考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

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國立交通大學

電子工程學系電子研究所碩士班

碩士論文

考慮多層繞線與障礙物迴避之

直角史坦那樹建構法

Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

研究生：林聖偉

指導教授：江蕙如博士

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考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

研究生：

：

：林聖偉

：

Student: Shung-Wei Lin

指導教授：

：

：江蕙如博士

：

Advisor: Dr. Iris Hui-Ru Jiang

國立交通大學

電子工程學系電子研究所碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Electronics Engineering & Institute of Electronics College of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electronics Engineering December 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

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i

考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

學生：林聖偉

指導教授：江蕙如博士

國立交通大學

電子工程學系

電子研究所碩士班

摘要

已知散佈在各繞線層上的接點(pin)和障礙物(obstacle)的座標，我們的目的是找出一棵迴避障礙物之直角史坦那樹去連接所有的接點，而可以利用額外的點(即史坦那點)及 via，但是禁止穿越過障礙物，使得繞線總長與 via 的總合花費最少。符合這些條件的樹，即所謂考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹。本篇論文定義了一個典型流程，根據此流程我們提出了以 construction-by-correction為概念的演算法：第一步驟建立 Delaunay triangulation 圖，連接所有的接點；第二步驟對所建立的 Delaunay triangulation 圖進行障礙物加權的最小生成樹的建構；接著第三步驟將樹直角化且利用三維 U 型線段修正總線長。

本篇論文的特點在於：1.第一步驟不作完整圖，因為其時間複雜度為 O(n2

)。本 篇論文利用 Delaunay triangulation 當作一開始的連接圖，其時間複雜度為 O(nlgn)。 此外，我們只對所有接點作圖，並加入額外的 edge 在 DT 中，使得結果更好。2.第三步驟提出了新的 U 型線段修正方法並擴展到層與層之間的立體 U 型線段修正。特別的是，我們是對所有可能的立體 U 型線段作完整的分類，此處可以得到最佳解。我們在多層繞線的實驗結果，當單顆 via 以 5 單位線長計算時，平均總線長比前人少了 1.99%。且在單層繞線的實驗結果平均也和目前最好的結果不相上下。

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Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

Student: Shung-Wei Lin

Advisor: Dr. Iris Hui-Ru Jiang

Department of Electronics Engineering

Institute of Electronics

National Chiao Tung University

Abstract

Given a set of pins and a set of obstacles on multiple routing layers, a multi-layer obstacle-avoiding rectilinear Steiner minimal tree (ML-OARSMT) is a tree of minimal total wirelength that connects these pins, possibly through some extra points (called Steiner points) and/or vias, and bypasses all obstacles.

In this thesis, we define a typical flow and propose a construction-by-correction based algorithm. First of all, an initial connection graph is constructed over all pins based on Delaunay triangulation. Secondly, an obstacle-weighted minimum spanning tree is grown up over the initial connection graph. Finally the tree edges are rectilinearized and the total wirelength is further reduced by three-dimensional U-shape refinement.

Our algorithm has two features. One is that we perform Delaunay triangulation instead of using a complete graph in the first step. In addition, we only consider pins into Delaunay triangulation thus completing it in only O(nlgn) time; we add some extra edges into Delaunay triangulation that possibly contribute to a better minimum spanning tree. The other is that we present optimal three-dimensional U-shape refinement to further reduce the total wirelength. Experimental results show that as one via costs five-unit wirelength, our results in ML-OARSMT outperforms previous work by 1.99%. On the other hand, our results in SL-OARSMT are as good as the best results in literature so far.

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Acknowledgements

I would like to express my heartfelt gratitude to my advisor, Prof. Iris Hui-Ru Jiang, for her guidance and spur throughout my graduate course. I really learnt a lot of abilities about research attitudes and presentation from her careful guidance. Meanwhile, I deeply appreciate my lab members at NCTU and my classmates from NCU. For their kindly help, I could break through my research bottlenecks and share my interesting life. Finally, I display my warmest appreciation to my parents for their love and support.

Shung-Wei Lin

National Chiao Tung University

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List of Tables

Table 1-1: Comparison between recent researches on OARSMT. ... 3 Table 4-1: The comparison on total wirelength without illegal edges, where “-”means that the result is not available. ... 31 Table 4-2: The comparison on total wirelength with illegal edges, where “-”means that the result is not available. ... 31 Table 4-3: The impact of refinement in SL-OARSMT without illegal edges. ... 32 Table 4-4: The impact of refinement in SL-OARSMT with illegal edges. ... 32 Table 4-5: The comparison on total cost when Cv=5 without illegal edges. “WL” is the

wirelength on all layers; “#via” is the number of vias between layers; “Total Cost” is “WL+

Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost (15 Ours/15),

respectively. ... 34 Table 4-6: The comparison on total cost when Cv=5 with illegal edges. “WL” is the

wirelength on all layers; “#via” is the number of vias between layers; “Total Cost” is “WL+ Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost (15 Ours/15), respectively. ... 34 Table 4-7: The comparison on total cost when Cv=3 without illegal edges. “WL” is the

Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost ([15 Ours/15),

respectively. ... 35 Table 4-8: The comparison on total cost when Cv=3 with illegal edges. “WL” is the

Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost (15 Ours/15),

respectively. ... 35 Table 4-9: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=5 without illegal edges.

... 36 Table 4-10: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=5 with illegal edges. 36

Table 4-11: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=3 without illegal edges.

... 37 Table 4-12: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=3 with illegal edges. 37

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List of Figures

Figure 1.1: Typical flow of OARSMT. ... 2

Figure 1.2: (a) Maze routing. (b) The first variant of line search. (c) The second variant of line search. ... 4

Figure 1.3: (a) A track graph. (b) The redundant edges are removed. (c) The SL-OARSMT. ... 4

Figure 1.4: (a)-(c) Three cases of edges overlapping an obstacle. (d) An example of case (a). (e) The edge is routed along the obstacle. (f) The wirelength is further reduced. ... 5

Figure 1.5: (a) Delaunay triangulation. (b) The edges overlapping obstacles are removed. (c) An obstacle-avoiding minimum spanning tree. (d) The SL-OARSMT. ... 6

Figure 1.6: (a) An obstacle-weighted minimum spanning tree. (b) The SL-OARSMT. .... 7

Figure 1.7: (a) The plane is divided into four regions with respect to a vertex. (b) An obstacle-avoiding spanning graph. (c) The minimum spanning tree. (d) A SL-OARSMT.8 Figure 1.8: (a) An obstacle-weighted minimum spanning tree. (b) The edges overlapping the obstacles are removed. (c) The sub-trees are merged based on ant colony optimization. (d) The SL-OARSMT. ... 9

Figure 2.1: (a) Obstacles cannot overlap each other. (b) Obstacles can be point-touched at corners or line-touched at boundaries. ... 11

Figure 2.2: (a) A pin cannot locate inside any obstacle. (b) It can be at some corner or on some boundary of any obstacle. ... 11

Figure 2.3: (a) A via cannot locate inside any obstacle. (b) It can be at some corner or on some boundary of any obstacle. ... 12

Figure 2.4: (a) An edge cannot intersect any obstacle. (b) It can be point-touched at some corner or line-touched on some boundary of any obstacle. ... 12

Figure 2.5: Delaunay triangulation. ... 14

Figure 2.6: (a) A pin is inside a triangle. (b) A pin is onto an edge. ... 14

Figure 2.7: An illegal edge example. ... 14

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Figure 2.9: (a) An example of non-uniform routing grid. (b) The corresponding escape

graph. ... 16

Figure 3.1: Our flow of ML-OARSMT. ... 17

Figure 3.2: (a) An obstacle horizontally blocks an edge. (b) An obstacle vertically blocks an edge. ... 19

Figure 3.3: (a) Routing path passes the obstacle through upper L-shape segment, and (b) Routing path passes the obstacle through lower L-shape segment, and (c) Routing path passes the obstacles between obstacles. ... 20

Figure 3.4: The edge weight computation on single layer. ... 20

Figure 3.5: (a) (b) (c) The weights of L-shape segments dominated by Obstacle O1, O2, O3, respectively. ... 21

Figure 3.6: An example of non-uniform routing grid. ... 21

Figure 3.7: The forbidden directions of grid points at one layer. ... 22

Figure 3.8: The forbidden directions of grid points at adjacent layers. ... 22

Figure 3.9: (a) The routed Steiner tree includes ta and tb, considered as destination. tc is considered as source in Dijkstra’s algorithm. (b) tc is connected to the routed Steiner tree through a newly created Steiner point S. ... 23

Figure 3.10: (a) A sample skewed U-shape segment. (b) The optimal solution after refinement. (c) A sample standard U-shape segment. (d) The optimal solution after refinement. ... 24

Figure 3.11: (a) A routed segment and a pin to be connect it. (b) A skewed U-shape segment. (c) Old segment is removed and rerouted. (d) The optimal solution. ... 25

Figure 3.12: (a) Case I of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case I. ... 26

Figure 3.13: (a) Case II of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case II. ... 26

Figure 3.14: (a) Case III of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case III. ... 27 Figure 3.15: (a) (ta, tb) is routed, and tc is to be connected. (b) (ta, tb, tc) forms a standard

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middle point tb to S is found. (e) The new segment is blocked by an obstacle, and old

segments are removed. (f) After rerouting them, the optimal solution is found. ... 28 Figure 4.1: The final routing result of Rc9. ... 33

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Chapter 1 Introduction

在這一章中，首先會介紹何謂考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹

(Multi-Layer Obstacle-Avoiding Rectilinear Steiner Minimal Tree, ML-OARSMT)，接著介紹目前國內外針對多層繞線的 ML-OARSMT 及只考慮單層繞線(single layer)的 SL-OARSMT 問題的研究，最後是我們的方法新穎之處及其效能。

1.1 Obstacle-Avoiding Rectilinear Steiner Minimal Trees

已知散佈在各繞線層上的接點(pin)和障礙物(obstacle)的座標，我們的目的是找出一棵迴避障礙物之直角史坦那樹去連接所有的接點，而可以利用額外的點 (即史坦那點)及 via，但是禁止穿越過障礙物，使得繞線總長與 via 的總合花費最少。符合這些條件的樹，即所謂 ML-OARSMT。隨著製程的進步，繞線層數也越來越多，目前已到了九層的複雜度[1]。在現今系統晶片(SOC)設計中，常常存在了不少的障礙物，例如矽智財區塊(IP blocks)、電源供應網路(power networks)、與為了改善製程所加入的 feature pattern 或是已經被繞過的線段。因此，解決 ML-OARSMT 的問題是當務之急。然而單單只有 RSMT 的問題，就已經被證明為 NP-complete [2]，如果再加入多繞線層與障礙物的因素，無疑地更增加了問題的複雜度。

1.2 Previous Works

目前大部分的研究都注重在 SL-OARSMT 的問題上，然而也逐漸開始有一些針對 ML-OARSMT 問題的研究，基本上都是延伸 SL-OARSMT 的方法，而應用在 ML-OARSMT 上。用來解決 OARSMT 的方法大致可以分成以下五種的類型： (1) maze routing based approach 、 (2) non-deterministic approach 、 (3) construction-by-correction approach、(4) connection graph based approach、(5) hybrid approach。

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Step1: Initial connection graph construction

Step2: Tree connection

Step3: Rectilinearization and refinement

Pins Obtacles

OARSMT Typical flow

Figure 1.1: Typical flow of OARSMT.

若以步驟區分可以利用 Figure 1.1 所示的典型流程(typical flow)來完成。典型流程分成三個步驟：(1)建立 initial connection graph：將所有的接點連接起來，而形成一個初始圖。目前會用到的 initial connection graph 有完全圖(complete graph)， Delaunay triangulation (DT)，和 spanning graph 三類。(2)執行 tree connection：利用 initial connection graph，計算初始圖上邊(edge)的權重，可以建立對所有接點的最小生成樹 (Minimum Spanning Tree, MST) 。 (3) 直角化以及修正 (rectilinearization and refinement)：基於 MST，我們可以將所有斜的 edge 轉換成直角轉彎的線段與一些史坦那點及 via 的組合，且可以進一步的縮短線長，一般都是利用 U 型線段修正。綜合以上兩種劃分方式，整理了部分的相關研究如 Table 1-1。其中第一欄是方法的分類；第二欄表示考慮多層繞線(M)與否(S)；第三欄表示，第一步驟所建的初始圖種類及是否把障礙物的四個角落加入初始圖(Y/N)；第四和第五欄分別表示第二和第三步驟所用的方法。

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1.2.1 Maze Routing Based Approach

Figure 1.2: (a) Maze routing. (b) The first variant of line search. (c) The second variant of line search.

使用 maze routing 的方法來繞線一開始是由[10]所提出，目的在於找出可能兩接點連線(two-pin net)中，最短線長的結果。maze routing 的方法藉 由 wave propagation 的方式來從起點(source) s 計算到終點(destination) t， 如 Figure 1.2(a)。所以這種演算法在時間複雜度與記憶體的使用量都相當的驚人，一般來說，都不會使用這類的演算法來繞線。而改進 maze routing 而來的 line search 演算法使用 escape points 來使得繞線更有效率，如 Figure 1.2(b)和 Figure 1.2(c) [11][12]。但是延伸到多接點繞線上，依然沒辦法得到好的結果，因為畢竟是針對分段的 two-pin net 的各別繞線，所以始終沒有辦法得到整體更佳的結果。綜合以上的缺點來說，maze routing based 的演算法，並不常在現今的設計流程中使用。

1.2.2 Non-Deterministic Approach

Figure 1.3: (a) A track graph. (b) The redundant edges are removed. (c) The SL-OARSMT.

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Hu 等人在[8]提出了以螞蟻雄兵演算法(ant colony optimization)為基礎的一種 non-deterministic 局部搜尋法，可以彈性地用來處理較複雜的凸型(convex)或是凹型(concave)障礙物。這類的演算法首先建立了 track graph，如 Figure 1.3(a)。然後把一些不會用到的 edge 移除掉，如 Figure 1.3(b)。最後在每個接點上面放上一隻螞蟻，螞蟻會根據一些規則來決定下一個會走到的接點而形成 SL-OARSMT，結果如 Figure 1.3(c)。然而 non-deterministic 的方法比較適合處理接點與障礙物較少的問題，在處理大型輸入時會相當費時，所以不太適用於現今的設計流程。

1.2.3 Construction-by-Correction Approach

Construction-by-correction approach 的演算法是先建立一棵只連接所有接點的 MST 或是史坦那樹。然後再把所有會穿越障礙物的 edge，重新沿著障礙物的邊緣繞線。這類的演算法在業界非常常用，主要是因為方法很簡單且有效率。但是由於第一步驟所長出的最小生成樹或史坦那樹並沒有考慮到障礙物的問題，所以第二步驟對於穿越障礙物的邊，也只能局部的重繞，效能因此受到了影響。在 [3]中指出，使用這類的方法來建構的 SL-OARSMT，實驗結果通常都會有所侷限。

Figure 1.4: (a)-(c) Three cases of edges overlapping an obstacle. (d) An example of case (a). (e) The edge is routed along the obstacle. (f) The wirelength is further reduced.

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Yang 等人在[14]中提出了一種演算法來移除穿越障礙物的 edge。首先把穿越障礙物的 edge 分成三種，如 Figure 1.4(a)-(c)。接著將穿越障礙物的邊移除，且沿著障礙物的周圍重繞，如 Figure 1.4(d)是 case (a)的例子，Figure 1.4(e)-(f)是重繞的結果。

Figure 1.5: (a) Delaunay triangulation. (b) The edges overlapping obstacles are removed. (c) An obstacle-avoiding minimum spanning tree. (d) The SL-OARSMT.

Feng 等人在[6]中提出了利用 Delaunay triangulation (DT)演算法來實現多角幾何 (λ–Geometry)的 SL-OARSMT。對照典型流程：第一步驟根據所有接點和障礙物的四個角落，建立 DT，如 Figure 1.5(a)，且移除所有和障礙物重疊的 edge，如 Figure 1.5(b)。第二步驟長出 MST 和移除不是接點的 leaves，如 Figure 1.5(c)。第三步驟將 MST 轉換為相對應的多角幾何的 SL-OARSMT，如 Figure 1.5(d)。[6]的特點在於將障礙物的四個角加入 DT 的建造。

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Figure 1.6: (a) An obstacle-weighted minimum spanning tree. (b) The SL-OARSMT.

Tsai 等人在[13]中，把障礙物的因素加到在兩點間 edge 的權重上，建立了障礙物加權(obstacle-weighted)之 MST，如 Figure 1.6(a)。最後針對樹中的每一條 two-pin net，根據 escape graph 來使用 Dijkstra 演算法，同時也會檢查已建好的史坦那樹是否有 U 型多餘線段產生，結果如 Figure 1.6(b)。

1.2.4 Connection Graph Based Approach

利用關連圖(connection graph)來完成 SL-OARSMT。首先會建立由接點和障礙物的四個邊界所連接起來的 connection graph，而可以保證至少會有一個 SL-OARSMT 的 solution 存在 connection graph 裡面。這類的方法跟 construction-by-correction approach 比較起來，可以整體性地考量接點和障礙物的相對關係。現有文獻中，這種演算法可以得到目前最好的結果。

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Figure 1.7: (a) The plane is divided into four regions with respect to a vertex. (b) An obstacle-avoiding spanning graph. (c) The minimum spanning tree. (d) A SL-OARSMT.

在[3]中，Shen 等人將每個端點(包含所有接點及障礙物的四個角落)對平面切

成四個區域，如 Figure 1.7(a)。每個接點在四個區域中各找出最近的端點，而連接形成一條 edge。藉由這個方法，使得所有的接點和障礙物的四個角落，連接形成 spanning graph，如 Figure 1.7(b)。再轉化成 MST，如 Figure 1.7(c)。Lin 等人在[4]提出，在連接 spanning graph 時，加入更多的 essential edges，可以得到更完整的 spanning graph，進而得到更好的 SL-OARSMT，如 Figure 1.7(d)。

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Figure 1.8: (a) An obstacle-weighted minimum spanning tree. (b) The edges overlapping the obstacles are removed. (c) The sub-trees are merged based on ant colony optimization. (d) The SL-OARSMT.

Wu 等人在[5]提出了與其他四種不太一樣的演算法。第一步驟對所有的接點找出障礙物加權之 MST，如 Figure 1.8(a)。在這邊所使用的邊權重(edge weight) 並沒有[13]精準，只粗略估計上下兩個 L-型線段在最差情況下，要繞過所有的障礙物，加總起來的最長寬度。第二步驟移除所有跟障礙物重疊的 edge，而拆成多棵子樹(sub-trees)，如 Figure 1.8(b)。第三步驟利用螞蟻雄兵演算法將子樹連接

起來，如 Figure 1.8(c)。然而這邊的螞蟻雄兵演算法跟[8]_不同之處在於，[8]是在

track graph 上實現，但是[5]是在局部的 spanning graph 上實現以大幅減少執行的

時間。最後是將重新連好的 tree，轉換成 SL-OARSMT，如 Figure 1.8(d)。

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本篇論文提出了以 construction-by-correction 為概念的演算法，可應用於解決 SL-OARSMT 和 ML-OARSMT 的問題。根據本篇論文所定義的典型流程 (typical flow)：第一步驟對於所有接點建立 Delaunay triangulation 圖；第二步驟對所建立的 DT 圖進行障礙物加權之 MST 的建構；接著第三步驟將樹直角化且利用三維 U 型線段修正總線長。

本篇論文的特點在於：

1. 第一步驟不作完整圖(complete graph)，因為 complete graph 的時間複雜

度是 O(n2)，本篇論文利用 Delaunay triangulation，當作初始的連接圖，

其時間複雜度是 O(nlgn)。此外，此步驟中，我們只對所有接點作圖， 並加入額外的 edge 在 DT 中，使得結果更好。 2. 第三步驟提出了新的 U 型線段修正方法並擴展到層與層之間的立體 U 型線段修正。特別的是，我們是對所有可能的立體 U 型線段作完整的分類，此處可以得到最佳解。我們在 ML-OARSMT 的實驗結果顯示，當單顆 via 以 5 單位線長計算時，平均總線長比[15]少了 1.99%。且在 SL-OARSMT 的問題上，實驗結果平均也和目前最好的結果不相上下。

1.4 Thesis Organization

本篇論文在第二章將描述問題的定義和預備知識；第三章詳述本篇論文的演算法；第四章為本篇論文的實驗數據以及分析；第五章是結論以及未來研究的方向。

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Chapter 2 Problem Formulation and

Preliminaries

在本章首先會介紹本篇論文所研究的問題定義，以及將會使用到的相關研究知識。

2.1 Problem Formulation

首先定義幾個會用到的名詞與參數。障礙物(obstacle)：障礙物皆是以矩形的形式出現，且一個障礙物只會出現在同一繞線層。兩兩障礙物不能互相重疊，只能互相接觸到，如 Figure 2.1。

Figure 2.1: (a) Obstacles cannot overlap each other. (b) Obstacles can be point-touched at corners or line-touched at boundaries.

接點(pin)：一個接點只會出現在同一繞線層，且不能出現在障礙物的裡面，但可以在障礙物的邊界上，如 Figure 2.2。

Figure 2.2: (a) A pin cannot locate inside any obstacle. (b) It can be at some corner or on some boundary of any obstacle.

(23)

via：一個 via 其座標為(x, y, z)，存在繞線層 z 和繞線層 z+1 間，且(x, y, z)和

(x, y, z+1)皆不能存在障礙物的內部，不過可以在障礙物的邊界，如 Figure 2.3。

Figure 2.3: (a) A via cannot locate inside any obstacle. (b) It can be at some corner or on some boundary of any obstacle.

邊(edge)：每一條 edge 不能穿越過障礙物，只能沿著障礙物的邊界繞線，如 Figure 2.4。

Figure 2.4: (a) An edge cannot intersect any obstacle. (b) It can be point-touched at some corner or line-touched on some boundary of any obstacle.

Cv：via 的 cost；一顆 via 對等於多少單位的線長。

Nl：提供的繞線層數。

P：所有 m 個接點座標的集合 P = {p1, p2, …, pm}。

O：所有 k 個障礙物座標的集合 O = {o1, o2, …, ok}。

(24)

本篇論文所要解決的問題有兩類： 1. 單層繞線下障礙物迴避之直角史坦那樹問題(SL-OARSMT)。 2. 考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹問題(ML-OARSMT)。問題一：單層繞線下障礙物迴避之直角史坦那樹問題(SL-OARSMT)： 已知要連接的接點集合 P，障礙物集合 O，同在單一繞線層。目的為找出一 棵迴避障礙物之直角史坦那樹去連接所有的接點，而可以利用額外的點(即史坦那點)，但是禁止穿越過障礙物，使得繞線總長最少。符合這些條件的樹，即所謂 SL-OARSMT。問題二：考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹問題(ML-OARSMT)： 已知要連接的接點集合 P，障礙物集合 O，分佈在 Nl個繞線層。目的為找出一棵迴避障礙物之直角史坦那樹去連接所有的接點，而可以利用額外的點(即史坦那點)及 via，但是禁止穿越過障礙物，使得繞線總長與 via 的總合花費最少。符合這些條件的樹，即所謂 ML-OARSMT。

2.2 Preliminaries

本篇論文將會簡單介紹所會用到的演算法，以及相關的知識：Delaunay triangulation [7]、Kruskal 最小生成樹演算法[9]、Dijkstra 最短路徑演算法[9]、非均勻間隔之繞線格(non-uniform routing grid)及 escape graph [13]。

(25)

Figure 2.5: Delaunay triangulation. Delaunay triangulation (DT) [7]是對接點集合 P 作每三個點三角化的演算法， 且點不會存在任一三角形裡面，而每個三角形都不會互相重疊，如 Figure 2.5。在 DT 上每一個三角形的最小的角度都是越大越好，使得三角形的三個頂點中間的連接線，能夠越短。本篇論文所用到的 DT 演算法是[7]所實現的，其時間複雜 度為 O(nlgn)。以下將簡述 DT 演算法。 (a) (b) P P

Figure 2.6: (a) A pin is inside a triangle. (b) A pin is onto an edge.

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Figure 2.8: (a) An illegal edge. (b) It is transformed into a legal edge.

首先建立一個無窮大的三角形，使得所有的接點都位於三角形的內部。接著 一次將一個接點 p 放入平面中，找出 p 是位於哪個三角形內(如 Figure 2.6(a))， 或是哪一條 edge 的上面(如 Figure 2.6(b))。如果 p 位某個於三角形裡面，就連接

p 到三角形的三個頂點，形成三個三角形。檢查原本三角形的三個邊是否為illegal edge，如果是，就將原本的 edge 進行 flip 的動作，如 Figure 2.8。illegal edge 的定義為包含 edge 的三角形的三個點形成一圓，如果圓內包含了其他頂點，即此 edge 為 illegal edge，如 Figure 2.7。如果 p 位於一條 edge 的上面，就連接 p 和其 餘不在同一條線的頂點，如 Figure 2.6(b)。同時會檢查外圍的四個 edge 是否為 illegal edge，是就 flip。當所有的接點都放入平面中，然後移除無窮大三角形以及跟無窮大三角形的頂點有連接的 edge，即完成了最終的 DT。

2.2.2 Kruskal’s Algorithm

用 Kruskal 演算法建立 MST [9]，是先將所有的 edge 移除並根據權重由小到大排序。由所有的點形成的 forest 開始，每個點都代表一棵子樹(sub-tree)。接著每次都選取連接二棵 sub-tree 而且權重最小的 edge 加入 forest 中，逐漸將 sub-tree 合併，最後只剩下一棵樹，即完成一棵 MST。

2.2.3 Dijkstra’s Algorithm

Dijkstra 最短路徑演算法[9]，是用來找出單一起點的最短路徑(single source shortest path)。已知的圖 G 中，可以找出從起點(source) s 到圖 G 中任一終點 (destination)的最短路徑。

(27)

用 d 值估算，任一點與起點 s 之間的最小路徑長度。先將起點 s 的 d 值設為 0 (即 d[s]=0)，同時把其他點 v 的 d 值設為無窮大(d[v]=∞)，且將所有點放入 priority queue。從 s 向外擴展至與 s 相鄰的點 v，同時將點 v 的 d 值改為 s 與 v 之間的 edge 權重 w(s, v) (d[v]=d[s]+w(s, v)= w(s, v))。接著將依序從 priority queue 中移除 d 值 最小的點 v’，向與點 v’相鄰的點 v’’作擴展，如果 d[v’’]大於 d[v’] + w(v’, v’’)，則 將 d[v’’]的值更新為 d[v’] + w(v’, v’’)，且將 d[v’’]的值放回 priority queue。直到 priority queue 空了為止，此時每個點的 d 值即為其與起點之間的最小路徑長度。

2.2.4 Non-Uniform Routing Grid and Escape Graph

Figure 2.9: (a) An example of non-uniform routing grid. (b) The corresponding escape graph.

非均勻間隔之繞線格(non-uniform routing grid)是由所有的接點和障礙物的邊界，作水平及垂直方向的延伸線所組成，直到延伸到問題的邊界，如 Figure 2.9(a)。消除在非均勻間隔之繞線格中不必要的線段，即會形成 escape graph，如 Figure 2.9(b)。方法為對每一個接點和障礙物的四個角進行四個方向的擴展，如果遇到障礙物或邊界就停止形成線段。可以發現因為障礙物的阻擋 Figure 2.9(b) 比 Figure 2.9(a)少了四條線段。但由於 escape graph 的建構比非均勻間隔之繞線格複雜，並且由前人的實驗結果來看並無明顯的效果，所以本論文以非均勻間隔

之繞線格來完成 SL-OARSMT 及 ML-OARSMT 的架構。並且[16]指出，如果存

在一個障礙物迴避之直角史坦那樹最佳解的話，那麼最佳解一定會位於 escape graph 上，且 Steiner point 會位於 escape graph 中線段的交接點上。因此利用 escape graph 為基礎，在上面繞線，預期可以的得到最佳解。

(28)

Chapter 3 Our Algorithm

本章將介紹我們所提出的考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹 (ML-OARSMT)演算法以及複雜度分析。Figure 3.1 是我們提出的流程，概述如下：

Figure 3.1: Our flow of ML-OARSMT.

(1) 建立 initial connection graph：將所有接點的位置投影到一個 pseudo plane，在此平面上，建立一個不含障礙物的 Delaunay triangulation 圖。

(2) 執行 tree connection：在 DT 中每一條 edge 權重的計算，我們將分兩種

情況去考慮。如果一條 edge 的兩個接點原本分屬於不同層的話，我們暫不考慮障礙物的影響，而直接用曼哈頓距離(Manhattan distance)來當作 edge 的權重；否則，我們會將障礙物的影響加上曼哈頓距離當作 edge 的權重。在每一條 edge 的權重都計算完畢之後，接著利用 Kruskal 演算法，來建立障礙物加權 (obstacle-weighted)之 MST。

(29)

(3) Rectilinearization and refinement：首先，建立根據接點和障礙物四個角落的座標，建立非均勻間隔之繞線格。接著利用 Dijkstra 最小路徑演算法在非均勻間隔之繞線格上面完成直角化繞線，並且利用我們所提的新的立體 U 型線段移除(removal)的方法，將線長縮短。特別的是，我們是對所有可能的立體 U 型線段作完整的分類，此處可以得到最佳解。這三步驟結束即完成考慮多層繞線與障礙物迴避之史坦那樹 (ML-OARSMT)。

3.1 Initial Connection Graph Construction

在第一步驟，我們只利用所有接點的座標(x, y, z)來建立 initial connection graph，其中 z 座標是所在的繞線層。

先將所有的接點投影到一個 pseudo plane，進行 Delaunay triangulation 的計算[7]。Delaunay triangulation 演算法是一次丟進一個接點到一個平面當中，所以會遇到三種情況

(1) 位於在某一個三角形裡：將會把這一個三角形分割成三個小三角形，如

Figure 2.6(a)，同時會對原來的三角形的三個邊檢查是否為 illegal edge。如果是的話，就翻轉這個 illegal edge，如 Figure 2.8；如果不是的話就不動作。

(2) 位於某個三角形的邊上：將所在的邊分成兩部分，而從原來的兩個三角

形形成四個三角形，Figure 2.6(b)。同時會檢查外圍的四個 edge 是否為 illegal edge，是就 flip。

(3) 位於某個接點上：即一接點位於某一接點的正上方或是正下方。在此我

們新增了一條 edge，連接了這兩個接點，而不破壞原本 DT 的架構。

當所有的接點都放入平面中，即完成了最終的 DT。此外，我們保留 illegal edge 在 DT 中，使得後續 MST 的建造可以更好。

(30)

經由 initial connection graph 的建造，我們得到了一個 DT 圖，圖中將所有的接點都利用 DT edge 連接起來。接著在這一步驟的剛開始，我們計算所有在 DT 上的 edge 權重。根據 edge 所連接的兩接點的位置，我們有不同的計算方式。若 edge 兩接點在同一繞線層時，我們利用了[13]中的方法，得到障礙物加權的 edge 權重。當 edge 兩接點在不同繞線層時，在此我們只用曼哈頓距離來估計 edge 的權重，實驗結果顯示，我們的方法仍能得到很好的表現。以下將介紹 edge 兩接點在同一平面的權重計算。

Figure 3.2: (a) An obstacle horizontally blocks an edge. (b) An obstacle vertically blocks an edge. [13]定義若一連接 ta和 tb兩點的 edge 穿越障礙物 O 的話，則會是以下兩種 情況之一：(1) 如圖 Figure 3.2(a)，障礙物東北角的 y 座標比 ta和 tb的 y 座標大， 且障礙物西南角的 y 座標比 ta和 tb的 y 座標小，且障礙物東西邊界的 x 座標都在 ta和 tb的 x 座標之間。(2) 如圖 Figure 3.2(b)，障礙物東北角的 x 座標比 ta和 tb 的 x 座標大，且障礙物西南角的 x 座標比 ta和 tb的 x 座標小，且障礙物南北邊界 的 y 座標都在 ta和 tb的 y 座標之間。 這樣的定義可以確保障礙物一定會阻擋到 ta和 tb間的最小距離，也就是說 ta 和 tb之間的南北兩個 L 型線段都會被此障礙物所檔到。Figure 3.3 中的三個例子，依此定義，皆不會被障礙物擋住，此時 edge 的權重為兩點間的曼哈頓距離 (Manhattan distance)。Figure 3.3(a)雖然南方 L 型線段被擋住，但是北方 L 型線段可以通過；Figure 3.3(b)雖北方 L 型線段被擋住，但是南方 L 型線段可以通過；

Figure 3.3(c)雖然南北 L 型線段都被擋住，但還是可以經由中間通過，達到 ta和

(31)

Figure 3.3: (a) Routing path passes the obstacle through upper L-shape segment, and (b) Routing path passes the obstacle through lower L-shape segment, and (c) Routing path passes the obstacles between obstacles.

經由以上的定義，我們將障礙物的權重加入在 DT 中每一條同一平面上會被阻擋的 edge，如 Figure 3.4。當一條 edge 無法經由南北方 L 型線段避開障礙物，

就需沿著障礙物的邊緣而達成繞線，若從障礙物的北方所需要的距離為 Dnorth而

從南方繞過的距離為 Dsouth，即取這兩個距離中較小的值當作 edge 上的權重。

Figure 3.4: The edge weight computation on single layer.

當兩點間被多個障礙物所擋住的同時，先分別計算出每個障礙物的 Dnorth和

Dsouth，且取其小值。接著從這些值中，選出最大的值當作是 edge 的權重。Figure

3.5 中，ta和 tb的連線被三個不同大小的障礙物所擋住。Figure 3.5(a)中對 O1取出

較小的 Dnorth，Figure 3.5(b)中對 O2取出較小的 Dsouth，Figure 3.5(c)中對 O3取出

較小的 Dsouth。最後再比較這三個值的大小，得到最大的為 Figure 3.5(c)中的 Dnorth。

(32)

Figure 3.5: (a) (b) (c) The weights of L-shape segments dominated by Obstacle O1, O2,

O3, respectively.

當計算完所有在 DT 上 edge 的權重之後，我們利用 Kruskal 演算法來完成一棵連接所有接點的障礙物加權(obstacle-weighted)之 MST。

3.3 Rectilinearization and Refinement

在最後一步驟，首先會建立非均勻間隔之繞線格。然後利用非均勻間隔之繞線格上的直角 edge 來把原來的 MST 上斜的 edge 轉換成水平、垂直線段或經由 via 連接起來。在轉換的同時，會檢查是否與已繞好線段形成平面或立體的 U 型線段，進而使線長縮短。最後所有的 edge 都完成直角化及修正後，即得到一棵 ML-OARSMT。

3.3.1 Non-Uniform Routing Grid

(33)

在讀進檔案之後，我們分別將輸入進來的 x、y、z 座標存在三個動態 array 中，並且對於所存的值加以排序。

根據三個 array 的大小，可以建立三維的非均勻間隔之繞線格。非均勻間隔 之繞線格上的格子點(grid point)的 x 座標即為原本在 x array 中所存的值，y 座標 和 z 座標也分別為 y array 和 z array 的中的值。Figure 3.6 中為二維的非均勻間隔 之繞線格的例子。對於每個格子點的六個方向，都標示能否通過的 flag。對於平面東南西北四個 flag，我們會檢查障礙物的四個邊，除了障礙物的四個角之外，其他在邊上的格子點都會分別標示不可通過，如 Figure 3.7 中紅色的標記。對於障礙物的正上方以及正下方兩個 flag 也會標示是否可以通過。當障礙物裡面有格子點，我們會在此格子點正上方的格子點標示不可往正下方通過；在正下方的格子點標示不可往正上方通過，如在 Figure 3.7 中西南角的障礙物，中間有格子點，因此會標示不可通過的方向，如 Figure 3.8。

Figure 3.7: The forbidden directions of grid points at one layer.

(34)

3.3.2 Dijkstra’s Algorithm

在建造完非均勻間隔之繞線格之後，接著對步驟二所產生的 MST，來進行直角化。任選一接點當作 root 開始，不斷取出相鄰的 edge 進行直角化的繞線，並在每一條 edge 繞完線之後，使用下一小節的方法來檢查是否產生 U 型多餘線段並且修正。對於 MST 中 edge 連接的兩個接點，必定會有一個在目前的直角史坦那樹上，我們視為終點 (destination)；而另一個即將要加入史坦那樹的點則視為起點 (source)。使用 Dijkstra 演算法找到了第一條從 root 連接出去最短路徑之後，對非均勻間隔之繞線格上面所經過的格子點，標示為已經過的線段。

接著對其他相鄰的 edge 從起點用 Dijkstra 演算法繞線，而 Dijkstra 演算法停止的條件為是否遇到其他線段所經過的格子點，不一定需要連接到目標點才會停 止。以 Figure 3.9(a)為例，ta 和 tb 為已連接的線段，當要連接 tc (source)和 tb

(destination)時，我們可以發現 tc並不會直接連接到 tb，而是連接到 ta和 tb的中間 線段，而形成 Steiner 點 S，如 Figure 3.9(b)。使得新的接點都和已繞好的史坦那 樹成最短距離，以達到縮短總線長的目的。最後即可將 MST 轉成直角史坦那樹。

t

_a

t

_b

t

_c

t

_a

t

_b

t

_c (Source) (Destination) (a) (b) S

Figure 3.9: (a) The routed Steiner tree includes ta and tb, considered as destination. tc

is considered as source in Dijkstra’s algorithm. (b) tc is connected to the routed

Steiner tree through a newly created Steiner point S.

3.3.3 3D U-Shape Refinement

為了使總線長可以更加縮短，在繞完每一條 edge 之後，都會檢查新繞好的線段，是否跟之前已建立好的直角史坦那樹產生 U 型多餘線段，而只要對此 U 型線段作修正就可以有效的縮短線長。

(35)

U 型多餘線段只有兩種可能：依照中間點的位置，第一種我們分類成 skewed U 型線段，如 Figure 3.10(a)，中間點位於 U 型線段的角落；第二種我們分類成 standard U 型線段如 Figure 3.10(c)，中間點位於 U 型線段的中間。如 Figure 3.10(a)

中(ta, tb)為已建立好的線段，且新連上的線段(tc, S)是一條直線並在 S 處形成史坦 那點，新線段和已建立好的史坦那樹產生了 U 型多餘線段(tc, S, ta)，最多可以縮短的線長如虛線箭頭所示。藉由 U 型多餘線段移除，使得線長縮短成 Figure 3.10(b)；Figure 3.10(c)中(ta, tb)為已建立好的線段，(tc, tb)為新建立的線段，新線 段是 L 型線段並和舊線段形成了 U 型多餘線段(tc, tb, ta)，最多可以縮短的線長如虛線箭頭所示，而如 Figure 3.10(d)顯示經由 U 型線段移除，可以得到更短的線長。

Figure 3.10: (a) A sample skewed U-shape segment. (b) The optimal solution after refinement. (c) A sample standard U-shape segment. (d) The optimal solution after refinement.

對於此二種 U 型線段，本論文進一步延伸至 3D 空間並提出個別的 U 型線段修正對策。特別的是，我們是對所有可能的立體 U 型線段作完整的分類，此處可以得到最佳解。

(36)

Figure 3.11: (a) A routed segment and a pin to be connect it. (b) A skewed U-shape segment. (c) Old segment is removed and rerouted. (d) The optimal solution.

(1) skewed U 型線段移除：因為這類的方法在多層繞線的問題上只會出現在同一平面，判斷的方式較為簡單，所以會先檢查是否為 skewed U 型線段，且如果不是此類型的話，必為 standard U 型線段。以 Figure 3.11 為例子來說明如何判

斷：在 Figure 3.11(a)中(ta, tb)線段為已經連接好的線段，且 tc為新加入的點，經

由 Dijkstra 演算法，tc跟原來的線段在 S 點形成 Steiner point，並且將原來的線段

分割成兩條線段，如 Figure 3.11(b)。接著檢查新形成的線段(ta, S)跟這兩條舊線 段是否產生 U 型多餘線段。判斷的方法為分別計算新線段和舊線段的總線長和曼哈頓距離，如果總線長大於曼哈頓距離的話，代表可能有 U 型多餘線段的產 生。如(tc, S)和(ta, S)的總線長大於(tc, ta)的曼哈頓距離，所以可能有 U 型多餘線段。接著判斷是哪一類型的 U 型線段，我們會先判斷從中間點到新線段的第一條直 線方向(即 S 至 tc方向)，和從中間點到舊線段的第一個 L 型線段結尾的方向(即 T 至 ta方向)，如果兩邊的方向一樣的話，即形成了 skewed U 型線段。我們可以在 Figure 3.11(b)中發現新線段(tc, S)和舊線段(ta, S)產生了 skewed U 型線段，接著我 們移除舊線段和 S 點，並把新線段和另一條舊線段合併起來，如 Figure 3.11(c)。 重新對 ta到線段(tc, tb)進行 Dijkstra 演算法，如圖 Figure 3.11(d)所示，可以讓總線長可以縮短。

(37)

本論文跟[13]，不同之處在於，如果兩條舊線段都和新線段有 U 型多餘線段的產生，[13]只會找新線段跟舊線段差距最大的組合進行 U 型線段修正。本論文也是從差距最大的組合開始修正，但是如果修正後沒有改進線長的話，將會繼續對其他有 U 型線段的組合進行修正，直到有縮短到線長為止，或是沒有多餘線段的組合可以進行修正為止。

Figure 3.12: (a) Case I of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case I.

Figure 3.13: (a) Case II of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case II.

(38)

Figure 3.14: (a) Case III of standard U-shape segment. (b) The optimal solution of case III.

(2) standard U 型線段移除：如果不屬於 skewed U 型線段的話，即為 standard U 型線段，我們分成三類來考慮。

第一類：從中間點到新線段的第一個 L 型線段結尾的方向，和中間點

到舊線段的第一個 L 型線段結尾的方向，如果一樣的話就為第一類，如圖 Figure 3.12(a)，而 Figure 3.12(b)為線長修正後史坦那樹。

第二類：從中間點到新線段(舊線段)的第一個 L 型線段結尾的方向，和

中間點到舊線段(新線段)的第二個 L 型線段結尾的方向，如果一樣的話就為第二類，如圖 Figure 3.13(a)，而 Figure 3.13(b)為線長修正後的史坦那樹。

第三類：從中間點到新線段的第二個 L 型線段結尾的方向，和中間點

到舊線段的第二個 L 型線段結尾的方向，如果一樣的話就為第三類，如 Figure 3.14(a)，而 Figure 3.14(b)為所線長縮短的史坦那樹。

關於細節的部分將在圖 Figure 3.15 中說明。Figure 3.15(a)中為(ta, tb)線

段為已繞線的部分，而 tc 為新加入的點。當(tc, tb)新線段和舊線段形成

standard U 型線段，如 Figure 3.15(b) (此為第一類)，在此找出 ta、tb、tc三點

所形成的 Steiner point 的位置，如 Figure 3.15 (c)。接著從中間點 tb往 S 的方

向形成一個線段，且此線段如果被障礙物檔到，而無法到達 S 點時，就會在 障礙物的邊界中停止，並且將新線段和舊線段移除，如圖 Figure 3.15(d)-(e)。

(39)

再來 ta和 tc分別對 tb到 S 的線段作繞線，因而得到縮短線長的目的，如 Figure

3.15(f)。

Figure 3.15: (a) (ta, tb) is routed, and tc is to be connected. (b) (ta, tb, tc) forms a

standard U-shape segment. (c) The Steiner point S corresponds to ta, tb, tc. (d) The

segment from the middle point tb to S is found. (e) The new segment is blocked by an

obstacle, and old segments are removed. (f) After rerouting them, the optimal solution is found.

3.4 Complexity Analysis

空間複雜度分析：本論文使用了三維非均勻間隔之繞線格，是根據所有接點和障礙物的座標所建立的，最差情況(worst case)為所有接點和障礙物的座標都沒 有重複到，因此對於每一個接點和障礙物都需要使用記憶體，以 n 個接點和 m 個障礙物來說，空間複雜度的 worst case 為 O((n+2m)3) = O((n+m)3)。

時間複雜度分析：建立對所有接點的 DT 所花的時間為 O(nlgn)，利用 Kruskal

演算法所花時間為 O(n2

(40)

O((n+m)3)。在此假設所有接點的位置平均分佈在整個三維的空間，所以每兩個接點間隔的格子數為( )，所以在對每一 edge 作 Dijkstra 演算法繞線的複雜度為 O(( ) 3 )= O( ) 3_{，而繞完全部的 edge 所花的時間為 O(n(} ) 3 )。所以本論 文的時間複雜度為 O(nlgn)+ O(n2)+O((n+m)3)+ O(n(

) 3

(41)

Chapter 4 Experimental Results

本論文以 C++來實作整個架構，使用 Pentium○R_{4 3.4GHz CPU，1GB 記憶}

體的平台測試。

4.1 The SL-OARSMT Problem

對於單層繞線 SL-OARSMT 的問題，本篇論文總共執行 14 個測試檔案，並且將實驗結果與三篇目前最好的結果做比較[5][4][13]。[5]的測試平台為 Sun Blade 2000，1.2GHz CPU，8GB 記憶體；[4]的測試平台為 2GHz AMD-64 machine， 8GB 記憶體，作業系統為 Ubuntu 6.06。[13]的測試平台為 Sun Blade 2000，1.2GHz CPU，4GB 記憶體，作業系統為 Solaris 2.9 版。

Table 4-1 和 Table 4-2 中列出本論文所得到的實驗結果和[5][4][13]的比較。 Table 4-1 是沒有加入 illegal edge 的結果；Table 4-2 是加入 illegal edge 的結果。第一欄代表的是測試檔案的名稱，第二欄第三欄分別代表接點和障礙物的個數，接著為各研究的總線長和我們的結果。粗體代表的是在[5][4][13]中，每一個測試檔案的最短線長。最後是我們的總線長相對於[5][4][13]的結果所改善的百分比，其計算方法為( )，其中 x 代表粗體的總線長。而 Best 欄為我們的總線長相 對於[5][4][13]中每一筆測試檔案的最佳結果所改善的百分比。

Table 4-3 和 Table 4-4 則是考慮第二步驟和第三步驟的 total wirelength 和 CPU time。第五欄是第二步驟形成 MST 之後，我們對所有 edge 作權重的加總，且第六欄為完成第一第二步驟的執行時間。第七第八欄為第三步驟只對所有 edge 作直角化的結果。第九第十欄為第三步驟所有 edge 作直角化兼作 U 型線段修正。最右邊一欄代表的是樹有作 U 型線段修正與否，所得到的改善百分比。實驗結果發現我們的 Total cost 平均改善了 2.69%和 2.63%。另一方面，加入 illegal edge 的確如我們預期地產生了 Total wirelength 比較小的 MST，並且也幾乎都能產生比較好的 SL-OARSMT。

(42)

Figure 4.1 為測試檔案 Rc9 所實際繞出的障礙物迴避之直角化史坦那樹，其中包含了 100 個接點和 500 個障礙物，而灰色矩形代表障礙物，黑色小方塊代表接點。

Table 4-1: The comparison on total wirelength without illegal edges, where “-”means that the result is not available.

Test

cases Pins Obs.

Total Wirelength Improvement (%)

[5] [4] [13] Ours [5] [4] [13] Best Rc1 10 32 626 632 614 609 2.72 3.64 0.81 0.81 Rc2 74 625 1,640 - 1,632 1,621 1.16 - 0.67 0.67 Rc3 115 1204 2,872 - 2,820 2,832 1.39 - -0.43 -0.43 Rc4 10 10 27,250 26,900 26,120 25,980 4.66 3.42 0.54 0.54 Rc5 30 10 43,220 42,210 42,320 43,040 0.42 -1.97 -1.70 -1.97 Rc6 50 10 56,500 55,750 55,170 54,690 3.20 1.90 0.54 0.54 Rc7 70 10 61,090 60,350 59,670 61,210 -0.20 -1.43 -2.58 -2.58 Rc8 100 10 76,870 76,330 75,410 75,680 1.55 0.85 -0.36 -0.36 Rc9 100 500 84,327 83,365 81,904 81,126 3.80 2.69 0.95 0.95 Rc10 200 500 115,461 113,260 112,391 112,318 2.72 0.83 0.06 0.06 Rc11 200 800 122,574 118,747 117,602 116,578 4.89 1.83 0.87 0.87 Rc12 200 1000 120,017 116,168 115,448 115,066 4.13 0.95 0.33 0.33 Rc13 500 100 172,490 170,690 169,160 169,040 2.00 0.97 0.07 0.07 Rc14 1000 100 238,377 236,615 237,475 236,570 0.76 0.02 0.38 0.02 Avg. 2.37 1.14 0.04 -0.03

Table 4-2: The comparison on total wirelength with illegal edges, where “-”means that the result is not available.

Test

cases Pins Obs.

Total Wirelength Improvement (%)

[5] [4] [13] Ours [5] [4] [13] Best Rc1 10 32 626 632 614 609 2.72 3.64 0.81 0.81 Rc2 74 625 1,640 - 1,632 1,622 1.10 - 0.61 0.61 Rc3 115 1204 2,872 - 2,820 2,814 2.02 - 0.21 0.21 Rc4 10 10 27,250 26,900 26,120 25,980 4.66 3.42 0.54 0.54 Rc5 30 10 43,220 42,210 42,320 43,040 0.42 -1.97 -1.70 -1.97 Rc6 50 10 56,500 55,750 55,170 54,690 3.20 1.90 0.54 0.54 Rc7 70 10 61,090 60,350 59,670 61,210 -0.20 -1.43 -2.58 -2.58 Rc8 100 10 76,870 76,330 75,410 75,560 1.70 1.01 -0.20 -0.20 Rc9 100 500 84,327 83,365 81,904 81,126 3.80 2.69 0.95 0.95 Rc10 200 500 115,461 113,260 112,391 112,318 2.72 0.83 0.06 0.06 Rc11 200 800 122,574 118,747 117,602 116,456 4.99 1.93 0.97 0.97 Rc12 200 1000 120,017 116,168 115,448 115,066 4.13 0.95 0.33 0.33 Rc13 500 100 172,490 170,690 169,160 168,770 2.16 1.12 0.23 0.23 Rc14 1000 100 238,377 236,615 237,475 236,570 0.76 0.02 0.38 0.02 Avg. 2.44 1.02 0.11 0.04

(43)

Table 4-3: The impact of refinement in SL-OARSMT without illegal edges.

Test

cases Pins Obs.

Tree connection Rectilinearization Rectilinearization and 3D refinement Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Imp. (%) Rc1 10 32 659 <0.01 622 0.015 609 0.016 2.09 Rc2 74 625 1,712 0.015 1,640 0.171 1,621 0.187 1.16 Rc3 115 1204 3,309 0.031 2,873 0.344 2,832 0.406 1.43 Rc4 10 10 29,775 <0.01 28,080 0.031 25,980 0.016 7.48 Rc5 30 10 45,450 <0.01 44,820 0.047 43,040 0.047 3.97 Rc6 50 10 59,540 0.015 57,370 0.062 54,690 0.093 4.67 Rc7 70 10 65,300 0.015 63,280 0.110 61,210 0.156 3.27 Rc8 100 10 84,080 0.016 77,580 0.156 75,680 0.297 2.45 Rc9 100 500 89,415 0.031 83,285 8.157 81,126 29.391 2.59 Rc10 200 500 121,545 0.063 113,992 9.516 112,318 40.515 1.47 Rc11 200 800 128,210 0.062 118,312 20.343 116,578 95.437 1.47 Rc12 200 1000 124,293 0.078 116,990 28.969 115,066 293.688 1.64 Rc13 500 100 185,950 0.266 173,080 2.734 169,040 19.75 2.33 Rc14 1000 100 260,846 0.875 243,518 11.234 236,570 158.328 2.85 Avg. 2.78

Table 4-4: The impact of refinement in SL-OARSMT with illegal edges.

Test

cases Pins Obs.

Tree connection Rectilinearization Rectilinearization and 3D refinement Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Imp. (%) Rc1 10 32 659 <0.01 622 0.031 609 0.016 2.09 Rc2 74 625 1,709 0.016 1,645 0.219 1,622 0.219 1.40 Rc3 115 1204 3,039 0.046 2,855 0.437 2,814 0.500 1.44 Rc4 10 10 29,770 <0.01 28,080 0.031 25,980 0.031 7.48 Rc5 30 10 45,450 <0.01 44,820 0.031 43,040 0.047 3.97 Rc6 50 10 59,540 0.015 57,370 0.063 54,690 0.109 4.67 Rc7 70 10 65,300 0.016 63,280 0.093 61,210 0.712 3.27 Rc8 100 10 83,990 0.015 77,570 0.156 75,560 0.297 2.59 Rc9 100 500 89,415 0.031 83,285 8.062 81,126 28.671 2.59 Rc10 200 500 121,545 0.062 113,992 10.375 112,318 41.250 1.47 Rc11 200 800 128,094 0.063 118,130 22.688 116,456 98.032 1.42 Rc12 200 1000 124,293 0.062 116,990 26.031 115,066 274.609 1.64 Rc13 500 100 185,910 0.265 172,920 2.813 168,770 20.547 2.40 Rc14 1000 100 260,846 0.782 243,518 11.360 236,570 158.984 2.85 Avg. 2.81

(44)

Figure 4.1: The final routing result of Rc9.

4.2 The ML-OARSMT Problem

對於多層繞線的 ML-OARSMT 問題，我們跟[15]作比較，[15]的測試平台為 2.8GHz AMD-64 machine，8GB 記憶體，作業系統為 Ubuntu 6.06。

多層繞線和單層繞線不同的地方在於 via 的出現。在製程中，via 越多所造成的

成本相對來說也越多，[15]中將 via 的成本換算成線長來作繞線，via cost (Cv)為 3

和 5。Table 4-5 和 Table 4-6 是 Cv等於 5 並考慮 illegal edge 與否時的總線長比較；

Table 4-7 和 Table 4-8 是 Cv 等於 3 並考慮 illegal edge 與否時的總線長比較。在第一欄代表的是測試檔案的名稱，第二欄代表的是接點的個數，第三欄代表障礙物的個數，第四欄代表繞線層的層數。WL 代表的是所有繞線層上的總線長，#via

代表 via 的個數，Total cost 表示加上 via cost 後的總線長，實驗結果發現對於 Cv=5

的情況而言，我們的 Total cost 平均少了 1.99%和 1.97%；Cv=3 的情況而言，我

們的 Total cost 平均少了 1.68%和 1.76%，且 WL 和 via 數目平均上都有不錯的結果。因為本論文大量的使用 Dijkstra 演算法，所以執行時間多出了許多，但仍在可以接受的範圍內。

(45)

Table 4-5: The comparison on total cost when Cv=5 without illegal edges. “WL” is the

wirelength on all layers; “#via” is the number of vias between layers; “Total Cost” is “WL+ Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost (

O ),

respectively.

Test

Case Pins Obs. Nl

WL #via Total cost CPU time (s) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Ind1 50 6 4 55,390 55,180 0.38 49 50 -2.04 55,635 55,430 0.37 0.07 0.08 Ind2 200 85 6 11,859 11,604 2.15 208 214 -2.88 12,899 12,674 1.74 3.01 3.27 Ind3 250 13 9 9,983 9,805 1.78 343 343 0.00 11,698 11,520 1.52 3.35 20.89 Ind4 500 100 4 77,033 78,335 -1.69 0 0 0.00 77,033 78,335 -1.69 8.21 8.45 Ind5 1000 20 4 14,515,511 14,496,361 0.13 0 0 0.00 14,515,511 14,496,361 0.13 45.71 389.28 Rt1 25 10 10 4,106 3,846 6.33 76 67 11.84 4,486 4,181 6.80 0.06 0.33 Rt2 100 20 10 8,812 8,661 1.71 200 191 4.50 9,812 9,616 2.00 0.90 4.80 Rt3 250 50 10 14,239 13,888 2.47 429 412 3.96 16,384 15,948 2.66 6.84 38.48 Rt4 500 50 10 19,488 18,785 3.61 879 862 1.93 23,883 23,095 3.30 17.56 179.77 Rt5 1000 100 4 25,528 24,884 2.52 814 762 6.39 29,598 28,694 3.05 56.45 276.94 Avg. 1.94 2.37 1.99

Table 4-6: The comparison on total cost when Cv=5 with illegal edges. “WL” is the

wirelength on all layers; “#via” is the number of vias between layers; “Total Cost” is “WL+ Cv *#via”; “Imp.” is the improvement on WL, #via, and total cost (O

),

respectively.

Test

Case Pins Obs. Nl

WL #via Total cost CPU time (s) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Ind1 50 6 4 55,390 55,180 0.38 49 50 -2.04 55,635 55,430 0.37 0.07 0.08 Ind2 200 85 6 11,859 11,589 2.28 208 214 -2.88 12,899 12,659 1.86 3.01 3.28 Ind3 250 13 9 9,983 9,816 1.67 343 341 0.58 11,698 11,521 1.51 3.35 20.92 Ind4 500 100 4 77,033 78,335 -1.69 0 0 0 77,033 78,335 -1.69 8.21 8.55 Ind5 1000 20 4 14,515,511 14,496,361 0.13 0 0 0 14,515,511 14,496,361 0.13 45.71 394.28 Rt1 25 10 10 4,106 3,846 6.33 76 67 11.84 4,486 4,181 6.80 0.06 0.33 Rt2 100 20 10 8,812 8,661 1.71 200 192 4.00 9,812 9,621 1.95 0.90 4.84 Rt3 250 50 10 14,239 13,933 2.15 429 415 3.26 16,384 16,008 2.29 6.84 39.48 Rt4 500 50 10 19,488 18,729 3.89 879 861 2.05 23,883 23,034 3.55 17.56 182.77 Rt5 1000 100 4 25,528 24,908 2.43 814 763 6.27 29,598 28,723 2.96 56.45 279.94 Avg. 1.93 2.31 1.97

(46)

Table 4-7: The comparison on total cost when Cv=3 without illegal edges. “WL” is the

O ),

respectively.

Test

Case Pins Obs. Nl

WL #via Total cost CPU time (s) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Ind1 50 6 4 55,390 55,180 0.38 49 50 -2.04 55,537 55,330 0.37 0.07 0.09 Ind2 200 85 6 11,840 11,613 1.91 224 216 3.57 12,512 12,261 2.01 3.05 2.64 Ind3 250 13 9 9,896 9,758 1.39 359 371 -3.34 10,973 10,871 0.93 3.32 18.70 Ind4 500 100 4 77,033 78,335 -1.69 0 0 0 77,033 78,335 -1.69 8.12 8.58 Ind5 1000 20 4 14,515,511 14,496,361 0.13 0 0 0 14,515,511 14,496,361 0.13 45.63 348.20 Rt1 25 10 10 4,106 3,912 4.72 76 67 11.84 4,334 4,113 5.10 0.06 0.31 Rt2 100 20 10 8,789 8,745 0.50 215 197 8.37 9,434 9,336 1.04 0.88 4.67 Rt3 250 50 10 14,099 13,807 2.07 490 460 6.12 15,569 15,187 2.45 6.86 34.25 Rt4 500 50 10 19,280 18,543 3.82 918 903 1.63 22,034 21,252 3.55 17.52 192.78 Rt5 1000 100 4 25,283 24,665 2.44 869 800 7.94 27,890 27,065 2.96 55.61 267.45 Avg. 1.57 3.41 1.68

Table 4-8: The comparison on total cost when Cv=3 with illegal edges. “WL” is the

O ),

respectively.

Test

Case Pins Obs. Nl

WL #via Total cost CPU time (s) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Imp. (%) [15] Ours Ind1 50 6 4 55,390 55,180 0.38 49 50 -2.04 55,537 55,330 0.37 0.07 0.09 Ind2 200 85 6 11,840 11,617 1.88 224 217 3.13 12,512 12,268 1.95 3.05 2.66 Ind3 250 13 9 9,896 9,744 1.54 359 364 -1.39 10,973 10,836 1.25 3.32 18.72 Ind4 500 100 4 77,033 78,335 -1.69 0 0 0 77,033 78,335 -1.69 8.12 8.66 Ind5 1000 20 4 14,515,511 14,496,361 0.13 0 0 0 14,515,511 14,496,361 0.13 45.63 350.20 Rt1 25 10 10 4,106 3,912 4.72 76 67 11.84 4,334 4,113 5.10 0.06 0.32 Rt2 100 20 10 8,789 8,745 0.50 215 197 8.37 9,434 9,336 1.04 0.88 4.69 Rt3 250 50 10 14,099 13,794 2.16 490 464 5.31 15,569 15,186 2.46 6.86 34.75 Rt4 500 50 10 19,280 18,464 4.23 918 902 1.74 22,034 21,170 3.92 17.52 199.78 Rt5 1000 100 4 25,283 24,635 2.56 869 802 7.71 27,890 27,041 3.04 55.61 269.45 Avg. 1.64 3.47 1.76

另外，Table 4-9 和 Table 4-10 為 Cv=5 時比較了第二步驟和第三步驟的 total

wirelength 和 CPU time；Table 4-11 和 Table 4-12 為 Cv=3 時比較了第二步驟和第

三步驟的 total wirelength 和 CPU time。第五欄是第二步驟形成 MST 之後，我們對所有 edge 作權重的加總，且第六欄為完成第一第二步驟的執行時間。第七第八欄為第三步驟只對所有 edge 作直角化的結果。第九第十欄為第三步驟所有

(47)

edge 作直角化與作 U 型線段修正。最右邊一欄代表的是樹有作 U 型線段修正與

否，所得到的改善百分比。實驗結果發現對於 Cv=5 的情況而言，我們的 Total cost

平均改善了 2.69%和 2.63%；Cv=3 的情況而言，我們的 Total cost 平均改善了 2.33%

和 2.33%。另一方面，加入 illegal edge 的確如我們預期地產生了 Total cost 比較小的 MST，但是在直角化與修正時，會因為障礙物所在位置與疏密的不同而有不同的改善程度，所以在某些 case 下，反而沒有比較好的結果。

Table 4-9: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=5 without

illegal edges.

Test

cases Pins Obs. Nl

Tree connection Rectilinearization Rectilinearization and 3D refinement Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Total cost CPU time (s) Imp. (%) Ind1 50 6 4 56,130 <0.01 56,945 0.05 55,430 0.08 2.66 Ind2 200 85 6 13,414 0.047 12,950 0.59 12,674 3.27 2.13 Ind3 250 13 9 12,006 0.078 11,856 3.19 11,520 20.89 2.83 Ind4 500 100 4 92,330 0.250 78,841 1.70 78,335 8.45 0.64 Ind5 1000 20 4 15,975,855 0.734 14,981,554 20.41 14,496,361 389.28 3.24 Rt1 25 10 10 4,652 <0.01 4,392 0.16 4,181 0.33 4.80 Rt2 100 20 10 10,183 0.016 9,861 1.31 9,616 4.80 2.48 Rt3 250 50 10 17,414 0.078 16,397 6.16 15,948 38.48 2.74 Rt4 500 50 10 25,942 0.250 23,741 15.22 23,095 179.77 2.72 Rt5 1000 100 4 32,467 0.797 29,470 15.61 28,694 276.94 2.63 Avg. 2.69

Table 4-10: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=5 with

illegal edges.

Test

(48)

Table 4-11: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=3 without

illegal edges.

Test

Table 4-12: The impact of 3D refinement in ML-OARSMT as Cv=3 with

illegal edges.

Test

(49)

Chapter 5 Conclusion

5.1 Concluding Remarks

在本篇論文中，我們提出了有效的演算法來解決考慮多層繞線與障礙物迴避的問題，且定義了一個典型流程(typical flow)來比較前人的方法並依此改良。我們的方法如下：第一步驟只對所有接點建立 DT 圖當作初始的 connection graph，此外，我們保留 illegal edge 在 DT 中，使得後續 MST 的建造可以更好；第二步驟對所建立的 connection graph 進行障礙物加權的 MST 的建構；接著第三步驟將樹直角化且利用三維 U 型多餘線段修正總線長。特別的是，我們是對所有可能的立體 U 型線段作完整的分類，此處可以得到最佳解。實驗的結果發現我們所提出的演算法在多層繞線的 ML-OARSMT 問題上，最好的狀況下，平均改善 1.99%的總線長和 3.47%的 via 數。對於單層繞線的 SL-OARSMT 問題，總線長平均也和目前最好的結果不相上下。此外 illegal edge 的加入的確產生比較好的 MST。

5.2 Future Work

因為在第三步驟所使用的非均勻間隔之繞線格在多層繞線上所佔的記憶體很大，相對來說使用 Dijkstra 演算法所面對的空間太大，使得本論文的執行時間並不理想。後續可以採取局部建立的方式來縮短執行時間。

考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

國立交通大學

電子工程學系 電子研究所碩士班

碩 士 論 文

考慮多層繞線與障礙物迴避之

直角史坦那樹建構法

Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

研 究 生：林聖偉

指導教授：江蕙如 博士

考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

研究生：

：

：林聖偉

：

Student: Shung-Wei Lin

指導教授：

：

：江蕙如 博士

：

Advisor: Dr. Iris Hui-Ru Jiang

國 立 交 通 大 學

電子工程學系電子研究所碩士班

碩 士 論 文

考慮多層繞線與障礙物迴避之直角史坦那樹建構法

學生：林聖偉

指導教授：江蕙如 博士

國立交通大學

電子工程學系

電子研究所碩士班

摘 要

Effective Multi-Layer Obstacle-Avoiding

Rectilinear Steiner Tree Construction

Student: Shung-Wei Lin

Advisor: Dr. Iris Hui-Ru Jiang

Department of Electronics Engineering

Institute of Electronics

National Chiao Tung University

Abstract

Acknowledgements

Table of Contents

List of Tables

List of Figures

Chapter 1

Introduction

1.1

Obstacle-Avoiding Rectilinear Steiner Minimal Trees

1.2

Previous Works

1.2.1

Maze Routing Based Approach

1.2.2

Non-Deterministic Approach

1.2.3

Construction-by-Correction Approach

1.2.4

Connection Graph Based Approach

1.4

Thesis Organization

Chapter 2

Problem Formulation and

Preliminaries

2.1

Problem Formulation

2.2

Preliminaries

2.2.2

Kruskal’s Algorithm

2.2.3

Dijkstra’s Algorithm

2.2.4

Non-Uniform Routing Grid and Escape Graph

Chapter 3

Our Algorithm

3.1

Initial Connection Graph Construction

3.3

Rectilinearization and Refinement

電子工程學系電子研究所碩士班

碩士論文

研究生：林聖偉

指導教授：江蕙如博士

：江蕙如博士

國立交通大學

碩士論文

指導教授：江蕙如博士

摘要