一個環狀排列的公式 - 政大學術集成
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(2) . 目. 錄. 中文摘要---------------------------------------------------- | 英文摘要---------------------------------------------------- || 致謝辭------------------------------------------------------- ||| 1 循環群的簡介-------------------------------------------- 1 2 計數方法的原理----------------------------------------7 治. 政. 大 3 波利亞計數法--------------------------------------------15. 立. 4 環狀排列的計數-----------------------------------------20. ‧ 國. 學. 5 結論---------------------------------------------------------23. ‧. 英中文名詞對照表----------------------------------------24. n. al. er. io. sit. y. Nat. 參考文獻-----------------------------------------------------26. . Ch. engchi. i n U. v.
(3) . 摘. 要. 這篇論文的目的，是要詳細解釋用波利亞計數方法來求解環狀排列問 題的基本原理。為了達到這個目的，一開始對循環群的概念做了介紹。 其次是伯恩賽定理的說明。接下來闡述波利亞計數方法的細節，最後 藉由波利亞計數定理，設法建立一個可計算任何環狀排列問題的公式，. 政 治 大. 並舉出實例，以顯示其實用價值。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. I . i n U. v.
(4) . Abstract The purpose of this thesis is to explain the basic principles of the circular permutations using the Pó lya′s enumeration method. Firstly , we introduce the concept of the cyclic groups. Secondly , we illustrate the Burnside theorem , and then elaborate the Pó lya′s enumeration method. Finally , we establish a formula that can calculate any type of the circular permutations by the Pó lya′s enumeration method. And we also. 政 治 大. give several examples to reveal the results.. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II . i n U. v.
(5) . 致謝辭 首先要感謝李老師兩年多來的指導，尤其是對於論文的許多改正，航同 衷心銘感。 此外，我要感謝父母親的養育之恩，以及長時來對我的愛心照顧。 最後，特別要感謝我妻詹素怡默默地支持我，她為我這篇論文打字，並 且在生活上給予我悉心的照料。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. III . i n U. v.
(6) . 1 循環群的簡介 1.1 循環群 【定義 1.1.1】假設 是一個群， ∈ ，若. ： ∈. 所產生的群. 就是 ，則 是一個循環群。 由定義 1.1.1 知道，若元素 的階，寫成 ,⋯,. , ,. 麼可進一步得出. ，它是一個 n 階循環群，常用. 政 治 大 1,2, ⋯ , 上的置換，從任意數字. 【定義 1.1.2】假設 是. 立. ，. ‧ 國. ，⋯，. 一個長度為 的循環節，或. ，就稱. 學. ，. ，是自然數 ，即. ,. ，那 來表示。. 開始 ,⋯,. 是 的. 循環節。. ‧. 在定義 1.1.2 中， 可以分成若干個互不相交的循環節的乘積。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖(一). 如圖(一) 在正方形四個頂點上分別標示出 1、2、3、4 四個數字，以正方形 的中心為圓心，沿逆時鐘方向轉動 90° 的群元素 的群元素. 1,3 2,4 ；轉動 270° 的群元素. 1,2,3,4 ；轉動180° 1,4,3,2 ； 而. 1 2 3 4 ，可視為轉動360° 或不動的群元素。這四個元素構成一個四 階循環群 . , ,. ,. 。. 循環群有許多重要性質。下面要介紹兩個特別有用的循環群定理。. 1 .
(7) . , ,. 【定理 1.1.3】 設 . ,. ，則. ′, ′. ，. . ，若. ，且. .. 證明： 假設 . ,⋯,. ,. ，因. 1。由於. ′. ，. ，可令. 且. ，所以 是 的因數，即. │ ′ ⋯ 1 ，所以 是 的因數，但. 立. ′，因此. , , 和. ⊆. 即可。. io. ,. ⊆. ，所以. al. ∎. Ch. engchi U. 【例題 1.1.5】 四階循環群. , ,. . 2；取. 2，. . ,. .. 2，故. ，已知 . v ni. ∙. ，於是. n. ，且. 必然成立。我們只需要. 中任意元素. ，可找到 、 兩個整數，使 ∈. ,. 1,2,3,4 ，. ， ，. 3，. ,. 4，取 1，故. 4 。 由定理 1.1.4 知道，當 , ,. ,⋯,. ,. 中，任何. 1 時， ,. ，. 2 . . y. Nat. ，若. 可以生成相同的子群，即. 證明：因為 含有正因數 證明. ，. sit. ，則. ,⋯,. ∎. ‧. ,. ′. 學. ‧ 國. 綜合上面 (1)、(2)，得. . 1，於是得出. 政 治 大. ′│ ⋯ 2. 【定理 1.1.4】 設. ′, ′. er. 另外，. 可生成整個群，所以在 1，. 就是. 的生成元。. ，.
(8) . 【定義 1.1.6】歐氏函數. ，是定義在所有自然數集上的函數，. 為. 不超過 而且和 互質的所有自然數的個數。定義 1.1.6 也可以寫成 ：1. 數學式： . , . ,. 1. 【例題 1.1.7】不超過 12 且和 12 互質的自然數有 1, 5, 7, 11共四個數，故 4。. 所以對於 . ，若. 1.2 循環節的應用. 立. 顯然有 . 政 治 大 ⋯ 1 3. 1 2 3 ⋯ 4 5 6 ⋯. 4 1. 3. . 1 2 3⋯ 5 6 7 ⋯ . 5 1. 4. 1. 3 ⋯ 2 ⋯ . 1. 3. . 1 2 2 2. 3 . 1 3. 2. 1 1. 2. 4. y 5 6. al. n. 2 1. io. . 1. . Nat. ⋮. 2. 3 1. ‧. . 2 3 . 4 5 ⋯ . 學. ‧ 國. 1,2,3, ⋯ ,. 取. 當中有 個元素是生成元。. ，表示 . 4 5. Ch. 3 4. 2 3. sit. 12. 1 2. er. n U engchi. iv. 1. . 圖(二). 很容易觀察出來，對於. 1,2,3, ⋯ ,. 中任一個數字 j ，. 在圖(二)中沿逆時鐘方向移動 個間格，得出 必須模 n ，於是有下面的結論：. 3 . ，如果. 表示數字 j ，就.
(9) . 1,2,3, ⋯ ,. 【定理 1.2.1】 設. 當. . mod. 1,2, ⋯ ,. ，. ， 是任意正整數，. .. 當. 1,2,3, ⋯ ,. 中，. 【引理 1.2.2】 在循環群. ，那麼對任意元素 . ，它. 的每個循環節長度均相同. ,. 證明： 由定理1.1.3知道，若 ,. 個循環節 , . 政 治 大 ，於是. 立. 1，因此 是. 是一個不合理的結果，因此，任意循環節的長度均為 ∎. 來決定，如果. n. al. 環節，每個循環節長度均為. 1,4,3,2 ，. 有兩個 2. 1.3. e n g c1,2,3,4 hi ，. 1 2 3 4 ，其中 及. 循環節，. y ，則. i n U. 【例題 1.2.3】 在四階循環群 中，. 的. 中必有 個循. 有四個 1. v. 1,3 2,4 ，. 都只有一個 4. 循環節，. 循環節。. 循環指標式. 設 是集合 1,2, ⋯ ,. 上的置換群，其元素是由單個或多個互不相交的循環節. 組成。長度是 的循環節，通常用 來表示。例如：2 表示；3. 循環節 2,4,6 用 表示。. 4 . 的因數，這. ，那麼任意元素 . ,. 。. Ch. ，. sit. io. ,. 1,2,3, ⋯ ,. 中，. er. Nat. 由引理 1.2.2 知道，在循環群. ‧. ‧ 國. ,. ，但是. ≡. 學. 所以 n 可以整除. 循環節個數，由. 的任一. ，考慮. , ⋯ ,. 1，並令. 取 0. ，則. 循環節 1,3 用.
(10) . 【定義 1.3.1】設. 是 1,2, ⋯ ,. 上的置換群，把 的每個元素都寫成 . 的乘積，然後相加，再除以群元素個數 | |，得到的多項式，稱為置換 的循環指標式，型如： ,. ,⋯,. | |. ∑. ⋯. ∈. 代表 當中 的個數。. 上式中. , ,. 【例題 1.3.2】 四階循環群 1,3 2,4 ，寫成. 立. io. 【引理 1.3.4】 對任意正整數 ，有 ∑. n. al. 1,2, ⋯ ,. 且 ⋃ . ∑. . ∑. . ∑. ：1. │. ,. ：1. ,. ,. 1. ∎. 5 . v. 是歐氏函數.. 很明顯的， 兩兩相離， | 1,2, ⋯ ,. ，所以 ,. ，其中. │. i C1 ,h , ⋯ , ，U n engchi. 證明： 設 的正因數為 令集合. ，故 的循環指標式為. y. 。. ‧. 3. ，其餘三個元素均可寫成. Nat. 。. 學. 1 2 3 4 寫成. 2. 1 2 3 4 ，. 1 2 3 4 , 1,2 3,4 , 1,3 2,4 , 1,4 2,3 ，其中. 【例題 1.3.3】群. . 政1,4,3,2 治 ，寫成 ， 大. ，. ，所以 的循環指標式為. ‧ 國. 寫成. 1,2,3,4 ，寫成 ，. ，其中. sit. . ,. er. 群. |. ∑. | |.
(11) . 的循環指標式 。. 最後，要導出循環群. 【定理 1.3.5】 階循環群. , , ∑. 的循環指標式必為. 那麼. 證明： 設 的正因數為 令集合. 1 ,. ∑. 共有 治 , 個長度為 政 大. ∈. ∈. ‧. ∑. ∑. sit. io. n. al. er. ∑. y. Nat. . ∑. ，. 學. ∑. . 且 | |. 立 的循環指標式應為. ,. ∑. ，. 的循環節，故. ‧ 國. . , ⋯ , ,. 由引理 1.2.2 知道，每個元素. │. ∎. Ch. engchi. i n U. v. 上式中 和 扮演互補的角色，它們都是 的正因數。. 6 . 1,2,3, ⋯ ,. ，其中. .. │. ,. ：1. ,⋯,. ，.
(12) . 2 計數方法的原理 2.1 群對集合的作用 , 。 是一個群， 是一個集合。如果存在某種運算. 【定義 2.1.1】假設 " ∗ "，使得：. (1) 對任意 ∈ ， ∈ ， ∗ 仍然是 中 的元素 (2) (3). ∗. 。 ∗. ∗. ∗. ，. ϵ ， ∈. 、. 政 治 大. ， 是 的單位元素. 立. 就稱群 作用在集合 上。通常兩種運算符號 “ ∗ ”及 “。” 也可以略去不寫。. ‧ 國. 學. 【引理 2.1.2】群 作用在集合 S 上，對任意群元素 ， 是把 映射到 的一對. ∈ ，必存在. al. sit. ⇒. Ch. ，這就證明了 是一對一的 ∈. engchi. 事實上，若群 作用在 上，且. er. ⇒. n. 函數 ∎. ⇒. y. 函數。另外，. io. ⇒. Nat. 證明： 考慮 中任兩個元素 和 ，若. ‧. 一且映成的函數 .. i n U. v. ，使得. ，故 是映成. 為 上所有一對一的對應，那麼就會存在. 一個同態映射φ，使得 φ ∶ →. .. 【定義 2.1.3】 假設 ~ 是建立在集合 上的一個關係， 、 、 是任意元素， 如果符合： (1) (自身性). ~. (2) (對稱性) 若 ~ ，則 ~ (3) (遞移性) 若 ~ ， ~ ，則 ~. 7 .
(13) . 就稱 ~ 是 上的等價關係。 在定義 2.1.3 中，若 ~ ，我們說兩元素 和 是等價的。 【定理 2.1.4】設群 作用在 上，對任意 、 ∈. ，若存在 ∈ ，. ，就記成 ~ ， ~ 是 上的等價關係 .. 使得 證明：. (1)對單位元素 ∈ ， ∈ . ，所以 ~ . ，. ，故 政 治 大 ⇒ ，所以 ~. (2)若 ~ ，則存在 ∈ ，使. 立. ⇒. ‧ 國. . ，. ，若 ~ 且 ~ ，必可找到群元素. 學. (3)對任意 、 、. ，使. ，所以 ~ ，. ，於是 . ‧. 綜合 (1)、 2 、(3)，就證明了定理 ∎. Nat. ∶. ∈. er. io. sit. 若 是任意元素，所有和 等價的元素形成的集合，用 是一個等價類，所有的等價類是 的分割。. al. n. 來表示。. ∈. 、. y. ⇒. 【定義 2.1.5】設. C h 是一個集合， engchi. 1,2, ⋯ ,. iv n U ,. ,⋯,. 是顏色集，. 所有從 映射到 的函數的集合為 ，並且對任意 ∈ ，定義： ≡. 【定理 2.1.6】 設 . 1,2, ⋯ ,. 1 2 ⋯. 1 2 ⋯. 是一個集合，用 種顏色對 塗色，所有塗. 色的集合用 表示，假設 上的一個置換群為 ，若 ∈ ， ∈ ，並且規定 ∗. 。. ，那麼 作用在 上。 . 8 .
(14) . 1 2 ⋯. 1 2 ⋯. 證明： 設. 1 2 ⋯. 1 2 ⋯. ，. 圖(三). 首先說明 ∗ ，意思是將着色圖 的第 號顏色. 1 1. 2 ⋯ 2 ⋯. 1 2 ⋯. 1 2 ⋯. ，故. y. sit. io. (2) 若. 、. 。. al. 是很明顯的. n. ∈. er. 接下來證明本定理 (1) ∗. Ch. ∈ ， ∈ ，則. 。. (3)若單位元素 ∈ . 1 2 ⋯. 1 2 ⋯. 。. Nat. 。. 1 2. 1 2 ⋯. ，但 . ‧. 1 1. ∗ . 2. ⋯. ‧ 國. 1, 2, ⋯ ,. 治 政 ，於是得出一個新的着色圖 ，參看圖(三)，所以 大 立 ⋯ 2 ⋯. 號，. 學. ，送到. 。. i n U。. e n。g c∗h i. 。. ， ∈ ，則 ∗. ∗. 。 。. v. 。. ∗. ∗. 。. 綜合 (1)、(2)、(3) 就證明了定理 ∎ 【例題 2.1.7】用兩黑色、兩白色對圖(一)的四個頂點塗色，共得到六種不同 的着色圖，用四階循環群. , ,. ,. 作用在六個着色圖上，總共得. 到兩個等價類，如圖(四)，也就是兩種不同的塗色。. 9 .
(15) . 圖(四). 但我們要問：等價類的個數要如何求出 ﹖計數的方法，是以伯恩賽定理 作為工具。要證明它，需要下面的預備工作。 【定義 2.1.8】 設 ∈ ， ∈ ，若. ，就說 是. ∈ :. 點，以 為固定點的所有群元素做成的集合，用. 政 治 大 是一個穩定子集。 立. 來表示，一般稱. 中任意兩元素，所以 、 ∈ ，且. ，表示. 仍在. ∈ ，於是有 . 中，因此. 是一個群 ∎. n. al. er. io. 今後，穩定子集都稱為穩定子群。 【定義 2.1.10】. ∈. ∶. Ch. sit. Nat. . ，且. y. 由定理 2.1.4 證明中的(2)得知，. ，. ‧. ‧ 國. 學. 【定理 2.1.9】 穩定子集是一個群. 證明：若 、 是. 的一個固定. i n U. v. 是一個群元素， 在 上的所有固定點做成的集合，記為. engchi. ，一般稱. 是一個固定子集。. 【引理 2.1.11】 是一個群， 是一個子群，對任意 、 ∈ ， 的充要條件是. ∈. .. 證明：參看[3] p.139~140 【引理 2.1.12】. 是一個陪集，若 ∈. 是一個穩定子群，. 【引理 2.1.13】設群 作用在集合 S 上，對任意元素 ∈ ，有| 證明： 因為. 是 的子群，可以在 中找到. 10 . 、 、⋯、. ，則 |∙|. . |. ，使得 . | | ..
(16) . ∪. ∪ ⋯∪. 互斥，故 | |. | :. 可得到 | |. |. |. |. |. ，因為對每個 ，| |. |. ⋯. ∈. ,. |∙|. |. |. |. ,⋯,. |. |. |，且這些 . | ，令 . 1, 2, ⋯ ,. ，. ，其中任兩個元素均不相等，所以. | ∎. 在例題 2.1.7 中， 的等價類是 ,. ,. ,. ，共有四個元素；以 為固定. 1 2 3 4 ，只有一個元素，它們的乘積，正好是循. 點的子群是. ， 政 治 大. 環群 的元素個數。另外， 的等價類是 ,. 立1,3. 的穩定子群是. 2,4 ，其元素個數的乘積亦為 4。. 學. ‧ 國. 1 2 3 4 ,. 2.2 伯恩賽定理及其應用. ‧. 【引理 2.2.1】 設群 作用在集合 上， 是 中任意元素，若 ∈ .. y. Nat. ，一定存在 ∈ ，使 . io. al. n. Ch. (1) 取 ∈. ，則存在. ∈ ，使. (2) 取 ∈. ，則存在. ∈ ，使. 由 (1) 、 (2) 得出. engchi. ,⋯,. i n U. v. ∈ ∈. ∎. 【定理 2.2.2】(伯恩賽定理) 設集合 ,. ， 由定理 2.1.4 證明中的. 。. (2) 得知，. sit. 證明： 若 ∈. ，. er. 則. 兩兩. ,. ,⋯,. 各元素的作用下，產生的等價類是. 中的物件，在群 . 、 、 ⋯ 、 ，則. 等價類總數 ，等於每個 所固定的物件數目之總和 ，除以群元素個數， 即. | |. ∑. ∈. .. 11 .
(17) . 證明：將群 的各元素寫在表(一)的左邊一行；將集合 的各元素寫在表 (一)的上方一列。將表(一)中的第 列、第 行記為. ,. 1 若 0 若. , ，並且規定. 表(一). 政 治 大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. e n g∈c h i ；對每一行求和，再全部. 對每一列求和，再全部相加，得總和 ∑ 相加，得總和 ∑ ∑. ∑. ∈. ∈. |. |，因為 ∑. ∑. ∈. |. ∑. ∈. |. | |. ∑. ∑. ∈. |. ∑. ∑. ∈. | |. ∑. | |∙. ∑. | |. |. | |. | | | |. | |，所以. | |. ∑. ∎. ∈. 12 . v. ∈. |. |，由引理 2.1.12 得知.
(18) . 【定理 2.2.3】 在定理 2.1.6 中， ∈ ， ∈ ，那麼， ∈. 的充要條件，. 是 在 的每個循環節中，塗相同的顏色 . 證明 : ∈. ⟺ . 1,2, ⋯ ,. ，. ⟺ 在 的每個循環節上塗相同顏色 ∎. 接下來利用伯恩賽定理，重做例題 2.1.7，得到等價類的數目為 1 | |. ∈. 6. 0. 2. |. |. 立. 0. 政| | 治 | 大. |. 2.. 學. . 1 | | 4. ‧ 國. . 【例題 2.2.4】在圖(一)的四個頂點塗黑、白兩色，共有幾種塗法﹖. ‧. 用黑、白兩色塗正方形的四個頂點，得 16 個着色圖。以四階循環群 作用在 16 個圖上，也就是把每個 沿逆時鐘方向分. io. sit. ,. y. Nat. , ,. . n. al. er. 別轉動 0° 、90° 、180° 、 270° ，最後，得出不同的等價類。由伯恩賽定 理得到等價類的個數為 | | | . 16. | |. 2. 4. | |. 2. engchi. v. |. 6.. 在上面的計算式子裡， 1,3 2,4 ，. Ch. i n U. 1 2 3 4 ，. 1,2,3,4 ，. 1,4,3,2 。. 另一方面，由定理 2.2.3 得知，S 中的着色圖，必須在 的每個循環 節中塗相同的顏色 ，所以等價類的數目的計算方法，就是把 的循環 . 13 .
(19) . 指標式中 代以 2，即可求出，由定理 1.3.5 得出 的循環指標式為 ∑. 2. |. 故等價類的數目是 2. 2. 2. 2. 6，和上面的答案相同。. 用兩種顏色塗四個頂點，它其實是一個重複排列的問題，我們用窮舉 法列出所有情形： 表(二). Nat. . io. . 2 . . 1 . . n. al. 1 . . ‧. 0, 4 . 立. 1. 1 . y. 1, 3 . 治 政 大 學. 2, 2 . 4! 1 4! 0! 4! 4 3! 1! 4! 6 2! 2! 4! 4 1! 3! 4! 1 0! 4! 4! 2 p! q!. 等價類數目. 共6種. sit. 3, 1 . 塗色方法. er. 4, 0 . 排列數. ‧ 國. 黑,白. Ch. i n U. v. 綜觀上面三種方法的比較，窮舉法較為複雜， 若數字很大時，不可能一. engchi. 一列出，其次是伯恩賽定理，必須找到每個群元素所固定的着色圖的數 目，但藉由定理 2.2.3 的概念，只要把群 的循環指標式中，每個 代以 顏色數目，即可求出，這是最有效率的算法，我們有下面的定理 【定理 2.2.5】 設. 1,2, ⋯ ,. 換群，則所有等價類的數目為. ，用 種顏色對 塗色，假設 是 上的置 ,. ,⋯,. 循環指標式.. 14 . ，其中. ,. ,⋯,. 是 的.
(20) . 3 波利亞計數法 波利亞計數法，是非常有用的一種計數方法，它是伯恩賽定理的推廣，在 本章中，會有詳細的討論。. 3.1 權重的概念 在例題 2.2.4 中，用伯恩賽定理，可計算出黑、白兩色塗四個頂點的方法數 ，但若想進一步瞭解：在各種條件下的等價類情況，就要用波利亞計數法作 為工具，為了清楚說明這個方法，首先介紹權重的概念。 【定義 3.1.1】用 種顏色. 1. ∏. 2 ⋯ 2 ⋯. 着色，每種顏色. 是任意一個着色圖，那麼 的着. 學. 色權重. 立1. ，若. ‧ 國. 的權值記為. 治 政 對集合 大1,2, ⋯ ,. , ,⋯,. .. ‧ er. io. sit. y. Nat. al. 圖(五). n. v i n Ch 【例題 3.1.2】如圖(五)，在正三角形的三個頂點塗色，1 、2 號點塗黑色，3 engchi U 號點塗白色，便得到一個着色圖 ，於是 ，假設黑、白兩色的權值，分別為 色權重. ∏. 【定理 3.1.3】 設. 黑色. 2 ，. 白色. 黑色， 3. 白色. ω，那麼 的着. . 1,2, ⋯ ,. 是一個集合，用 種顏色對 塗色，所有塗色. 的集合為 ， 是 上的置換群，若. 、 ∈ ， ∈ ，且 ∗. 15 . 1. ，則 和.
(21) . 有相同的着色權重 . . 證明：因為. 1,2, ⋯ ,. ，所以. ∏ . ∏ ∏. ∎. 政 治 大. 立. 圖(六). ‧ 國. 學. 若以黑、白兩色在圖 六 的三個頂點塗色，共得到八個着色圖， ， ，⋯ ， 。經過三階循環群 的作用，可分出四個等價類。由定理 3.1.3得知，每一. ‧. 個等價類中的着色圖，有相同的權值，此權值就代表該等價類的權值。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖(七). 最後，將所有等價類的權值相加，得到的總和，稱為正三角形塗黑、白 兩色的權重清單，用 表示， 通常也稱為等價類權重清單。有時，不同的等價類，可能會有相同的權值， 例如，在例題 2.1.7 中，兩個等價類權值相等。. 16 .
(22) . 3.2. 等價類權重清單的計算公式. 【定理 3.2.1】假設集合 在有限群 的作用下，分成的全部等價類是 . 1,2, ⋯ ,. 權值，用. 是 上的權值函數，如果等價類 中的元素具有相同的 代表 的權值，則等價類權重清單為 ∑. | |. ∑. ∑. ∈. ∈. 其中， 是 的所有固定點的集合 .. 政 治 大 為了明確展示此公式的運算過程，我們再以正三角形三頂點塗黑、白兩色 立. ‧ 國. ‧. . b . ω . al. y b ω. b . ω . b ω . . |. ∑. ∈. ∑. ∈. Ch . 1. 3. ∑. i n U . engchi . ∈. 和前面的結果相同。. 17 . bω bω . 等價類權重清單為 |. sit. b ω. er. ω . n. σ 1, 3, 2. . . io. σ 1, 2, 3. b . 表(三). Nat. e 1 2 3 . 學. 問題為例。請看下表. v. . bω . b. ω. b. ω . b. ω .
(23) . 3.3 波利亞計數方法的綜合說明 由定理 2.2.3 知道，當 ∈. 時， 在 的每個循環節中，都要塗一樣的. 顏色。. 政 治 大 【例題 3.3.1】用黑白兩色在圖(八)的六個頂點塗色，且 立 圖(八). 1,3,5 2,4,6 ，那麼， 固定的着色. ，考慮 中的元素. 圖 的權值總和必為 ∑. ‧. ‧ 國. 白色. 的展開式. ∈. y. Nat. n. er. io. sit. 也就是下面四個着色圖的權值總和. al. ，. 學. 黑色. Ch. engchi. i n U. v. 圖(九). 循此原理，假設用. , ,⋯,. 共 種顏色，對. 產生的置換群為 ，且每種顏色 的權值為. 1,2, ⋯ ,. ，計算群元素 所固定的着色. 圖 的權值總和，就把 中長度為 1 的循環節 代以 ∑ 環節 代以 ∑. ；⋯；長度為 的循環節. 18 . 進行塗色，由. 代以 ∑. )；長度為 2 的循 )，然後對所.
(24) . 有群元素 求和，再除以群元素個數| |，即得到 種顏色，在 上塗色的等 價類權重清單。最後，將波利亞計數定理重新敘述如下 【定理 3.3.2】用 種顏色. , ,⋯,. ，在 個頂點的集合 上塗色，得到着. 色圖的集合為 ，且 為 上 的一個置換群，若置換群 的循環指標式為. ,. ,⋯,. ，則對應的等價類權重清單必為 , ∑. ∑. 立. , ⋯ , ∑. 政 治 大. .. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 19 . i n U. v.
(25) . 4 環狀排列的計數 用波利亞計數法來計算環狀排列的數目，無論是相異物或不盡相異物的環狀 排列，都可以展現此種方法的威力。在本章中，我們將用多個具體的實例，來 顯示這一點。. 4.1 環狀排列的公式 用 種顏色. , ,⋯,. 塗正 邊形的 個頂點，共有. ，這些着色藉由 階循環群. 立. ∑. ). 治 政 的作用，依照波利亞計數定理，求出等價類權 大 學. ⋯. |. ‧. ‧ 國. 重清單為. 種着色，假設. 將 式展開，可求得不同顏色的球作環狀排列的數目。. y. Nat. 個球顏色為 ，. n. al. 則此 個球的環狀排列數為 ∑. ∑. 證明： 考慮. ⋯. 、⋯、. ⋯. Ch. engchi !. |. !. !⋯. !. ⋯. |. i n U. v. ,. ,⋯,. .. 的展開式，其中必有. 項出現，它的係數由 的正因數 來決定，如果 是所有 、 的公因數，那麼 ⋯. 、. 、⋯、. ，由多項式定理得知，. 20 . ，. er. io. 色為 ，⋯，. sit. 【定理 4.1.1】將不同顏色的球，作環狀排列，其中 個球顏色為 ， 個球顏. 均為正整數，且 ⋯. 的係數必為. ，.
(26) . !. !. 列的總數. !⋯. ，最後，對所有符合條件的 求總和，就得到環狀排. !. 。此式簡潔而便於使用，是解決環狀排列問題的有力工具。 1 ! 種排法 .. 【推論 4.1.2】 個不同顏色的球，作環狀排列，共有. 4.2 環狀排列的實例 【例題 4.2.1】用 2 個黑色、2 個白色，作環狀排列，共有幾種排法? 解： . 2，. 2，. 環狀排列數 . !. !. !. ! !. ! !. !. !. !. !. 2. er. io. sit. y. Nat. al. n 【例題 4.2.2】 解： . 圖(十). Ch. engchi. 3，. 環狀排列數. ! ! !. 6， !. φ 1. . !. 2∙. !. , !. φ 3. !. ! ! !. 4. 21 . i n U. v. 用 3 個黑色、3 個白色，作環狀排列，共有幾種排法?. 3，. . 1 , 2. ‧. . 立. !. , 2， 治 政 大 2. 學. ‧ 國. 1. 4，. !. 3，. 1 , 3.
(27) . 圖(十一). 【例題 4.2.3 】用 4 個黑色、4 個白色及 8 個紅色，作環狀排列，共有幾種排法 ? 解：. 4，. 4，. 環狀排列數. 8，. 立. ‧ 國. 900900. !. ,. !. !. !. !. 420. !. ,. 4， !. 4. !. 24. 1 ,2, 4. !. !. !. 學. 政 φ 2治 大. !. φ 1. 16，. 56334. ‧. io. al. n. φ 1. 924. ! !. 4. C h!. 140. 40. 環狀排列數. 2704156. 24，. !. !. φ 2. !. e! n g6c h !i 12. ,. 12，. !. 1,2,3,4,6,12. sit. 12，. er. 12，. Nat. 解：. y. 【例題 4.2.4】 用 12 個黑色、12 個白色，作環狀排列，共有幾種排法 ?. !. n !U. i v3. !. 12. !. ! ! ! !. !. 8. 112720 【例題 4.2.5】 用 8 個黑色、8 個白色及 8 個紅色，作環狀排列，共有幾種排法 ? 解：. 8，. 8，. 8，. 24，. 環狀排列數. 22 . ,. ,. 8，. 1,2,4,8.
(28) . !. φ 1. !. !. φ 2. !. 9465511770. 34650. ! !. !. 4. !. 180. ! !. !. 8. !. ! !. !. !. 24 . 394397776 【例題 4.2.6】 用 10 個黑色、10 個白色及 10 個紅色，作環狀排列，共有幾 種排法 ? 解：. 10，. 10，. 10，. 環狀排列數 φ 1. !. 立. !. 5550996791340. 政 治 大 5 !. !. ,. 756756. !. !. !. 360. !. !. 10. !. 24. 185033251616. 1,2,5,10. ! !. !. !. sit. y. Nat. 5 結論. 10，. ‧. !. φ 2. ,. 學. !. ‧ 國. 30，. n. al. er. io. 本篇論文藉由波利亞計數方法，建立了環狀排列的計數公式。事實上，波利亞計. i n U. v. 數方法，還可以解決各類的計數問題。例如，珠狀排列問題及對稱體的着色問題 等。. Ch. engchi. 研究珠狀排列問題，需要瞭解二面體群的結構，本文中未做討論，但它的基本精 神，和對稱體的着色問題及環狀排列問題都是一樣的，都要找出所有的對稱性， 構成一個置換群，作用在全體着色集合上。 循環群為置換群的一個子群，本論文利用循環群得出環狀排列的公式。對於其它 的對稱體，是否也能從置換群的其它子群，導出計數着色數的簡潔公式? 是值得 思考的方向。. 23 .
(29) . 英中文名詞對照表 英文. 中文. 頁碼. action (of a group). 群的作用. Burnside theorem. 伯恩賽定理. 11. circular permutation. 環狀排列. 20. coset. 陪集. 10. cycle. 循環節. 1. cyclic group. 循環群. 1. 二面體群. 等價關係. Euler φ. 歐氏函數. ‧ 國. equivalence relation. homomorphism. Nat. generator. io. al. n. inventory modulo. multinomial theorem. 清單. n C h模 U engchi 多項式定理. 3. 2 7. 生成元 同態. 7. 10. 固定點. er. fixed point. 8. ‧. 等價類. 23. 學. equivalence class. function. 5. y. 立. dihedral group. 政 治 大 循環指標式. sit. cycle index polynomial. 7. iv. 16 3 20. necklace permutation. 珠狀排列. one-to-one function. 一對一函數. 7. onto function. 映成函數. 7. order. 階. 1. pairwise disjoint. 兩兩相離. 5. partition. 分割. 8. p-cycle. p-循環節. 1. permutation. 置換. 1. 24 . 23.
(30) . 英文. 中文. 頁碼. permutation group. 置換群. 4. Pó lya′s enumeration method. 波利亞計數法. 15. reflexivity. 自身性. 7. stabilizer. 穩定子集(群). 10. symmetry. 對稱性. 7. transitivity. 遞移性. 7. weight of color. 顏色的權重. weight of coloring. 立. weighted function. 治 著色圖的權重 政 大 權值函數. 15 17. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 25 . 15. i n U. v.
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