- 1 - 10.6212/CPE.201912_20(2).0001
以能量轉換解釋阻力、推進效率與力矩等問題
周鑑恒
1 萬能科技大學 航空光機電系 *通訊作者：[email protected] （投稿日期：108 年 6 月 21 日，接受日期：108 年 10 月 17 日） 摘要：能量守恆定律與功-能原理，是一體的兩面。但是在教學上，常常比較重 視能量守恆定律所表明的結果，卻忽略了闡釋能量轉換過程的功-能原理。功-能原理反映了能量轉換過程的許多細節，其實也頗有價值。本文利用功-能原理 與能量轉換的概念，解釋各種阻力的來源、低速大型飛機或飛彈多採用渦扇引 擎的原因、以及較為合理的力矩-角速度變化率關係式的推導過程。這類跨領域 且有助於科教的討論，也具有創新教學的意義。 期刊種類：□學術論文、■教學論文、□實驗設計論文、□報導專文與短篇文 章 關鍵字：能量轉換、功-能原理、阻力、角動量、推進效率壹、 前言
能量守恆和功-能原理，其實與牛頓三大定律一樣，都是力學的基本原理。但功-能原理 卻比較沒有受到應有的重視。事實上，根據能量轉換的原理，更容易掌握許多現象的要點。
- 2 - 仔細研究涉及能量轉換的功-能原理，將功-能原理運用在分析若干能量轉換的現象，可以看 出在能量轉換過程當中，能量轉換的機轉為何？而這些能量轉換的細節，有助於理解本文討 論的幾個問題。 航空工程是一項非常引人入勝的科學，也是近代人類文明的重要成就，但航空工程上有 些問題常眾說紛紜，莫衷一是，令人困惑，但從物理學中能量轉換的角度來分析，則可以大 大簡化其中的關鍵。 例如阻力，從發生原因來分類，阻力可分為三種阻力，分別是表面摩擦阻力、形狀阻力、 造波阻力等，這三種阻力之特性為何？又例如：為什麼次音速大型飛機或飛彈多採用渦扇引 擎？如果從能量轉換的角度來看，就不必大費唇舌，一目瞭然。 教科書雖然常被視為標準，但教科書中其實也有值得商榷之處，在推導角動量與力矩的 關係時，一般教科書多從力與加速度的角度來分析，但這樣的分析嚴格而言，是必須經過較 複雜的計算，有些教科書中的論述卻太過於簡化，有些觀點禁不起仔細推敲，本文提出禁得 起仔細推敲的推導過程。
貳、 功
-能原理
功是轉換或傳遞的能量，做功就是能量轉換或傳遞的過程。在某個變化過程中，仔細分 析所有做功的情形，就能了解能量傳遞和轉換的情形。 功能原理一般可以寫成以下公式： b aW
E
E
=
=
−
……….…..……(2-1) 意思是：消耗E
a的能量才能做功，做功之後變成E
b能量的增加量（可正、可負）。如果能量 轉換的過程複雜，甚至可以寫成：−
E
a+
(
−
E
b) (
+
−
E
c)
+
=
W
1+
W
2+
W
3+
=
E
+
E
+
E
+
…….…..……(2-2)−
E
a−
E
b−
=
E
+
E
+
E
+
……….…..……(2-3)
+
+
+
2 3 1W
W
W
如果涉及做機械功（伴隨動能或位能的變化），就必然伴隨力的發生。 意思是：各種能量的消耗，必然經過各種做功過程，變成其他各種能量的增加量。- 3 - 結論是：
0
=
+
+
+
+
+
+
+
E
aE
bE
c
E
E
E
…..……(2-4) 意思是：所有參與變化的各種能量變化量總和為零，也就是說能量守恆，即=
+
+
+
+
+
+
+
E
E
E
E
E
E
a b c 定值 …..……(2-5) 在能量變換形式之後，能量的總和不變。參、 阻力發生的原因
高承載的陸上交通多以火車運行，火車靠鋼輪在鐵軌上滾動。原因是愈硬的車輪和鐵 軌，愈不會變形，滾動的「阻力」就愈小。為什麼呢？從力的角度來看，鐵軌或輪子變形， 確會造成與運動方向相反的力。 但從能量轉換的角度來看，因為車輪或鐵軌變形，就會增加車輪和鐵軌的彈性位能（或 內能），這些彈性位能（或內能）怎麼來的呢？當然是火車的動能轉換而來的，所以火車就 必然會受到阻力而損失它的動能。因為火車動能必須減少，以增加輪和軌的位能（或內能）， 火車動能減少的機轉就是阻力。 圖 1：一塊磁鐵（圓柱狀，軸向充磁）在鋁板上方運動，但磁鐵和鋁板並無接觸。 見圖1，一塊磁鐵，在鋁板上方不遠處不接觸鋁板，水平運動，就會受到阻力。如果根 據法拉第定律仔細分析感應電流，當然可以發現磁鐵會受到阻力。但從能量轉換來分析，因 為鋁板中有電流，必然有電能之消耗（變成鋁板的內能），電能怎麼來的呢？是因為磁鐵動 能轉換而來，磁鐵必須消耗它的動能，所以它就會受到磁阻力。- 4 - 飛行器在空氣中運動，則能量轉換只能發生在飛行器和空氣這兩者之間。如果因飛行器 的飛行而增加空氣任何形式的能量，都會造成飛行器的阻力。問題是：造成空氣能量增加的 方式至少有三種，分別就衍生出形狀阻力、表面摩擦阻力和造波阻力。
一、形狀阻力
形狀阻力發生的原因是，運動中的物體造成它周圍空氣的壓力變化，而以壓力來「推擠」 空氣（物體後方的空氣壓力較小，其他空氣被推擠來填補此低壓區域），推擠空氣於是造成 空氣流動，並增加空氣的動能，於是衍生阻力。所以形狀阻力也稱為壓力阻力。物體的形狀， 決定以什麼方式來推擠空氣迫使其流動。 如果從壓力來分析此阻力，很不容易得到比較明確的公式。 見圖2，物體前方的高壓區，空氣確實略被壓縮，但過程是絕熱的，後方是低壓區，空 氣確實膨脹，密度稍變小，但也是絕熱過程。換言之，物體的動能尚不至於轉換成空氣的內 能，最終都變成空氣的動能，所以只要計算一段很短時間之後，空氣動能的增加量，就知道 物體損失的動能之量，物體動能之損失量，必然等於阻力在這很短時間內所做的功（做功量）。 圖2 中空氣被做功dt的時間，在dt時間內做功大小為：F
dt；而空氣動能增加量，則 等於物體後方某一薄片空間內的空氣動能總量。 如果與物體一起運動，因為時間是均勻的，空氣也是均勻的，所以物體前後的空氣流動 的情形在任何瞬間應該差不多，因為沒有變化的理由，因為時間t1和時間t2沒有任何差別。 物體後方會有一縷運動的空氣，這縷空氣與物體的相對位置有關，在不同時刻，相對於運動 中物體的某相同位置（此位置點隨著物體運動）的氣流流動非常相似。 如果站在地面上不動，觀察空間中某個不動的點則會發現，此不動的空間點的空氣運動 情形會隨時間變化。 圖2 是物體在運動，空氣原先靜止，站在地面上不動的觀察結果，亦即在地面座標中看 到的情形。發現t
時L( )
t 後方的空氣流動情形，和t +dt時L +(
t dt)
後方流動的情形是一樣 的；但是，L +(
t dt)
（在t +dt時空間某固定不動的平面）後方空氣的能量，較t
時L( )
t （L( )
t 是t
時定出的某平面，是不動的平面）後方的能量更多，因為L +(
t dt)
後方範圍比L( )
t 後方 範圍多了厚度
dt的一層空氣，而t
時L( )
t 後方空氣的能量已經不再明顯變化。 當然，在t
時L( )
t 前方和在t +dt時L +(
t dt)
前方空氣運動的情形幾乎一致（或對時間平 均起來幾乎一致），所以L( )
t 和L +(
t dt)
前方空氣的能量一致。- 5 - L
( )
t 是指t
時，在地面上不動的某一平面。此平面如何決定呢？在L( )
t 這個不動的平面 之後，儘管時間變化，例如從t
到t +dt，在L( )
t 這平面後方的空氣流動情形會變化，但L( )
t 平面後方空氣的動能不會增加。於是在t
到t +dt之間，所有空氣動能的增加量，就等於L( )
t 前方一層（厚
dt）空氣的動能。簡單地說，在此t +dt時L +
(
t dt)
前方空氣動能，與t
時L( )
t 前方的空氣動能一樣。在 dt t + 時不會移動的平面L( )
t 後方空氣的動能不再增減，所以dt時間中整個空氣動能的「增 加量」，就等於厚度
dt薄片中空氣的「動能」。 圖 2：在地面上不動的座標上，分析物體所受的阻力。- 6 - 這一薄片所在的區域可以決定如下：在這薄片後側之空氣動能不再增加，或這在這薄 片後之空氣動能增加量在dt的時間間隔中可以忽略。
F
d為物體所受之阻力，則F
d
d
r
=
−
F
d
dt
=
dK
object
0
…………(3-1) 根據功-能原理可得：物體動能消耗量，等於空氣動能增加量−
dK
object=
dE
k …………(3-2)−
F
d
d
r
=
F
d
dt
=
−
dK
object=
dE
k=
E
k(
t
+
dt
)
−
E
k( )
t
………(3-3) Fd
dt=
( )
dtdA=
2(
2dA)
dt 2 2 1 2 1F
d 2C
DA
2
1
=
；=
dA
A
C
D1
2 ………(3-4) 此地A要包括L平面上所有空氣被擾動的面積，與物體形狀與尺寸有關，所以也稱為物 體的參考面積（reference area）。
為物體與空氣相對速度的大小，
為各處氣流與
之間 的比例， 是空氣密度，
F 為阻力，
d CD為阻力係數。
1 物體在空氣中運動時，它的形狀會改變在物體附近空氣的壓力，並迫使空氣以與物體形 狀有關的某種方式流過物體，物體在空氣運動的過程中（站在地面的座標上來分析），空氣 增加的動能愈少，則物體所受的空氣阻力就愈小。 但是物體的形狀，也會影響物體在空氣中運動時，物體是否能各種程度地壓縮空氣，而 增加空氣的內能。空氣被壓縮得愈明顯，愈多物體的動能轉換成空氣內能，物體所受的阻力 就愈大。 當然，由於過程十分快速，被明顯壓縮的空氣，最後又會膨脹，將空氣的內能轉換成空 氣紊流的動能。 當飛機以穿音速飛行時，飛機如果形狀不適當，就會明顯壓縮空氣，而增加飛機所受的 阻力。有工程師就發現：如果將機翼也算進來，沿飛機飛行方向的參考線，飛機橫截面的面 積變化如果平滑變化，就能大大減少飛行中之飛機壓縮空氣的現象，從而減少飛機所受的阻 力，這就是所謂的截面規則（Area Rule）。2- 7 -
二、表面摩擦阻力
表面摩擦阻力是流體黏滯性造成的。因為物體在流體中「拖行」流體，物體於是受到阻 力。物體在拖行流體時，一開始流體在邊界層中仍是層流，但每層速度不同，再繼續拖行就 發生 Tollmien-Schlichting 波3 ，流體在表面被拖行的距離更長，就變成了紊流了。 因為黏滯性施加的力，都平行物體表面之切線方向。而這些平行表面切線方向的力，要 向運動的反方向才算是摩擦阻力。 所有阻力都可能同時發生，而把能量變成流體或空氣的各種能量。但在低速時，只有形 狀阻力和摩擦阻力同時發生。 見圖3，最上方是設計良好的機翼，在小攻角時受到的摩擦阻力和形狀阻力，因為在不 失速的攻角範圍內操作，所以機翼形狀會迫使空氣向下流動，但不至於引起紊流，所以機翼 形狀基本上沒有留下紊流，所以形狀阻力所佔的比例不大。但機翼表面會拖動空氣，拖動過 程中也會引起紊流，所以機翼後緣有一縷因為摩擦阻力而衍生的紊流。 圖3 上方（b）圖，一張薄的硬物垂直迎風，會迫使空氣相當激烈流動（紊流）回填後 方的空間，此時阻力幾乎百分之百為迫使氣流繞道產生的阻力。因為在物體表面速度不快， 空氣流動的方向垂直流向原氣流方向，所以摩擦阻力為零。 見圖3 上方（c）圖，一硬質薄片平行流體運動方向，因其物體的平面形狀與體積很小之 故，流體無須被物體形狀所迫而流動，也無需讓開，所以形狀阻力為零。但薄片表面一樣會 拖行流體，因此所有阻力都來自表面摩擦阻力。 見圖3 上方（d）圖，對球形的物體而言，球運動時會迫使流體依球形流過物體（讓開 前方空間，回填後方空間），圓形物體所受的阻力，百分八十來自形狀阻力，而表面摩擦阻 力也佔約20%的比例。高爾夫球，則藉表面的凹坑，稍增加表面摩擦阻力（稍增加因表面摩 擦力而引起的紊流），但減少形狀引起的紊流，降低形狀阻力，從而降低總阻力。 見圖3（e），因為長期演化，鯊魚、企鵝、海豚的身體都是極佳的流線形，所以形狀阻 力佔的比例很小，要進一步降低阻力，就必須降低摩擦阻力。企鵝使羽毛夾帶空氣，降低表 面摩擦阻力；鯊魚、海豚皮據說也能降低摩擦阻力。- 8 - 圖 3：摩擦阻力和形狀阻力同時發生，比例因物體形狀而異。
三、造波阻力
船在水中行駛時，通常船的速度會比水波的速度快，所以船艏會製造水波，這些波浪就 會造成阻力。從力的角度來分析，這當然是船在造浪時，必須受到浪的力量，於是產生阻力。 不過如果從能量轉換的角度來看，這些現象更容易理解。水面本來沒有波浪，因為船行 駛過來而產生波浪，水面本來沒有波浪的能量，後來有了波浪的能量，這些多出來的能量， 是由船的動能轉換而來，於是船就會受到造波的阻力。 飛行器在空氣中飛行，如果飛行器的速度超過聲音傳播的速度，飛行器也會造成類似船 頭造成的波浪，稱為衝擊波（Shock wave）。當然衝擊波也含有能量，但是空氣原本沒有衝擊 波，空氣中多出了衝擊波的能量，主要是由飛行器的動能轉換而來，在這個過程中，飛機就 會受到所謂的造波阻力。 船會利用船艏球（也就是在船頭水下向前伸長的球型結構），來減少造波阻力，因為船 行時船艏球與船艏所造成的海浪互相疊加而減弱，盡量減少船所造的海浪，這樣就能夠減少- 9 - 阻力。但在飛行器中至今沒有克服造波阻力的適當設計，通常的做法都是降低飛行器的速度。
肆、 引擎的推力
根據多質點系統理論，某個系統。也就是某個物體，所受外力的向量和，在作用一段時 間之後，會造成這整個系統總動量的變化量。有兩種方式敘述這樣的事實：其中之一是某個 物體所受所有外力的向量和，等於這個物體的總質量乘以質心的加速度；另外一個比較有趣 的說法是，作用在某個系統所有外力的向量和，在作用一段時間之後，會造成該系統（物體） 總動量的變化量。 Fexttot dt dPtot = , ….….….….….….…..……(4-1) 但我們使用這樣的公式時，首先必須選定我們的系統，也就是說，要先確認系統的範圍， 以便決定它的質量和所受的外力。其次要選定適當的座標來描述整個過程。 圖 4：所選定的系統為：一小部分燃料、引擎內部的空氣、前方一層空氣（虛線標示系統）。這系統在 dt t + 時，變成引擎內部的空氣和後方的一層空氣和其中的燃油。
首先要選定在渦扇引擎中的氣體以及少量燃料作為我們的系統，見圖4。在這個分析當 中，系統包含了：在
t
時渦扇引擎前方的一些空氣、渦扇引擎一小部分的油料、渦扇引擎內 部以及後方的一小部分空氣。 渦扇引擎正常操作時，中間的核心機發揮燃氣渦輪機的功能，動力來源出自於燃氣渦輪 機，當然，燃氣渦輪機的尾氣速度較快，在這具渦扇引擎中旁通比很高，以增加空氣的流量 率（單位時間中向後加速的空氣質量）。 根據公式的意義，在渦扇引擎前後以及內部的空氣加上一小段燃油，被當作是一個系- 10 -
統。這個系統在任何一小段時間的動量變化量，會等於作用在這個系統中所有外力的向量和 乘上這一小段時間。可用公式表示如下：
Fext,tot（圖4 中氣團所受的外力總和）dt
=
d
P
tot（圖4 中氣團的動量增加量） ……(4-2) 時間是均勻的，也就是說任何時刻，這連續操作的引擎都沒有理由與其他瞬間有所不 同。當渦扇引擎運轉時，必須假設流進引擎中的空氣以及流出引擎的空氣，在任何時刻，它 們的狀況都是不變的，換言之，計算任何時刻所得的結論，都適用於所有時刻，因此我們很 容易計算上述想定系統的動量變化量。 以引擎靜止的座標來描述，上述選定系統的動量變化量，應該就是進氣口附近空氣與尾 管廢氣之動量的差（因為t
時和t +dt時間在引擎內部的空氣動量不變），我們可以用數學公 式表示如下：
F
ext,totdt
=
P
tot,f−
P
tot,i
=
dm
fan
fan+
(
dm
en+
fdm
en)
en−
(
dm
fan
0+
dm
en
0)
−
fdm
en
0
…..……(4-3) 其中：在時間是t
的時候，引擎前方空氣有dm
fan的質量，以
0的速度進入旁通（Bypass）渦 扇；有dm
en的質量以
0的速度進入核心機。經過dt的時間之後，因為引擎當中不會蓄積質 量，所以也會有dm
en的質量流出渦扇；而燃油質量為 f 乘上dm
en， f 是比例係數，再加上 經過核心機的質量dm
en，以
en的速度噴出噴嘴。 這其實是引擎前後空氣的動量的不同，但是這代表整個系統總動量變化量，所以，總動 量變化量應該等於整個系統（也就是這整團空氣外加燃油）所受外力的總和乘以一小段時間 dt。 這整個系統（也就是空氣再加上燃油）所受外力的向量和，與前方的壓力有關，前方的 壓力為P
0。也與後方的壓力有關，後方的壓力在渦扇的出口叫P
fan，在核心機的出口的壓力 叫P
en；此外我們必須考慮引擎內部對空氣的施力F。這幾個力合起來的合力，作用一段時 間之後，就會等於空氣的動量變化量，所以可以求出推力（大小等於F）的公式如下：- 11 -
(
P
P
fan)
A
fan(
P
P
fan)
A
enF
exttotF
+
0−
+
0−
=
, ； ….……(4-4) 根據：
F
ext,totdt
=
dm
fan(
fan−
0)
+
dm
en
(
1
+
f
)
en−
0
….……(4-5)(
−
0)
+
(
−
0)
+
(
−
0)
+
(
1
+
)
−
0
=
F
P
fanP
A
fanP
enP
A
enm
fan fanm
enf
en ...…(4-6) 其中F的反作用力為推力4,,5,6 。假設：P
fan與P
0差不多，P
en與P
0也差不多，比例 f 也 不大，則推力的公式可以簡化為：(
−
0)
+
(
−
0)
=
m
fan fanm
en enF
…….…..……(4-7) 由此發現
fan與
en都必須大於
0。 圖 5：燃油的能量，最終變成直接散逸的「熱」和因推力和阻力引起的空氣動能增加量。 見圖5，燃油所釋出能量，有一部分當然以熱Q
的形式散發到空氣中，其他部分可以分 為：（1）經阻力的機制擾動空氣，成為空氣能量。（2）為產生推力而擾動空氣的部分。重點 是燃油即等同於金錢。 （1）阻力機制傳遞給空氣的能量是指：飛機巡航時，經由阻力的機轉將能量傳給空氣； 推力則對飛機做功，補充飛機損失的動能。換言之，燃油的能量先經推力變成飛機的動能（引 擎對飛機做正功），飛機的動能又變成空氣的各種能量（阻力對飛機做負功）。也就是說，燃 油的能量，最終經由「飛機機身擾動空氣（以阻力的機轉）的方式，傳給空氣。- 12 - （2）因為飛機必須憑藉空氣產生推力，不得不將空氣向後推送，在這過程中「飛機引 擎」直接對空氣做功，也使空氣獲得的能量，空氣所得能量的來源仍然是燃油。 值得探討的是，為什麼渦扇引擎比較有利？現在在靜止的地面座標上，看一看增加尾氣 能量的功率：
(
)
(
)
0
2
1
2
1
2 0 2 0+
−
−
−
=
fan
fan
en
en
airdt
dm
dm
P
….…..……(4-8)(
0)
2(
0)
22
1
2
1
−
+
−
=
P
airm
fan fanm
en en ….…..……(4-9)(
0)(
0)
(
0)(
0)
2
1
2
1
−
−
+
−
−
=
m
fan fan fam
en en en .…..……(4-10) 如果推力維持不變，上式m
en(
en−
0)
和m
fan(
fan−
0)
就要維持定值，也就是說空氣流 量增加，速度差即可減少；空氣流量減少，速度差即要增加。
en和
fan當然要大於
0，但
en和
fan愈接近
0，P
air對空氣做功（在空氣靜止的地面座標）的功率（見式4-10），也就是對空氣傳遞能量的功率，就愈小，燃油消耗而給尾氣的 能量就減少，即減少燃油消耗。 圖 6：計算系統的總動量變化量。 如果進一步簡化引擎，根據引擎靜止的座標，系統是包括位於引擎內部與引擎前後的一 團空氣，如圖6所示，
t
時dm之空氣以
0的速度進入進氣口，t +dt時以
en的速度噴出， 則可得：- 13 -
F
=
m
(
en−
0)
……….…..……(4-12) 此力的大小在地面座標上也不變。 從地面座標來看，空氣原先靜止，所以為了產生推力對空氣做功的功率為：(
0)
22
1
−
=
en airdt
dm
P
……….…..……(4-13)(
0)
22
1
−
=
en airm
P
……….…..……(4-14) 發動機的推進效率（propulsion efficiency）則為：「發動機對飛機做功功率」與「發動機所做 所有機械功的功率」之比例。亦即引擎的推進效率
可以下式表示： 功率 引擎所有對外界做功的 引擎對飛機做功的功率 =
其中引擎所有對外界做功，就等於：引擎對空氣做功功率加上引擎對飛機做功功率。因此(
)
2 0 0 0 2 1
− + = e m F F (
)
(
)
(
)
2 0 0 0 0 0 2 1
− + − − = e e e m m m (
0)
0 0 2 1
− + = e(
)
0 0 0 2 2
− + = e 0 0 0 1 2 2
e e + = + = ……….…..……(4-15) 因為推力為：F
=
m
(
e−
0)
……….…..……(4-16) 但是當
e
0時，推進效率趨向最佳狀況：
1 ……….…..……(4-17) 意思是：此時空氣本身不增加動能，亦即：- 14 -
(
)
0
2
1
2 0 ,=
−
E
kairm
e
……….…..……(4-18) 但此時如果要有推力，則 m → ….…….….….…….….……(4-19) 雖然此極端的情形現實上不可能發生，但由4-14，4-16，4-17 式可見：渦噴引擎噴嘴出 口之空氣速度（相對引擎），要略大於飛機飛行速度；但推力若要維持不變，又要儘量避免 浪費燃料變成尾氣的能量，則要加大空氣的質量流量。這就是渦扇引擎（turbo fan）用於次音 速飛行器，較省油的原因。 在許多網站上查閱推進效率(propulsion efficiency)，大多數網站幾乎都無法交待推進效率 的來龍去脈7,8 ，甚至定義前後矛盾，本文作釐清。伍、 力矩公式推導
某些教科書9 在推導力矩公式
=I
時，常用圖7 所示的方式，因為力可分為垂直力臂 和平行力臂的分量，其中平行力臂的分量被轉軸的力抵銷。因此：考慮垂直力臂方向的分量， 即可得 F⊥ =ma=mr
……….…..……(5-1) 其中，r為質量為
m的質點距轉軸的距離，
所以：F
⊥r
=
=
mr
2
=
I
……….…..……(5-2) 其中I 為這個質點對o點（轉軸）定義的轉動慣量，
為力矩， 為角速度
。 圖 7： 教科書中力矩公式之推導。- 15 -
教科書中又跳躍式地說9 ：如果是一個有尺寸的物體，力矩和角加速度的關係式依然成 立。
=I
……….…..……(5-3) 其中I 就為這個有尺寸的物體（可視為無數質點構成）定義的轉動慣量。
此推導的源頭其實有瑕疵（見
圖
7）
，因為
o點為參考點，無法證明
o點對物體的
施力不會有垂直力臂方向的分量，也就是說：這樣的推導，並沒有交代
5-4 式（參見
5-1 式）為什麼只考慮外力
F？也沒有交代在此公式中，為什麼不考慮轉軸所施加在
物體上的力？
圖 8：繞固定轉軸和轉動的剛體。 但如果利用功-能原理導出這項公式，則可以避免一些不容易處理的推論。見圖8，有一 外力，作用在固定轉軸的物體上某點A，假設轉軸完全光滑（轉軸不完全光滑，也能計算， 只是增加不必要的複雜性）：則根據功-能原理，A點受到外力F
ext和此物體其他部分作用在A 點上的力F
rest，所以(
F
rest+
F
ext)
d
r
=
dK
A=
F
rest
d
r
+
F
ext
d
r
……….…..……(5-4) 其中：dKA為A質點的動能變化量；dr為
A點的位移向量。
A質點作用在「此物體其他部份」的力，以及轉軸作用在「此物體其他部份」的力，決 定「此物體其他部分」的動能變化量，即- 16 - 其中
F
axis為轉軸施加在物體上的合力，
d r為
A點位移
dr時，物體接觸轉軸的點之位
移，
而因為轉軸光滑，有施力F
axis，但並未做功，即0
=
r
d
F
axis
……….…..……(5-6) 所以F
rest
d
r
=
−
dK
rest ……….…..……(5-7) 將（5-7）式代入（5-4）式，整理以上公式，即可得： A rest extd
r
dK
dK
F
=
+
=
dK
obj ……….…..……(5-8) 此地，dK
obj為圖8中剛體的動能變化量，所以：( )
t dr F( ) ( )
t r t dt d I( )
t I( ) ( )
t d t I( ) ( )
t t dt Fext
=
=
= = ⊥ 2 2 1 ……(5-9) 其中：r
為
A點距離轉軸的距離；
外力Fext所做的功，必然會等於整個物體的動能變化量 （繞固定轉軸的鋼體之動能公式，則毫無疑義！）( ) ( )
t r t dt I( ) ( )
t t dt F⊥
=
………….…..……(5-10) F⊥( )
t r=I
( )
t ………….…..……(5-11) 即使轉軸有摩擦力，仍然可以得到：
=I
的方程式。只不過外力矩的總和中，包括轉 軸施加的摩擦力矩。陸、 結論
功能原理強調：必須消耗某種能量，才能做功，對某物體做功之後，即變成該物體的能 量增加量。 飛行器在空氣中飛行時，只有兩個物體涉及能量轉換，其一是飛行器，另一是空氣。因 為飛行器佔有空間，飛行器飛行時必然會推擠空氣，以改變空氣壓力的方式，迫使空氣流動 而讓開（空氣流動的情形決定於物體的形狀），因此增加空氣的動能，所以飛行器必然受與 此能量轉換有關的阻力，稱之為形狀阻力。 因為空氣具有黏滯性，飛行器也會以剪力的方式，拖行空氣，而將飛行器的能量傳給空
- 17 - 氣，飛行器的動能有些變成空氣的內能、也有些變成空氣的動能。 此外，飛行器速度接近音速時，飛行器會明顯地壓縮空氣，增加空氣的內能，也會形成 對飛行器的阻力。飛行器速度大於或等於音速時，會造成空氣中的衝擊波，增加空氣的能量， 於是也會形成對飛行器的阻力，稱之為音障。 次音速民航客機因不至於額外增加衝擊波的能量，於是比較合理使用能源，所以次音速 的民航客機是空中交通工具的主流。現代次音速民航客機多流行用高旁通比的渦扇引擎，原 因在網站上眾說紛紜。本文的討論顯示：如果引擎之效率（efficiency）差不多，在提供相同 推力，飛行器同樣以次音速飛行的條件下，用渦扇引擎（空氣的質量流量大，噴射尾流的速 度較慢），燃料能源的分配更為節省。 從航空公司營運的角度來看：為了飛機的推力，必須使空氣向後快速流動，於是空氣增 加了這部分的動能；飛機向前飛，以各種方式擾動空氣，因而增加了空氣內能或動能。其中 發動機的推力對飛機做正功，阻力對飛機做負功，於是把能量先傳給飛機，同時再傳給空氣。 因為推力和阻力而造成空氣能量的增加量，其實完全來自於燃料的化學能（當然有一部份以 熱的方式直接散入空氣中）。燃料就是金錢。 最後，作者指出，教科書在推導力矩和角速度的公式時有比較不周延的瑕疵，並非常嚴 謹地利用功能原理，輕鬆獲得教科書中常見的力矩和角動量（角加速度）的方程式。 本文將功-能原理簡單運用於航空工程的重要主題，一方面增添物理實例的真實感和實用 價值，另一方面充分說明功-能原理的重要性。這類跨領域的探討，有助於提升物理教育的品 質。
致謝
感謝科技部科普傳播計畫（編號：MOST-105-2511-S-238-001-MY2）經費支持以及
助理鈺婷的協助。
參考文獻
1. University Physics. H. Benson J. (1995) John Wiley & Sons Inc. 2. Area rule .Retrieved from https://en.wikipedia.org/wiki/Area_rule
- 18 - 3. Tollmien–Schlichting wave. Retrieved from
https://en.wikipedia.org/wiki/Tollmien%E2%80%93Schlichting_wave
4. Onder Turan.et al. (2014), First Law approach of a Low Bypass Turbofan Engine, Journal of Automation and control Engineering Vol.2 No.1 March .
5. A. F. El-Sayed Aircraft Propulsion And Gas Turbine Engines, UK: CRC Press(2008).
6. P. M. Peeters, J. Middel, and A. Hoolhorst. (2005) “Fuel efficiency of commercial aircraft: An overview of historical and future trends”.
7. Jet Propulsion/Propulsive efficiency. Retrieved from
https://en.wikibooks.org/wiki/Jet_Propulsion/Propulsive_efficiency 8. Thermal and Propulsive Efficiency. Retrieved from
https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node81.html
9. David Halliday, Robert Resnick and Jearl Walker. (1993) Fundamentals of Physics. 4th ed., page 301, John Wiley &Sons, Inc., New York.
- 19 -
Explain drag force,
propulsion efficiency and torque
according to work- energy theorem
Chien-Heng Chou
Vanung University, College of Aviation and Engineering Department of Aeronautical and Opto-Mechatronic Engineering. No.1, Wanneng Rd., Zhongli Dist., Taoyuan City 32061, Taiwan (R.O.C.)
