自組式量子點應變之理論研究

(1)

國立交通大學

電子物理學系

碩士論文

自組式量子點應變之理論研究

Theoretical studies of strain in self-assembled quantum dots

研究生：曾浤鈞

指導教授：鄭舜仁教授

中華民國一百年七月

(2)

自組式量子點應變之理論研究

Theoretical studies of strain in self-assembled quantum dots

研究生：曾浤鈞 Student：Hung-Chun Tseng 指導教授：鄭舜仁教授 Advisor：Shun-Jen Cheng 國立交通大學電子物理學系碩士論文 A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in Electrophysics

March 2010

HsinChu, Taiwan, Republic of China

中華民國一百年七月

(3)

自組式量子點應變之理論研究

學生：曾浤鈞指導教授：鄭舜仁博士

國立交通大學電子物理學系碩士班

摘要

本論文主要是探討砷化銦與砷化鎵(InAs/GaAs)自組式量子點 (self-assembled quantum dots)的應變分佈。文章中除了利用古典連體力學(classical continuum mechanics)來推導格林函數(Green's function) 及正逆傅立葉轉換(Fourier transforms)來計算自組式量子點的應變分佈外，也使用COMSOL(有限元素軟體)計算量子點的應變，並將這兩個方法的結果做比較。由於應變效應會直接影響量子點電子電洞的侷限位能，所以，應變的分佈相當重要，因此，在本文一開始，介紹了應變分量所呈現之位移圖像。此外，我們計算多種形狀量子點包含量子盒與截角金字塔的應變與侷限位能，包含XY對稱與不對稱的情況，藉此了解不同形狀下侷限位能的改變。此外，我們也計算垂直耦合雙量子點的應變與侷限位能。

(4)

Theoretical studies of strain in self-assembled quantum dots

Student：Hung-Chun Tseng Advisor：Shun-Jen Cheng

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis is mainly to explore the strain distribution of InAs/GaAs of self-assembled quantum dots. The article takes advantage of classical continuum mechanics to infer Green's function and Fourier transforms, calculating the strain distribution of self-assembled quantum dots.Also using COMSOL calculate the strain of quantum dots, and comparing the results of these two methods.

Since the strain effect directly affects the confinement potential of electron and holes of quantum dots. Therefore, the strain distribution is essential. With this in mind, I start the article with the introduction of the displacement graphics of the strain component.In addition, a variety of shapes of quantum dot we calculate the strain and the confinement potential, including the XY symmetry and asymmetry, to understand the different changes in shape under the confinement potential.In addition, we calculate the strain and the confinement potential of the vertically coupled double quantum dots.

(5)

致謝首先，感謝鄭舜仁老師在我兩年多的碩士生涯內，對我的指導，除了在研究上提供充分的資源以及細心的指導，且培養做事情該有的正確態度。並且感謝各位口詴委員，林浩雄老師、陳振芳老師、以及張文豪老師提供的寶貴意見，讓我的論文內容更趨於完備。特別感謝盧書楷、尤文廷及陳彥廷學長，在學業上時時提供意見，同時也是碩士生活中最好的朋友。感謝我的同學廖禹淮、許克銘及徐燁在課業上的討論和意見。亦感謝學弟張語宸、古智豪和鄭丞偉撥空與我的討論。謝謝父母親不辭辛勞，讓我有無後顧之憂的生活，並且支持我所選擇想發展的方向。因為要感謝的人太多，所以，最後對所有曾給予幫助的人說一聲謝謝。

(6)

目錄：中文摘要 ... ii 英文摘要 ... iii 致謝 ... iv 目錄 ... v 表目錄 ... viii 圖目錄 ... ix 第一章、導論... 01 1.1 量子點簡介 ... 01 1.2 研究動機 ... 01 1.3 文獻回顧 ... 02 1.4 章節概要 ... 03 第二章、彈性力學理論架構 ... 04 2.1 基本彈性力學概念[12-14] ... 05 2.2 彈性力學的統御方程[15] ... 17 2.3 材料的組成與初始應變 ... 19 第三章、應變數值解法 ... 21

(7)

3.1 有限元素法概論[16-17] ... 21 3.2COMSOL 軟體說明 ... 23 3.3 平面波展開法[18] ... 25 第四章、量子力學理論架構 ... 29 4.1 薛丁格方程式 ... 29 4.2 異質結構的位能與形變位能 ... 32 第五章、結果與討論 ... 37 5.1 金字塔形狀、正方體與球形量子點應變驗證 ... 37 5.2 應變與位移 ... 40 5.3 量子盒與截角金字塔形量子點系列的比較 ... 43 5.4 XY 對稱破壞下量子盒與截角金字塔形量子點系列的比較 ... 78 5.5 垂直耦合雙量子點的比較 ... 102 第六章、結論... 108 參考文獻 ... 110 附錄 A、材料參數[23] ... 112 附錄 B、實空間格林函數推導[14] ... 113 附錄 C、格林函數的傅立葉形式之推導[18] ... 117

(8)

附錄 D、特徵函數 ... 120 附錄 E、特徵函數之傅立葉轉換[22] ... 122 附錄 F、二階張量座標轉換[25-27] ... 124

(9)

表目錄

表 5.1、垂直耦合雙量子點計算參數 ... 102 表 A.1、材料參數[14]的材料參數 ... 112

(10)

圖目錄

圖 2.1、小六面體元素 ... 6 圖 2.2、小六面體元素對應之應力 ... 7 圖 2.3、平面對應之應力 ... 7 圖 2.4、物體平面之應力與應力矩 ... 9 圖 2.5、正應變示意圖 ... 10 圖 2.6、剪應變示意圖 ... 10 圖 2.7、P 點位移示意圖 ... 11 圖 2.8、P、A、B 三點位移示意圖 ... 12 圖 2.9、系統外力與虛位移示意圖 ... 18 圖 3.1、一維桿問題示意圖 ... 21 圖 3.2、一維桿問題(切割為兩個元素)示意圖 ... 22 圖 4.1、異質材料的侷限位能示意圖... 33 圖 5.1、不同傅立葉項數的金字塔形量子點應變比較圖(a)、體應變比較圖(b)、雙軸應變比較圖 ... 38 圖 5.2、COMSOL 不同網格大小的金字塔形量子點應變比較圖(a)、體應變比較圖(b)、雙軸應變比較圖... ... 38 圖 5.3、金字塔形量子點應變的比較圖... 39 圖 5.4、正方體形量子點應變的比較圖... 39

(11)

圖 5.5、球形量子點應變的比較圖 ... 40 圖 5.6、長寬為 20(nm)且高為 4(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、 XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx在 XZ 平面分佈圖(c)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... 41 圖 5.7、基底長度為 20(nm)且高為 10(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx在 XZ 平面分佈圖(c)、 zz

e

在 XZ 平面分佈圖 ... 42 圖 5.8、長寬為 20(nm)高度

a

_z在改變的量子盒，其中心點應變值的比較圖 ... 44 圖 5.9、長寬為 20(nm)且高為 20(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、 XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖... ... 45 圖 5.10、長寬為 20(nm)且高為 4(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、 XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖... ... 46 圖 5.11、長寬為 20(nm)且高為 4(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、 XY 平面的位移圖(b)、

e

_xx在 XY 平面分佈圖(c)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖... ... 47 圖 5.12、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分佈(a)、

(12)

xx

e

分佈圖(b)、

e

_zz分佈圖... ... 48 圖 5.13、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分布(a)、體應變分佈圖(b)、雙軸應變分佈圖… ... 49 圖 5.14、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒，在考慮四能帶與六能帶的輕電洞位能比較圖 ... 51 圖 5.15、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒沿 Z 軸的侷限位能分佈(a)、電子侷限位能分佈圖(b)、電洞侷限位能分佈圖 ... 52 圖 5.16、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XZ 平面的電子侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 53 圖 5.17、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XY 平面的電子侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 53 圖 5.18、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XZ 平面的重電洞侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 54 圖 5.19、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XY 平面的重電洞侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 54

(13)

圖 5.20、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XZ 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 55 圖 5.21、長寬為 20(nm)高度在改變的量子盒 XY 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、高度為 12(nm)(b)、高度為 6(nm) (c)、高度為 4(nm) (d)、高度為 2(nm) ... 55 圖 5.22、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 7(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... .56 圖 5.23、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 7(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... .57 圖 5.24、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 7(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 YZ 平面分佈圖(c)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... .58 圖 5.25、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 3(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... .59 圖 5.26、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 3(nm)的金字塔形量子

(14)

點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... .60 圖 5.27、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 3(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... .61 圖 5.28、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高度在改變的金字塔沿 Z 軸(x,y＝0)的應變分佈(a)、

e

_xx分佈圖(b)、

e

_zz分佈圖 ... .62 圖 5.29、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高度在改變的金字塔沿 Z 軸(x,y＝0)的應變分佈(a)、體應變分佈圖(b)、雙軸應變分佈圖. .63 圖 5.30、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高度在改變的金字塔沿 Z 軸(x,y＝0)的侷限位能分佈(a)、電子侷限位能分佈圖(b)、重電洞侷限位能分佈圖(c)、輕電洞侷限位能分佈圖 ... 64 圖 5.31、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XZ 平面 (y＝0)的電子侷限位能分佈(a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm) ... 65 圖 5.32、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XY 平面 (z＝0)的電子侷限位能分佈(a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm) ... 65 圖 5.33

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XZ 平面(y ＝0)的重電洞侷限位能分佈(a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm)

(15)

... 65 圖 5.34、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XY 平面 (z＝0)的重電洞侷限位能分佈(a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm) ... 66 圖 5.35、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XZ 平面 (y＝0)的輕電洞侷限位能分佈(a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm) ... 66 圖 5.36、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)但高度不同的金字塔 XY 平面 (z＝0)的輕電洞侷限位能分佈 (a)、高度為 7(nm)(b)、高度為 3(nm) ... 66 圖 5.37、

b

_x為 12(nm)、

b

_y為 10.8(nm)且高為 5(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... .67 圖 5.38、

b

_x為 12(nm)、

b

_y為 10.8(nm)且高為 5(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... .68 圖 5.39、

b

_x為 12(nm)、

b

_y為 10.8(nm)且高為 5(nm)的金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... .69 圖 5.40、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx在 XZ 平

(16)

面分佈圖(c)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... .70 圖 5.41、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... .71 圖 5.42、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm)且高為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... .72 圖 5.43、高度為 5(nm)而

b

_x在改變的截角金字塔沿 Z 軸(x,y＝0) 的應變分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、

e

_xx分佈圖(b)、

e

_zz分佈圖 ... .73 圖 5.44、高度為 5(nm)而

b

_x在改變的截角金字塔沿 Z 軸(x,y＝0) 的應變分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、體應變分佈圖(b)、雙軸應變分佈圖 ... .74 圖 5.45、高度為 5(nm)而

b

_x在改變的截角金字塔沿 Z 軸(x,y＝0) 的侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、電子侷限位能分佈圖(b)、電洞侷限位能分佈圖 ... 75 圖 5.46、高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XZ 平面(y＝0)的電子侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、

b

_x為 12(nm)(b)、

b

_x為 20(nm) ... 76 圖 5.47、高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XY 平面(y＝0)的電子侷限位能分佈，其中

b

為 12(nm)(b)、

b

為 20(nm)

(17)

... 76 圖 5.48 高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XZ 平面(y＝0)的重電洞侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、

b

_x為 12(nm)(b)、

b

_x為 20(nm) ... 76 圖 5.49、高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XY 平面(y＝0)的重電洞侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、

b

_x為 12(nm)(b)、

b

_x為 20(nm) ... 77 圖 5.50、高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XZ 平面(y＝0)的輕電洞侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x(a)、

b

_x為 12(nm)(b)、

b

_x為 20(nm) ... 77 圖 5.51、高度為 5(nm)而

b

_x不同的截角金字塔 XY 平面(y＝0)的輕電洞侷限位能分佈，其中

b

_y=0.9

b

_x (a)、

b

_x為 12(nm)(b)、

b

_x為 20(nm) ... 77 圖 5.52、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 4(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，

e

_xx沿 X 軸與

e

_yy沿 Y 軸的比較(a)、

a

_y為 20(nm)(b)、

a

_y為 14(nm) ... 78 圖 5.53、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，其中心點應變值的比較圖 ... 79 圖 5.54、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 18(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx 在 XZ 平面分佈圖(c)、 zz

e

在 XZ 平面分佈圖 ... 80 圖 5.55、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 18(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_yy 在 YZ 平面分佈圖(c)、

(18)

zz

e

在 YZ 平面分佈圖 ... 81 圖 5.56、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 18(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_xx 在 XY 平面分佈圖 (c)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... 82 圖 5.57、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 14(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx 在 XZ 平面分佈圖(c)、 zz

e

在 XZ 平面分佈圖 ... 83 圖 5.58、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 14(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_yy 在 YZ 平面分佈圖(c)、 zz

e

在 YZ 平面分佈圖 ... 84 圖 5.59、

a

_x為 20(nm)、

a

_y為 14(nm)和

a

_z為 5(nm)的量子盒應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_xx 在 XY 平面分佈圖 (c)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... 85 圖 5.60、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分佈(a)、

e

_xx與

e

_yy分佈圖(b)、

e

_zz分佈圖 ... 86 圖 5.61、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分布(a)、體應變分佈圖(b)、雙軸應變分佈圖 ... 87 圖 5.62、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，考慮四能帶與六能帶的輕電洞位能比較圖... 88

(19)

圖 5.63、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒沿 Z 軸的侷限位能(a)、電子侷限位能分佈圖(b)、電洞侷限位能分佈圖 ... 89 圖 5.64、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，XY 平面的電子侷限位能分佈 (a)、

a

_y為 14(nm) (b)、

a

_y為 18(nm) ... 90 圖 5.65、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，XY 平面的重電洞侷限位能分佈(a)、

a

_y為 14(nm) (b)、

a

_y為 18(nm) ... 90 圖 5.66、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，XY 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、

a

_y為 14(nm) (b)、

a

_y為 18(nm) ... 90 圖 5.67、

a

_x為 20(nm)和

a

_z為 5(nm)，而

a

_y在改變的量子盒，位於 z=3(nm)之 XY 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、

a

_y為 14(nm) (b)、

a

_y為 18(nm) ... 91 圖 5.68、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒，其中心點應變值的比較圖 ... 91 圖 5.69、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm) 和

h

為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... 92 圖 5.70、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm) 和

h

為 5(nm)的截角金字塔

(20)

形量子點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖(c)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... 93 圖 5.71、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 18(nm) 和

h

為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... 94 圖 5.72、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 14(nm)和

h

為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XZ 平面的位移圖(b)、

e

_xx XZ 平面分佈圖(c)、

e

_zz在 XZ 平面分佈圖 ... 95 圖 5.73、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 14(nm)和

h

為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、YZ 平面的位移圖(b)、

e

_yy YZ 平面分佈圖(c)、

e

_zz在 YZ 平面分佈圖 ... 96 圖 5.74、

b

_x為 20(nm)、

b

_y為 14(nm)和

h

為 5(nm)的截角金字塔形量子點應變與位移對照圖(a)、XY 平面的位移圖(b)、

e

_xx XY 平面分佈圖(c)、

e

_yy在 XY 平面分佈圖 ... 97 圖 5.75、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分佈(a)、

e

_xx與

e

_yy分佈圖(b)、

e

_zz分佈圖 ... 98 圖 5.76、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒沿 Z 軸的應變分布(a)、體應變分佈圖(b)、雙軸應變分佈圖 ... 99 圖 5.77、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒沿 Z 軸

(21)

的侷限位能(a)、電子侷限位能分佈圖(b)、電洞侷限位能分佈圖 ... 100 圖 5.78、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒，XY 平面的電子侷限位能分佈(a)、

b

_y為 14(nm) (b)、

b

_y為 18(nm) ... 101 圖 5.79、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒，XY 平面的重電洞侷限位能分佈(a)、

b

_y為 14(nm) (b)、

b

_y為 18(nm) ... 101 圖 5.80、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒，XY 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、

b

_y為 14(nm) (b)、

b

_y為 18(nm) ... 101 圖 5.81、

b

_x為 20(nm)和

h

為 5(nm)，而

b

_y在改變的量子盒，位於 z=3(nm)之 XY 平面的輕電洞侷限位能分佈(a)、

b

_y為 14(nm) (b)、 y

b

為 18(nm) ... 102 圖 5.82、基底長度為 28(nm)、高為 4(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 103 圖 5.83、基底長度為 28(nm)、高為 4(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 103 圖 5.84、基底長度為 28(nm)、高為 4(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電子侷限位能 ... 104 圖 5.85、基底長度為 28(nm)、高為 4(nm)的截角金字塔形量子點，

(22)

單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電洞侷限位能 ... 104 圖 5.86、基底長度為 31(nm)、高為 8(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 104 圖 5.87、基底長度為 31(nm)、高為 8(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 105 圖 5.88、基底長度為 31(nm)、高為 8(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電子侷限位能 ... 105 圖 5.89、基底長度為 31(nm)、高為 8(nm)的截角金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電洞侷限位能 ... 105 圖 5.90、基底長度為 21(nm)、高為 10.5(nm)的金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 106 圖 5.91、基底長度為 21(nm)、高為 10.5(nm)的金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的應變分布 ... 106 圖 5.92、基底長度為 21(nm)、高為 10.5(nm)的金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電子侷限位能 ... 107 圖 5.93、基底長度為 21(nm)、高為 10.5(nm)的金字塔形量子點，單量子點與雙量子點沿 Z 軸的電洞侷限位能 ... 107 圖 D.1、金字塔之 XZ 平面切面圖 ... 120 圖 D.2、截角金字塔的 XZ 平面切面圖 ... 121

(23)

(24)

第一章序論

1.1 量子點簡介 當物體的大小與其組成物質的物質波波長相當時,量子效應將主導材料物、化、光、電等各種特性的關鍵性因素。以IV及III-V族半導體為例，其物質波波長約為20 ~ 40奈米，在三度空間各方向大小均在此尺度的半導體物體因此稱之為半導體量子點，而量子點其特性與巨觀塊材截然不同，具有許多傳統材料所沒有的優越的性質，如其電子能態密度分佈不似塊材形成能帶，而是與單一原子較為相似的不連續能階所組成，故又稱為人造原子[1-2]。量子侷限效應，是指當量子點的尺寸變小其能階間距則變大，因而，提供了一個經由控制其大小而調變其能階的有效機制，表現在光學特性上，量子點就是一個頻寬狹窄而頻率可控制的理想光源。然其關鍵-量子點的結構如形狀、原子排列及成份分佈至今仍不甚清楚，這些正是決定其光電特性的關鍵因素。 1.2 研究動機近年來，常以分子束磊晶的方法製作量子點。但在磊晶過程，異質材料的晶格不匹配所導致的應變，會造成量子點能帶的改變[3-4]。以砷化銦(InAs)與砷化鎵(GaAs)為例，半導體的導電帶通常受到體應變(hydrostatic strain)的影響而改變，價電帶則同時受體應變與雙軸應

(25)

變(biaxial strain)的雙重影響[5]，而這些改變將影響量子點的侷限效應。因此，在量子點光電性質的研究上，分析量子點結構的應變是非常重要的工作。本文將以數值模擬來分析自聚式量子點 (self-assembled quantum dot)的應變的分佈，進而估算對侷限位能的影響。 1.3 文獻回顧 分析自聚式量子點的應變場分佈，可以分為幾類：(1)原子模型法

(atomistic modeling)[6] (2)內含物(inclusion)原理的解析解法[7-8] (3)

有限元素法(finite element method，EM)[9]。Pryor 等人[6]利用原子價電力場(atomistic valence force field)，來計算自聚式量子點的應變分佈。然而，這種原子模型法計算的系統中所含的原子數目約在數十萬個以上，故需耗費大量的計算量。 Pearson等人[7]、Faux 等人[8] 則發展出一套以「艾許比內含物原理(Eshelby’s inclusion theory)[10-11]」為基礎的解析解法，提供了分析量子點內及其周圍應變場的積分表示式，Liu等人[9]則建立了三維的量子點模型，以有限元素法分析其應變場之分佈。基本上，「原子模型法」是從微觀的原子理論出發；「基於內含物原理的解析解法」和「有限元素法」則由巨觀的連續體理論所發展。本文選擇使用內含物原理的解析解法，來模擬自聚式量子點之應變場分佈，並與有限元素法軟體COMSOL做比較。

(26)

1.4 章節概要 本文第一章主要先簡介量子點與應變成因，及其對侷限位能的影響和文獻回顧。第二章則針對彈性力學給出基本理論，以便知各應變分量所代表意涵。第三章先利用數學推導給出格林函數，再以傅立葉轉換處理不連續點問題，最後求得量子點應變通式，並在最後一節提及 COMSOL 的使用介紹。第四章則介紹單能帶等效質量薛丁格方程式與應變造成的等效位能。第五章先給出與文獻的比較，再則對量子點不同形狀做比較。第六章是本篇論文的結論與未來可能之發展。

(27)

第二章彈性力學理論架構

彈性：在外力消失後，物體恢復原狀的一種性質。彈性體：具有彈性性質的一種理想物體。彈性力學：研究彈性體在外界因素影響下，其內部所生成的位移與對應之應力分佈的一門學科。人類開始利用物體的彈性特性的時間點，可以追溯到非常久遠的年代，但彈性力學做為一門學科卻是伴隨著工業革命而誕生的，且已被廣泛應用於土木、機械、材料等工程領域。彈性力學迄今已有三百餘年的發展歷史，自 1678 年 Hooke 提出形變與外力成正比的定律，到 1821 年 Navier 和 1823 年 Cauchy 建立了關於應力的平衡方程，形成了彈性力學的初步理論為止；二十世紀下半葉，彈性理論更進一步擴展，與其它物理因素相互耦合出現了許多交疊領域，例如熱彈性力學、黏彈性力學、壓電介質彈性力學、晶體彈性力學等等，某種程度上豐富了彈性力學的研究範圍。為了瞭解我們所要處理的物理問題，因此，在本章介紹彈性力學的基本理論，以便了解問題的所在，其中基本理論包含基本應力與應變的概念、虎克定律、統御方程，其中最後開闢一節，來說明如何連結量子點系統與巨觀的彈性力學，藉由這些介紹，簡單讓我們回顧這門古老且實用的科學。

(28)

2.1 基本彈性力學概念[12-14] 在本節的開始，我們引進彈性力學的 3 大基本理論基礎： 1. Newton 定律彈性力學基本上是一門力學，遵守 Newton 三大運 動定律，值得注意的是作用與反作用定律。剛體力學是從 Newton 定律演繹而來的，但彈性力學與剛體力學不同，還有新假設與定律。 2〃連續性假設就是指彈性體連續分布在三維歐氏空間的某個區域之內。於是密度、位移、應變、應力等物理量都將是空間點的連續變量。在連續性假設之下，微分、積分、微分方程、微分幾何、積分方程、變分方法等數學工具都成為了研究彈性力學的方法。以 Newton 定律和連續性假設為基礎可以建立連續介質力學，其包含我們所使用的彈性力學。 3〃廣義 Hooke 定律意指彈性體受外力後，其內部所生成的應力和 應變具有線性關系。對大多數材料，在一定的條件下，都符合這個實驗定律。線性關係的 Hooke 定律是彈性力學特有的定律，為彈性力學有別於連續介質力學其它分支的標的。因此，Newton 定律、連續性假設、廣義 Hooke 定律，這三方面構成彈性力學的理論基礎。 2.1.1 應力(Stress)

(29)

在本節的開始，我們對於應力給予嚴謹的定義。考慮由材料中取一個小六面體元素，我們選擇沿著此元素的三邊為座標軸，如下圖 2.1 所示： 圖 2.1、小六面體元素 要描述這個微小系統的應力分佈，則可定義應力張量的分量為(2.1.1) 式：

,

, ,

j ij i

F

i j

x y z

A











且

(2.1.1) 其中

F

表力且

A

表作用面之面積，而下標i表示作用的平面法向量方向，j表示作用力方向，由(2.1.1)式可知應力為一面力，即單位面積所受的力。從應力的定義，我們知道要表示應力需要兩個方向指標，所以在三維情況下，需要9個應力分量，如同(2.1.2)式： xx xy xz yx yy yz zx zy zz











 











(2.1.2) 其中



_xx這類型的應力，稱正應力(normal stress)，而



_xy這類型的應

(30)

力，則稱剪(切)應力(shear stress)。此外，由前文知應力為面力，因此，單位因次上，

    





力



長度



2。圖 2.2 表一微小六面體上，面所對應之應力，圖只表示其中三面；圖 2.3 表一平面，面上之應力。 圖 2.2、小六面體元素對應之應力 圖 2.3、平面對應之應力 再來，我們來探討應力與力的關係，當彈性體受外力作用，則力

(31)

傳達到物體各質元時，會產生形變，所以產生彈性回復勢，而彈性回復勢會衍生回復力，而這回復力即為應力。應力由前文可知為彈性體內部質元間的耦合內力，因為質元與質元間為交界面，所以，應力的定義為(2.1.3)式： 0

lim

A

F

dF

A

dA



 







(2.1.3) 顯然應力與內力向量和作用面法向量有關，因此，值得注意的是內力向量，可以分為垂直與平行作用面兩種情形。考慮一為小體積，並研究作用在它上面的合力，則可以表為(2.1.4) 式

f V



(2.1.4) 其中 f 為作用在單位體積的力。但若作用之物體為一連續體，則可以 表為(2.1.5)式

fdV



(2.1.5) 但力的傳遞為面，因此，利用二階張量的高斯公式將力的體積分式化為面力的封閉面積分，在此力向量以分量式表示，如(2.1.6)式： ik i ik k k

f dV

dV

dA

x



_









(2.1.6) 其中



_ik表示應力張力之分量，k 表作用面的法向量，i 表力的方向。從(2.1.6)式可以知道應力與力的關係，在後面的平衡微分方程會再提

(32)

及。接下來，我們來考慮一個情形，當一個物體處於力矩平衡時，畫下針對剪 (切)應力之受力體圖，如圖 2.4 圖 2.4、物體平面之應力與應力矩 則可發現



_xy





_yx，因此，

xz zx yz zy





所以，當討論的情形為平衡態時，只需要 6 個應力的分量，即為

,

xx yy zz xy yz xz

     

。 2.1.2 應變(Strain) 而由外力 F 所引起的形變，即為應變。在此，我們對應變下個直觀的定義((2.1.7)式)，

(33)

, ,

j ij i

l

i j

x y z

l









(2.1.7) 如同應力一樣，應變亦可分為兩種。



_xx這類型，稱正應變(normal strain)，圖 2.5 為其示意圖。

 

xx

x









伸長度 圖 2.5、正應變示意圖 而



_xy這類型，稱剪(切)應變(shear strain)，圖 2.6 為其示意圖。

tan( )

xy

y

x







  



 

(如果



很小，角度變化) 圖 2.6、剪應變示意圖 當探討的系統處在平衡態時，如同應力



_xy





_yx一樣，應變也存在

=

xy yx



，因此定義，

=

, =

1 



2

ii ii ij ij ji

e



e







。所以，也只需要 6

(34)

個應變的分量，即為

e

_xx

,

e

_yy

,

e e

_zz

,

_xy

,

e

_yz

,

e

_xz。以下，開始以數學推導對應變給出嚴謹的定義。設在三維歐氏空間中彈性體占有空間區域 V，它在外界因素影響下產生了變形，V 內的點

P( , , )

x y z

變成了點

P( , , )

x y z

，則其位置差異為位移向量

u u u u

( ,

_x _y

,

_z

)

，如(2.1.8)式，其中圖 2.7 為示意圖。

( , , )

( , , ), ( , , ), ( ,

,

)

x y z x y z

x

u x y z

y

u x y z

z

u x y z

r x y z

u u u u

 



  



  



(2.1.8) 圖 2.7、P 點位移示意圖 設發生應變前點

P( , , )

x y z

附近有點

D(

x



dx y

,



dy z

,



dz

)

，則發生應變後，按 Taylor 展開式，

D

所對應之

( , , )

u v w

如(2.1.9)式，其中忽略高階項：

(35)

(

,

)

( , , )

(

,

)

( , , )

(

,

)

( , , )

u

u x

dx y

dy z

dz

u x y z

dx

dy

dz

x

y

z

v

v x

dx y

dy z

dz

v x y z

dx

dy

dz

x

y

z

w

w x

dx y

dy z

dz

w x y z

dx

dy

dz

x

y

z



























(2.1.9) 以此為基礎，我們開始探討最常見的兩種形變的形式，長度改變與角度改變，下列的說明，均以二維為例。在二維空間彈性材料裡，點

P( , )

x y

附近有二點，點

A(

x



dx y

, )

和點

B( ,

x y



dy

)

，發生形變後，

P

、

A

和

B

變為

P

、

A

和

B

，如圖 2.8 所示 圖 2.8、P、A、B 三點位移示意圖 其中

P

、

A

和

B

所對應之數學，如(2.1.10)式

(36)

( , )

(

,

)

(

, )

,

( ,

)

,

P x y

P x

u y

v

u

v

A x

dx y

A x

dx

u

dx y

v

dx

x

u

v

B x y

dy

B x

u

dy y

dy

v

dy

y





_

_



_



_

_



_

_{ }







_

_



_



_

_

_





 



 



_

_











(2.1.10) 有了數學表示式後，我們來做正應變與剪應變的分析，首先我們針對

PA

線段的改變做分析，將線段變化依正應變定義帶入，得式(2.1.11)，其中只展開到第一項，忽略高階項 2 2

u

v

dx

x

PA

dx

PA





_



_





_



_





_





_









2 2

1 u

v

1 u

e

_xx

x













_



_



_

_

 













(2.1.11) 再來，我們針對

PA

和

PB

的夾角變化做分析，考慮角



APB

的變化，對圖 2.8 中



角和



角，有如下之關係式，其中以級數展開到第一項，忽略高階項：

tan

, tan

u

v

_dy

dx

v

y

u

x

u

_x

v

_y

dx

dy

x

y









_





_









經整理可以得式(2.1.12)

(37)





1

1 (

)

(tan

tan )

2

yx xy xy

u

v

e

y

x

 















_









_

















(2.1.12) 其中式(2.1.11)就是

e

_xx，其幾何意義為 X 方向上微線段的相對伸長比，

同理可推得，Y、Z 方向。直角



APB

變形後，成為角



APB

，二

者之差為

 



，其中

e

_xy表示角度改變的一半。為正值時，直角變成了銳角；為負值時，直角變成了鈍角。整理前述理論，當在討論的應力系統為穩定態時，則應變與位移函數有下列關係式，

1 ,

, , ;

2

j i ij j i

u

e

i j

x y z

x



_







_



_









(2.1.13)

;

xx xx xx

u

v

w

e

x

y

z







1

1 ;

;

2

xy yx yz zy

u

v

w

e

y

x

z

y















_



_



_



_











1 ;

2

zx xz

w

u

e

x

z









_



_







2.1.3虎克定律(Hook’s Law ) 在一維的彈簧裡，力與位移存在關係式，

F=-kx

，我們稱為虎克定律。如同一維的彈簧，應力與應變也有相似的關係，



_ij



C e

_{ijkl kl}，其中

i j k l

, , ,



1, 2,3( , , )

x y z

，稱為廣義虎克定律。關係式裡的

C

_ijkl稱為彈性系數。 彈性系數受材料特性影響，也受形變影響，由於本文理論均討論

(38)

微小變化，因此，本文的彈性系數不受形變影響，主要受材料特性影響。為使方便了解，將原始彈性系數張開為矩陣，如下 11 1111 1122 1133 1112 1123 1113 22 2211 2222 2233 2212 2223 2213 33 3311 3322 3333 3312 3323 3313 12 1211 1222 1233 1212 1223 1213 23 2311 2322 2333 2312 2323 2313 13 1311 1322 13

C









































11 22 33 12 23 33 1312 1323 1313 13

e

C

e



  



  



  



  



  



  



  



  



  

從前文知彈性系數本身存在4個方向指標，為使其簡化，以兩個為一組意即

ij kl

,

，我們令

11 

1, 22



2, 33



3 ,12



4, 23



5, 13



6

再將應力與應變的下標數字(1,2,3)還原回(x,y,z)，而經簡化之彈性系數張開為矩陣，如下 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz xz xz

C

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C

e





 

  



 

  



 

  



 

  





 

  



 

  



 

  



 

  



 

  

以下介紹，兩種常見系統之彈性系數。等向性彈性系統：為彈性力學理論常研究之裡想系統，其彈性係數只有兩個獨立之變數，在本文下一章計算實空間應變探討時，即採用此系統，雖然不

(39)

是真實系統，但基本上掌握了大部份的彈性力學物理。而等向性彈性系統的彈性矩陣如下： 11 12 12 12 11 12 12 12 11 44 44 44

0

xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz xz xz

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C











 









 









 









 











 









 









 









 









 

其中

11 12 44

2 C

C









 



,

 

稱Lame constant

等向性彈性系統裡，對任一點而言，在沿不同方向所看見之彈性關係皆一樣，因此，其彈性係數才能如此被簡化。立方對稱彈性系統：為最簡單的真實系統，與等向性彈性系統最大的差別，為三個彈性系數彼此沒關聯。此系統之彈性矩陣如下： 11 12 12 12 11 12 12 12 11 44 44 44

0

xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz xz xz

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C

e

C











 









 









 









 











 









 









 









 









 

(40)

在這個系統裡，對任一點而言，沿 x、y 和 z 軸所看見的彈性關係皆一樣，此外，對於相差 180 度的兩方向所看見的彈性關係也是一樣。由於對稱性非輻射狀對稱，也因此彈性係數比起等向性彈性系統多出 一個。 2.2 彈性力學的統御方程[15] 我們在探討一個物理系統，總會需要一個或一組統御方程，由於彈性力學所探討的系統，為一力學系統，所以，直覺告知我們，其方程應為力平衡方程。在本節，以最簡單的方法推導出該系統的力平衡方程，值得注意的是，本章節的推導只適合穩定態的彈性系統。在推導之前，我們需要先介紹，彈性位能密度和功密度這兩個名詞。如同一維彈簧的彈性位能1 2 2kx 一樣，在彈性力學系統裡有其對應，如同式(2.2.1)，其中

e r

( )

表彈性位能密度：











, ,

1

1 ( )

=

2

ijkl l k j i

2

ijkl kl ij

2

ij ij

e r



C

u u

C e e





e



力

位移

面積長度

, , , , , , , , ,

1

1 ( )

2

i j k l ijkl l k j i

2

i j k l ijkl kl ij

2

i j ij ij

e r

C

u u

C

e e



e















(2.2.1) 此外，從這裡開始，我們的數學表示式中的下標，開始採用愛因斯坦標記法（Einstein notation），即下標相同符號如出現兩次，即表對該指標求和。

(41)

介紹完彈性位能密度，我們接著介紹功密度。功密度的由來，因為我們所套討的系統，皆把系統切割一個個的小質元，因此，我們的外力描述改以力密度的概念，以方便計算。設如果有一力密度為

f

的外力，造成

u

位移，則外力對系統造成的能量改變，如式(2.2.2)，為功密度，其中下標 i，表方向指標：

( ) ( )

_i _i

f u



f r u r

(2.2.2) 有了以上的觀念後，我們開始推導力平衡方程。假設系統受到力密度為

f

_i的外力，且有面力

T

_i，在力邊界(即系統邊界)

S

_面上，其中系統體積為 V；假定在某個時間點上，有一虛位移



u

_i，則產生一個虛應變



e

_ij，根據能量守恆可得式(2.2.3)。圖 2.9 為其示意圖。













S ij ij i i i i V

 

dV



V



u f dV



_



u T dS



(2.2.3) 圖 2.9、系統外力與虛位移示意圖 經過一系列的推導，我們可以得到力平衡方程與邊界條件，其推導過

(42)

程如下：

















































, _, , , S S , S S ,

0

ij ij ij i j ij i _j ij j i V V V V ij j i ij j i V ij ij i i i i V V ij i j _V ij j i _V i i i i ij j i

dV

u

dV

u

dV

u dV

n u dS

u dV

dV

u f dV

u T dS

u n dS

u dV

u f dV

u T dS

f

u

   

 

 

 



 







































S

0

i i ij j i V

dV



_

T





n



u dS





其中

n

_j為封閉曲面向外法線向量，此外，因為



u

_i具備任意性，因此可以得下二式 ,

=0

ij j

f

i





_(2.2.4)

=0

i ij j

T





n

_(2.2.5) 其中，式(2.2.4)表力平衡方程，彈性力學稱為平衡微分方程，在彈性體 V 內皆成立，式(2.2.5)表邊界條件，在變界

S

_上成立。在本文的探討裡，因為，考慮量子點被埋藏在無窮大的母體內，因此，式(2.2.5) 暫不考慮。到此，統御方程式(2.2.4)推導完畢。 2.3 材料的組成與初始應變 本節我們將簡單的介紹所計算的系統，在我們所探討的系統裡，考慮鍵長較長的量子點材料砷化銦(InAs)，被包覆埋藏在鍵長較短的

(43)

材料砷化鎵(GaAs)母體內，為了形成這個系統裡，因此，我們將晶格常數小的材料的內部挖出一個空洞，此空洞的形狀即為量子點的形狀，然後假設有一外力，將晶格常數大的材料均勻壓縮再放到此空洞中，其中，壓縮晶格常數大的材料，是為了形成原子間的鍵結，到此，第一階段完成，接著，外力消失，則被包覆物開始發生膨脹，至於最後的膨脹結果，與被包覆物的幾何有關。但值得注意的是，當壓縮砷化銦的鍵長時，就形成應變，因為是在模擬前就開始存在了，所以，我們稱為初始應變。在此，我們定義初始應變的數學，如式(2.3.1)： GaAs InAs InAs

,

, ,

T ii

a

e

i

x y z

a





(2.3.1) 在我們的系統裡，初始應變約略為-7%。到此，我們的模型建立完成。

(44)

第三章應變數值解法

本章開始針對我們所遇到的問題提出可能的解法，本文主要以 Comsol(有限元素)套裝軟體，來計算量子點的應變，並搭配以格林函數求解，而在格林函數求解方法中，一般多直接採取平面波展開，本文嘗詴將實空間格林函數求出，與平面波法做比較，以了解為何多採取平面波法，但細部的推導詳見附錄 B、C。最後，將兩個方法做比較。 3.1 有限元素法概論[16-17] 雖然，我們是直接使用 Comsol(有限元素)套裝軟體，但仍有必要針對有限元素法的理論，做初步的了解。在本節裡，我們針對一個一維實例，來了解有限元素法的基本理論。當我們考慮一個一維桿的問題，問題如圖：圖 3.1、一維桿問題示意圖我們從統御方程出發，推導這個一維問題，推導如下：

(45)

2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = ( ) ˆ ( ) xx xx du u u e u dx L Ee E     表示位移為楊氏系數 , = 0 ( A ) i j j i i j k l j l k i xx f C u f EAe F        一維   _{表物體的截面積} 當我們只將系統只切割為一個元素，設節點為 1 與 2。則根據邊界條件，可以推得節點 1 與 2 的受力情況，推導如下。 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ₂ (A ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ 1 1 ku=f( ) k 1 1 k 1 1 xx EAe F u u EA F L u u f EA F L u u f EA F L u f EA u L _f EA L                      _{  }   _       _{ }     _ _    表物體的截面積元素的統御方程表為元素方程式稱為剛度矩陣此時，帶入邊界條件即可算得真實的位移與應變。而當我們將系統切割為兩個元素，如圖圖 3.2、一維桿問題(切割為兩個元素)示意圖

(46)

所以，可以個別求出元素 1 與元素 2 的元素方程，將其加總即為整個系統的元素方程，推導如下： 1 1 1 2 2 2 3 3 ₃ 1 1 1 2 2 2 3 ₃ ₃ ˆ ˆ ˆ 1 1 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ 1 1 0 0 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 0 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 , 2 ˆ ˆ ˆ 0 1 1 f u u EA EA u u f L L u u _f f f u EA u f f L u _f _f            _{ }     _  _  _  _{  }         _{ }              _{   }_{ }         _{ } _      _   __{ }            _{    }_{ } _ 0 F F      _       _ _   當我們切割為愈多元素則剛度矩陣越大，其準確度亦愈好，而當我們知道邊界條件，則解就可以求出。 3.2 COMSOL 軟體說明 本節將說明如何將我們的假設應用到 COMSOL 軟體上。首先，我們將整個過程分成兩個階段，第一個階段為量子點晶格長度被壓縮到與包覆層晶格長度相同，而第二階段為量子點開始發生膨脹之後。在 COMSOL 軟體裡，我們選取結構力學模組，而中間的模型建立，在此不多加墬述，只就計算最重要的虎克定律做說明。因此，考慮所使用的材料，在第一階段裡，廣義虎克定律如下： I 11 12 12 I I 12 11 12 I I 12 12 11 I I 44 I 44 I 44

自組式量子點應變之理論研究

國立交通大學

電子物理學系

碩 士 論 文