2021 考試大綱-數學正卷

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澳門四高校聯合入學考試 (語言科及數學科)

Joint Admission Examination for Macao Four Higher Education Institutions (Languages and Mathematics)

2020 年試題及參考答案

2020 Examination Paper and Suggested Answer

2 / 13 第一部份 選擇題。請選出每題之最佳答案。 1. 若 P{0, 1, 2}，Q{0, 2, 3}，R{1, 2, 3, 4}，則 P∩(Q∪R) A. {0, 1, 2} B. {0, 1, 2, 3, 4} C. {2} D.  E. 以上皆非 2. 一個城市於 2017 年終的人口為 200 萬，若此城市的人口增長率為每年 2%，於 2020 年終的 人口應約為（選擇最接近的答案）： A. 2,100,000 B. 2,080,000 C. 2,140,000 D. 2,060,000 E. 2,120,000 3. 9x2_3x_4y2_2y

A. (3x2y)(3x2y1) B. (3x2y)(3x2y1) C. (3x2y)(3x2y1)

D. (2x3y)(2x3y1) E. 以上皆非 4. 若 n x 表示 x 的 n 次根，下列哪一個正確？ A. 4 3 2 . 7 1 . 4 17   B. 3 4 17 1 . 4 2 . 7   C. 37.2 417  4.1 D. 417 37.2 4.1 E. 以上皆非 5. 若 |3x5|4，則 A. 3 3 1_{ }  x B. 3 3 1_{x C.} 3 1 3   x D. 3 1 3   x E. x3 或 3 1   x 6. 若 x5_y13_{，下列何者是真？} I. 5 13 logxy II. 5 13 logyx III. 13 5 logxy IV. 13 5 logyx A. 只有 I B. 只有 II C. 只有 IV D. 只有 II 及 III E. 只有 I 及 IV 7. 若 x7  x 2，則 x A. 16 9 _B. 16 3 _C. 4 9 _D. 9 4 _E. 4 3 8. 從 0, 1, 3, 5, 6, 7 這六個數字任取三個不同數字排成一個三位偶數，這樣的偶數有多少個？[注 意：013 只是一個兩位數，而非一個三位數。] A. 26 B. 36 C. 42 D. 45 E. 以上皆非

3 / 13 9. 在 12 2 1       _ x x 的展開式中，常數項是 A. 495 B. 220 C. 66 D. 792 E. 以上皆非 10. 設 (a, 0) 及 (0, b) 為一圓形直徑之兩端點，下列哪點在該圓形上？

I. (0, 0) II. (a, b) III. (a, b)

A. 只有 I B. 只有 III C. 只有 I 及 II D. 只有 II 及 III E. 只有 I 及 III 11. 若將拋物綫 y(x1)2 _{的圖形向右平移 4 個單位，再向下移動 5 個單位，所得的拋物綫方程} 為何？ A. y(x3)2_{5 B. y}_(x₅₎2_{5 C. y}_(x₅₎2₃ D. y(x3)2_{5 E. y}_(x₄₎2₅ 12. 如右圖所示，一對平行綫 L1: x4y120 及 L2: 2xmy40 分別與 y 軸交於 A 和B 兩點。求綫段 AB 的長度。 A. 4 B. 7/2 C. 5/2 D. 1 E. 以上皆非 13. 在等差數列 {an}n1 中，a222 及 a513。此數列中有多少項為正值？ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 14. 如右圖所示，PQ 和 HK 分別與圓切於點 A 和 C。已知 ABC84° 及 BCH18°，求PAB。 A. 45° B. 72° C. 78° D. 85° E. 以上皆非 15. 若 5 1 cos sin  ，且 2，則 cos2 之值是多少？ A. 25 7 _B. 25 7  C. 25 7  D. 25 12  E. 25 12 y x L1 O B A L2 P A B H C K Q 18° 84°

4 / 13 第二部份 解答題。 1. 譚先生在他的抽屜中發現了一些含兩種牌子的電腦磁碟，其中 40% 的磁碟是牌子 A。他知 道牌子 A 的磁碟全是可用的，而牌子 B 的磁碟有 40% 是可用的。 (a) 求從這些磁碟中隨機抽出一張可用的磁碟的概率。 (4 分) (b) 假設這些磁碟共有 100 張。若從中隨機抽出 2 張，則它們都是可用磁碟的概率是多少？(答 案以最簡分數表示。) (4 分) 2. 一列火車原本以每小時 40 公里的速度從 A 市駛向 B 市。經過 2 小時後，由於發動機故障， 火車要停駛 45 分鐘，以便復修發動機。復修後它以每小時 50 公里的速度行駛，完成餘下的 旅程。 (a) 設 A 市和 B 市相距 x 公里，試用 x 表示在以上情況下火車由 A 駛到 B 所花的時間 (以小時為單位)。 (5 分) (b) 若火車最終能準時到達目的地，從 A 市到 B 市有多遠？ (3 分) 3. 已知數列 {an}n1 滿足 1 2 2 ) 1 ( 1 2      n n n a a_{n n} 和 a10。 (a) 求 a2、a3 及 a4 的值。 (3 分) (b) 猜測數列 {an}n1 的通項公式，並用數學歸納法證明。 (5 分) 4. 已知關於 x 的方程 2x45 x260 a a 有一個根為 3，其中 a 為常數。 (a) 求 a 的值。 (4 分) (b) 求關於 x 的方程其餘的根。 (4 分) 5. 設 x2y24x6y120、3y(3tan30)x92 3 和 y(tan60)x(2 33) 分別為圓形 C、直綫 ℓ1 和 ℓ2 的方程。另設 A、B 分別為 ℓ1 和 ℓ2 與 C 的交點，其中 A 和 B 的 x 座 標均大於 3。 (a) 求 C 的半徑 r 及圓心 P 的座標。 (2 分) (b) 證明 ℓ1 和 ℓ2 均通過 P。 (3 分) (c) 求 PAB 的面積。 (3 分)

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參考答案

6 / 13 第二部份 解答題。 1. (a) 抽出一張可用磁碟的概率40%(140%)×40%0.64。 (b) 抽出兩張可用磁碟的概率 100 64 _× 99 63 _ 5 7 2 112 _。 2. (a) 火車在首 2 小時走了 40280 公里。壞車期間，停駛了 45 分鐘。修復後，它跑了 x80 公 里，這段車程花了 50 80  x _{小時才到達 B 市。整個車程共用了} 2 60 45 _ 50 80  x _ 50 20 23_ x _小時。 (b)由於火車原本以每小時 40 公里行駛，若中途沒有耽誤，它應該用 40 x _{小時準時到達 B 市，} 所以有 40 50 20 23_ x _ x _{ x230。} 即 A、B 兩市相距 230 公里。 3. (a) a2  4 3 2 1 1 1 2 0 _{2 2}     ，a3  9 8 3 2 1 2 2 4 3 2 2     ，及 a4  16 15 4 3 1 3 2 9 8 2 2     。 (b) 由 (a) 會猜測 2₂1 n n a_n   。 設 S(n) 代表命題 “ 2₂1 n n an   ”。 由已知條件 a10，可知 S(1) 成立。 假設 S(k) 對某正整數 k 成立，即假定 2 ₂1 k k ak   對這個 k 成立。 從這個假設和另一已知條件得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 2 1                    k k k k k k k k k k k k k k k ak 。 換句話說，S(k1) 也成立。 根據數學歸納法原理，可知 S(n) 對所有正整數 n 都成立。 4. (a) 因為 x3 是方程的一個根，從而有 _a25_a60_{，即 (a}_2)(a₃₎_{0，得 a}_{2 或 a}_3。 (b) 當 a2 時，原方程可以化為 22(x2)₅⋅₂x2₆₍₂x2₂₎₍₂x2₃₎_{0。解得 2}x2_{2 或 2}x2 3。即 x3 或 xlog232。 當 a3 時，原方程可以化為 32(x2)₅⋅₃x2₆₍₃x2₂₎₍₃x2₃₎_{0。解得 3}x2_{2 或 3}x2 3。即 x3 或 xlog322。 所以其餘的根為log232及log322。

7 / 13 5. (a) 將 C 的方程寫成 (x2)2(y3)2 52，得 P(2, 3)，r5。 (b) 已知 tan301 3 及 tan60 3。當 x2 及 y3， ℓ1 的方程的右邊  31 3292 32 392 3933  ℓ1 的方程的左邊。 ∴ P 的座標滿足 ℓ1 的方程，換句話說 ℓ1 通過 P。 此外，當 x2 及 y3， ℓ2 的方程的右邊  322 332 32 333  ℓ2 的方程的左邊。 ∴ ℓ2 也通過 P。 (c) ∵ A、B 的 x 座標均大於 3，∴ A、B 均位於 C 的右半部份 (如右圖所示)。 設 APB。 由 ℓ1 和 ℓ2 的方程，得知 ℓ1 和 ℓ2 的傾斜角分別為 30° 和 60°。從而得知  60°30°30°。

∴ PAB 的面積 1₂PAPBsin 1₂52sin30 25₂ ₂16.25。

P ℓ2 ℓ1 A B C  r

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Part I Multiple choice questions. Choose the best answer for each question.

1. If P{0, 1, 2}, Q{0, 2, 3}, R{1, 2, 3, 4}, then P∩(Q∪R)

A. {0, 1, 2} B. {0, 1, 2, 3, 4} C. {2}

D.  E. none of the above

2. Suppose the population of a city was 2,000,000 at the end of year 2017. If the population growth rate is 2% per year, at the end of year 2020 the population size will be approximately (select the closest answer):

A. 2,100,000 B. 2,080,000 C. 2,140,000 D. 2,060,000 E. 2,120,000

3. 9x2_3x_4y2_2y

A. (3x2y)(3x2y1) B. (3x2y)(3x2y1) C. (3x2y)(3x2y1)

D. (2x3y)(2x3y1) E. none of the above

4. If n

x denotes the nth root of x, which of the following is correct?

A. 4 3 2 . 7 1 . 4 17   B. 3 4 17 1 . 4 2 . 7   C. 37.2 417  4.1 D. 417 37.2 4.1

E. none of the above

5. If |3x5|4, then A. 3 3 1_{ }  x B. 3 3 1_{x C.} 3 1 3   x D. 3 1 3   x E. x3 or 3 1   x

6. If x5_y13_{, which of the following is/are true?}

I. 5 13 log_xy II. 5 13 log_yx III. 13 5 log_xy IV. 13 5 log_yx

A. I only B. II only C. IV only

D. II and III only E. I and IV only

7. If x7  x 2, then x A. 16 9 _B. 16 3 _C. 4 9 _D. 9 4 _E. 4 3

8. Three distinct numbers are selected from the six numbers 0, 1, 3, 5, 6, 7 to form a 3-digit even number. How many ways are there? [Note: the number 013 is only 2-digit, not 3-digit.]

9 / 13 9. The constant term in the expansion of

12 2 1       _ x x is

A. 495 B. 220 C. 66 D. 792 E. none of the above

10. Suppose (a, 0) and (0, b) are the endpoints of a diameter of a circle. Which of the following points lie

on the circle?

I. (0, 0) II. (a, b) III. (a, b)

A. I only B. III only C. I and II only

D. II and III only E. I and III only

11. If the graph of the parabola y(x1)2 _{is shifted to the right by 4 units, and then shifted downward by 5}

units, what is the equation of the resulting parabola?

A. y(x3)2_{5 B. y}_(x₅₎2_{5 C. y}_(x₅₎2₃

D. y(x3)2_{5 E. y}_(x₄₎2₅

12. In the right figure, two parallel lines L1: x4y120

and L2: 2xmy40 intersect the y-axis at points A and

B respectively. Find the length of line segment AB.

A. 4 B. 7/2

C. 5/2 D. 1

E. none of the above

13. In the arithmetic sequence {an}n1, a222 and a513. How many positive terms does this sequence have?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

14. In the right figure, PQ and HK touch the circle at A and

C respectively. Given that ABC84° and BCH18°,

find PAB.

A. 45° B. 72°

C. 78° D. 85°

E. none of the above

15. If

5 1 cos

sin  , and 2, what is the value of cos2?

A. 25 7 _B. 25 7  C. 25 7  D. 25 12  E. 25 12 y x L1 O B A L2 P A B H C K Q 18° 84°

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Part II Problem-solving questions.

1. Mr. Tam found some computer disks of two brands in his drawer, in which 40% are of brand A. Among the disks, all brand A disks are usable, but only 40% of brand B disks are usable.

(a) Find the probability that a randomly picked disk is usable. (4 marks)

(b) Suppose there are totally 100 disks. If 2 disks are randomly picked, what is the probability that both

of them are usable? (Express your answer as a fraction in lowest terms.) (4 marks)

2. A train from City A to City B was originally travelling at a speed of 40 km per hour. After two hours the train broke down, and it stopped for 45 minutes to repair its engine. And then it finished the remaining journey at a speed of 50 km per hour.

(a) Let the distance between A and B be x km. In the above scenario, find an expression in terms of x,

which gives the total time (in hours) required for the train to travel from A to B. (5 marks)

(b) If the train was able to arrive on time, how far is it from A to B? (3 marks)

3. Given that the sequence {an}n1 satisfies 1 2 2

) 1 ( 1 2      n n n a a_{n n} and a10.

(a) Find the values of a2, a3 and a4. (3 marks)

(b) Guess a formula for the general term of {an}n1, and prove it by mathematical induction. (5 marks)

4. Given that one of the roots of the equation 2x45 x260

a

a is 3, where a is a constant.

(a) Find the value of a. (4 marks)

(b) Find all the other root(s) of the equation. (4 marks)

5. Let x2y24x6y120 , 3y(3tan30)x92 3 and y(tan60)x(2 33) be

respectively the equations of a circle C, and two lines ℓ1 and ℓ2. Suppose A and B are respectively the

intersecting points of ℓ1 and ℓ2 with C, where the x-coordinates of A and B are greater than 3.

(a) Find the radius r and the coordinates of the center P of C. (2 marks)

(b) Show that ℓ1 and ℓ2 pass through P. (3 marks)

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Suggested Answer

Question Number Best Answer

1 A 2 E 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 9 A 10 E 11 A 12 C 13 D 14 C 15 B

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Part II Problem-solving questions.

1. (a) Probability of picking 1 usable disk40%(140%)×40%0.64.

(b) Probability of picking 2 usable disks

100 64 _× 99 63 _ 5 7 2 112 _.

2. (a) The train had travelled 40280 km in the first two hours. It had travelled x80 km after stopping

for 45 minutes, and arrived at B

50 80



x _{hours later. The whole journey took}

2 60 45 _ 50 80  x _ 50 20 23_ x _hours.

(b) The train was initially travelling at a speed of 40 km/hour. If no delay occurs, the train will arrive at B on time after

40

x _{hours. Therefore, we have}

40 50 20

23_ x _ x _{ x230.}

That is, City A is 230 km from City B.

3. (a) a2  4 3 2 1 1 1 2 0 _{2 2}     , a3  9 8 3 2 1 2 2 4 3 2 2     , and a4  16 15 4 3 1 3 2 9 8 2 2     .

(b) From (a), we guess that 2 ₂1

n n a_n   . Let S(n) denote the statement “

2 2 ₁ n n

a_n   ”.

According to the given condition that a10, S(1) is true.

Assume S(k) is true for some positive integer k, that is, for this k, 2 ₂1

k k ak   . It follows from this assumption and the other given condition that

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 2 1                   k k k k k k k k k k k k k k k a_k .

In other words, S(k1) is also true.

By the Principle of Mathematical Induction, S(n) is true for all positive integers n.

4. (a) Since x3 is a root of the equation, we get _a25_a60

, i.e. (a2)(a3)0, and so a2 or a

3.

(b) When a2, the original equation reduces to 22(x2)₅⋅₂x2₆₍₂x2₂₎₍₂x2₃₎_{0. Then we have}

2x2_{2 or 2}x2_{3. That is, x}_{3 or x}_log

232.

When a3, the original equation reduces to 32(x2)₅⋅₃x2₆₍₃x2₂₎₍₃x2₃₎_{0. Then we have}

3x2_{2 or 3}x2_{3. That is, x}_{3 or x}_log

322.

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5. (a) By rewriting the equation of C as (x2)2(y3)2 52, we obtain P(2, 3), r5.

(b) It is known that tan301 3 and tan60 3. When x2 and y3,

RHS of ℓ1 31 3292 32 392 3933  LHS of ℓ1.

∴ the coordinates of P satisfy the equation of ℓ1, in other words, ℓ1 passes through P.

Furthermore, when x2 and y3,

RHS of ℓ2 322 332 32 333  LHS of ℓ2.

∴ ℓ2 also passes through P.

(c) ∵ the x-coordinates of A and B are greater than 3, ∴ both A and B lie on the right half of C (as shown in the right figure).

Let APB.

From the equations of ℓ1 and ℓ2, we see that the angles of inclination

of ℓ1 and ℓ2 are 30° and 60° respectively. Hence  60°30°30°.

∴ area of PAB 1₂PAPBsin 1₂52sin3025₂ ₂16.25.

P ℓ2 ℓ1 A B C  r