弦論和宇宙隱維的幾何

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弦論和宇宙隱維的幾何

丘成桐

哈佛大學與台灣大學

二零⼀一⼀一年八月五日

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今天要講的,是數學

和物理如何互動互利,這種關 係在 Calabi-Yau 空間和弦論的 研究中尤為突出。

這個題目非出偶然,它正是 我和 Steve Nadis 的新書《內 空間的形狀》的主旨。書中描 述了這些空間背後的故事,個 人的經歷和幾何的歷史。

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我寫這本書,是希望讀者透過它,了 解數學家是如何看這世界的。數學並非⼀一門 不食人間煙火的抽象學問,相反地,它是我 們認識物理世界不可或缺的工具。

現在,就讓我們沿着時間-或更確切 地、沿着時空-從頭說起。

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I. 黎曼幾何學

1969 年,我到了 Berkeley 唸研究

院。在那裏我了解到,十九世紀幾何學在高 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。

黎曼的創見,顛覆了前人對空間的看法,給 數學開闢了新途徑。

高斯 黎曼

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幾何的對像,從此不再局限於

平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。黎 曼引進了更抽象的、具有任何維數的空間。

在這些空間裏,距離和曲率都具意義。此 外,在它們上面還可以建立⼀一套適用的微 積分。

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大約五十年後,愛因斯坦發覺包含彎 曲空間的這種幾何學,剛好用來统⼀一牛頓的 重力理論和狹義相對論,沿着新路邁進,他 終於完成了著名的廣義相對論。

爱因斯坦

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在研究院的第⼀一年,我唸了黎曼幾何 學。它與我在香港時學的古典幾何不⼀一樣,

過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲 面。在 Berkeley,我修了 Spanier 的代數拓 撲、 Lawson 的黎曼幾何、Morrey 的偏微分 方程。此外,我還旁聽了包括廣義相對論在 內的幾門課,我如飢似渴地盡力去吸收知識。

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課餘的時間都呆在圖

書館,它簡直成了我的辨公室。

我孜孜不倦地找尋有興趣的材 料來看。聖誔到了,別人都回 去和家人團聚。我卻在讀《微 分幾何學報》上 John Milnor 的⼀一篇論文, 它闡述了空間裏 曲率與基本群的關係。我既驚 且喜,因為它用到了我剛剛學 過的東西。

John Milnor

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Milnor 的文筆是如此流暢,我通讀此文 毫不費力。他文中提及 Preissman 的另⼀一論 文,我也極感興趣。

從這些文章中可以見到,負曲率空

間的基本群受到曲率強烈的約束,必須具備 某些性質。基本群是拓撲上的概念。

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雖然,拓撲也是⼀一種研究空間的學

問,但它不涉及距離。從這角度來看,拓撲 所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。

幾何要量度兩點間的距離,對空間的屬性 要知道更多。這些屬性可以由每⼀一點的曲率 表達出來,這便是幾何了。

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舉例而言,甜甜圈和咖

啡杯具有截然不同的幾何,但它 們的拓撲卻無二樣。同樣,球面 和橢球面幾何迥異但拓撲相同。

作為拓撲空間,球面的基本群 是平凡的,在它上面的任何閉曲 線,都可以透過連續的變動而縮 成⼀一點。但輪胎面則否,在它上 面可以找到某些閉曲線,無論如 何連續地變動都不會縮成⼀一點。

由此可見,球面和輪胎面具有不 同的拓撲。

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Preissman 定理討論了幾何 (曲率) 如何影 響拓撲 (基本群),我作了點推廣。在影印這 些札記時,⼀一位數學物理的博士後 Arthur Fisher 嚷着要知道我幹了甚麽。他看了那些 札記後,說任何把曲率與拓撲扯上關係的結 果,都會在物理學中用上。這句話在我心中 留下烙印,至今不忘。

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II.  廣義相對論

狹義相對論告訢我們,時間和空間渾 為⼀一體,形成時空,不可分割。愛因斯坦進

⼀一步探究重力的本質,他的友人 Marcel

Grossman 是數學家,愛氏透過他認識到黎曼 和 Ricci 的工作。

黎曼引進了抽象空間的概念,並且討 論了其上的距離和曲率。愛因斯坦利用這種 空間,作為他研究重力的舞臺。

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愛因斯坦也引用了 Ricci 的工作,

以他創造的曲率來描述物質在時空的分布。

Ricci 曲率乃是曲率張量的迹,是曲率的某 種平均值。它滿足的比安奇恆等式,奇妙地 可以看成⼀一條守恆律。愛因斯坦利用了這條 守恆律來把重力幾何化,從此我們不再視重 力為物體之間的吸引力。

新的觀點是,物體的存在使空間產生了曲 率,重力應當看作是這種曲率的表現。

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對歷史有興趣的讀者,愛因斯坦的 自家說辭更具說服力。他說:「這套理論 指出重力塲由物質的分佈决定,並隨之而 演化,正如黎曼所猜測的那樣,空間並不 是絕對的,它的結構與物理不能分割。我 們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自 足。」

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講到自己的成就時,愛因斯坦寫道:

「就學問本身而言,這些理論的推導是如此 行雲流水,⼀一氣呵成,聰明的人花點力氣就 能掌握它。然而,多年來的探索,苦心孤詣,

時而得意,時而氣餒,到事竟成,其中甘苦,

實在不足為外人道。」

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愛因斯坦研究重力的經歷,固然令

人神往,他的創獲更是驚天動地。但是黎曼 幾何學在其中發揮的根本作用,也是昭昭然 不可抹殺的。

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半個多世紀後,我研習愛因斯坦方程 組,發現物質只能决定時空的部分曲率,為 此心生困惑,自問能否找到⼀一個真空,即沒 有物質的時空,但其曲率不平凡,即其重力 為零。

當然,著名愛因斯坦方程 Schwarzschild 解 具有這些性質。它描述的乃是非旋轉的黑洞,

這是個真空,但奇怪地,異常的重力產生了 質量。然而這個解具有⼀一個奇點,在那裏所 有物理的定律都不適用。

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我要找的時空不似 Schwarzschild 解

所描繪的那樣是開放無垠的,反之,它是光 滑不帶奇點,並且是緊而封閉的。即是說,

有沒有⼀一個緊而不含物質的空問-即封閉的 真空宇宙-其上的重力卻不平凡?

這問題在我心中揮之不去,我認為這種空 間並不存在。如果能從數學上加以論証,這 會是幾何學上的⼀一條美妙的定理。

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III.  Calabi 猜想

從上世紀七十年代開始,我便在考 慮這個問題。當時,我並不知道幾何學家

Eugenio Calabi 早已提出差不多同樣的問題。

他的提問透過頗為複雜的數學語言來表述,

其中牽涉及 Kaehler 流形、Ricci 曲率、陳類 等等,看起來跟物理沾不上邊。事實上,

Calabi 抽象的猜想也可以翻過來,變為廣義 相對論裏的⼀一個問題。

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新的內容乃是要求要找的時空具有某 種內在的對稱性,這種對稱物理學家稱之為 超對稱。於是上述的問題便變成這樣:能否 找到⼀一個緊而不帶物質的超對稱空間,其中 的曲率非零 (即具有重力

)

Calabi 教授(2004)

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我與其他人⼀一起試圖証明 Calabi 猜 想所描述的空間並不存在,花了差不多三 年。這猜想不僅指出封閉而具重力的真空 的存在性,而且還給出系统地大量構造這 類空間的途徑,大家都認為世間那有這樣 便宜的東西可撿。可是,縱然不乏懷疑

Calabi 猜想的理由,但沒人能夠反証它。

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⼀一九七三年我出席了在 Stanford 舉 行的國際幾何會議。這會議是由 Osserman 和陳省身老師組織的。或是由於我與兩人的 關係,我有幸作出兩次演講。在會議期間,

我告訴了⼀一些相識的朋友,說已經找到了 Calabi 猜想的反例。消息⼀一下子傳開了,徇 眾要求,當天晚上另作報告。那晚三十多位 幾何工作者聚集在數學大樓的三樓,其中包 括 Calabi,陳師和其他知名學者。我把如何 構造反例說了⼀一遍,大家似乎都非常滿意。

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Calabi 還為我的構 造給出⼀一個解釋。大 會閉幕時,陳師說我 這個反例或可視為整 個大會最好的成果,

我聽後既感意外,又 與奮不已。

與陳師

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可是,真理總是現實的。兩個月後我 收到 Calabi 的信,希望我釐清反例中⼀一些他 搞不清楚的細節。看見他的信,我馬上就知 道我犯了錯。

接着的兩個禮拜,我不眠不休,希望 重新構造反例,身心差不多要垮掉。每次以 為找到⼀一個反例,瞬即有微妙的理由把它打 掉。經過多次失敗後,我轉而相信這猜想是 對的。於是我便改變了方向,把全副精力放 在猜想的証明上。花了幾年工夫,終於在⼀一 九七六把猜想証明了。

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在 Stanford 那個會

上,物理學家 Robert Geroch 在報告中談到廣義相對論中 的⼀一個重要課題-正質量猜 想。這猜想指出,在任何封 閉的物理系統中,總質量/能 量必須是正數。我和 Schoen 埋頭苦幹,利用了極小曲面,

終於把這猜想証明了。 Richard Schoen

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這段日子的工作把我引到廣義相對

論,我們証明了幾條有關黑洞的定理。與相 對論學者交流的愉快經驗,使我更能開放懐 抱與物理學家合作。至於參與弦論的發展,

則是幾年之後的事了。

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在証明 Calabi 猜想時,我引進

了⼀一個方案,用以尋找滿足 Calabi 方程的空 間,這些空間現在通稱為 Calabi-Yau 空間。

我深深地感到,我無心插柳,已經進入了⼀一 界數學高地。它必定與物理有關,並能揭開 自然界深深埋藏的隱秘。

然而,我並不知道這些想法在那裏會大派 用塲,事實上,當時我懂得的物理也不多。

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IV.  弦論

1984 年,我接到物理學家 Gary

Horowitz 和 Andy Strominger 的電話。他們興 冲冲地談到有關宇宙真空狀態的⼀一個模型,

這模型是建基於⼀一套叫弦論的嶄新理論上的。

Gary Horowitz Andy Strominger

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弦論的基本假設是,所有最基本的粒 子都是由不斷振動的弦線所組成的,這些弦 線非常非常細小。某些弦論要跟量子力學相 容不排斥,時空必須容許某種超對稱性。同 時時空必須是十維的。

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我在解决 Calabi 猜想時証明存在的

空間得到 Horowitz 和 Strominger 的喜愛。他 們相信這些空間會在弦論中擔當重要的角色,

原因是它們具有弦論所需的那種超對稱性。

他們希望知道這種看法對不對,我告訴他們,

那是對的。他們聽到後十分高興。

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不久,Edward Witten 打

電話給我,我們是上⼀一年在 Princeton 相識的。他認為就 像當年量子力學剛剛面世那 樣,理論物理學最激動人心 的時刻來臨了。他說每⼀一位 對早期量子力學有貢獻的人,

都在物理學史上留名。 Edward Witten

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早期弦學家如 Michael Green 和 John

Schwarz 等人的重要發現,有可能終究把所有 自然力統⼀一起來。愛因斯理在他的後半生花了 三十年致力於此,但至死也未竟全功。

Michael Green John Schwarz

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當時 Witten 正與 Candelas, Horowitz

和 Strominger ⼀一起,希望搞清楚弦論中那多 出來的六維空間的幾何形狀。他們認為這六 維捲縮成極小的空間,他們叫這空間為

Calabi-Yau 空間,因為它源於 Calabi 的猜想,

並由我証明其存在。

Candelas 教授(2001)

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弦論認為時空的總數為 10。我們熟

悉的三維是空間,加上時間,那便是愛因斯 坦理論中的四維時空。此外的六維屬於

Calabi-Yau 空間,它獨立地暗藏於四維時空 的每⼀一點裏。我們看不見它,但弦論說它是 存在的。

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這個添了維數的空間夠神奇了,但 弦理論並不止於此,它進⼀一步指出 Calabi- Yau 空間的幾何,决定了這個宇宙的性質和

物理定律。那種粒子能夠存在,質量是多少,

它們如何相亙作用,甚至自然界的⼀一些常數,

都取决於 Calabi-Yau 空間或本書所謂「內空 間」的形狀。

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理論物理學家利用 Dirac 算子來研究 粒子的屬性。透過分析這個算子的譜,可以 估計能看到粒子的種類。時空具有十個維數,

是四維時空和六維 Calabi-Yau 空間的乘積。

因此,當我們運用分離變數法求解算子譜時,

它肯定會受 Calabi-Yau 空間所左右。

Calabi-Yau空間的直徑非常小,則非零譜變 得異常大。這類粒子應該不會觀測到,因為 它們只會在極度高能量的狀態下才會出現。

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另⼀一方面,具有零譜的粒子是可能觀

測到的,它們取决於 Calabi-Yau 空間的拓撲。

由此可見,這細小的六維空間,其拓撲在物 理中是如何舉足輕重。

愛因斯坦過去指出,重力不過是時空 幾何的反映。弦學家更進⼀一步,大胆地說這 個宇宙的規律,都可以由 Calabi-Yau 空間的 幾何推演出來。這個六維空間究竟具有怎樣 的形狀,顯然就很重要了。弦學家正就此問 題廢寢忘餐,竭盡心力地研究。

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Witten 很想知多⼀一點 Calabi-Yau 空間。他 從 Princeton 飛來 San Diego,與我討論如何 構造這些空間。他還希望知道究竟有多少個 Calabi-Yau 空間可供物理學家揀選。

原先,他們認為只有幾個-即少數拓撲類

-可作考慮,是以决定宇宙「內空間」的任 務不難完成。可是,我們不久便發現,

Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。⼀一九 八零年初,我想它只有數萬個,然而,其後 這數目不斷增加,迄今未止。

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於是,决定內空間的任務⼀一下子變得 無比困難,假如稍後發現有無數 Calabi-Yau 空間的話,就更遙不可及了。當然,後者是 真是假還有待驗証,我⼀一直相信,任何維的 Calabi-Yau 空間都是有限的。

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Calabi-Yau 空間的熱潮,始於 1984 年,

當時的物理學家,開始了解到這些複空間或 會用於新興的理論上。熱情持續了幾年,便 開始減退了。可是到了上世紀 80 年代末期,

Brian Greene、Ronen Plesser、Philip Candelas 等人開始研究「鏡象對稱」(mirror

symmetry) 時,Calabi-Yau 空間又重新成為 人們的焦點了。

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鏡對稱乃是兩個具有不同拓撲的

Calabi-Yau 空間,看起來沒有甚麼共通點,

但卻擁有相同的物理定律。具有這樣關係的 兩個 Calabi-Yau 空間稱為「鏡象對」(mirror pair)。

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數學家把物理學家發現的鏡象關係搬 過來,成為數學上強而有力的工具。在某個 Calabi-Yau 空間上要解决的難題,可以放到 它的鏡象上去考慮,這種做法往往奏效。

⼀一個求解曲線數目的問題,懸空了差不多

⼀一個世紀,就是這樣破解的。它使數數幾何 學 (enumerative geometry) 這⼀一數學分枝,重 新煥發了青春。這些進展令數學家對物理學 家及弦論刮目相看。

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鏡對稱是對偶性的⼀一個重要例子。

它就像⼀一面窗,讓我們窺見 Calabi-Yau 空間 的隱秘。利用它,我們確定了給定階數的有 理曲線在五次面 (⼀一個 Calabi-Yau 空間) 的 總數,這是⼀一個非常困難的問題。

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這問題稱為 Schubert 問題。它源於 十九世紀,德國數學家 Hermann Schubert 首先証明,在五次面上共有 2,875 條⼀一階 有理曲線。到了 1986 年,Sheldon Katz 証

明了有 609,250 條二階曲線。1989 年前後,

兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud 和 Stein

Stromme 利用代數幾何的技巧,⼀一下子找到 了 2,638,549,425 條三階曲線。

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可是另⼀一方面,以 Candelas 為首的

⼀一組物理學家,卻利用弦論找到

317,206,375 條曲線。他們在尋找的過程中,

用了⼀一條並非由數學推導出來的適用於任意 階數曲線的公式。這公式的真確與否,還有 待數學家驗証。

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1990 年 1 月,在 Isadore Singer 的

敦促下,我組織了弦學家和數學家首次的主 要會議。大會在 Berkeley 的數理科學研究 所舉行。會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁 Candelas 團隊的人分成兩派,壁壘分明,各 不相讓。這局面維持了幾個月,直到數學家 在他們的編碼程式中發現錯誤,經修正後,

結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。經 此⼀一役,數學家對弦學家深刻的洞察力,不 由得肅然起敬。

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這⼀一幕還說明了鏡象對稱自有其深

厚的數學基礎。人們花了好幾年,到了1990 中後期,鏡象對稱的嚴格數學証明,包括

Candelas 等人的公式,才由 Givental 和 Lian- Liu-Yau 各自獨立地完成。

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V.  結語

話說回來,我們必須緊記,弦「論」

畢竟是⼀一套理論而已,它還未給實驗所實証。

事實上,有關的實驗還沒有設計出來。弦論 是否真的與原來設想的那樣描述自然,還是 言之過早。

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如果要給弦論打分的話,從好的方面 來說,弦論啓發了某些極之精妙而有力的數 學理論,從中獲得的數學式子已經有了嚴格 的証明,弦論的對錯與否,都不能改變其真 確性。弦論縱使還沒有為實驗所証實,它始 終是現存的唯⼀一能夠统⼀一各種自然力的完整 理論,而且它非常漂亮。試圖统⼀一各種自然 力的嘗試,竟然導至不同數學領域的融合,

這是從來沒有想過的。

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現在要作總結還不是時候,過去二千 年間,幾何學屢經更替,最終形成今天的模 樣。而每次重要的轉變,都基於人類對大自 然的嶄新了解,這應當歸功於物理學的最新 進展。我們將親眼看到廿⼀一世紀的重要發展,

即量子幾何的面世,這門幾何把細小的量子 物理和大範圍的廣義相對論結合起來。

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抽象的數學為何能夠揭露大自然如許 訊息,實在不可思議,令人驚歎不已,《內 空間的形狀》⼀一書的主旨乃在於此。不僅如 此,我們還希望透過本書,使讀者知道數學 家是如何進行研究的。他們不必是奇奇怪怪 的人,就像在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting) 中的清潔工般,⼀一面在打掃地板,

另⼀一面卻破解了懸空百年的數學難題。傑出 的數學家也不必如另⼀一部電影和小說描述的 那樣,是個精神異常、行為古怪的人。

(53)

數學家和做實驗的學者同樣研究自

然,但他們採用的觀點不同,前者更為抽象。

然而,無論數學家或物理學家,他們的工作 都以大自然的真和美為依歸。數學和物理互 動時迸發的火花,重要的想法如何相互滲透,

偉大的新學說如何誕生,如此種種,作者都 會在書中娓娓道來。

(54)

就弦論而言,我們看到幾何和物理

如何走在⼀一起,催生了美妙的數學、精深的 物理。這些數學是如此的美妙,影響了不同 的領域,使人們相信它在物理中必有用武之 地。

可以肯定的是,故事還會繼續下去。

本人能在其中擔當⼀一角色,與有榮焉。今後 並將傾盡心血,繼續努力。

(55)

謝 謝!

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