三維條件常態分配相容性的探討 - 政大學術集成
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(2) 中文摘要 關於二維之變數，Arnold and Press (1989) 首先提出檢驗兩個條件分配是否 滿足相容性的理論。本研究嘗試對 n 維之變數，探討 n 個條件分配滿足相容性的 檢驗方式；並提出在三維聯合分配下，給定三個條件分配為常態(normal) 時，檢 驗此三個條件分配滿足相容性的充分必要條件；最後，並推導出此三個條件分配 滿足相容性時，其所對應的聯合機率密度函數之公式。若此三個條件分配其所對 應的聯合機率密度函數進一步假設為常態時，檢驗其相容性的充分必要條件可更 加以簡化。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 關鍵詞: 相容性；條件常態分配. i. i Un. v.
(3) Abstract Arnold and Press (1989) first provide the theory about the compatibility of two conditional distributions in two dimensions. In this research, we extend the two dimensional cases to the high dimensional cases. In particular, we find the necessary and sufficient conditions of the compatibility of three conditional normal distributions in three dimensions. Furthermore, we also provide a formula to find the joint probability density function when three dimensional conditional normal distributions are compatible. Finally, simple sufficient and necessary conditions are also given when the joint distribution is further assumed to be normal.. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. Keywords : Compatible ; Conditional Normal Distribution. ii. v.
(4) 目次 中文摘要. i. Abstract. ii. 1. 簡介……………………………………………………………..……1 1.1 二維條件分配滿足相容性之充要條件…………………..……1 1.2 二維條件常態分配滿足相容性之充要條件……………..……2 2. 高維條件分配相容性之探討………………………………………..4. 政 治 大 3. 三維條件常態分配相容性之探討…………………………………..9 立. ‧ 國. 學. 3.1 滿足相容性之充要條件…………....…………………………..9. ‧. 3.2 滿足相容性且聯合分配亦為常態分配之充要條件…………26. sit. y. Nat. 4. 結論……..………………………………………………………..…29. n. al. er. io. 參考文獻……………………………………………………………..…30. Ch. engchi. i Un. v.
(5) 1. 簡介 在眾多研究裡，對於現實生活中的資料收集，不易直接的獲得研究全體聯合 分配的資訊，反而較易獲得條件分配下的資訊；然而，所得到條件分配下的資訊， 是否來自於同一個聯合分配，就需要進行相容性(compatible)的檢驗。 首先，定義二維條件分配之相容性如下： 當給定兩個條件分配分別為 X Y 及 Y X ，若存在一個聯合分配使得它的條件分 配亦分別為 X Y 及 Y X ，則稱這兩個條件分配是滿足相容性的。. 政 治 大. 立. 本文主要為依據下述兩個小節探討及研究連續隨機變數條件分配之相容性。. ‧ 國. 學. 1.1 二維條件分配滿足相容性之充要條件. ‧ sit. y. Nat. 由 Arnold and Press (1989)所提出。若兩個條件機率密度函數 g1 ( x y ) 及. er. io. g 2 ( y x) 滿足相容性 ⇔ 滿足下述兩個條件：. al. n. iv n C = {( x, y) g (h xe y) ＞ n0}g c及Nh i= {(Ux, y) g ( y x)＞0}. (1) N1 = N 2 ，其中N1. 1. (2) 存在函數 u ( x) 、 v( y ) ，使得. ( x, y ) ∈ N ≡ N1 = N 2 ，且. 2. g1 ( x y ) g 2 ( y x). 2. 。. = u ( x) ⋅ v( y ) ，對所有的. ∞. ∞. −∞. −∞. ∫ u ( x)dx ＜ ∞ (或. 1. ∫ v( y ) dy ＜ ∞ )。. 在前述的情形下，可推得聯合機率密度函數 f ( x, y ) = g 2 ( y x) ⋅. u ( x) ∞. ∫ u( x)dx. −∞. 率密度函數分別為 g1 ( x y ) 及 g 2 ( y x) 。. 1. 的條件機.
(6) 1.2 二維條件常態分配滿足相容性之充要條件 由蕭惠玲(2010)所提出。給定兩個條件分配分別具有如下的性質. X Y = y ～ N ( µ1 ( y ), σ 12 ( y )) ， σ 12 ( y ) ＞0， ∀y ∈ R ； Y X = x ～ N ( µ 2 ( x), σ 22 ( x)) ， σ 22 ( x) ＞0， ∀x ∈ R ； 其中 N ( µ , σ 2 ) 代表平均數為 µ 、變異數為 σ 2 的常態分配。 此兩個條件分配滿足相容性 ⇔ 滿足下述兩個條件： (1) 存在常數 d i 及 e j ， 1 ≤ i, j ≤ 4 ，使得. 政 治 大 µ ( y ) = (d + e y + e y ) × σ ( y ) ， σ ( y ) = (d + e y + e y ) 立 2. 1. 2. 3. 4. 2 1. 2 −1. 2 1. 1. 1. 2. 學. 1 2. ；. ∫. ∞. −∞. u ( x)dx ＜∞，. ‧. (2). ‧ 國. µ2 ( x) = (d 4 + e3 x − e1 x 2 ) × σ 22 ( x) ， σ 22 ( x) = (d 3 − 2e4 x + e2 x 2 ) −1 。. y. sit. io. n. al. er. Nat. 1 (d 4 + e3 x − e1 x 2 ) 2 d 2 − 1 x 2 + d 2 x] 。 其中 u ( x) = exp[ 2 2(d 3 − 2e4 x + e2 x ) 2 d 3 − 2e4 x + e2 x 2 1. Ch. engchi. i Un. v. 若給定以下情形，上述檢驗相容性的充要條件可進一步簡化。. 情形 1. 給定的兩個條件常態分配之變異數皆不為常數： 2. 條件(2)可簡化為 e2 ＞0， e1 − 4e2 d1 ＜0， e4 − e2 d3 ＜0。 2. 且在滿足相容性下，可推得此兩個條件常態分配所對應的聯合機率密度. 函數 f ( x, y ) ∝ exp([1 x. 0 x2 ] d2 d − 1 2. 2. d4 e3. −. e1 2. d3 2 1 e4 y ) 。 e2 y 2 − 2. −.
(7) 情形 2. 給定的兩個條件常態分配之變異數為常數且恆正： 2. 條件(2)可簡化為 e3 − d1d 3 ＜0。 且在滿足相容性下，可推得此兩個條件常態分配所對應的聯合機率密度 0 x2 ] d2 d − 1 2. 函數 f ( x, y ) ∝ exp([1 x. d4 e3. 0. −. d3 2 1 0 y ) 且為常態分配。 y2 0 . 情形 3. 給定的兩個條件常態分配之變異數其一為常數且恆正，另一不為常數： 此兩個條件分配必不滿足相容性。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 藉由上述的理論，本文將於第 2 章推展出檢驗三維及高維一般性條件分配滿 足相容性之充要條件；並於文中第 3 章，設定條件分配為現實生活中最常見的常. ‧. 態分配，在三維空間中，進行相容性的探討，找出檢驗相容性的方法。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i Un. v.
(8) 2. 高維條件分配相容性之探討 在本章中，將介紹三維與高維連續隨機變數之條件分配滿足相容性的定義， 並推廣 Arnold and Press(1989) 所提出在二維空間中檢驗兩個條件分配滿足相容 性的充分必要條件，推導出在三維與高維空間中檢驗三個與 n 個條件分配滿足相 容性的充分必要條件。. 【定義 1】 在三維的空間中，三個條件分配 X Y , Z 、 Y X , Z 、 Z X , Y ，其所對應的機率密. 政 治 大. 度函數分別為 f X Y , Z ( x y, z )、 fY X , Z ( y x, z )、 f Z X ,Y ( z x, y )，若可以找到一個 X 、Y 、. 立. ‧ 國. 學. Z 的聯合機率密度函數 f X ,Y , Z ( x, y, z ) 能產生 f X Y , Z ( x y, z ) 、 fY X , Z ( y x, z ) 、 f Z X ,Y ( z x, y ) ，則稱此三個條件分配滿足相容性。. ‧. io. sit. y. Nat. 【定理 定理 2】. er. 在三維的空間中，三個條件分配 X Y , Z 、 Y X , Z 、 Z X , Y ，其所對應的機率密. al. n. iv n C ( x y, z ) 、 f h(e y x, z ) 、 f i (U n g c h z x, y) ，則上述三個條件分配. 度函數分別為 f X Y , Z. Y X ,Z. Z X ,Y. 滿足相容性 ⇔ 滿足下列兩個條件： (1) ∃ W2 ( x, z ), W3 ( x, y ), and U ( y , z ) ∋. f X Y ,Z ( x y, z ) f Z X ,Y ( z x, y ). =. W3 ( x, y ) U ( y, z ). f X Y ,Z ( x y, z ) f Y X , Z ( y x, z ). , ∀x, y, z. ∞ ∞. (2). ∫ ∫ U ( y, z )dydz ＜ ∞. −∞ −∞. 4. =. W2 ( x, z ) U ( y, z ). ＆.
(9) 【證明 證明】 證明 ( ⇒ ) 因為 X Y , Z 、 Y X , Z 、 Z X , Y 滿足相容性，故存在 f XYZ ( x, y, z ) ，其中. X Y , Z 、 Y X , Z 、 Z X , Y 的條件機率密度函數分別為 f X Y , Z ( x y, z ) 、 fY X , Z ( y x, z ) 、 f Z X ,Y ( z x, y ) 。. 令 W2 ( x, z ) 為 f XYZ ( x, y, z ) 的 X 、 Z 邊際機率密度函數，亦即. W2 ( x, z ) = f XZ ( x, z ) ；同理， W3 ( x, y ) = f XY ( x, y ) 、 U ( y, z ) = f YZ ( y, z ) ， 則可得證。 ∞ ∞. (⇐) 令. ∫. ∫ U ( y, z )dydz = c ，則. −∞ −∞. 立. ∞ ∞. 治. U ( y, z ) dydz = 1 。 c −∞ −∞. ∫政 ∫. h ( x, y , z ) = h( y , z ). U ( y, z ) c = f X Y , Z ( x y, z ) U ( y, z ) c. f X Y ,Z ( x y, z ) ⋅. io. sit. Nat. ∴ hX Y , Z ( x y, z ) =. −∞. U ( y, z ) U ( y, z ) dx = c c. y. −∞. h( x, y , z )dx = ∫ f X Y , Z ( x y , z ) ⋅. al. n. 同理 h( x, y, z ) = fY X , Z ( y x, z ) ⋅. Ch. er. ∫. ∞. ∫∫∫ h( x, y, z)dxdydz = 1. ‧. ‧ 國 ∞. ⇒ h( y, z ) =. 大 學. U ( y, z ) 令 h( x, y, z ) = f X Y , Z ( x y , z ) ⋅ ⇒ c. W2 ( x, z ) W ( x, y ) = f Z X ,Y ( z x, y ) ⋅ 3 ， c c. engchi. i Un. v. 可得 hY X , Z ( y x, z ) = fY X , Z ( y x, z ) 、 hZ X ,Y ( z x, y ) = f Z X ,Y ( z x, y ) 。 ∴ f XYZ ( x, y, z ) = h( x, y, z ) 存在，滿足相容性。■. 在定理 2 中，所提到的 U ( y , z ) ，在與 W2 ( x, z ) 進行除法運算時，若存在含有 z 的公因式，將會對其進行約分，同樣地，在與 W3 ( x, y ) 進行除法運算時，若存在 含有 y 的公因式，亦將會對其進行約分，在這樣的情形下，給定的條件分配所對 應的機率密度函數兩兩相除時，所得到的結果將會有所不同，將如下方推論 3 所敘述。. 5.
(10) 【推論 3】 在三維的空間中，三個條件分配 X Y , Z 、 Y X , Z 、 Z X , Y ，其所對應的機率密 度函數分別為 f X Y , Z ( x y, z ) 、 fY X , Z ( y x, z ) 、 f Z X ,Y ( z x, y ) ，則上述三個條件分配 滿足相容性 ⇔ 滿足下列兩個條件： (1) ∃ V1 ( x, z ), U1 ( y, z ), V2 ( x, y ), U 2 ( y, z ), f1 ( y ), f 2 ( x) ∋. f X Y ,Z ( x y, z ) f Y X , Z ( y x, z ). =. V1 ( x, z ) U1 ( y , z ). f X Y ,Z ( x y, z ). ,. f Z X ,Y ( z x, y ). =. V2 ( x, y ) U 2 ( y, z ). , ＆. U1 ( y, z ) U 2 ( y, z ). =. f1 ( y ) f2 ( z). , ∀x, y, z. ∞ ∞. (2). ∫ ∫ U ( y, z ) f ( z )dydz ＜ ∞ 1. 2. −∞ −∞. 立. ‧ 國. 學. 【證明 證明】 證明. 政 治 大. ( ⇒ ) 由定理 定理 2 可知滿足相容性，則定理 2 中條件(1)、(2)成立。. ‧. 令 V1 ( x, z ) = W2 ( x, z ) 、 V2 ( x, y ) = W3 ( x, y ) 、 U1 ( y , z ) = U 2 ( y, z ) = U ( y, z ) 、. y. Nat. sit. f1 ( y ) = f 2 ( z ) = 1 ，則可得證。. n. al. er. io. ( ⇐ ) 令 U ( y, z ) = U1 ( y, z ) ⋅ f 2 ( z )、W2 ( x, z ) = V1 ( x, z ) ⋅ f 2 ( z )、W3 ( x, y ) = V2 ( x, y ) ⋅ f1 ( y ). f X Y , Z ( x y, z ). Ch. i Un. v. V ( x, z ) V1 ( x, z ) f 2 ( z ) W2 ( x, z ) ⇒ = 1 = = ＆ fY X , Z ( y x , z ) U 1 ( y , z ) U 1 ( y , z ) f 2 ( z ) U ( y , z ). f X Y , Z ( x y, z ) f Z X ,Y ( z x, y ). =. engchi. V2 ( x, y ) V2 ( x, y ) f1 ( y ) W3 ( x, y ) = = ，則可得證。■ U 2 ( y, z ) U1 ( y, z ) f 2 ( z ) U ( y, z ). 接下來，欲將定理 2 的結果，推廣至高維空間，首先定義高維度之相容性。. 6.
(11) 【定義 4】 在 n 維的空間中， X − i 表示 ( X 1 , X 2 ,..., X i −1 , X i +1 ,..., X n ) ， n 個條件分配 X 1 X −1 、. X 2 X −2 、 X 3 X −3 、…、 X n X − n ，其所對應的機率密度函數分別為 f X1 X −1 ( x1 x−1 ) 、 f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) 、 f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) 、…、 f X n X − n ( xn x− n ) 。若存在一個 X 1 、 X 2 、 X 3 、…、 X n 的聯合機率密度函數 f X1 , X 2 , X 3 ,..., X n ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ，且由此聯合機率密度函數可. 產生 f X1 X −1 ( x1 x−1 ) 、 f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) 、 f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) 、…、 f X n X − n ( xn x− n ) ，則稱此 n 個條件分配滿足相容性。. 政 治 大. 立. ‧. ‧ 國. 學. 【定理 定理 5】. 在 n 維的空間中， X − i 表示 ( X 1 , X 2 ,..., X i −1 , X i +1 ,..., X n ) ，n 個條件分配 X 1 X −1 、. sit. y. Nat. n. al. er. io. X 2 X −2 、 X 3 X −3 、…、 X n X − n ，其所對應的機率密度函數分別為 f X1 X −1 ( x1 x−1 ) 、. i Un. v. f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) 、 f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) 、…、 f X n X − n ( xn x− n ) ，則上述 n 個條件分配滿足相. Ch. 容性 ⇔ 滿足下列兩個條件：. engchi. (1) ∃ W2 ( x−2 ), W3 ( x−3 ), ..., Wn ( x− n ), U ( x−1 ) ∋. f X1 X −1 ( x1 x−1 ) f X 3 X −3 ( x3 x−3 ). (2). =. W3 ( x−3 ) U ( x−1 ). , …, ＆. f X1 X −1 ( x1 x−1 ) f X 2 X −2 ( x2 x−2 ). f X1 X −1 ( x1 x−1 ) f X n X − n ( xn x− n ). ∫ U ( x−1 )dx−1 ＜ ∞. ℝ n−1. 7. =. Wn ( x− n ) U ( x−1 ). =. W2 ( x−2 ) U ( x−1 ). ,.
(12) 【證明 證明】 證明 ( ⇒ ) 因為 X 1 X −1 、 X 2 X −2 、 X 3 X −3 、…、 X n X − n 滿足相容性，故存在 f X1 X 2 X 3 ... X n ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ，其中 X 1 X −1 、 X 2 X −2 、 X 3 X −3 、…、 X n X − n 的. 條件機率密度函數分別為 f X1 X −1 ( x1 x−1 ) 、 f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) 、 f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) 、…、 f X n X − n ( xn x− n ) 。. 令 W2 ( x−2 ) 為 f X1 X 2 X 3 ... X n ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) 的 X 1 , X 3 , X 4 ,..., X n 邊際機率密度函數， 亦即 W2 ( x−2 ) = f X −2 ( x−2 ) ；同理， W3 ( x−3 ) = f X −3 ( x−3 ) 、…、 Wn ( x− n ) = f X − n ( x− n ) 、. U ( x−1 ) dx−1 = 1 。 c n−1 ℝ. ℝ n−1. 令 h( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = f X1 X −1 ( x1 x−1 ) ⋅. U ( x−1 ) c. ‧. ‧ 國. ∫ U ( x−1 )dx−1 = c ，則 ∫. 學. (⇐) 令. ∴ hX1 X −1 ( x1 x−1. al. 1 X −1. ( x1 x−1 ) ⋅. ℝ. U ( x−1 ) U ( x−1 ) dx1 = c c. iUv( x n C h ex n) =gfc h (ix Ux ) ⋅ c h( x , x , x ,..., )= U (x ) n. ℝ. io. ⇒ h( x−1 ) = ∫ h( x1 , x2 , x3 ,..., xn )dx1 = ∫ f X. er. ℝn. y. Nat. ⇒ ∫∫ ... ∫ h( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn = 1. sit. U ( x−1 ) = f X −1 ( x−1. 政 治 大 ) ，則可得證。 立. 1. 2. 3. X 1 X −1. n. 1. −1. h( x−1 ). −1. −1. ) = f X1 X −1 ( x1 x−1 ). c. 同理 h( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) ⋅. W2 ( x−2 ) W (x ) = f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) ⋅ 3 −3 c c. = ... = f X n X − n ( xn x− n ) ⋅. Wn ( x− n ) c. 可得 hX 2 X −2 ( x2 x−2 ) = f X 2 X −2 ( x2 x−2 ) 、 hX 3 X −3 ( x3 x−3 ) = f X 3 X −3 ( x3 x−3 ) 、…、 hX n X − n ( xn x− n ) = f X n X − n ( xn x− n ) 。. ∴ f X1 X 2 X 3 ... X n ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = h( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) 存在，滿足相容性。■. 8.
(13) 3. 三維條件常態分配相容性之探討. 本章第一節中，將探討給定三個三維條件分配均為常態分配時，檢驗其滿足 相容性的充分必要條件，並試圖將條件簡化以方便使用，同時找出其與所對應的 聯合機率密度函數彼此間的關係，並在本節的最後提供兩個例子，使讀者瞭解如 何使用本節所提供三維條件常態分配相容性的檢驗方法。 另於第二節中，更進一步地去探討，若給定的三個三維條件常態分配滿足相 容性且其所對應的聯合分配亦為常態時之充分必要條件為何，我們發現檢驗的充. 政 治 大. 要條件可更加簡化。. 學. ‧ 國. 立 3.1 滿足相容性之充要條件. ‧. sit. y. Nat. 首先，我們給定三個三維條件分配皆為常態分配具有如下的性質：. n. al. er. io. X Y = y, Z = z ～ N ( µ1 ( y, z ), σ 12 ( y , z )) ， σ 12 ( y, z ) ＞0， ∀y, z ∈ R ；. i Un. v. Y X = x, Z = z ～ N ( µ2 ( x, z ), σ 22 ( x, z )) ， σ 22 ( x, z ) ＞0， ∀x, z ∈ R ；. Ch. engchi. Z X = x, Y = y ～ N ( µ3 ( x, y ), σ 32 ( x, y )) ， σ 32 ( x, y ) ＞0， ∀x, y ∈ R ； 並以[條件常態模型]簡稱，方便於後文中敘述。. 接著，在[條件常態模型]下，開始探討如何以 µ1 ( y, z ) 、 µ2 ( x, z ) 、 µ3 ( x, y ) 、. σ 12 ( y, z ) 、 σ 22 ( x, z ) 、 σ 32 ( x, y ) 的關聯性來表達相容性的充分必要條件，並且將所 得到的結果整理成定理 6。. 9.
(14) 【定理 定理 6】 在[條件常態模型]下，此三個條件分配滿足相容性的充分必要條件為： 存在常數 α ijk ， 0 ≤ i, j , k ≤ 2 ，使得. µ1 ( y, z ) = (α122 , α121 , α120 , α112 , α111 , α110 , α102 , α101 , α100 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)] × σ 12 ( y , z ). µ2 ( x, z ) = (α 212 , α 211 , α 210 , α112 , α111 , α110 , α 012 , α 011 , α 010 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)] × σ 22 ( x, z ) µ3 ( x, y ) = (α 221 , α 211 , α 201 , α121 , α111 , α101 , α 021 , α 011 , α 001 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y ,1)] × σ 32 ( x, y ) σ 12 ( y, z ) = {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α 212 , α 211 , α 210 , α 202 , α 201 , α 200 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}−1. 政 治 大. σ 22 ( x, z ) = {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α122 , α121 , α120 , α 022 , α 021 , α 020 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}−1. 立. ‧ 國. 學. σ 32 ( x, y ) = {−2 × (α 222 , α 212 , α 202 , α122 , α112 , α102 , α 022 , α 012 , α 002 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y ,1)]}−1. 且 f ( x, y, z ) ∝ exp(α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y. ‧. + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2. Nat. + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x. sit. y. + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ). n. al. er. io. 是可積分的。其中， (a1 ,..., ak ) ∗ (b1 ,..., bk ) = a1b1 + ... + ak bk ；. i Un. v. (a1 , a2 , a3 ) ⊗ (b1 , b2 , b3 ) = a1b1 + a1b2 + a1b3 + ... + a3b1 + a3b2 + a3b3 。. Ch. engchi. 【證明 證明】 證明 ( ⇒ ) 由推論 3 可知滿足相容性，則推論 3 中條件(1)成立。. 所以. f X Y , Z ( x y, z ) fY X , Z ( y x , z ). =. V1 ( x, z ) U1 ( y, z ) 1. 又. f X Y ,Z ( x y, z ) fY X , Z ( y x , z ). =. 2πσ 12 ( y, z ) 1 2πσ 22 ( x, z ). exp[−. ( x − µ1 ( y, z )) 2 ] 2σ 12 ( y, z ). exp[−. ( y − µ2 ( x, z )) 2 ] 2σ 22 ( x, z ). 10.
(15) σ 2 ( x, z ) ( x − µ1 ( y, z )) 2 ( y − µ2 ( x, z )) 2 = exp[− + ] σ 1 ( y, z ) 2σ 12 ( y, z ) 2σ 22 ( x, z ) =. σ 2 ( x, z ) σ 1 ( y, z ). exp[ −. 令 K ( x, y , z ) = −. x. 2. 1. 2 σ 1 ( y, z) 2. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. −. 2 σ 1 ( y, z) 2. +. y. 2. 1. 2 σ 2 ( x, z ) 2. −y. µ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2. 1 µ 2 ( x, z ) 2. +. 2 σ 2 ( x, z ) 2. ]. µ1 ( y, z ) y 2 µ ( x, z ) x2 1 1 1 + x + − y 22 .....................○ 2 2 2 σ 1 ( y , z ) 2 σ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2 σ 1 ( y, z ). ∵ K ( x, y, z ) = K1 ( y, z ) + K 2 ( x, z ) ⇔. ∂ K ( x, y , z ) = K 3 ( y , z ) 則 ∂y. ∂ x2 ∂ 1 ∂ µ1 ( y, z ) 1 µ ( x, z ) − 22 = K3 ( y, z ) K ( x, y , z ) = − ( ) + x( )+ y 2 2 2 σ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) ∂y 2 ∂y σ 1 ( y, z ) ∂y σ 1 ( y, z ) 2 ……………………………………………………………………………………..○. 1 ∂ ∂ µ1 ( y, z ) = C1 ( z ) y + C2 ( z ) ＆ = C3 ( z ) y + C4 ( z ) , 2 ∂y σ 1 ( y, z ) ∂y σ 12 ( y, z ). ∴. 其中 Ci ( z ), i ∈ ℕ 為 z 的函數. 立. 學. 1 1 µ ( y, z ) 1 = C1 ( z ) y 2 + C2 ( z ) y + C5 ( z ) ＆ 12 = C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) 2 σ 1 ( y, z ) 2 σ 1 ( y, z ) 2. ‧ 國. ⇒. 政 治 大. ‧. 1 3 ⇒ σ 12 ( y, z ) = [ C1 ( z ) y 2 + C2 ( z ) y + C5 ( z )]−1 ..........................................................○ 2. n. = y[. x2 2. al. er. io. 3 、○ 4 代入○ 2 將○. ⇒ K3 ( y, z) = −. sit. y. Nat. 1 C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) 4 ＆ µ1 ( y, z ) = 2 ...............................................................○ 1 2 C1 ( z ) y + C2 ( z ) y + C5 ( z ) 2. Ch. engchi. i Un. [C1 ( z ) y + C2 ( z )] + x[C3 ( z ) y + C4 ( z )] + y 1. σ 22 ( x, z ). −. x2 2. C1 ( z ) + xC3 ( z )] + [ −. v. µ 2 ( x, z ) σ ( x, z ) σ 22 ( x, z ) 1. 2 2. −. µ 2 ( x, z ) x 2 − C2 ( z ) + xC4 ( z )] σ 22 ( x, z ) 2. µ 2 ( x, z ) x 2 1 x2 − + = ＆ − − C ( z ) + xC4 ( z ) = C8 ( z ) C ( z ) xC ( z ) C ( z ) 7 3 σ 22 ( x, z ) 2 2 σ 22 ( x, z ) 2 1 µ ( x, z ) x2 x2 1 ⇒ 2 = C1 ( z ) − xC3 ( z ) + C7 ( z ) ＆ 22 = − C2 ( z ) + xC4 ( z ) − C8 ( z ) σ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2 2. ∴. 1 5 ⇒ σ 22 ( x, z ) = [ C1 ( z ) x 2 − C3 ( z ) x + C7 ( z )]−1 ..............................................................○ 2 1 − C2 ( z ) x 2 + C4 ( z ) x − C8 ( z ) 6 ＆ µ 2 ( x, z ) = 2 .............................................................○ 1 2 C1 ( z ) x − C3 ( z ) x + C7 ( z ) 2 11.
(16) 3 、○ 4 、○ 5 、○ 6 代入○ 1 將○. x2 y2 C5 ( z ) + xC6 ( z ) + C7 ( z ) + yC8 ( z ) 2 2. ⇒ K ( x, y , z ) = − ⇒. f X Y , Z ( x y, z ) fY X , Z ( y x, z ). =. σ 2 ( x, z ) σ 1 ( y, z). σ 2 ( x, z ). =. σ 1 ( y, z ) 1. =. exp[ −. σ 1 ( y, z ). 1 2. 2. y. 2. 2 σ 1 ( y, z ). y2. exp[. exp[. x. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z ) 2. 2. 2 σ 1 ( y, z) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. C7 ( z ) + yC8 ( z ) −. 2 σ 1 ( y, z ) 2. 1 µ1 ( y , z ). 2. 2. 1 µ1 ( y , z ). −. −. y. +. x2 2. 2. 1. 2 σ 2 ( x, z ) 2. 2 σ 1 ( y, z) 2. µ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2. 1 µ 2 ( x, z ) 2. +. 2 σ 2 ( x, z ) 2. 1 µ 2 ( x, z ). ] × σ ( x , z ) exp[ − 2. x. 2 σ 2 ( x, z ) 2. 2. 2. ]. 1 µ 2 ( x, z ) 2. C5 ( z ) + xC6 ( z ) +. 2 σ 2 ( x, z ) 2. = [U1 ( y, z )]−1 × V1 ( x, z ) ⇒ U1 ( y, z ) = σ 1 ( y , z ) exp[ −. y2. 1 µ1 ( y , z ) 2. C7 ( z ) − yC8 ( z ) +. 7 ] ............................................○. 政 治 1 µ ( x, z大 ) ＆ V ( x, z ) = σ ( x, z ) exp[ − C ( z ) + xC ( z ) + ] ........................................○ 2 2 σ ( x, z ) 立 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. x2. 1. 2. 2. 2. 5. 6. 8. 2. ( x − µ1 ( y, z ))2 exp[− ] 2σ 12 ( y, z ) 2πσ 12 ( y, z ) 1 ( z − µ3 ( x, y ))2 exp[− ] 2σ 32 ( x, y ) 2πσ 32 ( x, y ). Ch. sit er. al. y. 1. n. =. =. V2 ( x, y ) U 2 ( y, z ). io. f Z X ,Y ( z x, y ). =. ‧. f Z X ,Y ( z x, y ). f X Y ,Z ( x y, z ). =. 學. f X Y ,Z ( x y, z ). Nat. 又. ‧ 國. 2. 同樣地，. i Un. i. v. σ 3 ( x, y ) µ3 (cx,h y )) 2 ( x − µ1 ( y, z ))2 e( zn− g exp[− + ] σ 1 ( y, z ) 2σ 12 ( y, z ) 2σ 32 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) σ 1 ( y, z). exp[ −. 令 H ( x, y , z ) = −. x. 2. 1. 2 σ 1 ( y, z) 2. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. −. 2 σ 1 ( y, z) 2. +. z. 2. 1. 2 σ 3 ( x, y ) 2. −z. µ 3 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) 2. 1 µ3 ( x, y ) 2. +. 2 σ 3 ( x, y ) 2. ]. x2 1 µ1 ( y, z ) z 2 1 µ ( x, y ) 9 + + − z 32 .....................○ x 2 2 2 2 σ 1 ( y, z ) σ 1 ( y , z ) 2 σ 3 ( x , y ) σ 3 ( x, y ). ∵ H ( x, y , z ) = H 1 ( y , z ) + H 2 ( x , y ) ⇔. ∂ H ( x, y , z ) = H 3 ( y , z ) 則 ∂z. µ ( x, y ) ∂ x2 ∂ 1 ∂ µ1 ( y, z ) 1 − 32 = H 3 ( y, z ) H ( x, y , z ) = − ( ) + x( )+ z 2 2 2 σ 3 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) ∂z 2 ∂z σ 1 ( y, z ) ∂z σ 1 ( y, z ) 10 ……………………………………………………………………………………○. 12. ]. 2. C5 ( z ) + xC6 ( z ) +. 2. C7 ( z ) + yC8 ( z ) −. −y. ].
(17) 1 ∂ ∂ µ1 ( y, z ) = D1 ( y ) z + D2 ( y ) ＆ = D3 ( y ) z + D4 ( y ) , 2 ∂z σ 1 ( y, z ) ∂z σ 12 ( y, z ). ∴. 其中 Di ( y ), i ∈ ℕ 為 y 的函數 ⇒. 1 1 µ ( y, z ) 1 = D1 ( y ) z 2 + D2 ( y ) z + D5 ( y ) ＆ 12 = D3 ( y ) z 2 + D4 ( y ) z + D6 ( y ) σ ( y, z ) 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 1. 1. 11 ⇒ σ 12 ( y , z ) = [ D1 ( y ) z 2 + D2 ( y ) z + D5 ( y )]−1 ………………………………………○. 2. 1. D3 ( y ) z 2 + D4 ( y ) z + D6 ( y ). ＆ µ1 ( y , z ) = 2. 1. D1 ( y ) z + D2 ( y ) z + D5 ( y ). 2. 政 治 大. 11 、○ 12 代入○ 10 將○. 2. 立. [D1 ( y ) z + D2 ( y )] + x[D 3 ( y ) z + D4 ( y )] + z 1. σ 32 ( x, y ). −. x2 2. D1 ( y ) + xD3 ( y )] + [−. µ3 ( x, y ) σ ( x, y ) σ 32 ( x, y ) 1. 2 3. −. 學. = z[. x2. ‧ 國. ⇒ H 3 ( y, z ) = −. 12 …………………………………………○. 2. µ 3 ( x, y ) x 2 − D2 ( y ) + xD4 ( y )] σ 32 ( x, y ) 2. 1 x2 µ3 ( x , y ) x 2 − D + = ＆ − − D2 ( y ) + xD4 ( y ) = D8 ( y ) ( y ) xD ( y ) D ( y ) 1 3 7 σ 32 ( x, y ) 2 σ 32 ( x, y ) 2. ⇒. x2 1 µ3 ( x , y ) x2 = − + ＆ = − D2 ( y ) + xD4 ( y ) − D8 ( y ) D ( y ) xD ( y ) D ( y ) 1 2 7 σ 32 ( x, y ) 2 2 σ 32 ( x, y ). ‧. ∴. er. io. sit. y. Nat. 1 13 ⇒ σ 32 ( x, y ) = [ D1 ( y ) x 2 − D3 ( y ) x + D7 ( y )]−1 …………………………………….○ 2. n. al. −. ＆ µ3 ( x, y ) =. 1. Ch. engchi. D2 ( y ) x 2 + D4 ( y ) x − D8 ( y ). i Un. v. 2 14 ………………………….……………○ 1 2 D1 ( y ) x − D3 ( y ) x + D7 ( y ) 2. 11 、○ 12 、○ 13 、○ 14 代入○ 9 將○. ⇒ H ( x, y , z ) = −. ⇒. f X Y , Z ( x y, z ) f Z X ,Y ( z x, y ) =. x2 z2 D5 ( y ) + xD6 ( y ) + D7 ( y ) + zD8 ( y ) 2 2. =. σ 3 ( x, y ) σ 1 ( y, z). exp[ −. x. 2. 1. 2 σ 1 ( y, z ) 2. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z ) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. −. 2 σ 1 ( y, z) 2. +. z. 2. 1. 2 σ 3 ( x, y ) 2. −z. µ3 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) 2. 1 µ 3 ( x, y ) 2. +. 2 σ 3 ( x, y ) 2. σ 3 ( x, y ) 1 µ32 ( x, y ) 1 µ12 ( y, z ) x 2 z2 D ( y ) xD ( y ) ] exp[ D7 ( y ) + zD8 ( y ) − − + + 5 6 σ1 ( y, z ) 2 σ 32 ( x, y ) 2 2 σ 12 ( y, z ) 2 13. ].
(18) =. 1 z2 1 µ12 ( y, z ) x2 1 µ32 ( x, y ) exp[ D7 ( y ) + zD8 ( y ) − ] × σ 3 ( x, y )exp[ − D5 ( y ) + xD6 ( y ) + ] 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 σ 32 ( x, y ). = [U 2 ( y, z )]−1 × V2 ( x, y ) ⇒ U 2 ( y, z ) = σ 1 ( y, z ) exp[ −. z2 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. D7 ( y ) − zD8 ( y ) +. ＆ V2 ( x, y ) = σ 3 ( x, y ) exp[ −. x2 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. 15 ] ……………..…………○. 1 µ 3 ( x, y ) 2. D5 ( y ) + xD6 ( y ) +. 2 σ 3 ( x, y ) 2. 16 ] ……………………○. 3 、○ 11 得到 另外，由○. 1 2. 1. σ 12 ( y, z ) = C1 ( z ) y 2 + C2 ( z ) y + C5 ( z ) = D1 ( y ) z 2 + D2 ( y ) z + D5 ( y ) 2. 政 治 大. ⇒ σ 12 ( y, z ) 中 y、z 的最高次數皆為二次，令 Cij 、 Dij , i, j ∈ ℕ 為常數，可得. 立. 2. ‧ 國. 學. 1 左式＝ (C12 z 2 + C11 z + C10 ) y 2 + (C22 z 2 + C21 z + C20 ) y + (C52 z 2 + C51 z + C50 ) 2. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 1 1 1 ＝ C12 y 2 z 2 + C11 y 2 z + C10 y 2 + C22 yz 2 + C21 yz + C20 y + C52 z 2 + C51 z + C50 2 2 2. ‧. 1. Nat. y. 右式＝ ( D12 y 2 + D11 y + D10 ) z 2 + ( D22 y 2 + D21 y + D20 ) z + ( D52 y 2 + D51 y + D50 ). er. io. sit. ＝ D12 y 2 z 2 + D11 yz 2 + D10 z 2 + D22 y 2 z + D21 yz + D20 z + D52 y 2 + D51 y + D50 ∴ C12 = D12，C11 = 2 D22，C10 = 2 D52，2C22 = D11，C21 = D21，C20 = D51，2C52 = D10，C51 = D20，C50 = D50。. n. al. 3 、○ 4 、○ 11 、○ 12 得到 由○. Ch. engchi. i Un. v. 1 µ1 ( y, z ) 1 = C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) = D3 ( y ) z 2 + D4 ( y ) z + D6 ( y ) 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 1 ⇒ 左式＝ (C32 z 2 + C31 z + C30 ) y 2 + (C42 z 2 + C41 z + C40 ) y + (C62 z 2 + C61 z + C60 ) 2 1 1 1 ＝ C32 y 2 z 2 + C31 y 2 z + C30 y 2 + C42 yz 2 + C41 yz + C40 y + C62 z 2 + C61 z + C60 2 2 2 1 右式＝ ( D32 y 2 + D31 y + D30 ) z 2 + ( D42 y 2 + D41 y + D40 ) z + ( D62 y 2 + D61 y + D60 ) 2 1 1 1 ＝ D32 y 2 z 2 + D31 yz 2 + D30 z 2 + D42 y 2 z + D41 yz + D40 z + D62 y 2 + D61 y + D60 2 2 2 ∴ C32 = D32，C31 = 2 D42，C30 = 2 D62，2C42 = D31，C41 = D41，C40 = D61，2C62 = D30，C61 = D40，C60 = D60。 14.
(19) U1 ( y, z ). 又由推論 3 中條件(1)可知. ⇒. U1 ( y , z ) = U 2 ( y, z ). σ 1 ( y, z ) exp[ − σ 1 ( y, z ) exp[ − y2. exp[ −. = exp[ −. 2. exp( −. = exp( −. y2 2 z2 2. f 2 ( z ) = exp( −. D70. 7 、○ 15 代入 ，將○. 1 µ1 ( y , z ) 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. 1 µ1 ( y , z ). ]. 2 σ 1 ( y, z ) 2. exp[ −. =. 2. D7 ( y ) − zD8 ( y ) +. exp[ −. ]. 2 z2 2. C7 ( z ) − yC8 ( z )] D7 ( y ) − zD8 ( y )]. C72 2 D72 2. y2 z2 − y2 z2 −. C71 2 D71. y2 z − yz 2 −. C70 2 D70. y 2 − C82 yz 2 − C81 yz − C80 y ) z 2 − D82 y 2 z − D81 yz − D80 z ). 政 治 大 = D ，C = D ，. 2. 71. 2. 81. =. f1 ( y ) f2 ( z). 81. ‧ 國. 學. 17 y 2 − C80 y ) …………………………………………………...○. 2. 18 z 2 − D80 z ) …………………………………………………...○. ‧. 2. y2. ( D72 y 2 + D71 y + D70 ) − z ( D82 y 2 + D81 y + D80 )]. 立. C70. f2 ( z). C7 ( z ) − yC8 ( z ) +. ∴ C72 = D72 ， C71 = 2 D82 ， 2C82 f1 ( y ) = exp(−. f1 ( y ). (C72 z 2 + C71 z + C70 ) − y (C82 z 2 + C81 z + C80 )]. 2. z2. U 2 ( y, z ). =. n. al. er. io. 1 (1) σ 12 ( y, z ) = [ C1 ( z ) y 2 + C2 ( z ) y + C5 ( z )]−1 2. sit. y. Nat. 再將所得到的式子進行整理，可得下述三個結果：. i Un. v. 1 = [ (C12 z 2 + C11 z + C10 ) y 2 + (C22 z 2 + C21 z + C20 ) y + (C52 z 2 + C51 z + C50 )]−1 2. Ch. engchi. 1 1 1 = ( C12 y 2 z 2 + C11 y 2 z + C10 y 2 + C22 yz 2 + C21 yz + C20 y + C52 z 2 + C51 z + C50 ) −1 2 2 2. 1 σ 22 ( x, z ) = [ C1 ( z ) x 2 − C3 ( z ) x + C7 ( z )]−1 2 1 = [ (C12 z 2 + C11 z + C10 ) x 2 − (C32 z 2 + C31 z + C30 ) x + (C72 z 2 + C71 z + C70 )]−1 2 1 1 1 = ( C12 x 2 z 2 + C11 x 2 z + C10 x 2 − C32 xz 2 − C31 xz − C30 x + C72 z 2 + C71 z + C70 ) −1 2 2 2 1 σ 32 ( x, y ) = [ D1 ( y ) x 2 − D3 ( y ) x + D7 ( y )]−1 2 1 = [ ( D12 y 2 + D11 y + D10 ) x 2 − ( D32 y 2 + D31 y + D30 ) x + ( D72 y 2 + D71 y + D70 )]−1 2. 15.
(20) 1 1 1 = ( D12 x 2 y 2 + D11 x 2 y + D10 x 2 − D32 xy 2 − D31 xy − D30 x + D72 y 2 + D71 y + D70 ) −1 2 2 2 1 = ( C12 x 2 y 2 + C22 x 2 y + C52 x 2 − C32 xy 2 − 2C42 xy − 2C62 x + C72 y 2 + 2C82 y + D70 ) −1 2. 發現：[σ 12 ( y, z )]−1 、[σ 22 ( x, z )]−1 、[σ 32 ( x, y )]−1 的最高次項 y 2 z 2 、 x 2 z 2 、 x 2 y 2 係數相同。 1 1 C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) 2 2 (2) µ1 ( y, z ) = = 1 [σ 12 ( y, z )]−1 C1 ( z ) y 2 + C2 ( z ) y + C5 ( z ) 2. ⇒. µ1 ( y, z ) 1 = C3 ( z ) y 2 + C4 ( z ) y + C6 ( z ) 2 σ 1 ( y, z ) 2. 政 治 大. 1 ＝ (C32 z 2 + C31 z + C30 ) y 2 + (C42 z 2 + C41 z + C40 ) y + (C62 z 2 + C61 z + C60 ) 2. 立. ‧ 國. 學. 1 1 1 ＝ C32 y 2 z 2 + C31 y 2 z + C30 y 2 + C42 yz 2 + C41 yz + C40 y + C62 z 2 + C61 z + C60 2 2 2. ‧. 1 1 − C2 ( z ) x 2 + C4 ( z ) x − C8 ( z ) − C2 ( z ) x 2 + C4 ( z ) x − C8 ( z ) = 2 µ 2 ( x, z ) = 2 1 [σ 22 ( x, z )]−1 C1 ( z ) x 2 − C3 ( z ) x + C7 ( z ) 2 µ 2 ( x, z ) 1 ⇒ 2 = − C2 ( z ) x 2 + C4 ( z ) x − C8 ( z ) σ 2 ( x, z ) 2. er. io. sit. y. Nat. 1 ＝ − (C22 z 2 + C21 z + C20 ) x 2 + (C42 z 2 + C41 z + C40 ) x − (C82 z 2 + C81 z + C80 ) 2. n. al. C 1 h. engchi. i Un. v. 1 1 ＝ − C22 x 2 z 2 − C21 x 2 z − C20 x 2 + C42 xz 2 + C41 xz + C40 x − C82 z 2 − C81 z − C80 2 2 2 1 1 − D2 ( y ) x 2 + D4 ( y ) x − D8 ( y ) − D2 ( y ) x 2 + D4 ( y ) x − D8 ( y ) µ3 ( x, y ) = 2 = 2 1 [σ 32 ( x, y )]−1 D1 ( y ) x 2 − D3 ( y ) x + D7 ( y ) 2. ⇒. µ 3 ( x, y ) 1 = − D2 ( y ) x 2 + D4 ( y ) x − D8 ( y ) 2 σ 3 ( x, y ) 2. 1 ＝ − ( D22 y 2 + D21 y + D20 ) x 2 + ( D42 y 2 + D41 y + D40 ) x − ( D82 y 2 + D81 y + D80 ) 2 1. 1. 1. 2. 2. 2. ＝ − D22 x 2 y 2 − D21 x 2 y − D20 x 2 + D42 xy 2 + D41 xy + D40 x − D82 y 2 − D81 y − D80 1 1 1 1 1 ＝ − C11 x 2 y 2 − C21 x 2 y − C51 x 2 + C31 xy 2 + C41 xy + C61 x − C71 y 2 − C81 y − D80 2 2 4 2 2 16.
(21) 發現：. µ1 ( y, z ) µ2 ( x, z ) µ3 ( x, y ) 、 、 交互作用項 yz 、 xz 、 xy 係數相同。 σ 12 ( y, z ) σ 22 ( x, z ) σ 32 ( x, y ). (3) U1 ( y, z ) f 2 ( z ) = σ 1 ( y, z ) exp[ −. = σ 1 ( y, z ) exp[. y2 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. C7 ( z ) − yC8 ( z ) +. 2 σ 1 ( y, z ) 2. ] × exp(−. D70 2. z 2 − D80 z ). 1 µ12 ( y, z ) y 2 D − C7 ( z ) − yC8 ( z ) − 70 z 2 − D80 z ] 2 2 σ 1 ( y, z ) 2 2. 1. 1. 1. 2. 2. 2. −. 1. = ( C12 y 2 z 2 + C11 y 2 z + C10 y 2 + C22 yz 2 + C21 yz + C20 y + C52 z 2 + C51 z + C50 ) 2 × 1 1 1 ( C32 y 2 z 2 + C31 y 2 z + C30 y 2 + C42 yz 2 + C41 yz + C40 y + C62 z 2 + C61 z + C60 ) 2 1 2 2 exp[ × 2 1 1 1 2 C12 y 2 z 2 + C11 y 2 z + C10 y 2 + C22 yz 2 + C21 yz + C20 y + C52 z 2 + C51 z + C50 2 2 2 y2. D70 2. z 2 − D80 z ]. 學. 2. 立. (C72 z 2 + C71 z + C70 ) − y (C82 z 2 + C81 z + C80 ) −. 推出 f ( x, y, z ) ∝ f X Y , Z ( x y, z )U1 ( y, z ) f 2 ( z ) =. 2πσ 1 ( y , z ). ( x − µ1 ( y , z )) 2σ 1 ( y , z ) 2. 2. 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. ] × σ 1 ( y , z ) exp[. Nat. 2 σ 1 ( y, z ) 2. y2 2. C7 ( z ) − yC8 ( z ) −. D70 2. z 2 − D80 z ]. µ1 ( y, z ) y 2 D +x 2 − exp[− C7 ( z ) − yC8 ( z ) − 70 z 2 − D80 z ] 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 σ 1 ( y, z ) 2 2π. =. 1. x. 1. er. x2. io. =. 1. al. n. 2π. 2. 1. 2. − 1 2π. Ch. i Un. v. 1 1 ( C12 y 2 z 2 + C11 y 2 z + C10 y 2 + C22 yz 2 + C21 yz + C20 y + C52 z 2 + C51 z + C50 ) 2 2 2 2. exp[ −. 1. + x ( C32 y z +. =. −. y. exp[ −. sit. 1. ‧. ‧ 國. −. 政 治 大. y. 2. 2. engchi. 1. 1 C31 y 2 z + C30 y 2 + C42 yz 2 + C41 yz + C40 y + C62 z 2 + C61 z + C60 ) 2 2. 2. 2. (C72 z 2 + C71 z + C70 ) − y (C82 z 2 + C81 z + C80 ) −. D70 2. z 2 − D80 z ]. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 4. 4. 4. 2. 2. 2. exp( − C12 x 2 y 2 z 2 − C11 x 2 y 2 z − C10 x 2 y 2 − C22 x 2 yz 2 − C21 x 2 yz − C20 x 2 y −. 1 1 1 1 1 C52 x 2 z 2 − C51 x 2 z − C50 x 2 + C32 xy 2 z 2 + C31 xy 2 z + C30 xy 2 2 2 2 2 2 2. 1. + C42 xyz 2 + C41 xyz + C40 xy + C62 xz 2 + C61 xz + C60 x 1 1 1 D − C72 y 2 z 2 − C71 y 2 z − C70 y 2 − C82 yz 2 − C81 yz − C80 y − 70 z 2 − D80 z ) 2 2 2 2. 17.
(22) 1. 1. 1. 1. 4. 4. 4. 2. 最後，將符號改寫，令 α 222 = − C12 、 α 221 = − C11 、 α 220 = − C10 、 α 212 = − C22 、 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. α 211 = − C21、α 210 = − C20、α 202 = − C52 、α 201 = − C51、α 200 = − C50 、α122 = C32 、 1. 1. 2. 2. α121 = C31 、 α120 = C30 、 α112 = C42 、 α111 = C41 、 α110 = C40 、 α102 = C62 、 α101 = C61 、 1. 1. 1. 2. 2. 2. α100 = C60 、 α 022 = − C72 、 α 021 = − C71 、 α 020 = − C70 、 α 012 = −C82 、 α 011 = −C81 、 α 010 = −C80 、 α 002 = −. D70 2. 、 α 001. = − D80 且定義符號 (a1 ,..., ak ) ∗ (b1 ,..., bk ). = a1b1 + ... + ak bk ； (a1 , a2 , a3 ) ⊗ (b1 , b2 , b3 ) = a1b1 + a1b2 + a1b3 + ... + a3b1 + a3b2 + a3b3 。. 再將三個結果整理如下，則可得證。. 政 治 大 x z + α x + α xy z + α xy z + α. f ( x, y, z ) ∝ exp(α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y. 立. + α 202 x 2 z 2 + α 201. 2. 2. 2. 200. 2. 122. 2. 121. 120 xy. 2. ‧ 國. 學. + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ). ‧. µ1 ( y, z ) = (α122 , α121 , α120 , α112 , α111 , α110 , α102 , α101 , α100 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)] × σ 12 ( y, z ). io. sit. y. Nat. µ2 ( x, z ) = (α 212 , α 211 , α 210 , α112 , α111 , α110 , α 012 , α 011 , α 010 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)] × σ 22 ( x, z ). n. al. er. µ3 ( x, y ) = (α 221 , α 211 , α 201 , α121 , α111 , α101 , α 021 , α 011 , α 001 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)] × σ 32 ( x, y ) σ 12 ( y, z ) = {−2 × (α 222 , α 221 , α 220. iv n C ,α h , αe , α , α ,iα U, α ) ∗ [( y , y,1) ⊗ ( z , z ,1)]} ngch 2. 212. 211. 210. 202. 201. 2. −1. 200. σ 22 ( x, z ) = {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α122 , α121 , α120 , α 022 , α 021 , α 020 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}−1 σ 32 ( x, y ) = {−2 × (α 222 , α 212 , α 202 , α122 , α112 , α102 , α 022 , α 012 , α 002 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)]}−1. 1. (⇐) ∵. f X Y , Z ( x y, z ) f Y X , Z ( y x, z ). =. 2πσ 12 ( y, z ) 1 2πσ 22 ( x, z ). =. exp[−. ( x − µ1 ( y, z )) 2 ] 2σ 12 ( y, z ). exp[−. ( y − µ2 ( x, z )) 2 ] 2σ 22 ( x, z ). σ 2 ( x, z ) ( x − µ1 ( y , z )) 2 ( y − µ 2 ( x, z )) 2 + exp[ − ] σ 1 ( y, z ) 2σ 12 ( y, z ) 2σ 22 ( x, z ). 18.
(23) =. σ 2 ( x, z ) σ 1 ( y, z ). x. exp[ −. 2. 1. 2 σ 1 ( y, z) 2. 考慮 K ( x, y, z ) = −. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. −. 2 σ 1 ( y, z) 2. +. y. 2. 1. 2 σ 2 ( x, z ) 2. −y. µ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2. 1 µ 2 ( x, z ) 2. +. 2 σ 2 ( x, z ) 2. ]. µ1 ( y, z ) y 2 µ ( x, z ) x2 1 1 + x + − y 22 2 2 2 σ 1 ( y , z ) 2 σ 2 ( x, z ) σ 2 ( x, z ) 2 σ 1 ( y, z ). x2 {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α 212 , α 211 , α 210 , α 202 , α 201 , α 200 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]} 2 + x{(α122 , α121 , α120 , α112 , α111 , α110 , α102 , α101 , α100 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}. =−. y2 {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α122 , α121 , α120 , α 022 , α 021 , α 020 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]} 2 − y{(α 212 , α 211 , α 210 , α112 , α111 , α110 , α 012 , α 011 , α 010 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}. +. = α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x. 政 治 大. − α 222 x 2 y 2 z 2 − α 221 x 2 y 2 z − α 220 x 2 y 2 − α122 xy 2 z 2 − α121 xy 2 z − α120 xy 2 − α 022 y 2 z 2 − α 021 y 2 z − α 020 y 2 − α 212 x 2 yz 2 − α 211 x 2 yz − α 210 x 2 y − α112 yz 2 − α111 xyz − α110 xy − α 012 yz 2 − α 011 yz − α 010 y. 立. = α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x − α 022 y 2 z 2 − α 021 y 2 z − α 020 y 2 − α 012 yz 2 − α 011 yz − α 010 y. ‧ 國. 學. = K 2 ( x, z ) + K1 ( y, z ) f X Y ,Z ( x y, z ) fY X , Z ( y x, z ). ‧. ⇒. 19 = V1 ( x, z ) × [U1 ( y, z )]−1 …………………………………………..○. sit. y. Nat. io. er. ⇒ U1 ( y, z ) = σ 1 ( y, z ) exp[α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y +. n. al. i Un. v. 1 µ1 ( y , z ) 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. 20 ……………………………………………………………………………………○. Ch. 1. 同樣地，. f X Y , Z ( x y, z ) f Z X ,Y ( z x, y ). =. 2πσ 12 ( y, z ) 1 2πσ 32 ( x, y ). = =. engchi exp[−. ( x − µ1 ( y, z )) 2 ] 2σ 12 ( y, z ). exp[−. ( z − µ3 ( x, y )) 2 ] 2σ 32 ( x, y ). σ 3 ( x, y ) ( x − µ1 ( y, z )) 2 ( z − µ3 ( x, y )) 2 exp[ − + ] σ 1 ( y, z ) 2σ 12 ( y , z ) 2σ 32 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) σ 1 ( y, z). exp[ −. x. 2. 1. 2 σ 1 ( y, z ). 考慮 H ( x, y, z ) = −. 2. +x. µ1 ( y , z ) σ 1 ( y, z ) 2. 1 µ1 ( y , z ) 2. −. 2 σ 1 ( y, z) 2. +. z. 2. 1. 2 σ 3 ( x, y ) 2. −z. µ 3 ( x, y ) σ 3 ( x, y ) 2. 1 µ 3 ( x, y ) 2. +. 2 σ 3 ( x, y ). x2 1 µ1 ( y, z ) z 2 1 µ ( x, y ) + x + − z 32 2 2 2 σ 1 ( y , z ) 2 σ 3 ( x , y ) σ 3 ( x, y ) 2 σ 1 ( y, z ). 19. 2. ]. ].
(24) x2 {−2 × (α 222 , α 221 , α 220 , α 212 , α 211 , α 210 , α 202 , α 201 , α 200 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]} 2 + x{(α122 , α121 , α120 , α112 , α111 , α110 , α102 , α101 , α100 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}. =−. z2 {−2 × (α 222 , α 212 , α 202 , α122 , α112 , α102 , α 022 , α 012 , α 002 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)]} 2 − z{(α 221 , α 211 , α 201 , α121 , α111 , α101 , α 021 , α 011 , α 001 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)]}. +. = α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x − α 222 x 2 y 2 z 2 − α 212 x 2 yz 2 − α 202 x 2 z 2 − α122 xy 2 z 2 − α112 xyz 2 − α102 xz 2 − α 022 y 2 z 2 − α 012 yz 2 − α 002 z 2 − α 221 x 2 y 2 z − α 211 x 2 yz − α 201 x 2 z − α121 xy 2 z − α111 xyz − α101 xz − α 021 y 2 z − α 011 yz − α 001 z = α 220 x 2 y 2 + α 210 x 2 y + α 200 x 2 + α120 xy 2 + α110 xy + α100 x − α 022 y 2 z 2 − α 012 yz 2 − α 002 z 2 − α 021 y 2 z − α 011 yz − α 001 z. = H 2 ( x, y ) + H 1 ( y , z ) f X Y , Z ( x y, z ). 立. 21 = [U 2 ( y, z )]−1 × V2 ( x, y ) …………………………………………..○. 學. f Z X ,Y ( z x, y ). ‧ 國. ⇒. 政 治 大. ⇒ U 2 ( y, z ) = σ 1 ( y, z ) exp[α 022 y 2 z 2 + α 012 yz 2 + α 002 z 2 + α 021 y 2 z + α 011 yz + α 001 z +. 1 µ1 ( y , z ) 2. ‧. 2 σ 1 ( y, z ) 2. ]. 22 ……………………………………………………………………………………○. n. al. er. io. sit. y. Nat 20 、○ 22 得到 又由○. U1 ( y, z ) U 2 ( y, z ). iv. σ 1 ( y, z ) exp[α 022 y 2 z 2 +C α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yzn2 + α 011 yz + α 010 y + =. hengchi U. σ 1 ( y, z ) exp[α 022 y 2 z 2 + α 012 yz 2 + α 002 z 2 + α 021 y 2 z + α 011 yz + α 001 z +. 1 µ1 ( y , z ) 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. 1 µ1 ( y , z ). ]. 2. 2 σ 1 ( y, z ) 2. ]. exp[α 020 y + α 010 y ] 2. =. ⇒. exp[α 002 z + α 001 z ]. U1 ( y, z ) U 2 ( y, z). 2. =. f1 ( y ) f2 ( z). 23 ……………………………….………………………………○. 19 、○ 21 、○ 23 可知滿足推論 3 中的條件(1)；又 f ( x, y , z ) 是可積分的等價於推 ∴ 由○. 論 3 中的條件(2)，則得證。■. 20.
(25) 【備註】 α ijk 具有以下性質 (1) µl. (l = 1, 2, 3) 式中 α ijk 的第. l 個下標全為 1，其他下標值則為對應變數 x,y 或 z. 的指數值。例如： µ2 ( x, z ) 式中所含 x 2 z 項的係數為 α 211 。 (2) σ l2. (l = 1, 2, 3) 式中 α ijk 的第. l 個下標全為 2，其他下標值則為對應變數 x,y 或 z. 的指數值。例如： σ 22 ( x, z ) 式中所含 x 2 z 項的係數為 α 221 。 (3) f ( x, y, z ) 中所含係數 α ijk 其對應項為 α ijk xi y j z k 。. 治 政 雖然，定理 6 提供了三個三維條件常態分配滿足相容性的充要條件；然而， 大 立 這些條件在使用上仍屬複雜，我們將再更進一步找尋其中關係，試圖將條件簡化。 ‧ 國. 學 ‧. 若 f X Y , Z ( x y, z ) 、 fY X , Z ( y x, z ) 、 f Z X ,Y ( z x, y ) 滿足相容性，則存在邊際分配. fY X , Z. f X Y ,Z f XZ ( x, z ) f ( x, y ) ＆ = XY fYZ ( y, z ) fYZ ( y, z ) f Z X ,Y. n. 又由推論 3 中的條件(1)可知. y. =. er. io. al. f X Y ,Z. sit. Nat. f XY ( x, y ) 、 fYZ ( y, z ) 、 f XZ ( x, z ) ∋. Ch. engchi. i Un. v. 存在常數 c1 、 c2 及函數 U1 ( y, z ) 、 V1 ( x, z ) 、 U 2 ( y, z ) 、 V2 ( x, y ) 、 f1 ( y ) 、 f 2 ( z ) 使得 f XY ( x, y ) = c2V2 ( x, y ) f1 ( y ) 、 fYZ ( y, z ) = c1U1 ( y, z ) f 2 ( z ) = c2U 2 ( y, z ) f1 ( y ) 、. f XZ ( x, z ) = c1V1 ( x, z ) f 2 ( z ) ⇒ f ( x, y , z ) = f X Y , Z ( x y, z ) × fYZ ( y, z ) ∝ f X Y , Z ( x y, z ) × U1 ( y, z ) f 2 ( z ) = f X Y , Z ( x y, z ) × U 2 ( y , z ) f1 ( y ) = fY X , Z ( y x, z ) × f XZ ( x, z ) ∝ fY X , Z ( y x, z ) × V1 ( x, z ) f 2 ( z ) = f Z X ,Y ( z x, y ) × f XY ( x, y ) ∝ f Z X ,Y ( z x, y ) × V2 ( x, y ) f1 ( y ). 7 、○ 8 、○ 16 、○ 17 、○ 18 代入，可得 在[條件常態模型]下，將○. 21.
(26) f ( x, y, z ) ∝ exp[−. D x2 1 µ1 ( y, z ) y 2 + − C7 ( z ) − yC8 ( z ) − 70 z 2 − D80 z ] x 2 2 σ 1 ( y, z ) 2 2 σ 1 ( y, z ) 2. D y2 1 µ 2 ( x, z ) x 2 ∝ exp[− +y 2 − C5 ( z ) + xC6 ( z ) − 70 z 2 − D80 z ] 2 σ 2 ( x, z ) 2 2 σ 2 ( x, z ) 2 ∝ exp[−. 令 g1 ( x, y, z ) =. µ3 ( x , y ) x 2 C z2 1 + − D5 ( y ) + xD6 ( y ) − 70 y 2 − C80 y ] z 2 2 σ 3 ( x, y ) 2 2 σ 3 ( x, y ) 2. µ1 ( y, z ) x2 1 x − ⋅ 2 、 2 σ 1 ( y, z ) 2 σ 1 ( y, z ). µ 2 ( x, z ) y2 1 y − ⋅ 2 、 2 σ 2 ( x, z ) 2 σ 2 ( x, z ) µ ( x, y ) z2 1 g3 ( x, y, z ) = 32 z− ⋅ 2 。 σ 3 ( x, y ) 2 σ 3 ( x, y ). g 2 ( x, y , z ) =. 可發現 f ( x, y, z ) 為指數函數，其中包含 x 的項由 g1 ( x, y, z ) 而來；包含 y 的項由. 政 治 大. g 2 ( x, y, z ) 而來；包含 z 的項由 g3 ( x, y, z ) 而來。所以， g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) 、. 立. g3 ( x, y, z ) 中會有同類項，且係數應相同；而 f ( x, y, z ) 可由 g1 ( x, y, z )、 g 2 ( x, y, z ) 、. ‧ 國. 學. g3 ( x, y, z ) 所組成。. ‧ y. Nat. 由定理 6 可知. n. er. io. sit. µ1 ( y, z ) x2 1 − ⋅ 2 x 2 2 σ 1 ( y, z ) σ 1 ( y, z ) 2 2 2 2 2 = α 222 x y z + α 221 x y z + α 220 a x2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x2 yz + α 210v x 2 y + α 202 x2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x2 g1 ( x, y, z ) =. i l C n U hengchi. + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x. g 2 ( x, y , z ) =. µ 2 ( x, z ) y2 1 y − ⋅ 2 2 σ 2 ( x, z ) 2 σ 2 ( x, z ). = α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y g3 ( x, y, z ) =. µ 3 ( x, y ) z2 1 − ⋅ 2 z 2 σ 3 ( x, y ) 2 σ 3 ( x, y ). = α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α112 xyz 2 + α111 xyz + α102 xz 2 + α101 xz + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 002 z 2 + α 001 z. 22.
(27) 及 f ( x, y, z ) ∝ exp(α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ). 經比較係數，可得其中關係，而有下述推論 7。. 【推論 推論 7】. µ1 ( y, z ) x2 1 x− ⋅ 2 、 在[條件常態模型]下，令 g1 ( x, y, z ) = 2 σ 1 ( y, z ) 2 σ 1 ( y, z ) µ 3 ( x, y ) µ 2 ( x, z ) y2 1 z2 1 、 g3 ( x, y, z ) = 2 。 g 2 ( x, y , z ) = 2 y− ⋅ 2 z− ⋅ 2 σ 3 ( x, y ) 2 σ 2 ( x, z ) 2 σ 3 ( x, y ) σ 2 ( x, z ). 治 政 則 (1) [條件常態模型]滿足相容性的充分必要條件為 大 立 x y z = g ( x, y, z) ， ∀k = 1, 2,3 ，其中 ∃α ∋ α ∑. n1. n3. k. 學. ( n1 , n2 , n3 )∈Sk. n2. n1n2 n3. ‧ 國. n1n2 n3. S k = {(n1 , n2 , n3 ) nk ∈ {1, 2};當i ≠ k時, ni ∈ {0,1, 2}} 。. ∑. α n n n xn y n z n )， 1. 2. 3. 1 2 3. y. Nat. ( n1 , n2 , n3 )∈S. n. er. io. al. sit. 其中 S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 。. 【備註】. ‧. (2) [條件常態模型]滿足相容性下，有 f ( x, y, z ) ∝ exp(. Ch. engchi. i Un. v. (1) g1 ( x, y, z ) 為由 X Y , Z 的條件平均及條件變異數而得； g 2 ( x, y, z ) 為由. Y X , Z 的條件平均及條件變異數而得；g3 ( x, y, z ) 為由 Z X , Y 的條件平均 及條件變異數而得。 (2) 由推論 7 中(1)可知 x n1 y n2 z n3 項， (n1 , n2 , n3 ) ∈ {1, 2}3 ，若出現必同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中，而且係數相同； x n1 y n2 項，. (n1 , n2 ) ∈ {1, 2}2 ，若出現必同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) 中，而且係. 數相同(亦即不會出現在 g3 ( x, y, z ) 中)； y n2 z n3 項， (n2 , n3 ) ∈ {1, 2}2 ，若出 23.
(28) 現必同時出現在 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中，而且係數相同； x n1 z n3 項， (n1 , n3 ) ∈ {1, 2}2 ，若出現必同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中，而且係數. 相同；而 x n1 項， n1 ∈ {1, 2} 、 y n2 項， n2 ∈ {1, 2} 、 z n3 項， n3 ∈ {1, 2} ，若出 現，則僅分別出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中。. 由於上述推論 7 的檢驗方式較定理 6 來得容易判別，下方所提供的例子將以 推論 7 的方式來作檢驗。. 政 治 大. 學. yz + 2 y + 2 z 1 , 2 2 )， 2 2 2 2 y z + y + z y z + y2 + z2. Y X = x, Z = z ～ N (. xz + 2 x + 2 z 1 , 2 2 )， 2 2 2 2 x z + x + z x z + x2 + z2. xy + 2 x + 2 y 1 , 2 2 )。 2 2 2 2 x y + x + y x y + x2 + y 2. y. sit. io. al. iv. n. 可得. er. Z X = x, Y = y ～ N (. ‧. 例 1：給定 X Y = y, Z = z ～ N (. Nat. ‧ 國. 立. µ ( y, z ) x 1 1 1 2n2 1 2 2 C = − x 2 y 2 z 2 i− U g1 ( x, y, z ) = 12 x− ⋅ 2 he x y − x z + xyz + 2 xy + 2 xz h σ 1 ( y, z ) 2 σ 1 ( y, z ) n2g c 2 2 2. µ 2 ( x, z ) y2 1 1 1 1 − ⋅ 2 = − x 2 y 2 z 2 − x 2 y 2 + xyz + 2 xy − y 2 z 2 + 2 yz y 2 σ 2 ( x, z ) 2 σ 2 ( x, z ) 2 2 2 µ ( x, y ) z2 1 1 1 1 = − x 2 y 2 z 2 − x 2 z 2 + xyz + 2 xz − y 2 z 2 + 2 yz g3 ( x, y, z ) = 32 z− ⋅ 2 σ 3 ( x, y ) 2 σ 3 ( x, y ) 2 2 2 g 2 ( x, y , z ) =. 同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中的項，包含 x 2 y 2 z 2 項以及 xyz 項， 1 其中 x 2 y 2 z 2 項的係數均為 − ， xyz 項的係數均為 1； 2. 同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g 2 ( x, y, z ) ，但不出現在 g3 ( x, y, z ) 中的項，包含 x 2 y 2 項以 1 及 xy 項，其中 x 2 y 2 項的係數均為 − ， xy 項的係數均為 2； 2 24.
(29) 同時出現在 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) ，但不出現在 g1 ( x, y, z ) 中的項，包含 y 2 z 2 項以 1 及 yz 項，其中 y 2 z 2 項的係數均為 − ， yz 項的係數均為 2； 2. 同時出現在 g1 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) ，但不出現在 g 2 ( x, y, z ) 中的項，包含 x 2 z 2 項以 1 及 xz 項，其中 x 2 z 2 項的係數均為 − 、 xz 項的係數均為 2； 2. 滿足推論 7 中(1)的檢驗方式，所以，此三個條件分配滿足相容性。 另由推論 7 中(2)可知對應之聯合機率密度函數為 1 1 1 1 f ( x, y, z ) ∝ exp( − x 2 y 2 z 2 − x 2 y 2 − x 2 z 2 + xyz + 2 xy + 2 xz − y 2 z 2 + 2 yz ) 。■ 2 2 2 2. 立. yz + 2 y 2 + 2 z 2 1 , 2 2 )， 2 2 y z + 2 yz + 1 y z + 2 yz + 1. 學. ‧ 國. 例 2：給定 X Y = y, Z = z ～ N (. 政 治 大. xz + 2 x 2 + 2 z 2 1 , 2 2 )， 2 2 x z + 2 xz + 1 x z + 2 xz + 1. Z X = x, Y = y ～ N (. xy + 2 x 2 + 2 y 2 1 , 2 2 )。 2 2 x y + 2 xy + 1 x y + 2 xy + 1. ‧. Y X = x, Z = z ～ N (. sit. µ1 ( y, z ) x2 1 1 1 − ⋅ 2 = − x 2 y 2 z 2 − x 2 yz − x 2 + xyz + 2 xy 2 + 2 xz 2 x 2 σ 1 ( y, z ) 2 aσ 1 ( y, z ) 2 2 v. n. er. io. g1 ( x, y, z ) =. y. Nat. 可得. i. l. µ ( x, z ) y2 C1 = − 1 x 2 y 2 z 2 + 2Ux 2 ny − xy 2 z + xyz − 1 y 2 + 2 yz 2 g 2 ( x, y, z ) = 22 y− ⋅ 2 he σ 2 ( x, z ) 2 σ 2 ( x, z ) n2g c h i 2 µ ( x, y ) z2 1 1 1 = − x 2 y 2 z 2 + 2 x 2 z − xyz 2 + xyz + 2 y 2 z − z 2 g3 ( x, y, z ) = 32 z− ⋅ 2 σ 3 ( x, y ) 2 σ 3 ( x, y ) 2 2 根據推論 7 中(1)的檢驗方式， x 2 yz 項若出現應同時出現在 g1 ( x, y, z )、 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中，而且係數相同，但在此例中， x 2 yz 項只出現在 g1 ( x, y, z ) 中，而 未出現在 g 2 ( x, y, z ) 、 g3 ( x, y, z ) 中，所以，此三個條件分配不滿足相容性。■. 以上兩個例子的相容性檢驗，顯示本節所提供的理論與驗證方法不只簡單也 很直接。接著，透過觀察定理 6，可得三個條件常態分配與其所對應的聯合機率. 25.
(30) 密度函數彼此間的關係，當所知道的訊息不為條件分配時，而是聯合機密度函數 時，亦可推出其條件常態分配，如下述定理 8。. 【定 定理 8 】 在三維的空間中，若有一聯合機率密度函數. ∑. f ( x, y, z ) ∝ exp(. α n n n x n y n z n ) ，且其條件分配滿足[條件常態模型]， 1. ( n1 , n2 , n3 )∈{0,1,2}3. 則 µ1 ( y, z ) = [. 2. 3. 1 2 3. ∂ ln( f ( x, y, z )) ∂x. x=0. ] × σ 12 ( y, z ) ， σ 12 ( y, z ) = [−. ∂2 ln( f ( x, y, z ))]−1 ； ∂2 x. ∂2 ] × σ ( x, z ) ， σ ( x, z ) = [− 2 ln( f ( x, y, z ))]−1 ； y =0 ∂ y. ∂ µ2 ( x, z ) = [ ln( f ( x, y, z )) ∂y ∂ µ3 ( x, y ) = [ ln( f ( x, y, z )) ∂z. 立. z =0. 2 2. 2 2. 2 3. 2 3. 政 治 大 ∂ ] × σ ( x, y ) ， σ ( x, y ) = [ −. 2. ∂2 z. ln( f ( x, y, z ))]−1 。. ‧. ‧ 國. 學. 3.2 滿足相容性且聯合分配亦為常態分配之充要條件. sit. y. Nat. n. al. er. io. 在開始探討本節主題前，依據 Yates and Goodman (2005)，我們先提供三維. Ch. i Un. v. 常態分配聯合機率密度函數的型式，並表成如下之引理 9。. engchi. 【引 引理 9 】 σ x2 µx x 當 Χ = y ～ N 3 ( µ , Σ) ， µ = µ y ， Σ = ρ xyσ xσ y z µ z ρ xzσ xσ z. 則 f ( x, y , z ) =. 1 3 2. (2π ) [det(Σ)]. 1 2. ρ xyσ xσ y σy. 2. ρ yzσ yσ z. ρ xzσ xσ z . ρ yzσ yσ z ，. σ z2. . 1 ⋅ exp[− ( Χ − µ )′Σ −1 ( Χ − µ )] 。 2. 1 1 其中 − ( Χ − µ )′Σ −1 ( Χ − µ ) = − [C11 ( x − µ x ) 2 + C22 ( y − µ y )2 + C33 ( z − µ z )2 2 2 +2C12 ( x − µ x )( y − µ y ) + 2C13 ( x − µ x )( z − µ z ) + 2C23 ( y − µ y )( z − µ z )] 26.
(31) 1. −1. Σ =. 1 + 2 ρ xy ρ xz ρ yz − ρ xy − ρ xz − ρ yz 2. C11 = C12 C13. C12 C22 C23. 2. 2. 1 − ρ yz 2 σ x2 ρ xz ρ yz − ρ xy ⋅ σ xσ y ρ xy ρ yz − ρ xz σ xσ z. ρ xz ρ yz − ρ xy σ xσ y. ρ xy ρ yz − ρ xz σ xσ z . 1 − ρ xz. ρ xy ρ xz − ρ yz σ yσ z . σy. 2. 2. ρ xy ρ xz − ρ yz σ yσ z. . 1 − ρ xy. σ z2. 2. . C13 C23 C33 . 接著，將探討當[條件常態模型]滿足相容性，其所對應的聯合分配亦為常態. 政 治 大. 分配的充要條件，並將其結果整理成定理 10。. 立. ‧. ‧ 國. 學. 【定 定理 10】 10. 當[條件常態模型]滿足相容性，則其聯合分配為常態分配的充分必要條件為：. y. Nat. er. io. sit. µ1 ( y, z ) = (α110 y + α101 z + α100 ) × σ 12 ( y, z ) ， σ 12 ( y, z ) = (−2α 200 ) −1 ＞0. n. µ2 ( x, z ) = (α110 x + α 011 z + α 010 a ) × σ 22 ( x, z) ， σ 22 ( x, z ) = (−2α 020v)−1 ＞0 µ3 ( x, y ) = (α101 x + α 011 y + α 001. i l C n U h y)n，gσ c( x,hy)i= (−2α ) × σ ( x,e 2 3. 2 3. 002. ) −1 ＞0. 且 α110 2 ＜ 4α 200α 020 ， α1012 ＜ 4α 200α 002 為滿足聯合分配可積的條件。. 【證明 證明】 證明 ( ⇒ ) 由定理 6 可知滿足相容性，則 f ( x, y, z ) ∝ exp(α 222 x 2 y 2 z 2 + α 221 x 2 y 2 z + α 220 x 2 y 2 + α 212 x 2 yz 2 + α 211 x 2 yz + α 210 x 2 y. + α 202 x 2 z 2 + α 201 x 2 z + α 200 x 2 + α122 xy 2 z 2 + α121 xy 2 z + α120 xy 2 + α112 xyz 2 + α111 xyz + α110 xy + α102 xz 2 + α101 xz + α100 x + α 022 y 2 z 2 + α 021 y 2 z + α 020 y 2 + α 012 yz 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ) 27.
(32) 又因 f ( x, y, z ) 為常態分配，則由引理 9 可知. α 222 = α 221 = α 220 = α 212 = α 211 = α 210 = α 202 = α 201 = α122 = α121 = α120 = α112 = α111 = α102 = α 022 = α 021 = α 012 = 0 。. 可將定理 6 滿足相容性之充要條件簡化為下. µ1 ( y, z ) = (0, 0, 0, 0, 0, α110 , 0, α101 , α100 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z,1)] × σ 12 ( y , z ) = (α110 y + α101 z + α100 ) × σ 12 ( y, z ). µ2 ( x, z ) = (0, 0, 0, 0, 0, α110 , 0, α 011 , α 010 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z,1)] × σ 22 ( x, z ) = (α110 x + α 011 z + α 010 ) × σ 22 ( x, z ). µ3 ( x, y ) = (0, 0, 0, 0, 0, α101 , 0, α 011 , α 001 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)] × σ 32 ( x, y ). 政 治 大. = (α101 x + α 011 y + α 001 ) × σ 32 ( x, y ). 立. ‧ 國. 學. σ 12 ( y, z ) = {−2 × (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, α 200 ) ∗ [( y 2 , y,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}−1 = (−2α 200 ) −1 ＞0 σ 22 ( x, z ) = {−2 × (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, α 020 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( z 2 , z ,1)]}−1 = ( −2α 020 ) −1 ＞0. ‧. σ 32 ( x, y ) = {−2 × (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, α 002 ) ∗ [( x 2 , x,1) ⊗ ( y 2 , y,1)]}−1 = ( −2α 002 ) −1 ＞0. 1. 2. n. ∫ ∫ U ( y, z ) f ( z )dydza＜l ∞. −∞ −∞. 又 U1 ( y , z ) f 2 ( z ) = (−2α 200 ). −. 1 2. er. io. ∞ ∞. × exp[ −. Ch. sit. y. Nat. 而 f ( x, y, z ) 可積的條件等價於推論 3 中的條件(2). engchi. (α 110 y + α 101 z + α 100 ) 4α 200. 2. i Un. v. + α 020 y 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ]. α110 α1012 ⇒− + α 020 ＜0， − + α 002 ＜0 ⇒ α110 2 ＜ 4α 200α 020 ，α1012 ＜ 4α 200α 002 4α 200 4α 200 2. 得證。. ( ⇐ ) 因為 f ( x, y, z ) ∝ f X Y , Z ( x y, z ) ⋅ U1 ( y, z ) f 2 ( z ) =. 1 exp(α 200 x 2 + α110 xy + α101 xz + α100 x + α 020 y 2 + α 011 yz + α 010 y + α 002 z 2 + α 001 z ) 2π. 滿足三維常態分配，則得證。■ 28.
(33) 4. 結論. 本文主要在探討連續隨機變數之條件分配滿足相容性的充要條件，相關的研 究結果，整理成以下三點：. (1) 推導出給定三個一般性的三維條件分配，檢驗此三個條件分配滿足相容性的 充要條件；及給定 n 個一般性的 n 維條件分配，檢驗此 n 個條件分配滿足相 容性的充要條件。. 政 治 大 變異數的關係，檢驗滿足相容性的充要條件之理論與簡易方法。 立. (2) 在給定三個三維條件分配皆為常態分配時，提供直接利用條件平均以及條件. ‧ 國. 學. (3) 在給定三個三維條件常態分配滿足相容性下，假設這三個條件分配來自常態 聯合分配，則前述條件平均與條件變異數的關係可進一步簡化，並推出此假. ‧. 設成立時的充要條件。. sit. y. Nat. al. n. 態模型。. er. io. 最後，未來的研究方向，可考慮將目前三維條件常態模型擴充到高維條件常. Ch. engchi. 29. i Un. v.
(34) 參考文獻 [1]. Arnold, B. C. and Press, S. J.(1989) Compatible conditional distributions. J.Amer. Statist. Assoc., 84, 152-156.. [2]. Yates, R. D. and Goodman, D. J.(2005) Probability and Stochastic Processes (2nd ed), John Wiley ＆ Sons.. 蕭惠玲撰(2010)，二維聯合分配下條件常態分配相容性之探討 二維聯合分配下條件常態分配相容性之探討，國立政治大 二維聯合分配下條件常態分配相容性之探討 學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士論文。. 立. 政 治 大. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. [3]. Ch. engchi. 30. i Un. v.
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