101指考數甲-非選

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101 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案

數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請詳見本中心將於 8 月 15 日出刊的《選才電子報》。 101 學年度指定科目考試數學甲各大題的參考答案說明如下：第一題 第(1)題 設 f 為 m次多項式當 m4時， lim ( )₄ n f n n  不存在；而當 m4時， 4 ( ) lim 0 n f n n   再由題意 lim ( )₄ 5   n f n n 知為 4 次多項式令因所以的最高次項係數為 5 第(2)題：以下提供兩種常見的解法 【解法一】 由知 0 0 ( ) (0) ( ) (0) lim lim 3 0 x x f x f f x f x x         故的函數圖形在的切線方程式為 【解法二】 令 f x( )c x_m mc x₁ c₀(其中c_m0) 為 m 次多項式，因 1 1 0 0 1 0 0 0 ( )

3 lim lim lim( )

m m m m x x x c x c x c c f x c x c x x x               知c₀ 0 3，c₁ ，即 f(0)0 (0)，f  3 故的函數圖形在的切線方程式為 f 4 3 2 ( ) f x ax bx cx dx e 4 2 3 4 ( ) 5 lim lim( ) n n f n b c d e a a n n n n n          f 0 ( ) lim 3 x f x x   0 0 ( ) (0) lim ( ) lim 3 0 0 x x f x f f x x x         f x0 y 3x f x0 y3x

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第(3)題 由（ 1）、（ 2）知，再由 f (0)2知c 。 1 故 4 3 2 ( ) 5 3 f x  x bx x  x 以下提供兩種常見的解法解出 1 1 f x dx( ) 



的值。 【解法一】 1 1 4 3 2 1f x dx( ) 1(5x bx x 3 )x d x      



1 5 4 3 2 1 1 3 4 3 2 b x x x x      1 3 1 3 (1 ) ( 1 ) 4 3 2 4 3 2 b b          8 3  22 3  【解法二】 因奇數次項在區間 _1,1_的積分為 0，所以 1 1 4 2 1f x dx( ) 1(5x x d x)    



1 5 3 1 1 3 x x    1 1 (1 ) ( 1 ) 3 3      8 3  22 3  第二題：以下提供兩種常見的解法 【解法一】 第(1)題 由正弦定理得方程組 5 1 _{sin 60} sin 2 7 1 sin sin 2 AD BAC AD ACB BAC                再將兩式相除得 5 sin 7 sin 60 ACB    故sinACB 5 sin 60 5 3

4 3 2

( ) 5 3

(3)

第(2)題 由 (1)知 2 2 2 2 5 3 75 121 11 cos 1 sin 1 ( ) 1 14 14 14 14 ACB ACB           以下提供兩種常見的解法求出sinBAC的值。 【解法一】由和角公式得

sinBACsin(180  ABC ACB)

sin(180 60 ACB)

     

sin(120 ACB)

   

sin120 cos ACB cos120 sin ACB

      3 1 5 3 2 cos 2 14  ACB 3 5 3 2 cos ACB 28    3 11 5 3 4 3 2 14 28 7     【解法二】由和角公式得

sinBACsin(180  ABC ACB)

sin(60 ACB)

   

sin 60 cos ACB cos 60 sin ACB

      3 1 5 3 2 cos 2 14  ACB 3 5 3 2 cos ACB 28    3 11 5 3 4 3 2 14 28 7     故sin =4 3 7 BAC  第(3)題 由正弦定理、 (1)與 (2)得 12 5 3 4 3 14 7 AB  所以 12 5 3 14 4 3 7 AB  =15 2

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【解法二】 第(1)題 由內分比與餘弦定理得方程組 2 2 2 5 7 2 cos60 AB BD AC DC AC AB BC AB BC              令 AB5t， AC7t(t0) 得方程式₄₉_t2₂₅_t2_{144 60} _t_或 ₂_t2 ₅_t ₁₂₀_{，解得} 3 2 t 故 15 2 AB ， 21 2 AC 。以下提供兩種常見的解法求出sinACB的值。 【解法一】由正弦定理得 15 21 2 2

sinACB_sin 60

故 5 3 14 5 3 sin 7 2 ACB     【解法二】由餘弦定理得 2 2 2 2 cos ACB BC AC AB BC AC       2 2 2 21 15 12 2 2 21 2 12 2                 

11

14 

故 2 2 2 2 3 11 121 75 5 sin 1 cos 1 ( ) 1 14 14 14 14 ACB ACB           第(2)題：以下提供兩種常見的解法求出sinBAC的值。【解法一】由正弦定理得 sin sin 60 21 12 2 BAC  _  故sin 12 3 21 2 2 BAC  4 3 7 

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【解法二】由餘弦定理得 2 2 2 2 cos AC AB AC AB BC BAC       2 2 2 21 15 12 2 2 21 15 2 2 2                

1

7 

故 2 2 2 2 4 3 7 1 1 48 sin 1 cos 1 ( ) 1 7 7 7 BAC BAC           第(3)題 由 (1)可得 5 15 2   AB t