指數失敗時間模式之條件D-最適設計 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. 指數失敗時間模式之條件治 D-最適設計. 政. 立. 大. ‧. ‧ 國. 學. Conditional D-optimal Design for Exponential Failure Time Model. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. C. v. h e n g丁兆平指導教授： c h i 博士陳麗霞博士研究生：葉湘怡. 中華民國一百零三年六月.

(2) 指數失敗時間模式之條件 D-最適設計摘. 要. 本論文將最適設計理論應用於指數失敗時間，其期望值之倒數與解釋變數間呈線性關係，且模型中含有兩個解釋變數，一為不可控變數，另一為可控變數。由於在決定最適設計時，實驗單位進入研究的時間及其不可控變數之值均為未知，故必須對此二未知變數給予分配，並將該單位在研究期間內為失敗或設限的可能性納入考慮，方能在各實驗單位進入研究時提供適當之決策。為增進參數估計之效率，本論文採用 D-準則，以決定出建立在進入時間及不可控變數之下的條件 D-最適設計。本論文並以臨床醫學的例子，在參數值的不同設定下進行電腦計算，除分別找到對應之條件 D-最適設計，且進行參數的穩健分析。在本論文考慮的各種情況之下，所得到的穩健效率值均可說明此條件 D-最適設計為穩健設計。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. al. er. io. sit. y. Nat. 關鍵詞：指數失敗時間、D-最適設計、穩健分析、穩健效率值、穩健設計。. Ch. engchi. i. i n U. v.

(3) Conditional D-optimal Design for Exponential Failure Time Model. Abstract. Optimal design under the survival analysis models has rarely been considered in the literature. In this article, exponential failure time is assumed and the expected failure time which is inversely related to two explanatory variables, one is controlled variable and the other is uncontrolled variable, through a linear function is considered. Since the time each experimental unit entering into the study is not known, and the corresponding uncontrolled variable is also unknown, assumptions on the distributions of the entering time and the uncontrolled variable are made in order to find optimal designs. Upon entering into the study, an “optimal” decision is made on the experimental unit, and whether the unit will fail or be censored is also considered. To improve efficiency of parameter estimation, D-optimal criterion is employed, and conditional D-optimal designs are found. Under different setting of values of the. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. parameters and with the help of computer programming, conditional D-optimal designs are found and are listed for a clinical medicine problem. Design robustness on unknown parameters is also investigated.. Ch. engchi. i n U. v. Keywords: Exponential failure time, D-optimal design, robustness, efficiency, robust design.. ii.

(4) 目. 錄. 中文摘要 -------------------------------------------------------------------- i 英文摘要 ------------------------------------------------------------------- ii 目錄. ------------------------------------------------------------------ iii. 表目錄. ------------------------------------------------------------------- v. 第一章. 治政緒論 ------------------------------------------------------------1 大立 ‧ 國. 學. 第一節研究背景與動機 -------------------------------------------- 1 第二節研究問題與目的 -------------------------------------------- 3. ‧. 第三節論文結構 ----------------------------------------------------- 5. sit. y. Nat. er. io. 第二章文獻探討 ------------------------------------------------------- 6. n. a. v. l C 第三章指數失敗時間模式之條件 D-最適設計 n i ----------------- 10. hengchi U. 第一節模型假設與費雪訊息矩陣 ------------------------------ 10 第二節 D-最適設計 ------------------------------------------------ 16 第三節條件 D-最適設計 ----------------------------------------- 18 3.1. 當 γ(c) = c(3-c)⁄2 ------------------------------------------ 21. 3.2. 當 γ(c) = 1⁄2------------------------------------------------- 26. 第四節模擬結果 --------------------------------------------------- 31 iii.

(5) 第四章結論與未來發展方向 -------------------------------------- 42 參考文獻 ----------------------------------------------------------------- 44. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i n U. v.

(6) 表. 目. 錄. 表 1. 當 γ(c) = c(3-c)⁄2 及 ( )、 1 ( ) 為線性下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 ---------------------- 34 表 2. 當 γ(c) = c(3-c)⁄2 及 ( )、 1 ( ) 為二次下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 ---------------------- 36 表 3. 當 γ(c) = 1⁄2 及 ( )、 1 ( ) 為線性下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界---------------------------- 38. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 表 4. 當 γ(c) = 1⁄2 及 ( )、 1 ( ) 為二次下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界---------------------------- 40. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. v. i n U. v.

(7) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 存活分析 (survival analysis) 可探討特定事件發生時間 (time to event) 的分配與風險因子 (risk factor) 或解釋變數 (explanatory variable) 間的關聯，而事件發生時間常被稱之為存活時間 (survival time) 或失敗時間 (failure time) 或壽命等。存活時間之計算是由起始時間到事件發生時所經歷的時間長短。至於特定的事件則可能為死亡、疾病復發、治癒、違約、. 政治大. 清償債務、故障、換工作、失業等等。因而，存活分析已被廣泛地應用於. 立. 不同領域中，例如癌症存活機率、死亡率、生命表、生命統計、產品的可. ‧ 國. 學. 靠度分析、客戶對品牌之忠誠時間等。. ‧. 存活分析中對於失敗時間與解釋變數間的描述除了機率密度函數 (probability density function, pdf) 外，也常採用存活函數 (survival function). y. Nat. io. sit. 以及危險函數 (hazard function)。令 T 為連續的失敗時間，在解釋變數為 𝑧. n. al. er. 之下， 𝑓(𝑡|𝑧) 為其機率密度函數，則對應之存活函數為. Ch. (𝑡|𝑧) = (T. i n U. v. e𝑡|𝑧)n =g∫c 𝑓( h i|𝑧). 危險函數為. (𝑡|𝑧) =. 𝑓(𝑡|𝑧) (𝑡|𝑧). 最適設計 (optimal design) 的概念被廣泛應用在許多領域，例如工程、生物、商學和醫學等。最適設計的想法主要是在估計參數時，其估計量能達到某種“最適”或“最佳”的狀況。線性模型 (linear model) 下之最適設計理論在文獻中已經被深入且廣泛討論，非線性模型 (nonlinear model) 下的最 1.

(8) 適設計研究，因複雜度和困難度遽增，相關文獻不多見，而在存活分析模式架構下，探討最適設計方面的研究相形之下更為罕見，本研究之重點即是將最適設計之理論運用到存活分析中，以增進參數估計之效率。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(9) 第二節. 研究問題與目的. López-Fidalgo, Rivas-López and Campo (2009) 將最適設計的理論應用於特殊的 Cox 迴歸模型 (Cox’s regression model)，文中假設失敗時間之分配為指數分配，且其期望值之倒數與解釋變數間呈線性關係。當實驗單位 (experimental unit) 在研究期間進入實驗時，根據其到達時間求得該實驗單位在研究進行中可被觀測到的最長時間。若進入研究的實驗單位，其失敗時間小於上述最長時間時，則該實驗單位之觀測時間為失敗時間，若失敗. 政治大驗單位進入研究之時間為未知，所以文中假設進入時間之分配服從均勻分立時間大於上述最長時間時，則觀測時間為設限時間 (censored time)。由於實. ‧ 國. 學. 配 (uniform distribution)。在研究進行中，實驗單位陸續進入研究，研究者根據其不同之進入時間，最適的選取解釋變數之值或水準，此最適之選取. ‧. 或最適設計，是在進入時間為給定的情形下所決定，故稱之為條件最適設. sit. y. Nat. 計 (conditionally optimal design)。又，文中僅探討一個解釋變數，且該變數. io. er. 為可控變數 (controlled variable)，亦即可由研究者控制之故。. al. 本論文延續 López-Fidalgo et al. (2009) 之設定，並將模型延伸為含有. n. v i n Ch 兩個解釋變數之模型，其一為可控變數，另一為不可控變數 engchi U. (uncontrolled. variable)。不可控變數誠如其名，在尋找最適設計階段為未知，不為研究者所控制。由於實驗單位進入研究之時間與不可控變數均為未知，我們假設進入時間之分配亦服從某分配，而不可控變數之分配，在給定進入時間下，服從某分配。當實驗單位進入研究時，我們將根據進入時間與該進入時間下之不可控解釋變數之值，找出最適選取可控解釋變數之值或水準之條件最適設計。以下以一醫學臨床例子說明。假設某疾病復發時間之分配為指數分配，病患於研究期間內發病就醫，根據其到達醫院的時間，可得該病患在此研究進行中可被觀測到之最長時 3.

(10) 間。病患就醫時，醫療人員會為病患做相關臨床測量記錄及醫療初步評估，而得到 a 個不同的臨床診斷指標，醫生於看診時，將病患之到院時間和臨床診斷指標帶入本論文所提供之條件最適設計，以決策該病患應進行何種檢驗方式或項目 (檢測 A 或檢測 B )。此例中之疾病復發時間為失敗時間， a 個不同的臨床診斷指標為不可控解釋變數，而不同的檢驗方式則為可控解釋變數。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 4. i n U. v.

(11) 第三節. 論文結構. 本論文架構如下：第一章為緒論、研究背景與動機、研究問題與目的將於本章中闡述。第二章為文獻探討。模型假設與費雪訊息矩陣 (Fisher’s information matrix)、D -最適設計 (D -optimal design)、條件 D -最適設計與模擬結果均呈現於第三章，包含以一醫學臨床的例子說明。第四章為結論與以及未來後續研究方向。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i n U. v.

(12) 第二章. 文獻探討. 最適設計理論中，通常假定模型為線性模型且所有解釋變數均為可控變數，此類最適設計問題之研究，已有許多文獻可供參考；然而，應用在實際情況上常會發生某些解釋變數無法由實驗者所具體指定之情形，而這些無法掌控之解釋變數之值，在實驗開始前或實驗進行階段，是可觀察或可測量的，視為不可控變數。為了處理這種問題，Harville (1974) 考慮在共變異數分析模型 (analysis-of-covariance model) 中含有可控解釋變數與不. 政治大. 可控共變量 (covariates) 但實驗前其值已知，提出較佳的配置方式會經由多. 立. 段決策過程 (multistage decision process) 程序將各實驗單位分配到適當的. ‧ 國. 學. 處理 (treatments) 上的逐次 (sequential) D -最適設計。. 邊際受限 (marginally restricted, MR) 最適設計最早始於 Cook and. ‧. Thibodeau (1980) 考慮並探討在積空間 (product space) 的設計中，當迴歸. Nat. sit. y. 模型的多個解釋變數中有一個為不可控變數時，為了找出最適設計，在研. n. al. er. io. 究設計階段此不可控變數的機率分配必須具體指定，最後能得到 D -最適設. i n U. v. 計，並提出 D -最適設計的等價定理 (equivalence theorem) 以及如何利用迭. Ch. engchi. 代過程 (iterative process) 的演算法以產生此邊際受限 D -最適設計。 Nachtsheim (1989) 亦發現在設計實驗時，可能出現某些解釋變數為不可控變數但實驗開始前為已知。例如在行銷上之消費者使用測試 (consumer use test)，經由試用的方式以鑑定已上市產品與改良後 (如成本降低) 的產品之品質，由有代表性的消費者對產品給予試用評分，為不可控變數。因為評分是可以取得的，若能透過得知改良前後產品試用評分，就能用來分派消費群到不同的產品上，使之有效降低成本。Nachtsheim (1989) 在給定不可控解釋變數分配假設，且考慮線性模型中存在干擾參數 (nuisance. parameters) 之下，建構出符合參數子集合之邊際受限截略 (truncated) D-最 6.

(13) 適設計的推斷方法，透過實驗設計的近似理論 (approximate theory) 推導出其等價定理，提出此最適設計的迭代演算法；當干擾參數不存在時，可以說明截略最適設計與最適設計之間的關係與特性。其後，根據 Cook and Thibodeau (1980) 的一些結果，Huang and Hsu (1993) 和 Huang and Chang (1995) 分別將最適準則 (criterion) 一般化並提出其演算法。當某些解釋變數為不可控變數，Huang and Hsu (1993) 建構迴歸模型的邊際受限最適線性設計。先將 Frechet 導數 (derivative) 用於一可微的凸 (convex) 實數函數 𝛷 上，描繪出邊際受限 𝛷 -最適設計的特性；接著應用. 政治大 (generalized linear model) 的迭代演算法以及收斂性，推斷出邊際受限最適立此結果證明邊際受限最適線性設計之等價定理，並提出在廣義線性模型. 線性設計的測度。Huang and Chang (1995) 則比較多個最適準則，在給定不. ‧ 國. 學. 可控變數機率分配後，從邊際受限設計中找到最適設計，建構出迴歸模型. ‧. 的制限 (constrained) 最適設計，即此邊際受限制限最適設計的充要條件與. y. Nat. Lee (1988) 提出的例子類似。用此條件導出等價定理，而某些特定準則在. er. io. sit. 積空間、可加模型 (additive model) 和 Kronecker product 的迴歸模型下，可用來說明此邊際受限制限最適設計與制限最適設計之間的關係。. al. n. v i n 在積空間的設計中，已有相關文獻討論在部分解釋變數為不可控但在 Ch engchi U. 實驗前為已知之下，建構迴歸模型的最適設計。 López-Fidalgo and Garcet-Rodríguez (2004) 研究除了現有文獻已討論的邊際受限設計之等價定理外，主要延伸到條件受限設計與混合型的邊際條件受限設計之等價定理，並提出不同狀況下生成最適設計的近似理論及迭代演算法，更進一步證明了一般準則演算法的收斂性。以上提到的這些文獻及研究，對於模型中之不可控變數探討的都是給定其分配，或於研究進行中可觀察到其值，以找到最適設計，稱為邊際受限最適設計。 7.

(14) 在現實生活中的實驗，則可能會牽涉到許多較複雜的情況。實驗結束前，並非所有進入研究的實驗單位能在研究期間完成被指定的處理，此可控變數的設限稱為潛在設限 (potentially censoring) 變數。為了更清楚說明， López-Fidalgo. and. Garcet-Rodríguez. López-Fidalgo,. and. Martín-Martín. 和. (2004) (2008). Garcet-Rodríguez,. 及. López-Fidalgo. and. Garcet-Rodríguez (2011) 均引用 Varela et al. (2001) 醫學上針對將進行肺切除手術的肺癌病患做前瞻性觀察型臨床研究的例子為動機，對此病患透過運動時的脈搏血氧飽和度分析，即透過持續增加強度的固定時間運動循. 政治大心肺疾病的發病率。文獻中，López-Fidalgo and Garcet-Rodríguez (2004) 考立. 環測試中，觀察並記錄是否出現血氧飽和度未達 90%的狀況，以預測術後. 慮模型中含有可控變數 (標準運動時間)、不可控但實驗前已知的變數 (術. ‧ 國. 學. 後第一秒吐氣量) 以及不可控但實驗進行中可觀察到的變數 (血氧飽和度). ‧. 的混和模型，欲透過找到一實驗設計以決策病患應進行 12 分鐘或 18 分鐘. y. Nat. 的運動循環測試；Garcet–Rodriguez et al. (2008) 及 López-Fidalgo and. er. io. sit. Garcet-Rodríguez (2011) 則討論更複雜的情況，例如此例中病患可能因呼吸困難或疲勞、心跳過緩、低血壓等某些身體因素，最後無法完成指定的運. al. n. v i n 動時間，探討線性模型中含有潛在設限變數，並給定其離散 Ch engchi U. (discrete) 或. 連續 (continuous) 機率分配，藉由等價定理及其迭代演算法，建構近似 D 最適設計的問題。在既有文獻中較少探討存活分析模式下最適設計方面的問題，雖然 López-Fidalgo et al. (2009) 已將最適設計理論發展於特殊的 Cox 迴歸模型，文中僅考慮一個可控解釋變數，先推導出模型之費雪訊息矩陣後，透過 Cook and Thibodeau (1980) 與 Martín-Martín, Torsney, and López-Fidalgo (2007) 已提出之邊際受限 Φ -最適設計的等價定理及其迭代演算法，找到條件 D -最適設計，並說明此最適設計的問題與等變異數線性模型 8.

(15) (homoscedastic linear model) 之邊際受限最適設計為等價 (equivalent) 的。雖然文獻中已發展出一套以等價定理生成最適設計的近似理論迭代演算法，可惜的是該等價定理及演算法在模式中同時含有可控及不可控解釋變數等較複雜狀況的適用性上，仍有待探究。故本論文是直接從費雪訊息矩陣操作，提出以 D-準則 (D-criteria) 的定義為基礎，找到能使得費雪訊息矩陣之行列式 (determinant) 達到極大的設計為條件 D -最適設計。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 9. i n U. v.

(16) 第三章. 指數失敗時間模式之條件 D-最適設計第一節. 模型假設與費雪訊息矩陣. 假定 𝑧1 𝑧2 ⋯ 𝑧𝑎+1 均為二水準屬性 (2-level qualitative) 可控解釋變數，失敗時間 T 服從指數分配，即. T. 其中，. 1. (. ⋯. 𝑎+1. 1 𝑧1. 立. 1 𝑧1. (. 𝑎+1 𝑧𝑎+1. ，. 1 ⋯. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 ). 2. ‧. 1 𝑧1. ⋯. ，且. 學. ‧ 國. 𝑎+1 𝑖=1 𝑖 𝑖. ∑ 𝑧 政治大 1. 為未知參數，. (T) =. (T) =. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 ). ⋯. (𝑡) 和 (𝑡) 分別為 T 的機率密度函數、累積分配函數 (cumulative. y. Nat. 令 𝑓(𝑡). n. 𝑓(𝑡) = (. er. io. al. sit. distribution function) 以及存活函數，則 𝑎+1. C h∑ 𝑖 𝑧𝑖 ) engchi 𝑖=1 (. (𝑡) = 1. (. (𝑡) = (. 𝑡) =. ). +∑. (. +∑. +∑. i )v n U. 𝑡. 𝑡. ). 𝑡. 令研究之起始時間為 0，不失一般性的假定下，研究終止時間為 1，則研究期間為區間 ( , 1)。在研究進行中，令 𝛪𝑖 為實驗單位 𝑖 進入研究的時間， 𝑐𝑖 = 1. 𝛪𝑖 為該實驗單位在研究進行中可被觀測到的最長時間，即為其設限. 時間。令. 𝑖. 為實驗單位 𝑖 在研究結束前被觀測到的時間， 𝑖 = 1 ⋯ 𝑛 。假 10.

(17) 設其中有 𝑘 個實驗單位在研究結束前失敗，(𝑛. 𝑘) 個實驗單位尚未失敗而. 為設限資料。為便於說明，令實驗單位 1 到 𝑘 的被觀測時間為失敗時間， 1 到 𝑛 的被觀測時間為設限時間，則. 實驗單位 𝑘. = {. 𝑖. 𝑖=1 ⋯ 𝑘 𝑖=𝑘 1 ⋯ 𝑛. 𝑡𝑖 𝑐𝑖. 因此，對數概似函數 (log-likelihood function) 為. 1. 𝑎+1 ). ⋯. 立. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖 ). 1 1𝑖. 𝑖=1. ‧ 國. 1 𝑧1𝑖. ⋯. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖 ) 𝑖. 𝑖=1. ‧. 的最大概似估計量 (maximum likelihood estimator,. 𝑎+1. y. ⋯. er. io. MLE) 為以下微分方程式的解，. al. n =∑ 𝑖=1. =∑ 𝑖=1. 其中 𝑗 = 1 ⋯ 𝑎. (𝑐 )). 學. 1. +1 ) ⋯. 治政 =∑ ( 𝑧 大 ⋯ ∑(. Nat. 因而，. (𝑓(𝑡1 ) ⋯ 𝑓(𝑡 ) (𝑐. =. sit. (. C h1 h i𝑖 g c𝑧𝑎+1 ⋯e n 𝑎+1 1 𝑧1𝑖. 1 𝑧1𝑖. 𝑧𝑖 ⋯. i n U. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖. 1。將對數概似函數分別對. ∑. v. = ，. 𝑖. 𝑖=1. ∑𝑧. 𝑖 𝑖. = ，. 𝑖=1. 1. ⋯. 𝑎+1. 做二次微分，. 並改變正負號後，所計算出之期望值構成費雪訊息矩陣，亦即. 2. (. 2). =∑. 𝑖=1 (. 1 1 𝑧1𝑖. ⋯ 11. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖 ). 2，.

(18) 2. (. 𝑧. )=∑. 𝑖=1 (. 1 𝑧1𝑖. 2. (. 𝑖=1 (. =∑. 2，. 𝑖. ⋯. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖 ). 2，. 1。因此，當設限時間為已知時，費雪訊息矩陣為：. 1 (. 1 𝑧1𝑖. 𝑎+1 𝑧𝑎+1 𝑖 ). 1 𝑧1𝑖. 立. ⋯. 1 𝑧1𝑖. 𝑧1𝑖 2 𝑧1𝑖. 𝑧𝑎+1 𝑖 ⋯ 𝑧 𝑧 1𝑖 𝑎+1 𝑖. 1𝑖 𝑧𝑎+1 𝑖. ⋯. 政𝑧 治 ) [𝑧 大 𝑧 2. 𝑎+1 𝑎+1 𝑖. 𝑎+1 𝑖. 2 𝑧𝑎+1 𝑖 ]. 學. ‧ 國. 𝑖=1. ⋯. 𝑧 𝑖𝑧. )=∑. 其中 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 ≤ 𝑎. 𝑖. 然而在實際應用上，不僅實驗單位進入研究的時間為未知，且該實驗. ‧. 單位於研究期間內是否會失敗亦為未知，所以我們必須對實驗單位進入時. Nat. 1) 個. sit. y. 間做一分配之假設，方能將最適設計找出。又，本論文所處理之 (𝑎. n. al. er. io. 解釋變數一為可控 𝑎 個為不可控，且決策之時間點為實驗單位進入研究之. i n U. v. 時，如依據病患復發入院時間和 𝑎 個不同的臨床診斷指標，決定採用何種. Ch. engchi. 檢驗方式或項目之決策等，因此前述之費雪訊息矩陣便無法直接用來尋找最適設計。. 假定 𝑍1 𝑍2 ⋯ 𝑍𝑎 為不可控解釋變數，𝑍𝑎+1 為可控解釋變數，假定實驗單位進入研究的時間 I 服從某分配，C = 1. I 為該實驗單位在研究期間. 內被觀測之最長時間，X 為其被觀測到之時間，則. = {. T. 若 T. C. C. 若 T. C 12.

(19) 因此， | C = c 之條件機率密度函數為. (. c). (. 𝑎+1. ∑. (. 𝑖 𝑍𝑖 ). ). +∑. 𝑖=1. 其中 𝛿(∙) 為指標變數 (indicator variable)。令 𝜉̃ (c) 為 C 的邊際機率分配，則得到 X 和 C 的聯合機率密度函數為 (T c). 𝑎+1. (. ∑. (. 𝑖 𝑍𝑖 ). ). +∑. 𝜉̃ (c). 𝑖=1. 政治大. 而對應之對數概似函數則為. 立. 𝑎+1. c). (. 2. (. ∑. 𝑖 𝑍𝑖 ). 𝜉̃ (c). y. 𝑖=1. al. = {(. 1. ⋯. 1. C h𝑍 )2 若 𝑖 e 𝑖 n gchi. ∑𝑎+1 𝑖=1. 若. 2. = {(. 2. = {(. 其中 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 ≤ 𝑎. 𝑎+1. ∑𝑎+1 𝑖=1. ∑𝑎+1 𝑖=1. 𝑖 𝑍𝑖 ). 2. 𝑖 𝑍𝑖 ). 2. sit. 分別對. n 2. 𝑖 𝑍𝑖 ). 做二次偏微分：. er. 𝑎+1 ). io. ⋯. ∑. 𝑎+1. 𝑖=1. Nat. 1. 𝑎+1 ). ‧. = 𝛿(T. 將 (. ⋯. ‧ 國 1. 學. (. i cU n. v. =c. 若. c. 若. =c. 若. c. 若. =c. 1。接著將二次偏微分改變正負號後，所計算出之期. 望值構成本文所需之費雪訊息矩陣： 13.

(20) 2. (. 2). 1. =. (. (. 1 (. =. )c. +∑. ∑𝑎+1 𝑖=1. c). (. 2 ∑𝑎+1 𝑖=1 𝑖 𝑍𝑖 ). 𝑖 𝑍𝑖 ). ，. 2. 2. )=. )=. ，. 𝑎+1 2 𝑖=1 𝑖 𝑖. (. (1. )c. +∑. ∑𝑎+1 𝑖=1. (. 𝑖 𝑍𝑖 ). 2. ). sit. y. 1。因而，任一實驗單位之費雪訊息矩陣為. al. 1. n (. 2. 𝑎+1 ). io 1 = (. 𝑖 𝑍𝑖 ). ). ‧. Nat ⋯. )c. +∑. ( c) 政∑ 治 𝑍) 大. =. 其中 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 ≤ 𝑎. 1. c). (. 2. 學. ‧ 國. 立. (. 𝑖 𝑍𝑖 ). ∑𝑎+1 𝑖=1. (. 2. 𝛪(c. (. (1. =. (. ∑𝑎+1 𝑖=1. (. +∑. ∑𝑎+1 𝑖=1. er. (. 1 2 1. )c. C h[ 1 engchi U. 2 𝑖 𝑍𝑖 ). 𝑎+1. v 𝑎+1 i n 1 𝑎+1. ⋯. 1 𝑎+1. ⋯. (31. ]. 2 𝑎+1. 實務上，𝑎 個臨床診斷指標為不可控之解釋變數，令其為. 1. ⋯. 𝑎，. 現假設各有二水準，亦即 𝑍𝑖 ∈ Ω𝑖 = { , 1} 𝑖 = 1 ⋯ 𝑎；檢驗方式或項目則為二水準可控解釋變數，令其為為給定 C = c 下， 𝜉̃𝑖| (𝑧𝑖 |c) = {. 𝑖. 1. 𝑎+1，亦即. = 1 之機率，則 1 } 𝛾𝑖 ( ) 𝛾𝑖 ( ). 𝑖. 𝑍𝑎+1 ∈ Ω𝑎+1 = { , 1}。令 𝛾𝑖 (c). | C = c 的條件機率測度為. 𝑖=1⋯ 𝑎 14.

(21) 則C. 1. ⋯. 𝑎. 的聯合機率測度為 𝑎. 𝜉̃. 1 ⋯ 𝑎 (c. 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎 ) = (∏ 𝜉̃𝑖| (𝑧𝑖 |c)) 𝜉̃ (c) 𝑖=1. 再令. 𝑙 ⋯𝑙. (c) 為給定 C = c 及. 1. 且其中 𝑙𝑖 = , 1 𝑖 = 1, …, a，則. = 𝑙1 ⋯ 𝑎+1. 𝑎. = 𝑙𝑎 下，. |C=c. 1. 𝑎+1. = 1 之機率，. 𝑎. = 𝑙𝑎 的條件機. = 𝑙1 ⋯. 率測度為. 𝜉𝑎+1|. 1 ⋯ 𝑎 (𝑧𝑎+1 |c. 𝑧1 = 𝑙1 ⋯ 𝑧𝑎 = 𝑙𝑎 ). = {1. 1. ⋯. 𝑎+1. 𝑙 ⋯𝑙. 學. C. 𝑙 ⋯𝑙. ‧ 國. 立. 政治大 1 ( ) ( ) }. 的聯合機率測度為. 1 ⋯ 𝑎 (𝑧𝑎+1 |c. ‧. 𝜉(c 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎+1 ) = 𝜉𝑎+1|. 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎 )𝜉̃. sit. n. al. er. io ( ,1). 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎 ). y. Nat. 而對應於 𝜉 之費雪訊息矩陣為. (𝜉) = ∫. 1 ⋯ 𝑎 (c. C ⋯ h. i n U. v. 𝛪(c 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎+1 ) 𝜉(c 𝑧1 ⋯ 𝑧𝑎+1 ). engchi. 本論文所謂的條件設計 (conditional design) 即是在給定 C = c 及 1. = 𝑙1 ⋯. 𝑎. = 𝑙𝑎 下，. 𝑎+1. 之條件機率測度，亦即 𝜉𝑎+1|. 所尋找之條件最適設計即是將. (𝜉) 最適化之. 15. 𝑙 ⋯𝑙. 1 ⋯ 𝑎 。而本論文. (c) 之值。.

(22) 第二節. D-最適設計. 非線性模型的最適設計理論立基於. (𝜉)，因為訊息矩陣的逆矩陣. 𝛭 1 (𝜉) 與參數之 MLE 的漸進共變異數矩陣 (asymptotic covariance matrix) 成比例。然而， (𝜉) 中之元素含未知參數，故在探討最適設計時預先假定未知參數之值，所以本論文所找出之最適設計為局部 (locally) 最適設計。 (𝜉) 說明最適設計及 D-最適設計。. 本節即以費雪訊息矩陣. 在非線性模型中，反應變數. 之機率密度函數為 𝑓(. 𝑧 )，其中 𝑍 和. 政治大 space) Ω。令 𝜉 為定義在 Ω 上的機率測度，亦即對不同的 𝑧 值給予機率值，立分別為解釋變數向量與未知參數向量， 𝑍 的定義域為一緊緻空間 (compact. 下，若滿足 𝑛 𝜉(𝑧𝑖 ) = 𝑛𝑖. 為所有實驗設計 𝜉 的集合，在樣本數為 𝑛 之. 學. ‧ 國. 即在 𝑧𝑖 上之測度為 𝜉(𝑧𝑖 )。令. 𝑖 為整數且 ∑𝑖 𝑛𝑖 = 𝑛，則該設計稱為精準. ‧. (exact) 設計，否則稱之為近似 (approximate) 設計。若樣本觀測值為不相. y. 之 MLE 的漸近共變異數矩陣為. io. sit. Nat. 關的 (uncorrelated)，則參數. n. al. er. 𝑛 1 𝛭 1 (𝜉) 其中. 𝛭(𝜉) = ∫. Ch. (. e n2 g𝑓(c h𝑧i 2. i n U ). v. ) 𝜉( 𝑧) = ∫. (𝑧) 𝜉(𝑧). 而 (𝑧) 為單一樣本在給定 𝑧 之下的訊息。令 ℳ 為訊息矩陣的緊緻集 (compact set)，準則函數 𝛷(∙) 是一個在 ℳ 上非遞增 (non-increasing) 可微的凸實數函數，也就是當 𝛷( ). ≤ 𝑁 時，. 𝛷(𝑁)。則 𝛷 -最適設計 𝜉 ∗ 可使準則函數 𝛷 在所有設計的集合. 達到極小化的設計，亦即. 𝛷(𝛭(𝜉 ∗ )) =. 𝑖 ∈. 𝛷(𝛭(𝜉)) 16. 中.

(23) 然而，不同的設計準則會有不同的意義和目的，其產生的最適設計也不盡相同。在最適設計文獻中，最被廣泛應用的準則為 D-準則，即定義 D-準則函數 𝛷𝐷 為. 𝛷𝐷 (𝛭(𝜉)) = (. 𝑡(𝛭(𝜉))). 1⁄. 其中 𝑠 為參數個數。D-準則的目標是使訊息矩陣 𝛭(𝜉) 的行列式極大化，因而設計 𝜉 的 D-efficiency 定義為. =. 𝛷𝐷 (𝛭(𝜉 ∗ )). 政 = (治大. 𝛷𝐷 (𝛭(𝜉)). 立. 1⁄. 𝑡(𝛭(𝜉)) ) 𝑡(𝛭(𝜉 ∗ )). ‧ 國. 學. D-最適設計能讓最大概似估計量的漸近共變異數矩陣之行列式值最小。是以，D-最適設計可使參數之信賴區間 (confidence interval) 最短 (若未知. ‧. 參數只有一個)，信賴橢圓 (confidence ellipsoid) 面積最小 (若未知參數有. sit. y. Nat. 二個)，或信賴體積最小 (若未知參數個數至少為三個)。這樣的最適設計能. io. n. al. er. 提供較佳的參數估計，增加模式中參數估計之效率。. Ch. engchi. 17. i n U. v.

(24) 第三節. 條件 D-最適設計. 實務上欲決定最適設計時，各實驗單位進入研究的時間、是否會設限及其 𝑎 個不可控變數之值均為未知，因而無法直接將各實驗單位的訊息矩陣 (3.1) 加總而計算出費雪訊息矩陣，以作為尋求最適設計的基礎。由於尋找最適設計之計算量會受到不可控變數之個數影響，以下將針對含有一個不可控變數做詳盡的探討，也就是 𝑎 = 1。本論文所探討的是當實驗單位進入研究的時間及其不可控變數之值得知後，藉由滿足最適 D-準則的條. 政治大測度，而決定可控變數的水準，是以處理的是條件最適設計的問題。有關立 ∗ 件機率測度 𝜉2| 1 ，即給定設限時間與不可控變數時，可控變數的條件機率. ‧ 國. 斷指標 ( 1 )、檢驗方式 ( 之下. 2. 的條件分配形式；再將病患到達醫院的時間及其臨床診 2. 的條件分配中，即可決策病患應使用何種檢驗項目。. sit. Nat. 斷指標的值代入上述. y. 1. 的聯合機率分配，經由 D-最適設計而找出給. ‧. 定C及. 2). 學. 條件最適設計在醫學上的應用茲說明如后。先依據設限時間 (C)、臨床診. io. er. 為了找到最適設計，假定病患在研究期間內就診的時間 I 服從均勻分. al. 配 ( , 1)，則設限時間 C 亦為均勻分配 ( , 1)。假定二水準不可控變數. n. v i n Ch 1 ∈ Ω1 = { , 1} 為綜合臨床診斷指標 e n g c (0：陰性，1：陽性)，二水準可控變 hi U. 數. 2. ∈ Ω2 = { , 1} 為檢驗方式 (0：檢測 A，1：檢測 B)。則 Ω2。機率測度 𝜉(𝑐 𝑧1 𝑧2 ) 在 ( , 1). 值域為積空間 Ω = Ω1. 1. 和. 2. 的. Ω 上為近似實. 驗設計。令臨床診斷指標. 1. 之機率測度，在給定病患設限時間 C = c 下，服從. Bernoulli 分配，機率為 𝛾(c)，亦即 𝜉̃1| (𝑧1 |𝑐) = { 由於 𝜉̃ (c) = 1. 1. 𝛾(c). 1 } 𝛾(c). ≤ c ≤ 1，所以 C 及 18. 1. 之聯合機率測度為.

(25) 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 ) = 𝜉̃ (𝑐)𝜉̃1| (𝑧1 |𝑐) 再令檢驗方式指標. (𝑐) 及. 之機率測度，在給定病患設限時間 C = c 及臨床診斷. 或 1 下，亦服從 Bernoulli 分配，即令. =. 1. 2. (. 2. = 1|𝑐 𝑧1 = 1) =. 為給定 C = c 及. 1. 2. = 1|𝑐 𝑧1 = ) =. 1 (𝑐)，則本論文所尋找之條件最適設計即. 或 1 之下，. =. (. 2. 的條件機率測度，可由. (𝑐) 及. 1 (𝑐). 定義出而為. 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 = ) = { 1. 立. 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 = 1) = { 1. 1 (c). }. ( 3.3 ). 1 (c). 和. 2 的聯合機率測度則為. ‧. ‧ 國. 1. ( 3.2 ). 學. 而C. 1 (c)}. 政治大 1 (c). 𝜉(𝑐 𝑧1 𝑧2 ) = 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 )𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 ). sit. y. Nat. n. al. (𝜉) = ∫ ( 1). ( 1). 1. (. v. 1. 1. [. 2. (. 1. engchi. i n U. (∫ 𝛪(𝑐 𝑧1 𝑧2 ) 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 )) 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 ). =∫. =∫ {. Ch. 𝛪(𝑐 𝑧1 𝑧2 ) 𝜉(𝑐 𝑧1 𝑧2 ). er. io. 因此，對應於 𝜉(𝑐 𝑧1 𝑧2 ) 之費雪訊息矩陣為. 2). 1. ). + 2. 1. [. ] 1. (𝑐)). ] (1. (. 1. (𝑐). (. 1. 19. + 2 1). ). 1 [1. 1 1. ] (1. 1 (𝑐)).

(26) (. 1 (. 1 [ 2 1 2) 1. + 1. 1 1 1. ). +. 1 1] 1. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 ). 1 (𝑐)}. C. C. =[. ] C. ( 3.4 ). C. 其中， 1. (. 1. 立 (. 1. (3. + 1. +. (3. ). 2 2). 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). (3. Nat. y. 1 (𝑐). ‧. ‧ 國. (. 1. (𝑐) 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 2 2). 1 (. 1. ). +. (. 1. =∫. (𝑐)) (1 治𝜉̃ (𝑐 𝑧 = 1) 政大 1. 2 1). 學. C=∫. ). +. ( 1. (3. io. 設限時間 C 和臨床診斷指標. ，兩者之間或許存在某種關係，抑或. n. al. 1. sit. 1. =∫. (𝑐)) 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). (1. 2. er. 1. =∫. i n U. v. 是無關而無法提供臨床診斷指標的訊息。因此，3.1 小節考慮臨床指標為陽. Ch. engchi. 性的機率與設限時間有關，而 3.2 小節則考慮臨床指標為陽性的機率與設限時間無關的情況。亦即在指數失敗時間模式下分別考慮影響 𝜉̃1| 的 𝛾(𝑐) 之兩種不同狀況，並推導出其費雪訊息矩陣。. 20.

(27) 𝒄)⁄2. 當 𝛄(𝒄) = 𝒄(3. 3.1. 假定實驗單位之臨床診斷指標為陽性的機率與其設限時間有關，且令 𝑐)⁄2 ，則給定 C = 𝑐 之下，. γ(𝑐) = 𝑐(3. 𝜉̃1| (𝑧1 |𝑐) = {. 1. 的條件機率測度為. 1 𝑐(3. 1. 𝑐) 𝑐(3 2. 𝑐)} 2. 以上之設定表示較早就診的實驗單位因設限時間 𝑐 較長，其臨床診斷指標為陽性 (. 1. = 1) 的可能性較高；而較晚就診者，其臨床診斷指標則較. 可能為陰性 (. 1. = )。. 政治大. 立. 度可依是否採用檢測 B ( = 𝑖 下，. 2. = 𝑖 下，. = 1) 而定義之，其中，令. 2. = 1 之條件機率，𝑖 = , 1，並分別考慮了. 線性及二次方的關係。. 與 𝑐 之間為. sit. al. n. 接著將. 11. 𝑖 (𝑐). =𝑎. (𝑎1. Ch (. =. 1 (𝑐). er. io 11 (𝑐). 和. 𝑎 )𝑐. engchi. 1 2. (1. v. )𝑐. 1. 11 (𝑐). i n U. 分別取代公式 (3.5) 至 (3.8) 中的. ，可得到以下結果：. 1. 為給定 C = c 及. y. Nat 1 (𝑐). =∫. 的條件機率測. (𝑐)、 1 (𝑐) 與 𝑐 之間存在線性關係，則可令. 若假定. 1 (𝑐). 𝑖 (𝑐). 2. ‧. 1. 1. 學. ‧ 國. 如式 (3.2) 和 (3.3) 所示，給定 C = c 及. 1 (𝑐)). 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 21. (𝑐) 及.

(28) 1. =∫. (1. 2. 3𝑎1 )𝑐 2. io. 2 1. 2，. =. 11 (𝑐)). (1. (. al. ( (3⁄ ) 1. C11 = ∫ 1. C1 h. 3. 1 {( ⁄ ). ( ( ⁄12). 1. 3. 12. =. 2 2. 1 2 2. 2 ，則. 1. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). )𝑐). 1. 𝑐(3. 𝑐). 𝑐. 2. 2 1. 2. ( 2. i 1n U. (2. 1. (2. 1. 1 (𝑐). (𝑎. 2 1. engchi. 1. 1. 1. )𝑎. 1. n = (1⁄2). ). y. ‧ 國 1. Nat. 1. =∫. ( 2. 2. (1. 2 1. 2 ). 政治大 ( ) )𝑎 }. 2. 2. 2. (. ‧. 1. 2. 2. 立 1，. 2. 3. 2. 2. 2𝑎1 )𝑐. 𝑎. 學. 1. =∫. =∫. ) 𝑐. 𝑎1 )𝑐 ) 𝑐. 2. ( (1⁄ ). =. (𝑎. {( ⁄ ). ( ( ⁄12). 11. 2. ( 3. 𝑎 ). )(2(1. 𝑎. = (1⁄2). 1. 𝑐). 1 2 ∫ (1. (1. 令. 𝑐(3. 𝑎 )𝑐) (1. sit. 2. (𝑎1. 𝑎. er. 1. =. 1. 1. 3. 2 1. v2. 2. 1. 1. 2 1. ). 𝑎 )𝑐) (1. 𝑐(3. 𝑐). 22. 2. 1). ). ) 1}. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). (𝑎1. 2. ) 𝑐. ).

(29) = (1⁄2). {(( ⁄12). ((1⁄ ). 𝑎. 1 11. 2. =∫. 2. 2. 1. 1. 1. =∫. (. 2 12. = (1⁄2). ). )𝑐). 1. 12. 3. 𝑐(3. 2 12. 𝑐) 2. 立. )𝑎1 }. ( 2. 12. 12. 12. 11. 12. 和 C11 是 𝑎. 3. 2 12. 2 12. 學. ‧ 國. ). 𝑐. 政治大 (2. 整理後我們可發現 1. 2 2. ). 2. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). (. ((3⁄ ). ). (2. 2. (. 2. ⁄12). 12 {((. 2 2. 2. 2 2. 11 (𝑐). 2 12. 2. 2. 𝑎1 的線性函數，. 2. ). 12. ). ) 1}. 11. 和. 11. 是. 的線性函數。. ‧ y. Nat. sit. 另一方面，若假定在條件分配 (3.2) 和 (3.3) 中， (𝑐)、 1 (𝑐) 與 𝑐 之. al. n 2 (𝑐). 12 (𝑐). =𝑎. =. i n C 2 (𝑎1 h )𝑐 (𝑎2 𝑎1i )𝑐U 𝑎e ngch. (. 1. )𝑐. 比照線性型態的處理方式，將中的. (𝑐) 及. 1 12. =∫. er. io. 間存在二次式函數關係，則可令. (. 2 (𝑐). 1 )𝑐. 和. 12 (𝑐). ，可得到以下結果：. 2. (1. 1. 2 (𝑐)). 2. 2. 1 (𝑐). 分別取代公式 (3.5) 至 (3.8). 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 23. v.

(30) (1. 2. = (1⁄2). 2. ( ( ⁄ ). 1. =∫. 1. 2. 2 )𝑎2. (. 1. (. (2. 1. 1. C12 = ∫ 1. =∫. 2 1. 1 2 2. 1. = (1⁄2). 2 2. 2. 2. ( 2. )𝑎. }. )𝑐. 1. 2. 1 )𝑐. 2. 2 1. ( ( ⁄12). 2. 1. 2). 𝑐(3. 𝑐) 2. 3. 1. 𝑐. 2 1. 1. y. 1. (. ‧. 3. 1. ( (1⁄ ). 2 ). 2. 1. al. 2 1. 1. n 1. ) 𝑐. 2 )𝑎1. 2 )𝑎2 ). 12. {( ⁄ ). io. 1. 2. 2. 2. 政治大 (𝑐)) 𝜉̃ (𝑐 𝑧 = 1). Nat. 1). 1. 1. 2. 2. (. (1. 2 1. = (1⁄2). 2. 𝑐). 2. 學. 1. =∫. 1. (1 立. 2 1. ‧ 國. 12. 2 )𝑎1. 1. ( ( ⁄12). 2. 𝑐(3. 𝑎1 )𝑐 2 ) (1. (𝑎2. 2. 3. ( (2⁄1 ). )𝑎. 2. 𝑎 )𝑐. 2. {( ⁄ ). 2. ( 2. (𝑎1. 𝑎. C h1. (2. 2. 2 ). {(( ⁄12). 2. 1. 1. 1. ( (11⁄2 ). 1. v. 2. 2 1. 2 1. 1). 1. 2 ) 2). }. ̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 2 (𝑐). (𝑎. i n (2 U1. e n1 g 2c h1 i ( 2. 1. 2 ). sit. 1. er. 1. =∫. (𝑎1. 2. 𝑎 )𝑐. 2. 2. (𝑎2. 2. 24. 𝑎1 )𝑐 2 ) (1. 2 2. 𝑐(3. 𝑐) 2. 2 )𝑎. ) 𝑐. ((2⁄1 ). 2.

(31) 2. 2 2. 1. 2. 2 2. ((2. 2. 2 )𝑎1. 2. 2 )𝑎. 2 2. (2. (( ⁄ ). 2 )𝑎1. (. 2 2. 2. 1. 2 2. 2. 2. 1 )𝑐. 2). 2 )𝑎2. 2. 2 )𝑎2 ). 2. }. 1. 2. 立. (. 2. 1. ((11⁄2 ). 2 12. 2 ). 𝑐). 12 ). ((1⁄ ). 12. 1. 𝑐. 2. 2 ). (2. 12. 2. ( 2. Nat. 2 ) 2). 12. io. }. al. n. 是. 1. 2. 12. C12. 12. 11. 12，分別取代訊息矩陣. 11. C11. 11. 及二次假設得到的 C. (3.4) 中的. ，可得到費雪訊. 息矩陣 𝛭1 (𝜉) 如下所示：. 1. 𝛭1 (𝜉) = [. 和. 的線性函數。. 最後，我們將線性假設得到的 12. 12. 12. v i n 在二次式假設下亦可發現 C h 12 和 C12 是 𝑎U 𝑎1 𝑎2 的線性函數， engchi 12. 12. y. 12. 1. 12. 𝑐(3. ‧. ( 2. 2 12. 12. 12. 2 ). 12 ). )𝑐. 1. 政治大 3. ⁄12). 12. 2 12. 2 12. (. 學. ‧ 國. 12 {((. 2 12. 2. (. 2 12. = (1⁄2). 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). 12 (𝑐). 2 12. 1. =∫. 1. sit. 12. er. 1. =∫. 1. C1. 1. 1. C1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 25. C1. 1. ]. 1. C1. 1. 𝑗 = 1, 2.

(32) 因此，𝛭1 (𝜉) 的行列式值為. 𝑡 (𝛭1 (𝜉)) =. 1. 1. C1. 1. 1. 1. 1. C1. 1. 1. C1. 1. 𝑗 = 1, 2. 當 𝛄(𝒄) = 1⁄2. 3.2. 假定實驗單位之設限時間無法提供臨床診斷指標的訊息，且令 γ(𝑐) = 1⁄2，表示在給定設限時間之臨床診斷指標為陽性或陰性的機率相等，則給定 C = 𝑐 之下，. 立. 治政的條件設計為大. 1. ‧ 國. 1. = 𝑖 下，. 2. ‧. 至於給定 C = 𝑐 和. 學. 1 1 } 2. 𝜉̃1| (𝑧1 |𝑐) = { 1 2. = 1 之機率. 𝑖 (𝑐). ，𝑖 = , 1，則同 3.1. Nat. n. al. 和. 11 (𝑐). Ch. 1 (𝑐)，得到以下結果：. 1 21. =∫. =. 1 2. 1. 𝑖 = , 1。. i n U. v. 分別取代公式 (3.5) 至 (3.8) 中的. engchi. 1 (𝑐)). (𝑐) 及. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 1 2 ∫ (1. = (1⁄2). (. (1. 2. sit. io 1 (𝑐). 𝑖 = , 1；或. er. 𝑖2 (𝑐). 是與 𝑐 之間為二次方形式，而表示為接著將. 𝑖1 (𝑐). y. 小節，分別考慮了其與 𝑐 之間為線性形式，而表示為. 𝑎. )(1. 2. {. (. 𝑎. (𝑎1. ( (1⁄2). 1)𝑎1 ). 2. } 26. 𝑎 )𝑐) 𝑐. 1)𝑎. ( (1⁄2). 2. 1)𝑎1.

(33) 1. 1. 1. 2 1. 2. ∫ (1. = (1⁄2). (. 1. 1. 1 (𝑐). 2 2. 立. 2. 1. Nat. =∫. 1. 2 2. io. 2 12. 1. 2 ∫ 12. 2. = (1⁄2). (. 12. (1. 11 (𝑐). al. 1. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). C h)( ( 1 )𝑐)U𝑐n i engchi. 12 {((1⁄2). 2 12. 1) 1 ). }. 在線性假設下亦可發現是. ((1⁄2). 2 2. }. n. =. 1. 1)𝑎. 2. 1)𝑎1. ( 𝑎. ‧. 1)𝑎1 ). 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 1. {((1⁄2). 2. (. 1). }. 學. ‧ 國. (1. 2 1. ( (1⁄2). y. 2 ∫ 2. 2. 1). 1. 政治大 (𝑎 )(𝑎 𝑎 )𝑐) 𝑐. 1. 1. 2 1. 1) 1 ). 1. )𝑐) 𝑐. 1. ( (1⁄2). 1. (. 1. = (1⁄2). 21. 2 1. {. 1. C21 = ∫. =. 1. (. )(1. sit. 1. =. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). 11 (𝑐)). (1. 2 1. er. 21. =∫. 12. 21. 1). 和 C21 是 𝑎. 的線性函數。. 27. v. ((1⁄2). 2 12. 1). 1. (. 𝑎1 的線性函數，. 21. 和. 21.

(34) 2 (𝑐). 在二次式假設下，比照線性型態的處理方式，將 (𝑐) 及. 取代公式 (3.5) 至 (3.8) 中的. 1. 1 2. 1 2 ∫ (1. = (1⁄2). 2)𝑎1. 2. ‧ 國. 2)𝑎1. 12 (𝑐)). (. )(1. al. 1 2 2. 2 2. 1. )𝑐. 1. C h( (1⁄2) 1 engchi 2 1. ( (1⁄3). 1. 2. 1. (. 2. 1 )𝑐. 2). 2) 2 ). 2 (𝑐). 2). 1. (. 2. i n U 2 1. 𝑐. 2 1. v. 1. 1). ( (1⁄ ). (. 1. }. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 1. ∫ (1. 2. y. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). n {. 2. (. ‧. io. 2 1. 1 2. 1. 2). 1. =. ( (1⁄ ). 2. 2. (1. ∫ (1. = (1⁄2). C22 = ∫. )𝑎. 2. 1. 2 1. 1. 𝑎1 )𝑐 2 ) 𝑐. }. 1. 1. (. (𝑎2. 治政 ( ( 2)𝑎 𝑎 大. 立. 2 1. 2. 𝑎 )𝑐. ( (1⁄2). ( (1⁄3). Nat. =. (𝑎1. 𝑎. 學. 1. =∫. )(1. {. 2)𝑎2 ). 22. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = ). 2 (𝑐)). (1. 2. 分別. 1 (𝑐)，可得到以下結果：. sit. =. 1. 12 (𝑐). er. 22. =∫. 和. )(𝑎. (𝑎1. 𝑎 )𝑐. 28. (𝑎2. 𝑎1 )𝑐 2 ) 𝑐. 2). 1. 1.

(35) = (1⁄2). 2. ((1⁄3). {((1⁄2). 2. 2 2. 2)𝑎2. (. 2𝑎. 2. 2 )𝑎. (. ((1⁄ ). 2)𝑎1. 2. 2 2. (. 2)𝑎1. 2. 2. 2. 2. 2)𝑎2 ). } 1. 1 2. 2 12. 𝜉̃ 1 (𝑐 𝑧1 = 1). 1. ∫ (1. 2). (. 2. 2 12. (. io. 22. C22. 2 12. 2. 2). 12. 和 C22 是 𝑎. 2. 的線性函數。. Ch. 𝑎1 𝑎2 的線性函數. 22. engchi 21. 22 ，分別取代訊息矩陣. i n U. 2. 2. C2. 2. 2. C2. 和. 21. C21. v. 21. 及二次假設得到的 C. (3.4) 中的. ，可得到費雪. 訊息矩陣 𝛭2 (𝜉) 如下所示：. 𝛭2 (𝜉) = [. 1. y. al. 22. n. 1. 2). 12. ‧. Nat. 是. 𝑐. 12. (. 1. }. 最後，我們將線性假設得到的 22. 2). 12. 2). 1 )𝑐. 2. 12. 12. 在二次式假設下亦可發現 22. (. 學. 立. 12. 12. )𝑐. 1. 政治大 ) ((1⁄ ). 12 {((1⁄2). ((1⁄3). (. )(. ‧ 國. = (1⁄2). 2). 12 (𝑐). 2 12. sit. =. 1. er. 22. =∫. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 29. C2. 2. ] 𝑗 = 1, 2. 2. C2. 2.

(36) 則 𝛭2 (𝜉) 的行列式值為. 𝑡 (𝛭2 (𝜉)) =. 2. 2. C2. 我們的目標是決定. 2. ∗. 2. 2. ∗ 1. (𝑐) 和. C2. 2. (𝑐) 中之 𝑎𝑙 和. 2. 𝑙. C2. 1 治 (𝑐)} 政大. 立. (𝑐). ∗. ∗ 1. (𝑐). ∗ 1. 1 (𝑐)}. 𝑗 = 1, 2. 𝑗 = 1, 2. ‧. ‧ 國. ∗. 學. ∗ 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 = 1) = {1. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. 𝑗 = 1, 2. 值，以滿足 D-準則，. 計。此條件 D-最適設計表示如下： ∗ 𝜉2| 1 (𝑧2 |𝑐 𝑧1 = ) = {1. 2. 𝑡 (𝛭2 (𝜉)) 𝑗 = 1, 2，達到極大值的設. 𝑡 (𝛭1 (𝜉)) 和. 亦即能使上述之. 2. engchi. 30. i n U. v.

(37) 第四節. 模擬結果. 利用電腦計算的方式，在失敗時間服從指數分配之下，我們參考 López-Fidalgo et al. (2009) 對於參數值的設定方式，在各組. 1. 和. 2. 之. 參數設定值下，均可找到條件 D-最適設計。然而，. 1. 和. 2. 為未知參數，或可由歷史資料或經驗以取得其值。. 無論如何，這些值與參數的真實值間總有差異存在。因此，有必要對於參 s. 數值的選取問題進行穩健分析 (robustness analysis)。令 (. 政治大 ) 為中心，以 ± 為範圍，並以立. s 的一組參數值， 𝜉2| s. 選取值 (. s 1. s 2. 1. s 2). 為選取. 為與之對應的條件最適設計，記為 𝜉 s。令 Ψs 為以參數 s. s. ‧ 國. Ψs = {(. s. =. 2 )|. 1. 1. s. 1. 學. 的參數立方體，亦即 , 1, …, 1. s 1. 為間距擴充 s. 𝑘 𝑘=. 𝑗 = , 1, 2}，則在此設定之下，共計有 113 = 1331 組參數值組 (𝜉 ∗ ) 即為其費雪訊息矩. ‧. ∗ ∗ 合及其所對應之條件最適設計 𝜉2| 1，記為 𝜉 ，且. sit. y. Nat. 陣。我們欲探討的是 𝜉 s 在 Ψs 範圍內的穩健性，故將 𝜉 s 取代 𝜉 ∗ ，而不同參. io. n. al. Ch. 𝑓𝑓(𝜉 c ) = (. s. 例如當選取 1. 2. =. (𝜉 s )，並定義 𝜉 s 的穩健效率值為. er. 數值代入此 𝜉 s 後之費雪訊息矩陣為. s 1. =. 𝑡 𝑡. s 2. 1⁄3. (𝜉 s ) ) (𝜉 ∗ ). e n g c h|⃑⃑ ∈i. i n U. v. s. = 1 時， Ψs 的範圍內之參數值分別為. = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5，則共考慮了 1331. 組參數值，分別找出其最適設計 𝜉 ∗ ，再將其對應之分子則為取為. (c) =. s. =. s 1. =. 3. 組參數值所對應之. s 2. (𝜉 ∗ ) 當做分母；. = 1 時之條件最適設計 𝜉 s，根據表 1 所提供之 𝜉 s. 3 c 及 𝑡. 𝑡. 1 (c). =1. 1. c ，再代入前述 1331. (𝜉 s )，所得之分數再開三次方根並用百分比表示，. 31.

(38) 即為 𝜉 s 的穩健效率值，將其中之最小值定義為 𝜉 s 的穩健效率值之下界。在本例中效率下界為 99.28%。模擬結果如表 1 ~ 表 4 所示。表 1 和表 2 為當 γ(c) = c(3. c)⁄2 時、. 表 3 和表 4 為當 γ(c) = 1⁄2 時，分別在線性假設及二次式假設下，得到 64 組參數值之條件 D-最適設計與穩健效率值之效率下界；由此四個表我們可以發現，在兩種不同的模型的效率下界都很高，分別至少為 96.99% 及 98.34%，可認為本論文之條件 D-最適設計為穩健設計 (robust design)。將此結果應用於本研究所探討的醫學臨床例子。先經由醫生的專業臨. 政治大可能不同，初步判斷應採取哪一種較符合實際情況的模型與假設，以從表 1 立. 床評估，例如不同的疾病種類其病患就診時間與臨床診斷指標之間的關係. 從選定的表中找到條件 D-最適設計下的. 學. ‧ 國. 至表 4 中挑選較適用的一張表，再由醫生依據經驗選擇一組參數值，即可 (c) 及. 1 (c)。當病患於研究期間. 1 (c). 中，就能得到依據病患的狀況而應採取檢測 B 的機率，醫生. y. Nat. (c) 或. ‧. 內發病就醫，將病患到達醫院的時間及該病患的臨床診斷指標的資料代入. 我們舉四個例子說明實際操作方式。. n. al. 例一之一：. Ch. engchi. er. io. sit. 可由該機率值的大小決定該病患採取的檢驗方式為檢測 A 或檢測 B。接著，. i n U. v. 當醫生評估後認為此病患就診時間與臨床指標間存在某種關係，即模型 γ(c) = c(3 1 (. c)⁄2 較符合所需，並選取參數值為. ，依病患就診時間求得之設限時間 c = 1. s. =1. s 1. =1. s 2. =. 及其臨床指標為陽性. = 1) 且考慮條件分配 (3.3) 之機率與設限時間 c 為線性的形式，故以. 表 1 為此模型假設下的參考依據。代入得到 1. 1(. )=1. 為使用檢測 B 的機率，則使用檢測 A 的機率為 1. 9 ，故該病患使用檢測 A 或檢測 B 的機會差不多。. 32. 9 91(. )=. 1. =.

(39) 例一之二：與例一之一相同模型及參數值假設下，若考慮條件分配 (3.3) 之機率與設限時間 c 為二次式的形式，故以表 2 為參考依據。得到 91. (. 2. 3 (. ). A 的機率為 1. 2. 1(. )=1. )=. 2. =. 912 ，故該病患使用檢測 A 或檢測 B 的機. 為使用檢測 B 的機率，則使用檢測. 會差不多。以上二例說明即使改變線性假設為二次式的形式，而得到不一樣的最適設計，但帶入實際值後計算出的條件機率值卻差異不大，因而得到類似的決策。例二之一：. 立. 政治大. γ(c) = 1⁄2 較符合所需，並選取參數值為 1. 1. =. s 1. =1. s 2. = 1 ，依. = 1) 且考慮條件分配 (3.3) 之機率與設限時間 c. ‧. 其臨床指標為陽性 (. s. 學. ‧ 國. 若當醫生認為此病患就診時間無法提供臨床指標的訊息，即模型. y. Nat. 為二次式的形式，故以表 4 為此模型假設下的參考依據。查表後可發現，. er. io. sit. 不論病患設限時間 c 為何， 1 (c) = ，表示檢測 B 的機率為 0，應使用檢測 A。故此例之決策為該病患在研究進行中不論何時就醫，均使用檢測 A。. n. al. 例二之二：. Ch. engchi. i n U. v. 與例二之一相同參數值假設且亦考慮條件分配 (3.3) 之機率與設限時間 c 為二次式的形式，但若當醫生認為此病患就診時間與臨床指標間的關係，以 γ(c) = c(3. c)⁄2 較符合其狀況，則以表 2 為此模型假設下的參考. 依據。依病患之臨床指標為陽性 (. 1. = 1)，查表後可得. 1 (c). = ，表示不. 論病患設限時間 c 為何，都應使用檢測 A。故此例之決策為該病患在研究進行中不論何時就醫，均使用檢測 A。則由以上二例的結果，說明在此假設下，即使改變病患就診時間與臨床指標之間的關係，都得到相同的決策。 33.

(40) 表 1.當 γ(c) = c(3 c)⁄2 及 (𝑐)、 1 (𝑐) 為線性下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 ( ). 效率下界. ( ). 0.1. 0.1. 0.1. 2−. 2c. 1−. 2 3c. 98.96%. 2. 0.1. 0.1. 1. −. c. 1−. 1 3c. 99.08%. 3. 0.1. 0.1. 10. − 3. c. 1−. c. 99.63%. 4. 0.1. 0.1. 100. 2−. 2c. 1 − 9 1c. 99.99%. 5. 0.1. 1. 0.1. 9 1−. 9 1c. 1−. c. 99.78%. 6. 0.1. 1. 1. 22 −. 22c. 1−. 1c. 98.90%. 7. 0.1. 1. 10. 1 3−. 1 3c. 1 − 939 c. 99.62%. 8. 0.1. 1. 100. −. c. 1 − 99 c. 99.99%. 9. 0.1. 10. 0.1. 932 − 932 c. 10. 0.1. 10. 1. 9333 − 9333c. 11. 0.1. 10. 10. 12. 0.1. 10. 100. 13. 0.1. 100. 0.1. 9333 − 9333c. 14. 0.1. 100. 1. 9333 − 9333c. 學. 15. 0.1. 100. 10. 16. 0.1. 100. 100. 17. 1. 0.1. 0.1. 18. 1. 19. 1. Nat. 20. 1. 0.1. 21. 1. 1. 22. 1. 1. 1. 23. 1. 1. 10. 24. 1. 1. 25. 1. 26. 0.1. 10. io. 100 0.1. 2c. 99.70%. −. 3 c. 97.12%. 911 − 911 c. 99.29%. 0. 100.00%. 0. 100.00%. 9333 − 9333c. 0. 100.00%. 9333 − 9333c. 0. 99.19%. 11 −. 11c. 1−. 11 c. 99.91%. 12 −. 12 c. 1−. c. 99.29%. 3 33 − 3 33c. 1−. 1c. 99.78%. c. 99.97%. 29 c. 99.97%. 1 c. 99.28%. 1 − 93 c. 99.76%. c. 99.97%. 3 c. 99.94%. 12 −. 12 c. 3−. 3c. n. al. 2−. 0. 99.72%. y. 1. 政治大3 92 9 − 92 9c. 92c. sit. 0.1. 92 −. C h3 − 3 c engchi. 1− 9. er. 立. 3. ‧. ‧ 國. 1. 1 i−v n U 1−. 9−. 9c. 100. 2 1−. 2 1c. 1− 9. 10. 0.1. 9. −. 9 c. 1−. 1. 10. 1. 91 −. 91 c. 27. 1. 10. 10. 3−. 28. 1. 10. 100. 29. 1. 100. 30. 1. 31 32. 9c. 98.65%. 3c. 2 9 − 2 9c. 97.80%. 13 −. 13 c. 9 1 − 9 1 c. 99.18%. 0.1. 99 −. 99 c. 2. 99.93%. 100. 1. 99 −. 99 c. 0. 99.99%. 1. 100. 10. 99 −. 99 c. 0. 99.99%. 1. 100. 100. 99 −. 99 c. 0. 98.81%. 34. 9−. − 2. c.

(41) 表 1. (續) ( ) 33. 10. 0.1. 0.1. −. c. 34. 10. 0.1. 1. 233 −. 35. 10. 0.1. 10. −. 36. 10. 0.1. 100. 37. 10. 1. 0.1. 1 −. 38. 10. 1. 1. 39. 10. 1. 10. 40. 10. 1. 100. 41. 10. 10. 0.1. 9−. 42. 10. 10. 1. 19 −. 43. 10. 10. 10. 44. 10. 10. 100. 45. 10. 100. 立 0.1. 1 − 0.7672c. 99.96%. 233c. 1−. c. 99.93%. c. 1−. 91c. 99.50%. 1 − 91 9c. 99.95%. 1 c. 1−. 9 c. 99.96%. 311 −. 311c. 1−. 91 c. 99.94%. 1. 1 c. 1−. 919c. 99.52%. 1 − 91 1c. 99.94%. 9c. 1−. 1c. 99.93%. 19c. 1−. 1 c. 99.79%. 46. 10. 100. 47. 10. 48. 10. 49. 100. 50. 100. 51. 100. 52. 100. 53. 3 1 − 3 1c. −. 3 2 − 3 2c. c 1−c 政− 治大1 − 9 91c 39 − 39c 3c. 1. 9−. 9c. 100. 10. 3−. 3c. 100. 100. 3 −. 3 c. 0.1. 0.1. 21 −. 21 c. 1−. 0.1. 1. 1. −. 1 c. 1−. 0.1. 10. 3 −. 3 c. 1−. 0.1. 100. 9 −. 9 c. 1−. 100. 1. n. 1−. 0.1. 21 −. 21 c. 1−. 54. 100. 1. 1. 55. 100. 1. 10. 56. 100. 1. 100. 2 −. 57. 100. 10. 0.1. 58. 100. 10. 59. 100. 60. 99. 99.12% 99.16%. 1 c. 99.92%. − 99 c. 99.77%. 0. 98.55%. 學. 3−. ‧ 國. 效率下界. ( ). 9c. 100.00%. 3c. 100.00%. 32c. 99.81%. 93 c. 99.42%. v n1 i−. 9c. 100.00%. 3c. 100.00%. 1−. 3 c. 99.81%. 2 c. 1−. 9 c. 99.42%. 211 −. 211c. 1−. 9c. 100.00%. 1. 1 3−. 1 3c. 1−. c. 100.00%. 10. 10. 1 −. 1 c. 1−. c. 99.83%. 100. 10. 100. 21 −. 21c. 1− 9. c. 99.44%. 61. 100. 100. 0.1. 21 −. 21 c. 1−. 3c. 100.00%. 62. 100. 100. 1. 2 3−. 2 3c. 1−. 31c. 99.99%. 63. 100. 100. 10. 9−. 9c. 1−. 2 c. 99.78%. 64. 100. 100. 100. −. 2 c. 2. −. 1 c. e−n g cch i U. 35. y. sit. er. io. C h1. ‧. 96.99%. Nat. 2 9c. al. 2 9−. 9 2 − 9 2c. 99.10%.

(42) 表 2.當 γ(c) = c(3 c)⁄2 及 (𝑐)、 1 (𝑐) 為二次下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 ( ) 1. 0.1. 0.1. 效率下界. ( ). 0.1. 0.6661 − 0.6661c. 1 − 0.9242c2. 98.97% 99.07%. 2. 0.1. 0.1. 1. 0.0771 − 0.0771c. 1 − 0.9245c. 3. 0.1. 0.1. 10. 0.2589 − 0.2589c. 1 − c2. 100. 0.4497 − 0.4497c. 1 − 0.3499c − 0.6501c. 4. 0.1. 0.1. 2. 99.87% 2. 99.99%. 5. 0.1. 1. 0.1. 0.8899 − 0.8899c. 1−c. 6. 0.1. 1. 1. 0.6527 − 0.6527c. 1 − 0.3116c − 0.6884c2. 98.76%. 2. 99.61%. 2. 99.78%. 7. 0.1. 1. 10. 0.4339 − 0.4339c. 1 − 0.3566c − 0.6434c. 8. 0.1. 1. 100. 0.4912 − 0.4912c. 1 − 0.5389c − 0.4611c2. 99.96%. 9. 0.1. 10. 0.1. 0.9327 − 0.9327c. 0.4592 − 0.4592c. 99.71%. 10. 0.1. 10. 1. 0.9333 − 0.9333c. 99.70%. 11. 0.1. 10. 10. 12. 0.1. 10. 100. 0 治政 0.9289 − 0.9289c 大0.0360 − 0.0360c 0.6562 − 0.6562c. 0.9114 − 0.9114c. 99.29%. 13. 0.1. 100. 0.1. 0.9333 − 0.9333c. 0. 100.00%. 14. 0.1. 100. 1. 0.9333 − 0.9333c. 0. 100.00%. 15. 0.1. 100. 10. 0.9333 − 0.9333c. 0. 100.00%. 16. 0.1. 100. 100. 0.9333 − 0.9333c. 0. 0.1. 0.8411 − 0.8411c. 1 − 0.9214c. 1. 0.5106 − 0.5106c. 1−c. 10. 0.2894 − 0.2894c 0.4334 − 0.4334c. 0.1. 21. 1. 1. 22. 1. 1. 100. al. n. 1. io. 20. 0.1 1. 0.8742 − 0.8742c. C0.7003 h e−n0.7003c gchi 0.4382 − 0.4382c. 99.91%. y. 2. 99.29%. sit. ‧ 國 0.1. 99.19%. 2. 1 − 0.1191c − 0.8809c. 2. 99.83%. 1 − 0.4449c − 0.5551c. 2. 99.98%. er. 1. 0.1. ‧. 19. 1. 0.1. Nat. 18. 1. 學. 17. 立. 97.12%. v 0.9562c 1i − n 1U− 0.1629c − 0.8371c 2. 1 − 0.4401c − 0.5599c. 99.96% 2. 99.21%. 2. 99.69%. 23. 1. 1. 10. 24. 1. 1. 100. 0.4674 − 0.4674c. 1 − 0.5927c − 0.4073c2. 99.96% 99.94%. 25. 1. 10. 0.1. 0.8985 − 0.8985c. 1 − 0.3772c − 0.6228c. 26. 1. 10. 1. 0.8915 − 0.8915c. 0.6059 − 0.6059c. 98.64%. 27. 1. 10. 10. 0.8673 − 0.8673c. 0.2679 − 0.2679c. 97.80%. 28. 1. 10. 100. 0.6135 − 0.6135c. 0.9418 − 0.9418c. 99.18%. 29. 1. 100. 0.1. 0.8997 − 0.8997c. 0.2487 − 0.2487c. 99.93%. 30. 1. 100. 1. 0.8998 − 0.8998c. 0. 99.99%. 31. 1. 100. 10. 0.8998 − 0.8998c. 0. 99.99%. 32. 1. 100. 100. 0.8998 − 0.8998c. 0. 98.81%. 36. 2.

(43) 表 2. (續) ( ). 效率下界. ( ). 33. 10. 0.1. 0.1. 0.7707 − 0.7707c. 1 − 0.1162c − 0.8838c2. 99.94%. 34. 10. 0.1. 1. 0.7232 − 0.7232c. 1 − 0.1911c − 0.8089c2. 99.94%. 10. 0.4766 − 0.4766c. 1 − 0.5246c − 0.4754c. 2. 99.50%. 2. 99.97%. 35. 10. 0.1. 36. 10. 0.1. 100. 0.3520 − 0.3520c. 1 − 0.6364c − 0.3636c. 37. 10. 1. 0.1. 0.7716 − 0.7716c. 1 − 0.1250c − 0.8750c2. 99.95%. 2. 99.94%. 38. 10. 1. 1. 0.7311 − 0.7311c. 1 − 0.2055c − 0.7945c. 39. 10. 1. 10. 0.5092 − 0.5092c. 1 − 0.5766c − 0.4234c2. 99.53%. 100. 0.3641 − 0.3641c. 1 − 0.6650c − 0.3350c. 2. 99.95%. 2. 99.93% 99.79%. 40. 10. 1. 41. 10. 10. 0.1. 0.7749 − 0.7749c. 1 − 0.1660c − 0.8340c. 42. 10. 10. 1. 0.7619 − 0.7619c. 1 − 0.3056c − 0.6944c2. 43. 10. 10. 10. 0.6705 − 0.6705c. 44. 10. 10. 100. 45. 10. 100. 立 0.1. 46. 10. 100. 47. 10. 48. 10. 99.15%. 2. 99.92%. 1. 0.7759 − 0.7759c. 0.9980 − 0.9980c. 99.77%. 100. 10. 0.7763 − 0.7763c. 0. 98.55%. 100. 100. 0.7737 − 0.7737c. 0.0269 − 0.0269c. 0.1. 0.7210 − 0.7210c. 1. 0.1 0.1. 96.99%. 1 − 0.1669c − 0.8331c. 2. 100.00%. 0.7165 − 0.7165c. 1 − 0.1761c − 0.8239c. 2. 100.00%. 2. 99.81%. y. ‧ 國. 1 − 0.2563c − 0.7437c. ‧. 100. 2. 0.7763 − 0.7763c. Nat. 50. 100. 99.12%. 學. 49. 政治大 1−c 0.4632 − 0.4632c 1 − 0.9165c − 0.0835c. 0.1. 10. 0.6735 − 0.6735c. 1 − 0.2619c − 0.7381c. 52. 100. 0.1. 100. 0.4494 − 0.4494c. 1 − 0.6001c − 0.3999c2. 99.42%. 0.7210 − 0.7210c. 1 − 0.1670c − 0.8330c. 2. 100.00%. 2. 100.00%. 2. 99.81%. 2. 99.42%. 1. al. 0.1. 54. 100. 1. 1. 55. 100. 1. 10. er. 100. n. 53. sit. 100. io. 51. v i 0.7166 − 0.7166c 1 − 0.1762c − 0.8238c n Ch U e−n0.6744c 0.6744 g c h i 1 − 0.2628c − 0.7372c. 56. 100. 1. 100. 0.4527 − 0.4527c. 1 − 0.6054c − 0.3946c. 57. 100. 10. 0.1. 0.7211 − 0.7211c. 1 − 0.1672c − 0.8328c2. 100.00%. 1. 0.7173 − 0.7173c. 1 − 0.1772c − 0.8228c. 2. 100.00%. 2. 99.83%. 58. 100. 10. 59. 100. 10. 10. 0.6814 − 0.6814c. 1 − 0.2713c − 0.7287c. 60. 100. 10. 100. 0.4821 − 0.4821c. 1 − 0.6569c − 0.3431c2. 99.44% 100.00%. 61. 100. 100. 0.1. 0.7214 − 0.7214c. 1 − 0.1685c − 0.8315c. 62. 100. 100. 1. 0.7203 − 0.7203c. 1 − 0.1867c − 0.8133c2. 99.99% 99.78%. 63. 100. 100. 10. 0.7089 − 0.7089c. 1 − 0.3551c − 0.6449c. 64. 100. 100. 100. 0.6285 − 0.6285c. 0.9482 − 0.9482c. 37. 2. 2. 99.10%.

(44) 表 3.當 γ(c) = 1⁄2 及 (𝑐)、 1 (𝑐) 為線性下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 1 − 0.8951c. 99.67%. 1. 1−c. 1−c. 99.75%. 0.1. 10. 1−c. 0.9699 − 0.9699c. 100.00%. 0.1. 0.1. 100. 1−c. 0.9748 − 0.9748c. 100.00%. 5. 0.1. 1. 0.1. 1 − 0.7679c. 1−c. 99.77%. 6. 0.1. 1. 1. 1 − 0.8423c. 0.5794 − 0.5794c. 99.44%. 7. 0.1. 1. 10. 1−c. 0.8075 − 0.8075c. 99.84%. 8. 0.1. 1. 100. 1−c. 0.8734 − 0.8734c. 99.96%. 9. 0.1. 10. 0.1. 1 − 0.7562c. 0. 99.85%. 10. 0.1. 10. 1. 0. 99.99%. 11. 0.1. 10. 10. 0. 98.85%. 12. 0.1. 10. 100. 1 − 0.7831c 治政 1 − 0.9190c 大 1−c. 0.4989 − 0.4989c. 99.55%. 13. 0.1. 100. 0.1. 1 − 0.7562c. 0. 100.00%. 14. 0.1. 100. 1. 1 − 0.7831c. 0. 99.99%. 15. 0.1. 100. 10. 1 − 0.9190c. 0. 99.89%. 16. 0.1. 100. 100. 1 − 0.9902c. 0. 17. 1. 0.1. 0.1. 1 − 0.8051c. ‧. 99.66%. 1 − 0.8120c. 99.98%. 18. 1. 0.1. 1. 1 − 0.9554c. 1 − 0.9819c. 99.66%. 19. 1. 0.1. 10. 0.9597 − 0.9597c. 0.9158 − 0.9158c. 99.95%. 20. 1. 0.1. 0.9361 − 0.9361c. 0.9144 − 0.9144c. 99.97%. 21. 1. 1. 22. 1. 1. 1. 23. 1. 1. 10. 24. 1. 1. 100. 25. 1. 10. 26. 1. 27. 0.1. 0.1. 0.1. 2. 0.1. 0.1. 3. 0.1. 4. 立. Nat. io. 100. n. al. 0.1. 1 − 0.7929c. C h1 − 0.8857c engchi 1−c. er. 1. 學. 1 − 0.8279c. y. 效率下界. sit. ( ). ‧ 國. ( ). 1i v− 0.8486c n U0.9562 − 0.9562c. 99.94% 99.53%. 0.7667 − 0.7667c. 99.90%. 0.9979 − 0.9979c. 0.8048 − 0.8048c. 99.93%. 0.1. 1 − 0.7836c. 0.8807 − 0.8807c. 99.88%. 10. 1. 1 − 0.8075c. 0. 98.34%. 1. 10. 10. 1 − 0.9244c. 0. 98.56%. 28. 1. 10. 100. 1−c. 0.4934 − 0.4934c. 99.59%. 29. 1. 100. 0.1. 1 − 0.7831c. 0. 99.96%. 30. 1. 100. 1. 1 − 0.8075c. 0. 99.96%. 31. 1. 100. 10. 1 − 0.9244c. 0. 99.89%. 32. 1. 100. 100. 1 − 0.9903c. 0. 99.64%. 38.

(45) 表 3. (續) ( ). 效率下界. 33. 10. 0.1. 0.1. 1 − 0.9234c. 1 − 0.9242c. 99.89%. 34. 10. 0.1. 1. 1 − 0.9664c. 1 − 0.9682c. 99.87%. 35. 10. 0.1. 10. 0.8419 − 0.8419c. 0.8349 − 0.8349c. 99.72%. 36. 10. 0.1. 100. 0.7372 − 0.7372c. 0.7329 − 0.7329c. 99.87%. 37. 10. 1. 0.1. 1 − 0.9227c. 1 − 0.9298c. 99.89%. 38. 10. 1. 1. 1 − 0.9604c. 1 − 0.9766c. 99.88%. 39. 10. 1. 10. 0.8715 − 0.8715c. 0.8054 − 0.8054c. 99.70%. 40. 10. 1. 100. 0.7533 − 0.7533c. 0.7120 − 0.7120c. 99.87%. 41. 10. 10. 0.1. 1 − 0.9202c. 1 − 0.9639c. 99.89%. 42. 10. 10. 1. 1 − 0.9361c. 0.9615 − 0.9615c. 99.70%. 43. 10. 10. 10. 44. 10. 10. 100. 45. 10. 100. 立 0.1. 46. 10. 100. 47. 10. 48. 10. 49. 100. ‧ 國. ( ). 50. 政1 − c 治大0.5718 − 0.5718c 0.8702 − 0.8702c 0.5515 − 0.5515c. 98.89% 99.11% 99.89%. 1. 1 − 0.9247c. 0.5512 − 0.5512c. 99.71%. 100. 10. 1 − 0.9548c. 0. 99.48%. 100. 100. 1 − 0.9911c. 0. 0.1. 0.1. 1 − 0.9907c. ‧. 99.38%. 1 − 0.9907c. 100.00%. 100. 0.1. 1. 1 − 0.9952c. 1 − 0.9952c. 100.00%. 51. 100. 0.1. 10. 0.9629 − 0.9629c. 0.9627 − 0.9627c. 99.85%. 52. 100. 0.1. 100. 0.7631 − 0.7631c. 0.7625 − 0.7625c. 99.54%. 53. 100. 1. n. 1 − 0.9907c. 1 − 0.9908c. 100.00%. 54. 100. 1. 1. 55. 100. 1. 10. 56. 100. 1. 100. 0.7662 − 0.7662c. 0.7602 − 0.7602c. 99.54%. 57. 100. 10. 0.1. 1 − 0.9906c. 1 − 0.9916c. 100.00%. 58. 100. 10. 1. 1 − 0.9944c. 1 − 0.9966c. 100.00%. 59. 100. 10. 10. 0.9706 − 0.9706c. 0.9573 − 0.9573c. 99.86%. 60. 100. 10. 100. 0.7944 − 0.7944c. 0.7371 − 0.7371c. 99.55%. 61. 100. 100. 0.1. 1 − 0.9903c. 1 − 0.9960c. 100.00%. 62. 100. 100. 1. 1 − 0.9915c. 0.9951 − 0.9951c. 99.99%. 63. 100. 100. 10. 0.9976 − 0.9976c. 0.9127 − 0.9127c. 99.68%. 64. 100. 100. 100. 0.9340 − 0.9340c. 0.5283 − 0.5283c. 98.67%. y. sit. er. io. al. 0.1. 學. 0.9596 − 0.9596c. Nat. 1 − 0.9190c. v n 1i − 0.9954c. C h1 − 0.9951c e −n0.9637c 0.9637 g c h i U0.9622 − 0.9622c. 39. 100.00% 99.85%.

(46) 表 4.當 γ(c) = 1⁄2 及 (𝑐)、 1 (𝑐) 為二次下之條件 D-最適設計中 𝑍2 = 1 的機率測度及其效率下界 ( ) 1. 0.1. 0.1 1 − 0.3066c − 0.6934c2 1 − 0.5704c − 0.4296c2. 0.1. 1 1 − 0.8795c − 0.1205c. 2. 0.1. 0.1. 3. 0.1. 0.1. 10. 1−c. 4. 0.1. 0.1. 100. 1−c. 0.1 1 − 0.0705c − 0.9295c. 5. 0.1. 1. 6. 0.1. 1. 7. 0.1. 1. 10. 1−c. 8. 0.1. 1. 100. 1−c. 9. 0.1. 效率下界. ( ). 2. 2. 1 1 − 0.2739c − 0.7261c2. 10. 0.1 1 − 0.0247c − 0.9753c. 2. 99.69%. 0.9847 − 0.9847c. 99.81%. 0.9699 − 0.9699c. 100.00%. 0.9748 − 0.9748c. 100.00%. 1−c. 99.76%. 0.5415 − 0.5415c. 99.50%. 0.8075 − 0.8075c. 99.55%. 0.8734 − 0.8734c. 99.96%. 0. 99.85%. 2. 0 治政 10 1 − 0.3082c − 0.6918c 大 0 100立 1−c 0.4989 − 0.4989c. 100.00%. 2. 99.60%. 0. 100.00%. 1 1 − 0.0675c − 0.9325c. 0.1. 10. 11. 0.1. 10. 12. 0.1. 10. 13. 0.1. 100. 0.1 1 − 0.0247c − 0.9753c2. 100. 1 1 − 0.0675c − 0.9325c. 2. 0. 100.00%. 100. 10 1 − 0.3082c − 0.6918c. 2. 0. 99.96%. 100. 100 1 − 0.4860c − 0.5140c2. 0. 0.1. 0.1 1 − 0.2607c − 0.7393c. 2 2. 0.1. 17. 1. Nat. 0.1. 19. 1. 0.1. 20. 1. 0.1. 21. 1. 1. 1 1 − 0.7441c − 0.2559c 10. 100. al. 0.9144 − 0.9144c. 99.97%. 1. 23. 1. 1. 10. 24. 1. 1. 100. 0.9979 − 0.9979c. 1. 10. iv n U0.9475 − 0.9475c. 0.1 1 − 0.2173c − 0.7827c2 1 − 0.4493c − 0.5507c2. 1. 26. 99.76%. 0.9361 − 0.9361c. 1. 10. 1 − 0.8397c − 0.1603c. 99.95%. 22. 1. 99.96%. 2. 0.9158 − 0.9158c. C h − 0.5113c 1 − 0.4887c engchi 1−c. 25. 1 − 0.2898c − 0.7102c. 0.9597 − 0.9597c. n. 1. io. 18. 99.97% 2. y. 16. sit. 0.1. ‧. 15. er. 0.1. 99.24%. 學. 14. ‧ 國. 10. 2. 0.1 1 − 0.1843c − 0.8157c. 2. 1 1 − 0.2215c − 0.7785c2 10 1 − 0.4348c − 0.5652c. 2. 99.93% 99.48%. 0.7667 − 0.7667c. 99.79%. 0.8048 − 0.8048c. 99.93%. 0.8805 − 0.8805c. 99.87%. 0. 98.34%. 0. 99.09%. 0.4934 − 0.4934c. 99.39%. 27. 1. 10. 28. 1. 10. 29. 1. 100. 0.1 1 − 0.1824c − 0.8176c2. 0. 99.95%. 2. 0. 99.96%. 0. 99.92%. 0. 99.87%. 100. 1−c. 30. 1. 100. 1 1 − 0.2215c − 0.7785c. 31. 1. 100. 10 1 − 0.4348c − 0.5652c2. 32. 1. 100. 100 1 − 0.6012c − 0.3988c. 40. 2.

(47) 表 4. (續) ( ). 效率下界. ( ). 33. 10. 0.1. 0.1 1 −. 2 c − 23 c2 1 −. c − 23 c2. 99.87%. 34. 10. 0.1. 1 1−. c − 112 c2 1 −. 931c − 1 9c2. 99.85%. 35. 10. 0.1. 10. 19 −. 19c. 3 9−. 3 9c. 99.72%. 36. 10. 0.1. 100. 3 2−. 3 2c. 329 −. 329c. 99.87%. 37. 10. 1. 0.1 1 −. c − 239 c2 1 −. 1 1 − 0.8694c − 13 c. 38. 10. 1. 39. 10. 1. 10. 1 −. 1 c. 40. 10. 1. 100. 33 −. 33c. 41. 10. 10. 0.1 1 −. 42. 10. 10. 1 1−. 43. 10. 10. 10. 44. 10. 10. 100. 10. 49. 10 100. 政1 − c 治大 1 2− 2c 1 9 c− 2. 1 c. 99.11%. 9 9 − 9 9 c. 99.87%. 10 1 −. 319c − 1 1c2. 0. 100. 100 1 −. 929 c −. c. 2. 0.1. 0.1 1 −. 9 21c −. 2 9c. 2. 1 − 9 21c −. 1 1−. 9. 1 c. 2. 1− 9. 10. 52. 100. 0.1. 100. Nat. 0.1. io. al. 31 −. 0.1 1 −. n. 1. 9 29 − 9 29c 2 9c. 1 c. 99.70% 99.48%. 0. 99.38% 2 9c. 2. 100.00%. c−. 1 3c. 2. 100.00%. 9 2 − 9 2 c. 31c. 9 21c −. 99.66%. −. 100. 100. 2 −. 2. 99.87% 98.77%. 1 −. 51. 99.87% 2. 1 c. 19c − 23 1c. c−. 99.86%. −. 1 1−. 0.1. 99.87% 99.70%. 9 1 − 9 1 c. 2. 100. 100. 9 c− 1 9 c. c. 50. 53. 1−. 2. ‧. 48. 12 c. y. 47. 100. 12 −. sit. 10. c. 學. 46. 100. 9 3c − 2 3 c2. 9 c. −. er. 10. 2. 1 − 92 c −. 2. ‧ 國. 45. 立 0.1 1 −. 2 c − 2 2c. 2. 3 c − 21 c2. 1− 9 2 c−. 99.85%. 2 c 2 c. iv 1C − 9 3c − 1 c 1 − n 9 1c − 139c h 9 3cch i U 9 22 − 0.9622c 9 3e−n g 2. 99.54% 2. 100.00%. 2. 100.00%. 54. 100. 1. 1. 55. 100. 1. 10. 56. 100. 1. 100. 57. 100. 10. 0.1 1 −. 9 1 c−. 2 2c2 1 − 9 9c −. 2 1c2. 100.00%. 1 1−. 9 31c −. 1 9c. 1 3c. 100.00%. 2−. 2c. 2− 2. 58. 100. 10. 59. 100. 10. 10. 60. 100. 10. 100. 9. 9 1 c−. 29 c. 9. 2 c2. 9. − 9 −. 9 c. 100. 100. 0.1 1 −. 62. 100. 100. 1 1−. 63. 100. 100. 10. 99. − 99 c. 64. 100. 100. 100. 93. − 93 c. c−. 41. 2c. 99.54% 2. 9 3 − 9 3c. c. 61. 1− 9 9 c−. 99.85%. 3 1− 2. 1 − 9 1c −. 99.86%. 3 1c 119c. 99.55% 2. 100.00%. 99 1 − 99 1c. 99.99%. 912 − 912 c. 99.68%. 2 3−. 2 3c. 98.67%.

(48) 第四章. 結論與未來發展方向. 本論文將最適設計之理論運用到存活分析中，且適用於指數分配之失敗時間，其期望值的倒數與解釋變數間呈線性，模型中含有可控以及不可控變數。本論文旨在探討當不可控變數之值得知後，為了增進參數估計之效率，如何選取可控變數以滿足 D-準則，得到條件 D-最適設計的過程與方法。在決定最適設計時，實驗單位進入研究的時間未知，且該實驗單位於研究期間內是否會失敗或設限，及其不可控變數之值均為未知，故必須給. 政治大. 予進入時間及不可控變數之分配。在臨床醫學的應用上，不可控變數為病. 立. 患的臨床診斷指標，可控變數為該病患應進行的檢驗方式或項目。由病患. ‧ 國. 學. 到達時間得知其設限時間，我們考慮了設限時間與與臨床指標之間為有關及無關的兩種情況，並分別考慮給定設限時間和臨床指標下，使用檢測 B. ‧. 之條件機率與設限時間為線性及二次式函數的形式。接著，透過費雪訊息. Nat. sit. y. 矩陣以決定不同狀況下的條件最適設計。由於前述之最適設計是依設定的. n. al. er. io. 參數值而決定，但參數值為未知，有必要對參數值的選取問題進行穩健分. i n U. v. 析。若以參數選取值之最適設計為中心，欲以該設計取代各個落在選取值. Ch. engchi. 正負百分之五十範圍內所對應的最適設計，則該設計需具有高效率值。藉由穩健效率值的定義，我們分別計算出穩健效率值，並以其中之最小值為效率下界。透過電腦計算可發現，在本論文考慮的不同情況下，條件 D-最適設計的穩健效率值至少達 96.99% 以上，可視之為相當高效率的穩健設計。在本論文中，對於設限時間無法提供臨床指標訊息的模型為假設 γ(c) = 1⁄2 時，是考慮指標為陰性或陽性的機率相等 (機率分別為 0.5)，未來可將其延伸到指標為陰性的機率為 (1 不同. 值對決策是否有某種程度上的影響。 42. )、陽性的機率為，以探討.

(49) 此外，既有文獻往往在反應變數服從特定分配下探討主要參數的估計問題，López-Fidalgo and Rivas-López (2014) 則考慮 Cox 模式，以部分概似函數 (partial likelihood function) 為依據並以部分訊息矩陣 (partial information matrix) 做為尋找最適設計的基礎。我們也可以 Cox 模式的條件最適設計為未來研究方向。最後，本論文對於模型中的兩個解釋變數 (臨床診斷指標與檢驗方式) 的分配均假定與 Bernoulli 分配有關，亦即臨床診斷指標之級數與檢驗方式之個數各有兩種可能性或選擇。若臨床指標或檢驗方式的種類數大於 2，則. 政治大必定會遽增，且由於無法直接解出通式，故用電腦計算亦可能會出現數值立. 因機率測度較為複雜，在推導費雪訊息矩陣的過程中，可想而知其計算量. 運算上的誤差，此為本論文的研究上的限制。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 43. i n U. v.

(50) 參考文獻 Cook, R.D., and Thibodeau, L.A. (1980). Marginally Restricted D-Optimal Designs. Journal of the American Statistical Association 75, 366-371. Garcet-Rodríguez, S., López-Fidalgo, J., and Martín-Martín, R. (2008). Some Complexities in Optimal Experimental Designs Introduced by Real Life Problems. Tatra Mountains Mathematical Publications 39, 135-143. Harville, D.A. (1974). Nearly Optimal Allocation of Experimental Units Using Observed Covariate Values. Technometrics 16, 589-599. Huang, M.N.L., and Hsu, M.C. (1993). Marginally Restricted Linear-Optimal Designs. Journal of Statistical Planning and Inference 35, 251-266. Huang, M.N.L., and Chang, H.F. (1995). Marginally Restricted Constrained. 治政大57, 128-141. Optimal Designs. The Indian Journal of Statistics 立Constrained Optimal Designs. Journal of Statistical Lee, C.M.-S. (1988). ‧. ‧ 國. 學. Planning and Inference 18, 377-389. López-Fidalgo, J., and Garcet-Rodríguez, S. (2004). Optimal Experimental Designs when Some Independent Variables are Not Subject to Control. Journal of the American Statistical Association 99, 1190-1199. López-Fidalgo, J., Rivas-López, M.J., and del Campo, R. (2009). Optimal. y. Nat. er. io. sit. Designs for Cox Regression. Statistica Neerlandica 63, 135-148. López-Fidalgo, J., and Garcet-Rodríguez, S. (2011). Optimal Experimental Designs when An Independent Variable is Potentially Censored. Statistics 45, 143-154. López-Fidalgo, J., and Rivas-López, M.J. (2014). Optimal Experimental Designs for Partial Likelihood Information. Computational Statistics and. n. al. Ch. engchi. i n U. v. Data Analysis 71, 859-867. Martín-Martín, R., Torsney, B., and López-Fidalgo, J. (2007). Construction of Marginally and Conditionally Restricted Designs Using Multiplicative Algorithms. Computational Statistics and Data Analysis 51, 5547-5561. Nachtsheim, C.J. (1989). On the Design of Experiments in the Presence of Fix Covariates. Journal of Statistical Planning and Inference 22, 203-212. Varela, G., Cordovilla, R., Jiménez, M.F., and Novoa, N. (2001). Utility of Standardized Exercise Oximetry to Predict Cardiopulmonary Morbidity after Lung Resection. European Journal of Cardio-thoracic Surgery 19, 351-354.. 44.

(51)