig. 3.7 模型一之網域範圍收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 63 Fig. 3.8 模型一之網域範圍收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 64 Fig. 3.9 模型一之網域範圍收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 65 Fig. 3.10 模型一之網域範圍收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 66 Fig. 3.11 模型一之網域範圍收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之U） ... 67 Fig. 3.12 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 68 Fig. 3.13 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 69 Fig. 3.14 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 70 Fig. 3.15 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 71 Fig. 3.16 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 72 Fig. 3.17 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 73ix Fig. 3.18 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 74 Fig. 3.19 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 75 Fig. 3.20 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 76 Fig. 3.21 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 77 Fig. 3.22 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 78 Fig. 3.23 模型一之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 79 Fig. 3.24 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 80 Fig. 3.25 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 81 Fig. 3.26 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之U） ... 82 Fig. 3.27 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 83 Fig. 3.28 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 84 Fig. 3.29 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之U） ... 85 Fig. 3.30 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 86 Fig. 3.31 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 87 Fig. 3.32 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之U） ... 88 Fig. 3.33 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 89 Fig. 3.34 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 90 Fig. 3.35 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之U） ... 91 Fig. 3.36 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 92 Fig. 3.37 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 93 Fig. 3.38 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之U） ... 94 Fig. 3.39 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 95 Fig. 3.40 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 96 Fig. 3.41 模型一之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之U） ... 97 Fig. 3.42 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 98 Fig. 3.43 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 99
x Fig. 3.44 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） .... 100 Fig. 3.45 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） .... 101 Fig. 3.46 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） .... 102 Fig. 3.47 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） .... 103 Fig. 3.48 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） .... 104 Fig. 3.49 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） .... 105 Fig. 3.50 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） .... 106 Fig. 3.51 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） .... 107 Fig. 3.52 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） .. 108 Fig. 3.53 模型二之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） .. 109 Fig. 3.54 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） .... 110 Fig. 3.55 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） .... 111 Fig. 3.56 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之U） .... 112 Fig. 3.57 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） .... 113 Fig. 3.58 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） .... 114 Fig. 3.59 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之U） .... 115 Fig. 3.60 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） .... 116 Fig. 3.61 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） .... 117 Fig. 3.62 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之U） .... 118 Fig. 3.63 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） .... 119 Fig. 3.64 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） .... 120 Fig. 3.65 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之U） .... 121 Fig. 3.66 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） .... 122 Fig. 3.67 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） .... 123 Fig. 3.68 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之U） .... 124 Fig. 3.69 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） .. 125
xi Fig. 3.70 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 126 Fig. 3.71 模型二之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之U） ... 127 Fig. 3.72 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 128 Fig. 3.73 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 129 Fig. 3.74 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 130 Fig. 3.75 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 131 Fig. 3.76 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 132 Fig. 3.77 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 133 Fig. 3.78 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 134 Fig. 3.79 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 135 Fig. 3.80 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 136 Fig. 3.81 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 137 Fig. 3.82 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 138 Fig. 3.83 模型三之元素大小收斂性分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 139 Fig. 3.84 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 140 Fig. 3.85 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 141 Fig. 3.86 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 1Hz 之U） ... 142 Fig. 3.87 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 143 Fig. 3.88 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 144 Fig. 3.89 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 3Hz 之U） ... 145 Fig. 3.90 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 146 Fig. 3.91 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 147 Fig. 3.92 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 5Hz 之U） ... 148 Fig. 3.93 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 149 Fig. 3.94 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 150 Fig. 3.95 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 7Hz 之U） ... 151
xii Fig. 3.96 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） .... 152 Fig. 3.97 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） .... 153 Fig. 3.98 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 9Hz 之U） .... 154 Fig. 3.99 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） .. 155 Fig. 3.100 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） 156 Fig. 3.101 模型三之元素大小收斂性分析（水平方向振動頻率 10Hz 之U） 157 Fig. 3.102 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 158 Fig. 3.103 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 159 Fig. 3.104 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 160 Fig. 3.105 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 161 Fig. 3.106 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 162 Fig. 3.107 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 163 Fig. 3.108 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 164 Fig. 3.109 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 165 Fig. 3.110 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 166 Fig. 3.111 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 167 Fig. 3.112 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 168 Fig. 3.113 模型驗證：模型一（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 169 Fig. 3.114 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 170 Fig. 3.115 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 171 Fig. 3.116 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 1Hz 之U） ... 172 Fig. 3.117 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 173 Fig. 3.118 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 174 Fig. 3.119 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 3Hz 之U） ... 175 Fig. 3.120 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 176 Fig. 3.121 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 177
xiii Fig. 3.122 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 5Hz 之U） ... 178 Fig. 3.123 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 179 Fig. 3.124 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 180 Fig. 3.125 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 7Hz 之U） ... 181 Fig. 3.126 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 182 Fig. 3.127 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 183 Fig. 3.128 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 9Hz 之U） ... 184 Fig. 3.129 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 185 Fig. 3.130 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 186 Fig. 3.131 模型驗證：模型一（水平方向振動頻率 10Hz 之U） ... 187 Fig. 4.1 屏蔽隧道區之測點設置 ... 188 Fig. 4.2 TPS-1F 平面配置圖 ... 188 Fig. 4.3 屏蔽隧道區剖面圖 ... 189 Fig. 4.4 七個施力點位置依序變動示意圖 ... 189 Fig. 4.5 三維殼元素 8-node[14] ... 190 Fig. 4.6 殼元素的命名及其代表的意義[14] ... 190 Fig. 4.7 土壤無開挖之分析示意圖 ... 191 Fig. 4.8 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 33m 之Ur） ... 192 Fig. 4.9 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 33m 之Uz） ... 193 Fig. 4.10 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 55m 之Ur） ... 194 Fig. 4.11 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 55m 之Uz） ... 195 Fig. 4.12 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 77m 之Ur） ... 196 Fig. 4.13 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 77m 之Uz） ... 197 Fig. 4.14 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 93.5m 之Ur） ... 198 Fig. 4.15 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 93.5m 之Uz） ... 199 Fig. 4.16 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 110m 之Ur） ... 200
xiv Fig. 4.17 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 110m 之Uz） ... 201 Fig. 4.18 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 132m 之Ur） ... 202 Fig. 4.19 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 132m 之Uz） ... 203 Fig. 4.20 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 154m 之Ur） ... 204 Fig. 4.21 土壤無開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 154m 之Uz） ... 205 Fig. 4.22 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 33m 之Ur） ... 206 Fig. 4.23 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 33m 之Uz） ... 207 Fig. 4.24 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 55m 之Ur） ... 208 Fig. 4.25 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 55m 之Uz） ... 209 Fig. 4.26 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 77m 之Ur） ... 210 Fig. 4.27 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 77m 之Uz） ... 211 Fig. 4.28 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 93.5m 之Ur） ... 212 Fig. 4.29 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 93.5m 之Uz） ... 213 Fig. 4.30 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 110m 之Ur） ... 214 Fig. 4.31 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 110m 之Uz） ... 215 Fig. 4.32 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 132m 之Ur） ... 216 Fig. 4.33 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 132m 之Uz） ... 217 Fig. 4.34 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 154m 之Ur） ... 218 Fig. 4.35 土壤無開挖之分析（水平方向施力點距中心 154m 之Uz） ... 219 Fig. 4.36 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 220 Fig. 4.37 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 221 Fig. 4.38 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 222 Fig. 4.39 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 223 Fig. 4.40 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 224 Fig. 4.41 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 225 Fig. 4.42 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 226
xv Fig. 4.43 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 227 Fig. 4.44 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 228 Fig. 4.45 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 229 Fig. 4.46 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 230 Fig. 4.47 土壤無開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 231 Fig. 4.48 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 232 Fig. 4.49 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 233 Fig. 4.50 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 234 Fig. 4.51 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 235 Fig. 4.52 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 236 Fig. 4.53 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 237 Fig. 4.54 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 238 Fig. 4.55 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 239 Fig. 4.56 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 240 Fig. 4.57 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 241 Fig. 4.58 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 242 Fig. 4.59 土壤無開挖之分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 243 Fig. 4.60 土壤全開挖之分析示意圖 ... 244 Fig. 4.61 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 33m 之Ur） ... 245 Fig. 4.62 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 33m 之Uz） ... 246 Fig. 4.63 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 55m 之Ur） ... 247 Fig. 4.64 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 55m 之Uz） ... 248 Fig. 4.65 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 77m 之Ur） ... 249 Fig. 4.66 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 77m 之Uz） ... 250 Fig. 4.67 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 93.5m 之Ur） ... 251 Fig. 4.68 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 93.5m 之Uz） ... 252
xvi Fig. 4.69 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 110m 之Ur） ... 253 Fig. 4.70 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 110m 之Uz） ... 254 Fig. 4.71 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 132m 之Ur） ... 255 Fig. 4.72 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 132m 之Uz） ... 256 Fig. 4.73 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 154m 之Ur） ... 257 Fig. 4.74 土壤全開挖之分析（鉛垂方向施力點距中心 154m 之Uz） ... 258 Fig. 4.75 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 33m 之Ur） ... 259 Fig. 4.76 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 33m 之Uz） ... 260 Fig. 4.77 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 55m 之Ur） ... 261 Fig. 4.78 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 55m 之Uz） ... 262 Fig. 4.79 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 77m 之Ur） ... 263 Fig. 4.80 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 77m 之Uz） ... 264 Fig. 4.81 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 93.5m 之Ur） ... 265 Fig. 4.82 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 93.5m 之Uz） ... 266 Fig. 4.83 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 110m 之Ur） ... 267 Fig. 4.84 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 110m 之Uz） ... 268 Fig. 4.85 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 132m 之Ur） ... 269 Fig. 4.86 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 132m 之Uz） ... 270 Fig. 4.87 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 154m 之Ur） ... 271 Fig. 4.88 土壤全開挖之分析（水平方向施力點距中心 154m 之Uz） ... 272 Fig. 4.89 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 273 Fig. 4.90 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 274 Fig. 4.91 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 275 Fig. 4.92 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 276 Fig. 4.93 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 277 Fig. 4.94 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 278
xvii Fig. 4.95 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 279 Fig. 4.96 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 280 Fig. 4.97 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 281 Fig. 4.98 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 282 Fig. 4.99 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 283 Fig. 4.100 土壤全開挖之分析（鉛垂方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 284 Fig. 4.101 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Ur） ... 285 Fig. 4.102 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 1Hz 之Uz） ... 286 Fig. 4.103 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Ur） ... 287 Fig. 4.104 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 3Hz 之Uz） ... 288 Fig. 4.105 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Ur） ... 289 Fig. 4.106 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 5Hz 之Uz） ... 290 Fig. 4.107 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Ur） ... 291 Fig. 4.108 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 7Hz 之Uz） ... 292 Fig. 4.109 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Ur） ... 293 Fig. 4.110 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 9Hz 之Uz） ... 294 Fig. 4.111 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Ur） ... 295 Fig. 4.112 土壤全開挖之分析（水平方向振動頻率 10Hz 之Uz） ... 296 Fig. 5.1 加速器環館測點之設置 ... 297 Fig. 5.2 施力點位置示意圖 ... 297 Fig. 5.3 土壤半開挖分析之示意圖 ... 298
1
第一章
緒論
1.1
研究背景
隨著科技的進步，台灣在同步加速器光源及其科學應用皆有大幅成長，而為 了提昇國內的研究環境，NSRRC 董事會於 2004 年 7 月決議推動新加速器光源之 籌建，向政府提出「台灣光子源（Taiwan Photon Source, TPS）跨領域實驗設施興 建計畫」，此計畫為在原有基地上興建一座「台灣光子源」同步加速器，將是有 史以來規模最大的跨領域共用實驗設施，其微振動抑制之高更勝於半導體廠。 其中同步加速器光源能否穩定運轉，振動問題將會是重要的關鍵之一，而振 動的來源一方面是外在的環境，例如交通的影響、機器設備的振動等；另一方面 的來源是來自地表的震動[1]。為了提供穩定的實驗環境，所以有必要對其振動 問題加以研究，以滿足嚴苛的微振動抑制之需求。 目前在分析波傳所產生的振動問題，主要可分為現地實驗及數值模擬兩種。 就分析方法的比較，現地實驗的結果較符合實際情況，但須耗費相當大的人力與 物力，且結果往往有地區性的限制；而數值模擬分析繼經濟簡便又適用性良好， 但受限於計算機的處理能力，常存在著運算時間過長的問題，不過近年來由於計 算機的軟硬體快速進步，已能逐漸克服此項缺點，因此也使得數值模擬分析成為 較常被採用的分析方法。 目前應用最普遍的數值模擬分析方法，約可分為有限差分法（finite difference method）、邊界元素法（boundary element method）及有限元素法（finite element
method）。其中有限元素法在邊界上會有反射波之問題，為了解決此問題，曾有 學者配合無限元素之使用，並以高速電腦進行分析，也可得一經濟有效之數值結 果。 有限元素法之分析是將整個問題直接以有限個元素建立數值模型模擬加以 求解，由於有限元素法具有高度的操作彈性，特別適用於複雜的幾何形狀與土壤 性質等實際情況，故本文選擇以有限元素法搭配無限元素的使用來分析半無限域 之波傳問題，並探討如何選用適當的元素及網域，才能使分析結果更加的完整及 正確。
2
1.2
研究目的與方法
本研究主要之目的為探討環境振動對於台灣光子源屏蔽隧道區之影響。 本文採用之方法為數值模擬，首先利用有限元素法套裝軟體 ABAQUS 建立 一三維數值模型，並將分析所得之數值解與相同條件之解析解相互比對，藉由此 問題以檢驗 ABAQUS 對於波傳問題之精確性及可行性，接著以實際案例進行數 值模擬分析，其中同步加速器隧道區之幾何模型與相關參數，為參照實際之結構 圖所建立，再於環境外部施予一單位之簡諧外力，經由 ABAQUS 軟體之運算， 以探討環境外力在半無限域內之波傳行為所引致的位移振幅反應。1.3
研究內容
本文共分成六章，第一章為緒論。 第二章為理論背景，介紹彈性波傳基本理論作為本文研究之基礎。 第三章為數值模擬分析，先簡介數值模擬所採用之有限元素法套裝軟體 ABAQUS 以及欲驗證此軟體其可行性之分析模型，包含模型的基本假設、材料參 數與阻尼、分析模式與施力方式、邊界條件以及選用元素等，再透過網格之收斂 性分析，找出近域至遠域間最佳的元素數量，以作為建立分析模型之基礎，最後 以 Liou[2~5]之解析解驗證分析結果之準確性。 第四章為台灣光子源之實際案例，為本文重點所在，主要沿用第三章之土壤 模型，並置加速器隧道區於上，探討若改變環境外力之位置以及不同的振動頻率 之下，會對隧道區內之位移振幅反應造成何種影響。 第五章為台灣光子源之實際案例 2，同樣沿用第三章之土壤模型，並置加速 器環館於上，探討若改變環境外力之位置以及不同的振動頻率之下，會對環館內 內之位移振幅反應造成何種影響。 第六章為研究之結論與建議，將本研究中所得到之分析結果做一總結陳述， 綜合比較分析結果，討論其現象原理。3
第二章
彈性波傳理論
2.1
彈性波傳簡介
一彈性體受外力作用引起應力和應變在介質內傳遞的形式。彈性介質中質點 間存有互相作用之彈性力，當某一質點受到外力作用而離開平衡位置時，彈性力 會使該質點發生振動，進而造成下一個質點跟著產生位移與振動，於是振動便在 彈性介質中傳播，並伴隨著能量的傳遞。此種序列性的運動現象，即為波，而質 點間能量之傳遞現象則稱為波傳。 波依其傳遞路徑的不同可分為兩大類，一是實體波（body wave），另一是表 面波（surface wave）。其中實體波又因介質中質點的振動方向與波的傳播方向分 為壓力波（primary wave）（Fig. 2.1）及剪力波（secondary wave）（Fig. 2.2）兩類； 而表面波亦有兩種型式，為雷利波（Rayleigh wave）（Fig. 2.3）與洛夫波（Lovewave）。表面波的傳遞相較於壓力波慢而強烈，是引起地震中大部分破壞的主要 因素，故在相關的研究中相當受到注意。
2.2
彈性波傳控制方程式
彈性波傳控制方程式的推導已有百年以上的歷史，相關的理論與著作也都有 學者編寫為參考書籍，如 Richard[6]、Kramer[7]等人，而其著作中皆利用材料的 組成律、變形諧和加上力平衡的原理，來推得彈性波傳控制方程式，本節就以推 導過程詳加說明。 (1) 應變與位移的關係 在介質為均質、彈性、等向性的材料時，應變與位移的關係式定義為4 xx yy zz xy yz zx u x v y w z v u x y w v y z u w z x （2.2.1） (2) 應力與應變關係
根據廣義虎克定律（General Hooke’s law）得知，應力與應變間的關係可表 示如下 , , 1, 2,3, 4,5, 6 i Ci j j i j （2.2.2） 勁度矩陣Ci j, 在本文僅考慮為均質、彈性、等向性的材料，故可用兩個拉姆 常數（Lame’s constants）、表示，於是彈性體應力與應變間的關係可寫為 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx 或 2 2 2 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx （2.2.3） 其中
1
1 2
E 5
2 1 E G xx yy zz 由式（2.2.1）、（2.2.3）可得
2
xx u v w x y z （2.2.4a）
2
yy u v w x y z （2.2.4b）
2
zz u v w x y z （2.2.4c） xy v u x y （2.2.4d） yz w v y z （2.2.4e） zx u w z x （2.2.4f） 由式（2.2.4）可知波傳介質應變與應力之關係 (3) 力平衡方程式 根據牛頓第二運動定律，作用於一微小元素上的外力總和使元素產生為 2 2 u t 的加速度（Fig. 2.4），其在直角座標系的 x、y、z 方向可分開討論如下 假使忽略徹體力（body force）之作用，Fx 0 2 2 xx xx xx xy xy xy xz xz xz udxdydz dx dydz dydz
t x dy dxdz dxdz y dz dxdy dxdy z 整理得 2 2 xy xx xz u t x y z （2.2.5a）
6 同理，由Fy 0可得 2 2 yx yy yz v t x y z （2.2.5b） 0 z F 可得 2 2 zy zx zz w t x y z （2.2.5c） 將式（2.2.4）代入（2.2.5a）可得
2 2 2 xx xy xz u t x y z 或
2 2 2 u u t x （2.2.6a） 同理，將式（2.2.4）分別代入（2.2.5b）、（2.2.5c）可得
2 2 2 v v t y （2.2.6b）
2 2 2 w w t z （2.2.6c） 其中 2 2 2 2 2 2 2 x y z 式（2.2.6）即一般常見之彈性波傳控制方程式。而現今利用數值方法求解波 傳問題常由式（2.2.2），先求取網格元素上之應力分佈xx、yy、zz、xy、yz、 zx ，再利用式（2.2.5）反求位移。2.2.1 壓力波
壓力波為實體波的一種，其介質中質點的振動方向與波的傳播方向互相平 行，藉由質點的交替壓縮與膨脹使波由震源向外傳遞。壓力波存在可承受壓力的 介質中，故壓力波能在固體、液體或氣體中傳遞。 若將式（2.2.6a）、（2.2.6b）及式（2.2.6c）分別對 x、y、z 微分後相加可得7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 yy xx zz yy xx zz t t t x y z x y z 整理後
2 2 2 2 t 或 2 2 2 2 t （2.2.7） 其中定義壓力波於彈性體中的波速vp為 2 p v （2.2.8） 式（2.2.8）代表彈性體的膨脹量 以壓力波波速vp來傳遞，此種波稱為膨脹 波（dilatational wave），又因其純由體積變化所產生，所以又稱為非旋轉波 （irrotational wave）。2.2.2 剪力波
另一種實體波為剪力波，其介質中質點的振動方向與波的傳播方向互相垂 直，靠著質點之間的剪應力來傳遞能量。如果介質無法承受剪應力則剪力波無法 產生，是以剪力波通常多存在於固體中，而無法在黏滯力不足的液體或氣體中傳 播。此外，由於質點的振動方向與波的傳播方向其互相垂直的方向不同，剪力波 又可分為 SV 波和 SH 波。質點垂直入射面上下運動的稱為 SV 波，平行入射面左 右運動稱為 SH 波。 將式（2.2.6b）對 z 微分及式（2.2.6c）對 y 微分，兩式相減後可得 2 2 2 w v w v t y z y z 或 2 2 2 x x t （2.2.9） 其中定義剪力波於彈性體中的波速vs為8 s G v （2.2.10） x 亦可用y、z來表示，x、y、z為繞 x 軸、y 軸、z 軸之旋轉量，其 與變位的關係為 1 2 x dw dv dy dz 1 2 y du dw dz dx 1 2 z dv du dx dy 式（2.2.10）顯示彈性體之旋轉以剪力波波速vs來傳遞，此種波稱為扭曲 波（distortional wave），又因其純由彈性體之旋轉所產生，所以又稱為等體積波 （equivoluminal wave）。
2.2.3 雷利波
對於均質、等向性、彈性的介質，僅能產生上述之壓力波與剪力波，而對於 彈性半無限域（elastic half-space），Lord Rayleigh 於 1885 年發現當振波沿其自由 表面傳遞時，除了存在壓力波與剪力波外，還可求得另一種波─雷利波。雷利波 行進時，其介質中質點在平行於震波傳遞的垂直面上沿著橢圓形軌跡作倒退的滾 動。而質點之振幅隨深度的增加而衰減。 Rayleigh 考慮一作用於彈性體表面，向 x 方向前進且在 y 方向位移為零（v0） 的平面波動（Fig. 2.5），所有的質點運動均發生於 x-z 平面。假設兩勢能函數、 用來描述 x 及 z 方向之位移，定義為 u x z （2.2.11a） w z x （2.2.11b） 以式由（2.2.11）代入 xxzz可得9 2 2 2 2 2 u w x z x x z z z x x z （2.2.12） 又由 x-z 平面之旋轉與變位的關係可得 2 2 2 2 2 2 y u w z x z x z z z x z x （2.2.13） 將式（2.2.11）、（2.2.12）、（2.2.13）代入（2.2.6a）、（2.2.6c）可得
2 2 2 2 2 2 2 x t z t x z （2.2.14a）
2 2 2 2 2 2 2 z t x t z x （2.2.14b） 將式（2.2.14a）對 x 做微分，式（2.2.14b）對 z 做微分，再進行相加可得 2 2 2 2 2 2 p v t （2.2.15a） 將式（2.2.14a）對 z 做微分，式（2.2.14b）對 x 做微分，再進行相加可得 2 2 2 2 2 vs t （2.2.15b） 若波為簡諧，頻率為，波數為kR，則雷利波波速為 R R v k ，勢能函數可表 示為
i t k xR F z e （2.2.16a）
i t k xR G z e （2.2.16b） 其中F z
、G z
為描述雷利波隨深度擴張旋轉之振幅函數。將式（2.2.16） 代回式（2.2.15）可得
2
2 2 2 R 2 p d F z F z k F z v dz
2
2 2 2 R 2 s d G z G z k G z v dz 整理得10 2 2 2 2 R 2 0 p d F k F dz v （2.2.17a） 2 2 2 2 R 2 0 s d G k G dz v （2.2.17b） 為F z
、G z
之二階常微分方程式。令 2 2 2 2 R p q k v 、 2 2 2 2 R s s k v ，則微分 方程之解為
1 1 qz qz F z A e B e （2.2.18a）
2 2 sz sz G z A e B e （2.2.18b） 式（2.2.18）之第二項顯示振幅隨著深度增加而加大，與真實物裡現象不符 故B1、B2須為零，於是勢能函數、最後可表示為 1 R qz i t k x A e （2.2.19a） 2 R sz i t k x A e （2.2.19b） 接著由自由表面的邊界條件可知，在半無限域的自由表面z0處應力 2 2 0 zz zz dw dz （2.2.20a） 0 xz xz dw du dx dz （2.2.20b） 由位移u x z 、w z x 的定義及勢能函數式（2.2.19）之表示式， 可將邊界條件式（2.2.20）改寫為
2 2 1 2 0 2 2 0 zz z A q kR iA k sR
2 2
1 2 0 2 0 xz z iA k qR A s kR 整理後可得
2 2 1 2 2 1 0 2 R R q k A A i k s （2.2.21a） 1 2 2 2 2 1 0 R R A iqk A s k （2.2.21b） 將上兩式相加整理後可得11
2 2 2 2 2 4q sk R s kR 2 q kR （2.2.22） 將上式等號兩邊平方後代入 2 2 2 2 R p q k v 、 2 2 2 2 R s s k v ，再同除 2 8 R k 得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 1 2 2 p R s R p R s R v k v k v k v k （2.2.23） 定義 R Rs s s R v K v v k 為雷利波與剪力波波速比，則雷利波與壓力波之波速比為
2
' R Rs p p R s R v K v v k v k 則式（2.2.23）可寫為
2 2
2
2 2 2
2
2 2 1 16 1 ' 1 2 ' 2 ' Rs Rs Rs Rs K K K K 展開後
6 4 2 2 2 8 24 16 ' 16 ' 1 0 Rs Rs Rs K K K （2.2.24） 其中
' 2 = 1-2 2-2 若介質已知，則可求得'再代入式（2.2.24）便可得KRs之正實數解，即可 得雷利波波速vR K vRs s。2.2.4 波速比較
由式（2.2.8）、（2.2.10）可知壓力波與剪力波波速比為 2 2 1 2 p s v v （2.2.25） 再由式（2.2.24）所得之KRs，可得知在柏松比（Poisson ratio）為 0~0.5 時， 壓力波、剪力波與雷利波波速的關係（Fig. 2.6）。由圖可以觀察到雷利波波速略 小於剪力波，且約為剪力波之 0.9 倍，而壓力波波速在柏松比接近 0.5 時，會遠 大於剪力波和雷利波。三者之間的大小關係為 p s R v v v （2.2.24）12 由 Miller 與 Pursey 於 1955 年的研究可知，在點振源作用下，上述三種波所 攜帶的能量分配為：雷利波佔總能量的 67%，剪力波佔 26%，而壓力波僅佔 7% （Fig. 2.7），亦即其總能量有三分之二是由雷利波向外傳遞，又雷利波衰減的速 度最慢，所以當振波傳遞一定距離後，雷利波所產生之地表振幅遠大於壓力波與 剪力波。因此，在相關研究中可推知雷利波對於振波行為為主要控制。
13
第三章
數值模擬分析
本文所分析之幾何模型，其部分相關設定參數為參考前人[8~10]以 ABAQUS 所建立之模型組。本章所模擬分析之例子共有三種，並以第一種例子（簡諧外力 作用於剛性基礎上，半徑 12.5m）所得之地表位移反應與 Liou[2~5]之解析解相 互比較，作為驗證此模型之可靠性。 首先先介紹有限元素套裝軟體 ABAQUS，接著以此軟體模擬分析三維數值模 型，其幾何模型之相關參數設定於 3.2 節說明之，並於 3.3 至 3.5 節探討三種例子 其各別網域與元素之收斂行為，找出最佳的模型/元素組合，再以 3.7 節驗證模型 之可行性，最後於 3.8 節作一小結論。3.1
分析軟體簡介
本文採用之分析軟體 ABAQUS，是以有限元素法理論為基礎。它的應用範圍 相當廣泛，從大型線性結構分析到非線性的材料變形反應等各種力學問題，都可 利用 ABAQUS 解決。 ABAQUS 之分析原理為將一連續的物理區間，分割成有限個數的元素，而元 素與元素之間以節點相連接，再由適當的形狀函數代入控制方程式，以求得區域 內各節點之物理量，進而推知整個區域之數值解。以 ABAQUS 分析問題，必須 先將問題簡化後才能進行模型的建立，其分析流程如下[11]： (1) 建立部件（Part）：繪製欲分析模型之幾何形狀。 (2) 建立材料（Property）：定義材料參數和截面性質。 (3) 定義裝配（Assembly）：選定欲分析之模型，若有數個模型時，可將各模型組 合成為一個分析模型。 (4) 設置分析過程（Step）：在此指定模型的分析狀況。 (5) 在模型上施加邊界條件和負載（Load）：邊界條件及外力狀況皆可以直接施 加於有限元素模型上。 (6) 模型的網格分割（Mesh）：在模型上劃分所需之網格樣式與數目，並選擇元 素的種類。14 (7) 建立一個分析作業（Job）：建立分析工作資料，並進行分析。 (8) 用 ABAQUS/CAE 進行後處理（Visualization）：可觀察模型變形的過程或各 種應力分佈的狀態等。 使用 ABAQUS 輸入參數時，須注意先將各參數單位統一之後再行輸入。常 用的單位系統如 Table 3.1 所示，本文選定的單位系統為 SI 制。
3.2
基本模型
本章共採用三種例子進行模擬分析，第一種例子為簡諧外力作用於剛性基礎 上（半徑 12.5m）簡稱為模型一，第二種例子為簡諧外力作用於剛性基礎上（半 徑 25m）簡稱為模型二，第三種例子為簡諧外力直接作用於半無限域上簡稱為模 型三。3.2.1 材料參數與土壤阻尼
(一) 材料參數 本 文 欲 分 析 之 土 壤 模 型 ， 假 設 其 剪 力 波 波 速vs 為300 m s ， 密 度 s 為 3 2000 kg m ，柏松比s為0.33，阻尼比（damping ratio）s為0.05。由以上參數代入式（2.2.10），計算出剪力模數（shear modulus）G為1.8 10 kPa 5 ，再利用前一
章所提到材料力學之公式
2 1 E G ，則可得楊氏模數（Young’s modulus）Es為 5 4.8 10 kPa 。 同樣地，壓力波波速vp則可由式（2.2.8）求得為596 m s，另外從 Fig. 2.6 中， 得知雷利波與剪力波波速之比例關係，便可以此推知雷利波波速vR約為280 m s。 (二) 土壤阻尼 若不考慮阻尼之情況，則能量在系統中的消散會非常緩慢，亦即在有限的分 析域內，震波會經過多次的來回反射而影響分析結果的合理性。在 ABAQUS 軟 體中，是採用雷利阻尼（Rayleigh damping）來模擬，其阻尼矩陣主要由質量矩陣 （mass matrix）和勁度矩陣（stiffness matrix）組成，即：15 CMK （3.2.1） 式中 為和質量有關的阻尼係數，為和勁度有關的阻尼係數。 此阻尼屬於黏滯阻尼（viscous damping）的一種，阻尼會隨頻率而改變，其 阻尼力與速度成比例關係，其運動方程式可表示為： Mu Cu KuP （3.2.2） 但對於大地工程之分析中，遲滯阻尼（hysteretic damping）較能符合土壤動 力性質的模擬，其特性為不隨頻率變化，且阻尼力與位移成正比，其運動方程式 可表示為：
1 2
Mu i KuP （3.2.3） 若考慮施加之外力為單頻的簡諧振動力，則可利用 ABAQUS 軟體中以頻率 域求解穩態解之分析方法。在土壤結構系統受某一特定頻率之簡諧外力作用 下，系統的位移反應可寫成： i t u U e （3.2.4） 將u對時間微分，可得到其速度反應：
i t
ui U e iu （3.2.5） 令雷利阻尼之 0，可得到單純與勁度有關之阻尼： CK （3.2.6） 接著將式（3.2.5）、（3.2.6）代回式（3.2.2），可得到如下式：
1
Mu i KuP （3.2.7） 由式（3.2.1）~（3.2.7），令 2可得到： 0 2 f （3.2.8） 由式（3.2.8）可得知，若令0， 則隨所施加之外力頻率改變，即在 ABAQUS 軟體中，當阻尼比為已知常數時，就能以此式模擬出遲滯阻尼不隨頻 率改變之特性。16
3.2.2 分析模式與施力方式
本文採動力分析模式，針對簡諧力作用下的強迫振動進行數值模擬，外力為 一單位之簡諧載重，係以點荷重之方式直接加載於模型上，再以頻率域法分析求 取穩態解，直接輸出欲分析頻率下各節點之位移振幅。 因為欲分析之土壤受到動態擾動下之行為，故考慮 1~10Hz 之頻率變化，而 本文只取 1Hz、3Hz、5Hz、7Hz、9Hz 和 10Hz 作分析。3.2.3 採用元素與邊界條件
本文所模擬之彈性半無限空間分為近域及遠域兩部分。在近域之分析範圍 中，模型的幾何形狀為一圓柱體，由於吾人係以放射狀之方式劃分網格，故在近 域中所劃分之元素將分為兩類，圓心部分為扇形柱，採用三維十五節點 C3D15 （Fig. 3.1）之實體元素，而其餘部分皆為六面體，係採用三維二十節點 C3D20R （Fig. 3.2）之實體元素。 遠域部分，由於土壤的波傳屬於無限域之問題，在有限的電腦資源下，並不 能真實模擬出無限空間，遂在遠域的土壤採用三維十二節點 CIN3D12R（Fig. 3.3） 之無限元素以模擬無限空間，即當波傳遞至遠域時，能使波傳行為延續下去，而 不會有大量的反射再傳回至土壤之近域。其元素命名代號可參考 Fig. 3.4。 另外，本章所建立之全模型是為軸對稱模型，故能以四分之一對稱模型簡化 之（如 Fig. 3.5 所示），還可達到節省電腦資源之效果，而其邊界條件之設置為（座 標系統如 Fig. 3.5 左上角所示），對於鉛垂方向上施加一單位簡諧力時，X、Z 軸 皆為對稱軸；對於水平方向上施加一單位簡諧力時，X 軸為反對稱軸，Z 軸為對 稱軸。 至於剛性無質量之圓形基礎版之建立，係以範圍內所包含之節點全部鎖住之 方式，即令其各節點之位移皆相同。3.3
簡諧外力作用於剛性基礎上（半徑 12.5m）
本節所分析之問題為一剛性無質量之圓形基礎版，半徑為 12.5m，置於半無17 限域之表面上，並在基礎中心施加一單位之簡諧外力，力分為鉛垂方向及水平方 向，而其半無限域之基本假設為一均質、等向性、彈性之單層土壤，應力應變關 係為完全彈性。
3.3.1 收斂性探討
對於半無限域的動力分析問題，有限元素網格所取的範圍，至少要能完整的 描述一個波才能獲得較可信的結果，所以本小節之目的係以找出最佳的數值模 型，作為第四章案例分析的標準。 根據有限元素法得知，當元素網格切得夠遠，即網域夠大時，位移應可收斂 至一固定值，但因電腦資源的有限，不可能將分析的範圍無限延伸，故本文選用 混合模式法，即以有限元素搭配無限元素的使用作數值分析，而 ABAQUS 所提 供之無限元素在使用上仍存有疑慮，為了有效模擬出混合模式法之遠域效果，因 此在數值模型中則利用增加有限元素網格的方式，來降低無限元素邊界對近域造 成之影響。 使用有限元素法作數值模型分析，其元素網格通常必須考量兩個重要的問 題：第一個問題是須定義被模擬對象的主要幾何尺寸細節，即適當的選用網域範 圍；而第二個問題則為元素尺寸必須小到讓近似誤差保持在可以接受的範圍內。 基於此，在驗證模型的正確性之前，須以模型的收斂性分析來討論這兩個問題。 其收斂性分析一開始所劃分網格的基準，係以楊永斌[12]的研究為參考，將 其所選用的網域範圍及元素大小作適當的調整以為本節使用。3.3.2 網域範圍探討
已假定土壤模型之剪力波速為300 m s，並令元素劃分之長度為s 12，即在 1Hz 時，將元素長度定為 25m，探討在不同的網域範圍之下，其測線上位移振幅 之收斂情形。測線係指自由表面上 0 之 r 方向（圓柱座標系統示意圖，參照 Fig. 3.6 所示），當簡諧載重為鉛垂向時，觀察測線上之Ur與Uz；若為水平向時， 則分為施力於 0 之 r 方向以及 90 之 r 方向，前者為觀察測線上之Ur與Uz，18 後者為U。 本小節網域範圍之變化為選用模型 200、300、450、600、900 及 1200，即 2 3s~4s之間，在這邊先認定4s為一很大的範圍以作為收斂之基準，並以此基 準來推估當網域範圍取到多大時，能以有限網格與無限網格的搭配，來模擬半無 限域之反應。其比較結果如下： (一) 單位鉛垂向簡諧載重之反應 如 Fig. 3.7、3.8 所示，施加鉛垂向簡諧載重於剛性基礎上，觀察其測線上之Ur 與Uz，不論在實部或虛部上，除了模型 200 之位移振幅會有些微偏離實線之情形 外，其餘模型則已開始漸漸地接近至實線，而從圖中研判，在Ur實部時，模型 300 仍有較大偏差，故判斷選用模型 450 較為適宜。 (二) 單位水平向簡諧載重之反應 如 Fig. 3.9 至 3.11 所示，施加水平向簡諧載重於剛性基礎上，觀察其測線上 之Ur、Uz與U，不論在實部或虛部上，除了模型 200 之位移振幅會有些微偏離 實線之情形外，其餘模型則已開始漸漸地接近至實線，而從圖中研判，在Uz實部 時，模型 300 仍有較大偏差，故判斷選用模型 450 較為適宜。 (三) 結果討論 綜合以上之分析，吾人可發現約在模型 300 時，已有開始接近至實線之結果， 但在單位鉛垂向簡諧載重之反應，其Ur實部仍可看出較大偏差；而水平向之反 應，則在Uz實部有較大偏差。從整體研判，最佳之網域範圍最好大於模型 300， 而模型 450 後之結果其實與模型 600 所得之結果差異不大，故在此選擇模型 450 為最佳之網域範圍，表示在此三維數值模型中採用無限元素來模擬安靜邊界 （quiet boundary）時，需在無限元素網格邊界前至少再延伸 450m（1.5 倍剪力波 長），方能得到較佳之模擬效果。由此結果顯示，在本研究分析採用之模型中， 若所施加之簡諧載重其振動頻率為 3Hz 時，由於土壤之剪力波速為300 m s，因 此在所研究之範圍外，尚需延伸 100m 之距離配合無限元素，方能達到較佳之模 擬效果。而在下一小節探討元素大小時，將依振動頻率之高低來改變模型尺寸之 大小。
19
