弦論和宇宙隱維的幾何
丘成桐
哈佛大學與台灣大學
二零⼀一⼀一年八月五日
今天要講的，是數學
和物理如何互動互利，這種關 係在 Calabi-Yau 空間和弦論的 研究中尤為突出。
這個題目非出偶然，它正是 我和 Steve Nadis 的新書《內 空間的形狀》的主旨。書中描 述了這些空間背後的故事，個 人的經歷和幾何的歷史。
我寫這本書，是希望讀者透過它，了 解數學家是如何看這世界的。數學並非⼀一門 不食人間煙火的抽象學問，相反地，它是我 們認識物理世界不可或缺的工具。
現在，就讓我們沿着時間－或更確切 地、沿着時空－從頭說起。
I. 黎曼幾何學
1969 年，我到了 Berkeley 唸研究
院。在那裏我了解到，十九世紀幾何學在高 斯和黎曼的手上經歷了⼀一塲翻天覆地的變化。
黎曼的創見，顛覆了前人對空間的看法，給 數學開闢了新途徑。
高斯 黎曼
幾何的對像，從此不再局限於
平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。黎 曼引進了更抽象的、具有任何維數的空間。
在這些空間裏，距離和曲率都具意義。此 外，在它們上面還可以建立⼀一套適用的微 積分。
大約五十年後，愛因斯坦發覺包含彎 曲空間的這種幾何學，剛好用來统⼀一牛頓的 重力理論和狹義相對論，沿着新路邁進，他 終於完成了著名的廣義相對論。
爱因斯坦
在研究院的第⼀一年，我唸了黎曼幾何 學。它與我在香港時學的古典幾何不⼀一樣，
過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲 面。在 Berkeley，我修了 Spanier 的代數拓 撲、 Lawson 的黎曼幾何、Morrey 的偏微分 方程。此外，我還旁聽了包括廣義相對論在 內的幾門課，我如飢似渴地盡力去吸收知識。
課餘的時間都呆在圖
書館，它簡直成了我的辨公室。
我孜孜不倦地找尋有興趣的材 料來看。聖誔到了，別人都回 去和家人團聚。我卻在讀《微 分幾何學報》上 John Milnor 的⼀一篇論文, 它闡述了空間裏 曲率與基本群的關係。我既驚 且喜，因為它用到了我剛剛學 過的東西。
John Milnor
Milnor 的文筆是如此流暢，我通讀此文 毫不費力。他文中提及 Preissman 的另⼀一論 文，我也極感興趣。
從這些文章中可以見到，負曲率空
間的基本群受到曲率強烈的約束，必須具備 某些性質。基本群是拓撲上的概念。
雖然，拓撲也是⼀一種研究空間的學
問，但它不涉及距離。從這角度來看，拓撲 所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。
幾何要量度兩點間的距離，對空間的屬性 要知道更多。這些屬性可以由每⼀一點的曲率 表達出來，這便是幾何了。
舉例而言，甜甜圈和咖
啡杯具有截然不同的幾何，但它 們的拓撲卻無二樣。同樣，球面 和橢球面幾何迥異但拓撲相同。
作為拓撲空間，球面的基本群 是平凡的，在它上面的任何閉曲 線，都可以透過連續的變動而縮 成⼀一點。但輪胎面則否，在它上 面可以找到某些閉曲線，無論如 何連續地變動都不會縮成⼀一點。
由此可見，球面和輪胎面具有不 同的拓撲。
Preissman 定理討論了幾何 (曲率) 如何影 響拓撲 (基本群)，我作了點推廣。在影印這 些札記時，⼀一位數學物理的博士後 Arthur Fisher 嚷着要知道我幹了甚麽。他看了那些 札記後，說任何把曲率與拓撲扯上關係的結 果，都會在物理學中用上。這句話在我心中 留下烙印，至今不忘。
II. 廣義相對論
狹義相對論告訢我們，時間和空間渾 為⼀一體，形成時空，不可分割。愛因斯坦進
⼀一步探究重力的本質，他的友人 Marcel
Grossman 是數學家，愛氏透過他認識到黎曼 和 Ricci 的工作。
黎曼引進了抽象空間的概念，並且討 論了其上的距離和曲率。愛因斯坦利用這種 空間，作為他研究重力的舞臺。
愛因斯坦也引用了 Ricci 的工作，
以他創造的曲率來描述物質在時空的分布。
Ricci 曲率乃是曲率張量的迹，是曲率的某 種平均值。它滿足的比安奇恆等式，奇妙地 可以看成⼀一條守恆律。愛因斯坦利用了這條 守恆律來把重力幾何化，從此我們不再視重 力為物體之間的吸引力。
新的觀點是，物體的存在使空間產生了曲 率，重力應當看作是這種曲率的表現。
對歷史有興趣的讀者，愛因斯坦的 自家說辭更具說服力。他說：「這套理論 指出重力塲由物質的分佈决定，並隨之而 演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間並不 是絕對的，它的結構與物理不能分割。我 們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自 足。」
講到自己的成就時，愛因斯坦寫道：
「就學問本身而言，這些理論的推導是如此 行雲流水，⼀一氣呵成，聰明的人花點力氣就 能掌握它。然而，多年來的探索，苦心孤詣，
時而得意，時而氣餒，到事竟成，其中甘苦，
實在不足為外人道。」
愛因斯坦研究重力的經歷，固然令
人神往，他的創獲更是驚天動地。但是黎曼 幾何學在其中發揮的根本作用，也是昭昭然 不可抹殺的。
半個多世紀後，我研習愛因斯坦方程 組，發現物質只能决定時空的部分曲率，為 此心生困惑，自問能否找到⼀一個真空，即沒 有物質的時空，但其曲率不平凡，即其重力 為零。
當然，著名愛因斯坦方程 Schwarzschild 解 具有這些性質。它描述的乃是非旋轉的黑洞，
這是個真空，但奇怪地，異常的重力產生了 質量。然而這個解具有⼀一個奇點，在那裏所 有物理的定律都不適用。
我要找的時空不似 Schwarzschild 解
所描繪的那樣是開放無垠的，反之，它是光 滑不帶奇點，並且是緊而封閉的。即是說，
有沒有⼀一個緊而不含物質的空問－即封閉的 真空宇宙－其上的重力卻不平凡？
這問題在我心中揮之不去，我認為這種空 間並不存在。如果能從數學上加以論証，這 會是幾何學上的⼀一條美妙的定理。
III. Calabi 猜想
從上世紀七十年代開始，我便在考 慮這個問題。當時，我並不知道幾何學家
Eugenio Calabi 早已提出差不多同樣的問題。
他的提問透過頗為複雜的數學語言來表述，
其中牽涉及 Kaehler 流形、Ricci 曲率、陳類 等等，看起來跟物理沾不上邊。事實上，
Calabi 抽象的猜想也可以翻過來，變為廣義 相對論裏的⼀一個問題。
新的內容乃是要求要找的時空具有某 種內在的對稱性，這種對稱物理學家稱之為 超對稱。於是上述的問題便變成這樣：能否 找到⼀一個緊而不帶物質的超對稱空間，其中 的曲率非零 (即具有重力
)
？與 Calabi 教授（2004）
我與其他人⼀一起試圖証明 Calabi 猜 想所描述的空間並不存在，花了差不多三 年。這猜想不僅指出封閉而具重力的真空 的存在性，而且還給出系统地大量構造這 類空間的途徑，大家都認為世間那有這樣 便宜的東西可撿。可是，縱然不乏懷疑
Calabi 猜想的理由，但沒人能夠反証它。
⼀一九七三年我出席了在 Stanford 舉 行的國際幾何會議。這會議是由 Osserman 和陳省身老師組織的。或是由於我與兩人的 關係，我有幸作出兩次演講。在會議期間，
我告訴了⼀一些相識的朋友，說已經找到了 Calabi 猜想的反例。消息⼀一下子傳開了，徇 眾要求，當天晚上另作報告。那晚三十多位 幾何工作者聚集在數學大樓的三樓，其中包 括 Calabi，陳師和其他知名學者。我把如何 構造反例說了⼀一遍，大家似乎都非常滿意。
Calabi 還為我的構 造給出⼀一個解釋。大 會閉幕時，陳師說我 這個反例或可視為整 個大會最好的成果，
我聽後既感意外，又 與奮不已。
與陳師
可是，真理總是現實的。兩個月後我 收到 Calabi 的信，希望我釐清反例中⼀一些他 搞不清楚的細節。看見他的信，我馬上就知 道我犯了錯。
接着的兩個禮拜，我不眠不休，希望 重新構造反例，身心差不多要垮掉。每次以 為找到⼀一個反例，瞬即有微妙的理由把它打 掉。經過多次失敗後，我轉而相信這猜想是 對的。於是我便改變了方向，把全副精力放 在猜想的証明上。花了幾年工夫，終於在⼀一 九七六把猜想証明了。
在 Stanford 那個會
上，物理學家 Robert Geroch 在報告中談到廣義相對論中 的⼀一個重要課題－正質量猜 想。這猜想指出，在任何封 閉的物理系統中，總質量/能 量必須是正數。我和 Schoen 埋頭苦幹，利用了極小曲面，
終於把這猜想証明了。 Richard Schoen
這段日子的工作把我引到廣義相對
論，我們証明了幾條有關黑洞的定理。與相 對論學者交流的愉快經驗，使我更能開放懐 抱與物理學家合作。至於參與弦論的發展，
則是幾年之後的事了。
在証明 Calabi 猜想時，我引進
了⼀一個方案，用以尋找滿足 Calabi 方程的空 間，這些空間現在通稱為 Calabi-Yau 空間。
我深深地感到，我無心插柳，已經進入了⼀一 界數學高地。它必定與物理有關，並能揭開 自然界深深埋藏的隱秘。
然而，我並不知道這些想法在那裏會大派 用塲，事實上，當時我懂得的物理也不多。
IV. 弦論
1984 年，我接到物理學家 Gary
Horowitz 和 Andy Strominger 的電話。他們興 冲冲地談到有關宇宙真空狀態的⼀一個模型，
這模型是建基於⼀一套叫弦論的嶄新理論上的。
Gary Horowitz Andy Strominger
弦論的基本假設是，所有最基本的粒 子都是由不斷振動的弦線所組成的，這些弦 線非常非常細小。某些弦論要跟量子力學相 容不排斥，時空必須容許某種超對稱性。同 時時空必須是十維的。
我在解决 Calabi 猜想時証明存在的
空間得到 Horowitz 和 Strominger 的喜愛。他 們相信這些空間會在弦論中擔當重要的角色，
原因是它們具有弦論所需的那種超對稱性。
他們希望知道這種看法對不對，我告訴他們，
那是對的。他們聽到後十分高興。
不久，Edward Witten 打
電話給我，我們是上⼀一年在 Princeton 相識的。他認為就 像當年量子力學剛剛面世那 樣，理論物理學最激動人心 的時刻來臨了。他說每⼀一位 對早期量子力學有貢獻的人，
都在物理學史上留名。 Edward Witten
早期弦學家如 Michael Green 和 John
Schwarz 等人的重要發現，有可能終究把所有 自然力統⼀一起來。愛因斯理在他的後半生花了 三十年致力於此，但至死也未竟全功。
Michael Green John Schwarz
當時 Witten 正與 Candelas, Horowitz
和 Strominger ⼀一起，希望搞清楚弦論中那多 出來的六維空間的幾何形狀。他們認為這六 維捲縮成極小的空間，他們叫這空間為
Calabi-Yau 空間，因為它源於 Calabi 的猜想，
並由我証明其存在。
與 Candelas 教授（2001）
弦論認為時空的總數為 10。我們熟
悉的三維是空間，加上時間，那便是愛因斯 坦理論中的四維時空。此外的六維屬於
Calabi-Yau 空間，它獨立地暗藏於四維時空 的每⼀一點裏。我們看不見它，但弦論說它是 存在的。
這個添了維數的空間夠神奇了，但 弦理論並不止於此，它進⼀一步指出 Calabi- Yau 空間的幾何，决定了這個宇宙的性質和
物理定律。那種粒子能夠存在，質量是多少，
它們如何相亙作用，甚至自然界的⼀一些常數，
都取决於 Calabi-Yau 空間或本書所謂「內空 間」的形狀。
理論物理學家利用 Dirac 算子來研究 粒子的屬性。透過分析這個算子的譜，可以 估計能看到粒子的種類。時空具有十個維數，
是四維時空和六維 Calabi-Yau 空間的乘積。
因此，當我們運用分離變數法求解算子譜時，
它肯定會受 Calabi-Yau 空間所左右。
Calabi-Yau空間的直徑非常小，則非零譜變 得異常大。這類粒子應該不會觀測到，因為 它們只會在極度高能量的狀態下才會出現。
另⼀一方面，具有零譜的粒子是可能觀
測到的，它們取决於 Calabi-Yau 空間的拓撲。
由此可見，這細小的六維空間，其拓撲在物 理中是如何舉足輕重。
愛因斯坦過去指出，重力不過是時空 幾何的反映。弦學家更進⼀一步，大胆地說這 個宇宙的規律，都可以由 Calabi-Yau 空間的 幾何推演出來。這個六維空間究竟具有怎樣 的形狀，顯然就很重要了。弦學家正就此問 題廢寢忘餐，竭盡心力地研究。
Witten 很想知多⼀一點 Calabi-Yau 空間。他 從 Princeton 飛來 San Diego，與我討論如何 構造這些空間。他還希望知道究竟有多少個 Calabi-Yau 空間可供物理學家揀選。
原先，他們認為只有幾個－即少數拓撲類
－可作考慮，是以决定宇宙「內空間」的任 務不難完成。可是，我們不久便發現，
Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。⼀一九 八零年初，我想它只有數萬個，然而，其後 這數目不斷增加，迄今未止。
於是，决定內空間的任務⼀一下子變得 無比困難，假如稍後發現有無數 Calabi-Yau 空間的話，就更遙不可及了。當然，後者是 真是假還有待驗証，我⼀一直相信，任何維的 Calabi-Yau 空間都是有限的。
Calabi-Yau 空間的熱潮，始於 1984 年，
當時的物理學家，開始了解到這些複空間或 會用於新興的理論上。熱情持續了幾年，便 開始減退了。可是到了上世紀 80 年代末期，
Brian Greene、Ronen Plesser、Philip Candelas 等人開始研究「鏡象對稱」(mirror
symmetry) 時，Calabi-Yau 空間又重新成為 人們的焦點了。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓撲的
Calabi-Yau 空間，看起來沒有甚麼共通點，
但卻擁有相同的物理定律。具有這樣關係的 兩個 Calabi-Yau 空間稱為「鏡象對」(mirror pair)。
數學家把物理學家發現的鏡象關係搬 過來，成為數學上強而有力的工具。在某個 Calabi-Yau 空間上要解决的難題，可以放到 它的鏡象上去考慮，這種做法往往奏效。
⼀一個求解曲線數目的問題，懸空了差不多
⼀一個世紀，就是這樣破解的。它使數數幾何 學 (enumerative geometry) 這⼀一數學分枝，重 新煥發了青春。這些進展令數學家對物理學 家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的⼀一個重要例子。
它就像⼀一面窗，讓我們窺見 Calabi-Yau 空間 的隱秘。利用它，我們確定了給定階數的有 理曲線在五次面 (⼀一個 Calabi-Yau 空間) 的 總數，這是⼀一個非常困難的問題。
這問題稱為 Schubert 問題。它源於 十九世紀，德國數學家 Hermann Schubert 首先証明，在五次面上共有 2,875 條⼀一階 有理曲線。到了 1986 年，Sheldon Katz 証
明了有 609,250 條二階曲線。1989 年前後，
兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud 和 Stein
Stromme 利用代數幾何的技巧，⼀一下子找到 了 2,638,549,425 條三階曲線。
可是另⼀一方面，以 Candelas 為首的
⼀一組物理學家，卻利用弦論找到
317,206,375 條曲線。他們在尋找的過程中，
用了⼀一條並非由數學推導出來的適用於任意 階數曲線的公式。這公式的真確與否，還有 待數學家驗証。
1990 年 1 月，在 Isadore Singer 的
敦促下，我組織了弦學家和數學家首次的主 要會議。大會在 Berkeley 的數理科學研究 所舉行。會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁 Candelas 團隊的人分成兩派，壁壘分明，各 不相讓。這局面維持了幾個月，直到數學家 在他們的編碼程式中發現錯誤，經修正後，
結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。經 此⼀一役，數學家對弦學家深刻的洞察力，不 由得肅然起敬。
這⼀一幕還說明了鏡象對稱自有其深
厚的數學基礎。人們花了好幾年，到了1990 中後期，鏡象對稱的嚴格數學証明，包括
Candelas 等人的公式，才由 Givental 和 Lian- Liu-Yau 各自獨立地完成。
V. 結語
話說回來，我們必須緊記，弦「論」
畢竟是⼀一套理論而已，它還未給實驗所實証。
事實上，有關的實驗還沒有設計出來。弦論 是否真的與原來設想的那樣描述自然，還是 言之過早。
如果要給弦論打分的話，從好的方面 來說，弦論啓發了某些極之精妙而有力的數 學理論，從中獲得的數學式子已經有了嚴格 的証明，弦論的對錯與否，都不能改變其真 確性。弦論縱使還沒有為實驗所証實，它始 終是現存的唯⼀一能夠统⼀一各種自然力的完整 理論，而且它非常漂亮。試圖统⼀一各種自然 力的嘗試，竟然導至不同數學領域的融合，
這是從來沒有想過的。
現在要作總結還不是時候，過去二千 年間，幾何學屢經更替，最終形成今天的模 樣。而每次重要的轉變，都基於人類對大自 然的嶄新了解，這應當歸功於物理學的最新 進展。我們將親眼看到廿⼀一世紀的重要發展，
即量子幾何的面世，這門幾何把細小的量子 物理和大範圍的廣義相對論結合起來。
抽象的數學為何能夠揭露大自然如許 訊息，實在不可思議，令人驚歎不已，《內 空間的形狀》⼀一書的主旨乃在於此。不僅如 此，我們還希望透過本書，使讀者知道數學 家是如何進行研究的。他們不必是奇奇怪怪 的人，就像在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting) 中的清潔工般，⼀一面在打掃地板，
另⼀一面卻破解了懸空百年的數學難題。傑出 的數學家也不必如另⼀一部電影和小說描述的 那樣，是個精神異常、行為古怪的人。
數學家和做實驗的學者同樣研究自
然，但他們採用的觀點不同，前者更為抽象。
然而，無論數學家或物理學家，他們的工作 都以大自然的真和美為依歸。數學和物理互 動時迸發的火花，重要的想法如何相互滲透，
偉大的新學說如何誕生，如此種種，作者都 會在書中娓娓道來。
就弦論而言，我們看到幾何和物理
如何走在⼀一起，催生了美妙的數學、精深的 物理。這些數學是如此的美妙，影響了不同 的領域，使人們相信它在物理中必有用武之 地。
可以肯定的是，故事還會繼續下去。
本人能在其中擔當⼀一角色，與有榮焉。今後 並將傾盡心血，繼續努力。
